Weitere ähnliche Inhalte Ähnlich wie Geometry short techniques and formulas (20) Geometry short techniques and formulas 1. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
আনায ই−ফুক ফা pdf রযডারযয Menu Bar এয View অনরি তে রিক করয Auto /Automatically Scroll অনরি রররক্ট
করুন (অথফা যারয তমরে Ctrl + Shift + H )। এফায ↑ up Arrow ফা ↓ down Arrow তে রিক করয আনায ড়ায ুরফধা
অনুারয স্ক্রর স্পীড রিক করয রনন।
Straight line যররযখা (রকান প্রান্তরফন্দু তনই)
Ray যরি (একরি ভাত্র প্রান্তরফন্দু)
Line Segment তযখাাং (দুরি প্রান্তরফন্দু থারক)
Similar to দৃ
Almost Equal toপ্রায় ভান
Is Equivalent to / Congruent ফবভ
Angle তকান
Right Angle ভরকান
Measured Angle রযভাকৃ ে তকান
Perpendicular To রম্ব
Is Parallel to ভান্তযার
Therefore / Hence ুেযাাং
Since / Because তমরেু / কাযন
Triangle রত্রবু জ
Rectangle/Square আয়েরেত্র ফা ফগবরেত্র
Circle ফৃত্ত
2. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
Euclid’s (ইউরিড): রফখযাে গ্রস্থ ‘ Elements’ মা 13 খরে ভাপ্ত, রিষ্টূফব 300 অরে যরিে ।
মায তকান প্রান্তরফন্দু তনই
মায একরি ভাত্র প্রান্তরফন্দু
মায দুরি প্রান্তরফন্দু থারক
এরদয তকান াধাযন রফন্দু তনই ফা এযা এরক অযরক তেদ কযরে ারয না।অথবাৎ ভান্তযার তযখা কখন রভররে রফ
না।দুই ফা েরোরধক যররযখা একরি যররযখায উয রম্ব রর , োযা যস্পয ভান্তযার।
3. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
4. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
মরদ তকান েরর দুইরি তকারনয একই ীলব রফন্দু য় এফাং তকানদ্বয় াধাযন ফাহুয রফযীে ার অফস্থান করয।
∠AOD = রফপ্রেী ∠ COD
এফাং ∠ AOC = রফপ্রেী ∠ BOD
∠θ = 180∘
∠ADB = ∠ADC = ∠θ = 90∘
মরদ একই তযখায উয অফরস্থে দুইরি রিরে তকান যস্পয ভান য় , েরফ তকান দুইরিয প্ররেযকরি ভরকাণ।
অথবাৎ ভরকাণ রে যর তকারনয অরধবক ।
ভরকারণয ফাহু দুইরি যস্পরযয উয রম্ব। ∴ ∠θ = 90∘
5. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
এক ভরকাণ তথরক তোি তকানরক ।0∘ < ∠AOC < 90∘
এক ভরকান তথরক ফড় রকন্তু দুই ভরকান তথরক তোি। 90∘ < ∠AOD < 180∘
দুই ভরকান তথরক ফড় রকন্তু িায ভরকাণ তথরক তোি।180∘ < ∠AOB < 360∘
∠ AOB = 360 − ∠X
6. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
দুইরি তকারনয ভরষ্ট এক ভরকাণ ফা 90 রর , একরি অযরিয ূযক তকান।
দুইরি তকারনয ভরষ্ট এক যর তকান ফা 180 রর , একরি অযরিয ম্পূযক তকান।এখারন ∠DEF ম্পূযক তকান
র ∠ACB।
AB || CD রর EF তেদক (Transversal) রর , ∠ AGF = একান্তয ∠ DHE
এফাং ∠DGF = একান্তয ∠CHE
7. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
AB || CD রর EF তেদক (Transversal) রর ,
∠ AGF =অনুরূ ∠ CHF এফাং ∠DGF = একান্তয ∠DHF
রেনরি তযখাাং দ্বাযা আফদ্ধ তেরত্রয ীভারযখারক রত্রবুজ ফরা য়।
এখারন ∆ ABC একরি রত্রবু জ, এয ∠BAC =∠B , ∠ABC = ∠B , ∠ACB = ∠C তকান।
এফাং AB= c , BC = a AC = b ফাহু।
8. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
রত্রবু রজয একরি ফাহুরক ফরধবে কযরর তম তকান উৎি য় োরক ফরিঃস্থ তকান ফরর ।
এখারন ∠ACD = ফরিঃস্থ তকান এফাং ∠ACB = অন্তিঃস্থ তকান
দুইরি রত্রবু রজয ফবভোিঃ
∴ দুইরি রত্রবু জ ফবভ রফ মরদ
⇒ একরিয দুই ফাহু মথাক্ররভ অযরিয দুই ফাহুয ভান য় এফাং ফাহু দুইরিয অন্তবু বক্ত তকাণদ্বয় যস্পয ভান য়।
⇒ একরিয রেন ফাহু অপ্ররিয রেন ফাহু ভান য়।
⇒ একরিয দুই তকান একরি ফাহু মথাক্ররভ অযরিয দুই তকান অনুরূ ফাহুয ভান য়।
⇒ োযা উবয়ই ভরকাণী রত্রবু জ য় , োরদয অরেবু জদ্বয় ভান য় একরি ফাহু অযরিয অনুরূ ফাহুয ভান
ভান য়।
রত্রবু রজয বূ রভয রফযীে রদরকয রফন্দুয নাভ ীলবরফন্দু।
রত্রবু রজয রেন তকারনয ভরষ্ট দুই ভরকাণ ফা 180।
রত্রবু রজয রেনরি Vertex এ রেনরি ফরিঃস্থ তকারনয(Exterior angel) ভরষ্ট 360
0
। যা ত্রিভু জের অন্তস্থ ক ান
ভূরয ভরষ্টয রদ্বগুন।
রত্রবু রজয ফৃত্তভ ফাহুয রফযীে তকান ফৃত্তভ। ফা ফৃত্তভ তকারনয রফযীে ফাহু ফৃত্তভ।
রত্রবু রজয একরি তকান অয একরি তকান অরো ফৃত্তয রর , ফৃত্তয তকারনয রফযীে ফাহু েু দ্রেয তকারনয
রফযীে ফাহু অরো ফৃত্তয রফ।
রত্রবু রজয দুইরি ফাহু ভান রর োরদয রফযীে তকাণদ্বয় ভান এফাং দুইরি তকান ভান রর োরদয রফযীে ফাহুদ্বয়
ভান।
রত্রবু রজয তম তকান দুই ফাহুয ভরষ্ট রত্রবু রজয েৃেীয় ফাহু অরো ফৃত্তয।
রত্রবু রজয তম তকান দুই ফাহুয অন্তয রত্রবু রজয েৃেীয় ফাহু অরো েু দ্রেয।
তকান ভরকাণী রত্রবু রজয অরেবু জ (ভরকারণয রফযীে ফাহু ) অনয তম তকান ফাহু অরো ফৃত্তয ।
9. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
রত্রবু রজয তমরকান ফাহুরক ফরধবে কযরর উৎি ফরিঃস্থ তকান , রত্রবু রজয অন্তিঃস্থ তকারনয রফযীে তকাণদ্বরয়য ভরষ্টয
ভান।
রত্রবু রজয প্ররেযক ফাহুরক উবয় রদরক ফরধবে কযরর তম েয়রি ফরিঃস্থ তকান উৎি য় , োরদয ভরষ্টয আি
ভরকান।
রত্রবু রজয দুই ফাহুয ভধযরফন্দুয াংরমাগ তযখাাং রত্রবুরজয েৃেীয় ফাহুয ভান্তযার দদঘবয োয অরধবক।
তকান রত্রবু রজয ীলব রফন্দু তথরক বূ রভয ভধযরফন্দুয াংরমাজক যর তযখারক ভধযভা ফরর।রেবু রজয রেনরি ভধযভা য় ।
এগুররা ভরফন্দু । এই ভধযভাত্রয় যস্পযরক 2:1 এ রফবক্ত করয।
রত্রবু রজয ভধযভা রেনরিয ভরষ্ট োয রযীভা(রেন ফাহুয ভরষ্ট) অরো েু দ্রেয।
রত্রবু রজয তম তকান ভধযভা রত্রবূ জরক ভান দুরি তেরত্র রফবক্ত করয ।
দুইরি রত্রবু জ দৃ রর োরদয অনুরূ ফাহুগুররায অনুাে ভান এফাং রফরপ্রেক্ররভ দুইরি রত্রবু রজয ফাহুগুররা
ভানুারেক রর রত্রবু জদ্বয় দৃরকানী এফাং অনুরূ ফাহুয রফযীে তকানগুররা যস্পয ভান।
দুইরি রত্রবু রজয একরি তকান অযরিয এক তকারনয ভান ভান ভান তকান াংরগ্ন ফাহুগুররা ভানুারেক রর
রত্রবু জদ্বয় দৃ রফ।
দুইরি দৃ রত্রবু জ তেরত্রয তেত্রপরদ্বরয়য োরদয তমরকান দুই অনুরূ ফাহুয ফরগবয অনুারেয ভান।
একই বূ রভয উয এফাং একই ভান্তযার তযখাদ্বরয়য ভরধয অফরস্থে কর রত্রবু জ তেরত্রয তেত্রপর ভান।
একরি রত্রবু জ একরি াভান্তরযক ফা আয়ে একই বু রভয উয এফাং একই ভান্তযার তযখাদ্বরয়য ভরধয অফরস্থে
রর রত্রবু জ তেরত্রয তেত্রপর াভান্তরযক তেত্র ফা অয়েরেরত্রয তেত্রপররয অরধবক।
তকান ভরকাণী রত্রবু রজয অরেবু রজয উয অরিে ফগবরেরত্রয তেত্রপর অপ্র ফাহুদ্বরয়য উয অরিে ফগবরেত্রদ্বরয়য
তেত্রপররয ভরষ্টয ভান।
অন্তিঃরকন্দ্র (In-Centre): রত্রবু রজয তকানত্ররয়য ভরদ্বখেক গুররায ভরফন্দু।(মা রত্রবু রজয অন্তররবরখে ফৃরত্তয তকন্দ্র)
রযরকন্দ্র(Circumcentre): রত্রবু রজয ফাহুত্ররয়য রম্বভরদ্বখন্ডকত্রয় ভরফন্দু। (মা রত্রবু রজয রযরররখে ফৃরত্তয তকন্দ্র)
বযরকন্দ্র(Centroid): রত্রবু রজয তকান একরি ীলবরফন্দু এফাং োয রফযীে ফাহুয ভধযরফন্দুয াংরমাজক যররযখারক
ভধযভা ফরর। রত্রবু রজয ভধযভাত্রয় ভরফন্দু। অথবাৎ বযরকন্দ্র র তকান রত্রবু রজয রেনফাহুয ভরদ্বখেক গুররায তেদরফন্দু।
রম্বরফন্দু(Orthocentre) : রত্রবু রজয ীলবত্রয় রে রফযীে ফাহুয উয অরিে রম্বত্রয় ভরফন্দু।
10. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
∆ABC এ ∠A , ∠B ∠c < 90∘
∆ABC এ ∠A ∠C < 90∘ এফাং ∠B = স্থূররকাণ(900
< θ < 1800)
11. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
∆ABC এ ∠B = এক ভরকান = 900
এফাং ∠A + ∠C = 900
∴ ∠A =θ রর ∠C = 900
– θ
তকান রত্রবু রজয একরি তকান মরদ অয দুইরি তকারনয ভান য় , েরফ রত্রবু জরি ভরকানী।
ভরকাণী রত্রবু রজয ভরকাণ রবি অনয দুইরি তকান রফ ূেরকান।
ভরকাণী রত্রবু রজয ূেরকাণ দুরি যস্পরযয ূযক তকান।
তকান রত্রবু রজয তম তকান একরি তকান ভরকাণ ফা 900
রর ।
∴ অরেবু জ = বূ রভ + রম্ব
⇛ = +
তম তকান ভরকাণী রত্রবু রজয ফাহুগুররায অনুাে 3:4:5 , 5:12:13 , 8:15:17 , 7:24:25 ,ফা এরদয তম তকান
Multiple ফা গুনক রে ারয।
[∵ = + , ⇛ 5 = 4 + 3 , ⇛ 25 = 25 এই ূরত্র উবয় ারয ফারনা ভান ভান রর ,
তই অনুাে গুররা ভরকাণী রত্রবু রজয ফাহুয অনুাে রফ । ]
12. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
∆ABC এ AB ≠ BC ≠ CA
∆ABC এ AB = AC≠ BC ফা b = c এফাং ∠B = ∠C
তকান রত্রবু রজয বূ রভয প্রান্তরফন্দুদ্বয় তথরক রফযীে ফাহুয উয অরিে ভধযভাদ্বয় ফা রম্বদ্বয় মরদ ভান য় , েরফ
রত্রবু জরি ভরদ্বফাহু।
তকান রত্রবু রজয রযিঃরকারনয ভরদ্বখেক মরদ বূ রভয উয রম্ব য় , েরফ রত্রবু জরি ভরদ্বফাহু।
∆ABC এ AB = BC = AC ফা a= b = c এফাং ∠A = ∠B = ∠C =600
13. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
রত্রবু রজয ভধযভাত্রয় ফা রম্বত্রয় মরদ ভান য় , েরফ রত্রবু জরি ভফাহু।
ভফাহু রত্রবু রজয ভধযভাগুররা ফাহুয ভধযরফন্দুরে উক্ত ফাহুয উয রম্ব।
ভফাহু রত্রবু রজয ফাহুগুররায ভধযরফন্দু তমাগ কযরর তম রত্রবু জরি ায়া মায় ,ো ভফাহু।
ভফাহু রত্রবু রজয ফাহুগুররায ভধযরফন্দু তমাগপররয (ভধযভা ত্রয়) তেদ রফন্দু তকারনয ভরদ্বখেক ত্ররয়য তমাগপররয
তেদ রফন্দু ফভয় একই রফ ।
িাযরি যররযখা ফা ফাহু দ্বাযা ীভাফদ্ধ তেত্ররক িেুবু বজ ফরর।
িেুবু বজ িায অন্তিঃস্থ তকারনয ভরষ্ট 4 ভরকাণ ফা 360
0
। ∠A +∠B +∠C + ∠D = 360
0
িেুবু বরজয কনবদ্বরয়য ভরষ্ট োয রযীভা অরো েু দ্রেয।
াভান্তরযরকয রফযীে ফাহুদ্বয় যস্পয ভান ভান্তযার ।
াভান্তরযরকয রফযীে তকানগুররা যস্পয ভান।
াভান্তরযরকয তম তকান দুইরি ক্ররভক ফা রিরে তকান যস্পরযয ম্পূযক ।
াভান্তরযরকয কনবদ্বয় অভান । এযা যস্পযরক ভরদ্বখরন্ডে করয।
14. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
অয়েরেরত্রয রফযীে ফাহুদ্বয় যস্পয ভান ভান্তযার ।
অয়েরেরত্রয তকানগুররা যস্পয ভান।এফাং প্ররেযকরি তকান ভরকাণ ।
অয়েরেরত্রয কনবদ্বয় ভান । এযা যস্পযরক ভরদ্বখরন্ডে করয।
ফগবরেরত্রয প্ররেযক ফা কর ফাহু যস্পয ভান ভান্তযার ।
ফগবরেরত্রয তকানগুররা যস্পয ভান।এফাং প্ররেযকরি তকান ভরকাণ ।
ফগবরেরত্রয কনবদ্বয় ভান । এযা যস্পযরক ভরদ্বখরন্ডে করয।
যম্বরয প্ররেযক ফা কর ফাহু যস্পয ভান
ভান্তযার ।
যম্বরয রফযীে তকানগুররা যস্পয ভান।রকন্তু
একরি তকান ভরকাণ নয়।
যম্বরয কনবদ্বয় অভান । এযা যস্পযরক
ভরদ্বখরন্ডে করয।
15. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
ট্রাররজয়ারভয তকফরভাত্র দুইরি ফাহু ভান্তযার , রকন্তু ভান্তযার ফাহুদ্বয় ভান নয় ।
ুলভ ফহুবু রজয ফাহুয াংখযা n রর
ুলভ ফহুবু রজয অন্তিঃ তকানগুররায (Interior Angles) ভরষ্ট n θ = ( 2n − 4) ×900 = n −2 ×1800
ুলভ ফহুবু রজয প্ররেযকরি অন্তিঃ তকারনয রযভাণ θ = × 180 )0
ুলভ ফহুবু রজয ফরিঃস্থ তকান গুররায ভরষ্ট, nθ = 3600
ুলভ ফহুবু রজয প্ররেযকরি ফরিঃস্থ তকারনয রযভাণ = ( )0
Area of Hexagon
A = 2.6 s
2
[where s is the length of one side]
Area of Octagon
A = 4.83s
2
[where s is the length of one side]
16. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
তকান ভেরর একরি রফন্দুরক তকন্দ্র করয ভান দুযত্ব ফজায় তযরখ অয একরি রফন্দু োয িাযরদরক একফায ঘুরয এরর
তম অফদ্ধ তগারীয় তযখা ৃরষ্ট য় োরক ফৃত্ত ফরর ।
অথবাৎ তকান রনরদবষ্ট রফন্দু তথরক ভদুযরত্ব আফরেবে তগারাকায অফদ্ধ ভেরীয় তেত্ররক ফৃত্ত ফরর।
একই যর তযখায় অফরস্থে নয় এভন রেনরি রফন্দুয ভরধয রদরয় তকফর একরি ফৃত্ত আঁকা মারফ।
একই যররযখায় অফরস্থে এভন রেনরি রফন্দুয ভধয রদরয় তকান ফৃত্ত আঁকা মারফ না।
দুইরি রনরদবষ্ট রফন্দু রদরয় রেনরি ফৃত্ত আঁকা মায়।
ফৃরত্তয রযরধস্থ তম তকান দুই রফন্দুয াংরমাজক যররযখারক জযা ফরর।
ফৃরত্তয তকন্দ্র তেদকাযী ফা ফৃরত্ত তকন্দ্র রদরয় অরেক্রভ করয ফা গভন করয এরূ জযা ফা তযখারক ফযা ফরর।ফৃরত্তয
ফযাই ফৃত্তভ জযা।
ফৃরত্তয দুরি জযা যস্পযরক ভরদ্বখরন্ডে কযরর তেদরফন্দুরি রফ ফৃরত্তয তকন্দ্র।
তকান ফৃরত্তয রেনরি ভান ভান জযা একই রফন্দুরে তেদ কযরর ঐ রফন্দুরি ফৃরত্তয তকরন্দ্র অফরস্থে রফ।
তকান ফৃরত্তয দুইরি ভান ভান জযা একরি রফন্দুরে তেদ কযরর ঐ রফন্দুরি প্ররেযক জযা তক দুরি অাংর রফবক্ত করয ,
এই জযা দুরিয ফৃত্তভ খরন্ডোাং যস্পয ভান রফ । একইবারফ েু দ্রেভ খরন্ডোং ভান রফ।
ফৃরত্তয তম তকান জযা এয রম্বরদ্বখন্ডক তকন্দ্রগাভী।
ফৃরত্তয ফযা রবি তকান জযা এয ভধযরফন্দু তকরন্দ্রয াংরমাজক তযখাাং ঐ জযা এয উয রম্ব।
ফৃরত্তয তকন্দ্র রে তকান জযা এয উয অরিে রম্ব ঐ জযারক ভরদ্বখরন্ডে করয।
ফৃরত্তয তকন্দ্র তথরক ভদূযফেবী কর জযা যস্পয ভান।
ফৃরত্তয ভান ভান জযা তকন্দ্র তথরক ভদূযফেবী ।
ফৃরত্তয দুরি জযা এয ভরধয তকরন্দ্রয রনকিেয জযা-রি অয জযা অরো ফৃত্তয।
17. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
িা ফা ফৃত্তিা(Arc): রযরধয তম তকান অাংরফরলরক িা ফা ফৃত্তিা ফরর।এখারন ̂ ̂ দুরি িা।
ফৃত্তিারয ফৃত্তভ অাংরক ফরা য় অরধিা। এফাং ফৃত্তিারয েু দ্রেভ অাংরক ফরা য় উিা।
তকন্দ্রস্থ তকান (Central Angles): ফৃরত্তয দুইরি ফযাাধব কেৃক ফৃরত্তয তকরন্দ্র ৃষ্ট তকানরক তকন্দ্রস্থ তকান ফরর।অথফা
ফৃরত্তয রযরধয উয দুইরি রবি রবি রফন্দু তথরক তকরন্দ্রয ারথ াংরমাজক তযখা দ্বাযা তম তকান উৎি য়।
ফৃরত্তয দুরি জযা এয দুই প্রান্ত রযরধয উয দুইরি রবি
রফন্দুরে এফাং অপ্র প্রান্ত একরি রনরদবষ্ট রফন্দুরে রভররে রর রযরধয উরয তম তকান উৎি য়, োরক রযরধস্থ ফা ফৃত্তস্থ
তকান ফরর।
ফৃরত্তয তকান িা দ্বায উৎি তকন্দ্রস্থ তকান ঐ ফৃত্তিারয ভানুারেক।
তম তকান দুইরি ফৃরত্তয স্ব- স্ব রযরধ ফযারয অনুাে ভান।
তমরকারনা দুইরি রযরধয দদঘবয ফযরয দদরঘবযয অনুাে একই।
অধবফৃত্তস্থ তকান এক ভরকান।অথবাৎ অরধবক ফৃত্তিারয উয অফরস্থে প্ররেরি ফৃত্তস্থ তকান এক ভরকান।
তকান ফৃরত্তয অরধিার(ফৃত্তিারয ফৃত্তভ অাং) অন্তরররখে তকান ফা ফৃত্তস্থ তকান ূেরকান রফ ।
তকান ফৃরত্তয উিার(ফৃত্তিারয েু দ্রেভ অাং) অন্তরররখে তকান ফা ফৃত্তস্থ তকান স্থূররকান রফ ।
ফৃরত্তয একই িারয উয দোয়ভান ফৃত্তস্থ তকানগুররা যস্পয ভান।
ফৃরত্তয একই িারয উয দোয়ভান ফৃত্তস্থ তকান তকন্দ্রস্থ তকারনয অরধবক।
∴ 1 রযরধস্থ ফা ফৃত্তস্থ তকান = × তকন্দ্রস্থ তকান
18. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
⇛ তকন্দ্রস্থ তকান = 2 × রযরধস্থ ফা ফৃত্তস্থ তকান
তকান যররযখায ফৃরত্তয রযরধয উয স্পব করয মায়ায ভয় রযরধয তম রফন্দুরে তেদ করয , তই রফন্দু রদরয়
গভনকাযী তযখারিরক ঐ ফৃত্তরিয একরি স্পবক ফরা য়।
ফৃরত্তয তকান রফন্দুরে একরি স্পবক আঁকা মায়।
একরি ফৃত্ত একরি যররযখায ফবারধক দুরি তেদরফন্দু থাকরে ারয।
ফৃরত্তয স্পব রফন্দুরে স্পবরকয উয অাংরকে রম্ব তকন্দ্রগাভী।
ফৃরত্তয তম তকান রফন্দুরে অরিে স্পবক স্পবরফন্দুগাভী ফযাারধবয উয রম্ব। অথবাৎ ফৃরত্তয তকন্দ্র স্পবক রফন্দুয
াংরমাগ তযখা স্পবক তযখায উয রম্ব য়।
দুইরি ফৃত্ত যস্পয স্পব কযরর , োরদয তকন্দ্রদ্বয় স্পব রফন্দু ভরযখা রফ।
দুইরি ফৃত্ত যস্পযরক ফরিঃস্থবারফ স্পব কযরর ,োরদয তকন্দ্রদ্বরয়য দূযত্ব ফৃত্তদ্বরয়য ফযাারধবয ভরষ্টয ভান ।
ফৃরত্তয ফরিঃস্থ তকান রফন্দু তথরক ফৃরত্তয শুধুভাত্র দুরি স্পবক িানা মায়, এফাং ঐ রফন্দু তথরক স্পব রফন্দুদ্বরয়য দূযত্ব
ভান য়।
দুইরি ফৃত্ত যস্পযরক অন্তিঃস্থবারফ স্পব কযরর ,োরদয তকন্দ্রদ্বরয়য দূযত্ব ফৃত্তদ্বরয়য ফযাারধবয অন্তরযয ফা
রফরয়াগপররয ভান ।
দুইরি যস্পয তেদী ফৃরত্ত দুইরি াধাযণ স্পবক আঁকা মায়।
ফৃরত্ত অন্তররবরখে াভান্তরযক একরি আয়েরেত্র ।
ফৃরত্ত অন্তররবরখে িেুবু বরজয তম তকান দুইরি রফযীে তকারনয ভরষ্ট দুই ভরকাণ।
ফৃত্তস্থ ট্রাররজয়ারভয রেমবক ফাহুদ্বয় যস্পয ভান ।
19. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
তকান আয়েরেরত্রয দদঘব = a একক প্রস্থ = b একক রর,
আয়েরেরত্রয তেরত্রপর A = দদঘব × প্রস্থ = a × b ফগব একক
আয়েরেরত্রয রযীভা S = 2 × (দদঘব + প্রস্থ) = 2(a + b) একক
আয়েরেরত্রয কণব d = √ + একক
তকান ফগবরেরত্রয দদঘব = প্রস্থ = a একক
ফগবরেরত্রয তেরত্রপর A = দদঘব × দদঘব = a × a ফগব একক = ফগব একক
ফগবরেরত্রয তেরত্রপর A= × করনবয = × ফগব একক [∵ = 2 = 2 × তেত্রপর ]
ফগবরেরত্রয রযীভা S = 2(a + a) একক = 4 a একক
ফগবরেরত্রয কণব d = √ + একক = √2 × a একক
20. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
ভান্তরযকরেরত্রয বূ রভ =a উচ্চো h তদয়া থাকররিঃ
⇛াভান্তরযকরেরত্রয তেত্রপর = বূ রভ × উচ্চো = a × h ফগব একক
ভান্তরযকরেরত্রয দুইরি রিরে ফাহু a , b একক োরদয অন্তবু বক্ত তকান θ তদয়া থাকররিঃ
⇛াভান্তরযকরেরত্রয তেত্রপর = a × b × n ফগব একক
াভান্তরযকরেরত্রয একরি করনবয দদঘবয d এফাং রফযীে রলবরফন্দু তথরক করণবয উয রম্ব দূযত্ব X তদয়া থাকররিঃ
⇛াভান্তরযকরেরত্রয তেত্রপর= করনবয দদঘবয(AC) × রলবরফন্দু করণবয রম্ব দূযত্ব(CG) = d× X ফগব একক
াভান্তরযকরেরত্রয কনবদ্বয় d1 d2 রর, এফাং উারদয ভধযফেবী তকান θ ররিঃ
⇛াভান্তরযকরেরত্রয তেত্রপর = × × ×
ভান্তরযকরেরত্রয দুইরি রিরে ফাহু a , b একক োরদয তম তকান একরি কণব d তদয়া থাকররিঃ এই কণব
াভান্তরযকরেত্ররক দুইরি ভান রত্রবু জ তেরত্র রফবক্ত করয।
⇛াভান্তরযকরেরত্রয তেত্রপর = 2 × রত্রবু জ তেত্রপর(মা বূ রভ , প্রস্থ কণব দ্বাযা গরিে) ফগব একক
[∵ এখারন এই রত্রবু রজয রেন ফাহুয ভান তদয়া আরে , োই এই াভান্তরযকরেরত্রয কনব দ্বাযা গরিে রত্রবু জ তেরত্রয
তেরত্রপর = √ − − − ⇒ S = অধবরযীভা= ½ × রত্রবু রজয রযীভা ]
াভান্তরযকরেরত্রয রযীভা = 2 × (দদঘব + প্রস্থ) একক
াভান্তরযকরেরত্রয একরি কণব BD = d1 তদয়া থাকররিঃ
⇛াভান্তরযকরেরত্রয অয কণব AC(d2) = √ + = √ + + [∵ উচ্চো CF =DE]
[DE এয ভানিঃ ⇛ ½ × AB × DE = রত্রবু জ তেরত্রয তেরত্রপর √ − − − ]
[BF এয ভানিঃ ⇛ BF = √ − ফা ]
21. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
তকান যম্বরয দদঘব = প্রস্থ = a একক এফাং একরি কণব AC= d1 অয কণব BD= d2 ররিঃ
যম্বরয তেরত্রপর A = ( × কণবদ্বরয়য গুণপর ) ফগব একক =
×
ফগব একক
ফগবরেরত্রয রযীভা S = 4 × ফাহুয দদঘবয
ট্রাররজয়াভরেরত্রয ভান্তযার দুরি ফাহু AB =a DC = b এফাং োরদয ভধযফেবী রম্ব দূযত্ব ফা উচ্চো CE = h তদয়া
থাকররিঃ
⇛ ট্রাররজয়াভরেরত্রয তেত্রপর = × ভান্তযার ফাহুদ্বরয়য তমাগপর × ফাহুদ্বরয়য ভধযফেবী রম্ব দূযত্ব ফা উচ্চো
∴ ট্রাররজয়াভরেরত্রয তেত্রপর = × (AB + CD ) × CE = ×(a +b) ×h ফগব একক
ট্রাররজয়াভরেরত্রয রযীভা = ট্রাররজয়ারভয িায ফাহুয তমাগপর
22. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
রত্রবু রজয বূ রভ BC= a উচ্চো AD = h তদয়া থাকররিঃ
⇛ রত্রবূ জেরত্রয তেত্রপর = × বূ রভ(BC) × উচ্চো(AD) = × a × h ফগব একক
রত্রবু রজ একরি তকান এক ভরকাণ রর, রত্রবুরজয ভরকাণ াংরগ্ন ফাহুয দুরিয একরিরক বূ রভ অযরিরক রম্ব ফা
উচ্চো ধযা ররিঃ
⇛ ভরকাণী রত্রবূ জেরত্রয তেত্রপর = × ভরকাণ াংরগ্ন ফাহুদ্বরয়য গুণপর = × বূ রভ(a) × রম্ব(b)
রত্রবু রজয তম তকান দুরি ফাহু োরদয অন্তবু বক্ত তকান তদয়া থাকররিঃ
⇛ রত্রবূ জেরত্রয তেত্রপর = a b n ∠ = b c n∠ = c a n ∠
রফলভফাহু রত্রবু জ ∆ABC এয রেনরি ফাহু BC=a , AB =c AC=b তদয়া থাকররিঃ
রত্রবু রজয রযীভা(2S) = রেন ফাহুয দদরঘবযয তমাগপর = a+b+c
∴ রত্রবু রজয অধবরযীভা S =
রযীভা
=
⇛ রত্রবু জ তেরত্রয তেরত্রপর = √ − − −
দুরি ফাহু / ফাহু াংরগ্ন তকানগুররা / দুরি ভধযভা ⇒ ভান রর রত্রবু রি ভরদ্বফাহু রত্রবু জ।
এই ভরদ্বফাহু রত্রবু রজয অভান ফাহু = b ভান ভান দুরি ফাহু উবয়ই = a ররিঃ
⇛ ভরদ্বফাহু রত্রবু জরেরত্রয তেত্রপর = × √ 4 −
রেনরি ফাহু / রেনরি তকান(প্ররেযকরি তকান= 60∘
) / ভাধযভাত্রয় ⇒ যস্পয ভান রর রত্রবু জরি ভফাহু রত্রবুজ।
এই ভফাহু রত্রবু রজয প্ররেযক ফাহুয দদঘবয = a ররিঃ
⇛ ভফাহু রত্রবু জরেরত্রয তেত্রপর =
√
× ফগব একক
⇛ভফাহু রত্রবু রজয রযীভািঃ = 3 × a
23. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
⇛ভফাহু রত্রবু রজয উচ্চো ফা ভধযভায দদঘয =
√
× ফাহুয দদঘয =
√
× [ফাহুয দদঘয = ]
রত্রবু জ ∆ABC এয রেনরি ভধযভা ফা ভধযভাত্রয় l , m n তদয়া থাকররিঃ ∴ S =
⇛ রত্রবু জ তেরত্রয তেরত্রপর = × √ − − −
অন্তফৃরত্ত অফরস্থে রত্রবু জ ∆ABC এয রেনরি ফাহু a , b c রর ;এফাং অন্তফৃরত্তয ফৃরত্তয ফযাাধব =R ররিঃ
⇛ রত্রবু জ তেরত্রয তেরত্রপর A = × + + ×
রযফৃরত্ত অফরস্থে রত্রবু জ ∆ABC এয রেনরি ফাহু a , b c রর ;এফাং রযফৃরত্তয ফৃরত্তয ফযাাধব =R ররিঃ
⇛ রত্রবু জ তেরত্রয তেরত্রপর A =
তকান ভেরর একরি রফন্দুরক তকন্দ্র করয ভান দুযত্ব ফজায় তযরখ অয একরি রফন্দু োয িাযরদরক একফায ঘুরয এরর
তম অফদ্ধ তগারীয় তযখা ৃরষ্ট য় োরক ফৃত্ত ফরর ।
ফৃরত্তয রযরধ ফযারয অনুাে ফবদা একই অথবাৎ একরি ধ্রুফ াংখযা , মারক π দ্বাযা রিরিে কযা য়। π একরি
অভূরদ াংখযা। এয ভান π = =3.1416(প্রায়)।
আফায π তযরড়য়ান = 180∘
রডগ্রী।
1∘
= তযরড়য়ান
ফৃরত্তয ূনব ফক্ররযখায দদঘবযরক রযরধ ফরর।
রযরধয তম তকান অাংরক ফৃরত্তয িা (S) ফরর।
ফৃরত্তয রযরধয তম তকান দুই রফন্দু তকরন্দ্রয াংরমাজক যর তযখারক ফযা(d) ফরর।
24. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
ফৃরত্তয তকন্দ্র তথরক রযরধ মবন্ত দূযত্বরক ফৃরত্তয ফযাাধব (r) ফরর।
⇛ ফৃরত্তয ফযা = 2 × ফযাাধব = 2r ∴ π =
রযরধ
ফযা
⇛ ফৃরত্তয রযরধ = π × ফযা = π × 2 r = 2 π r
r ফযাাধব রফরষ্ট তকান ফৃরত্তয তকান িা S মরদ ফৃরত্তয তকরন্দ্র θ∘
তকান উৎি করযিঃ
⇛ ফৃরত্তয 360∘
তকান জনয িারয দদঘবয = 2 π r একক
,, θ∘
,, ,, ,, ,, =
∘ ×
=
∘
একক
∴ θ∘
তকারনয জনয িারয দদঘবয S =
∘
× π একক
r ফযাারধবয তকান ফৃরত্ত S দদরঘবযয তকান িা তকরন্দ্র θ তযরডয়ান তকান ধাযন কযরর,
S = r × θ [∵ 1∘
= তযরড়য়ান ফা π এয তযরড়য়ান ভান 180∘
]
তকান ফৃরত্তয ফযাধব = r একক ,ররিঃ ো দ্বাযা ীভাফদ্ধ ফৃত্তরেরত্রয তেত্রপর =π ফগব একক
r ফযাারধবয তকান ফৃরত্ত S দদরঘবযয তকান িা তকরন্দ্র θ∘
তকান ধাযন কযরর,
∴ θ∘
তকান দ্বাযা উৎি ফৃত্তকরায তেত্রপর =
∘
∘ × π ফগব একক
25. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
তকান উফৃরত্তয ফড় ফযাধব OA= r1 তোি ফযাধব OB = r2 রর ,
উফৃরত্তয তেত্রপর = π × ফড় ফযাধব × তোি ফযাধব = π × r1 × r2 ফগব তেত্র
উফৃরত্তয রযীভা = 2 π × √ একক
26. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
এখারন দদঘবয =a , প্রস্থ =b উচ্চো = c। এবং নন দৈর্ঘনয =d ররিঃ
আয়োকায ঘনফস্তুয ভগ্রেররয তেত্রপর(Area of the Whole Surface)= েয়রি ৃরেয তেত্রপররয ভরষ্ট
⇛ ভগ্রেররয তেত্রপর = 2 (ab +bc +ca) ফগব একক
আয়োকায ঘনফস্তুয আয়েন (Volume) = দদঘবয × প্রস্থ × উচ্চো = a b c ঘন একক
আয়োকায ঘনফস্তুরিয কনব, d = √ + + একক
দদঘবয = প্রস্থ = উচ্চো = a কনব =d ররিঃ
ঘনরকয ভগ্রেররয তেত্রপর(Area of the Whole Surface)= েয়রি ৃরেয তেত্রপররয ভরষ্ট
⇛ ভগ্রেররয তেত্রপর = 6 × ফগব একক
ঘনরকয আয়েন(Volume) = দদঘবয = ঘন একক
ঘনরকয কনব, d = √3 × a একক
27. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
ভফৃত্তবু রভক (Right Circular) তকান তকাণরকয বূ রভয ফযাাধব BC = r একক , উচ্চো AB= h একক এফাং রেমবক
উচ্চো ফা তরান উিরে AC = l একক ।
∴ l =√ + [∵ ∆ এ = + ]
তকাণরকয ফক্রেররয তেত্রপর = × বূ রভয রযরধ(2πr) × তরান উিরে(l)
⇛ তকাণরকয ফক্রেররয তেত্রপর = πrl ফগব একক = πr√ + ফগব একক
তকাণরকয ভগ্র েররয (Whole Surface) তেত্রপর = ফক্রেররয তেত্রপর(π l) + বূ রভয তেত্রপর π )
⇛ তকাণরকয ভগ্রেররয তেত্রপর = π r (l +r) ফগব একক
তকাণরকয আয়েন(Volume): = × বূ রভয তেত্রপর π ) × উচ্চো (h)
⇛ তকাণরকয আয়েন = π h ঘন একক
28. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
ভফৃত্তবূ রভক(Right Circular) রররন্ডারযয বূ রভয ফযাাধব OB =r একক এফাং উচ্চো OC =h একক
তফররনয ফক্রৃরেয তেত্রপর = বূ রভয রযরধ (2πr) × উচ্চো (h)
⇛ তফররনয ফক্রৃরেয তেত্রপর = 2π h ফগব একক
তফররনয ভগ্রৃরেয তেত্রপর = ফক্রৃরেয তেত্রপর (2πrh) + দুই প্ররন্তয ফৃরন্তয তেত্রপর (2×π )
⇛ তফররনয ভগ্রৃরেয (Whole Surface) তেত্রপর = 2πr(h+r) ফগব একক
তফররনয আয়েন = বূ রভয তেত্রপর (π ) × উচ্চো(h) = π h ঘন একক
29. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
তকান তগাররকয ফযাাধব = r একক
তগাররকয ৃরেয তেত্রপর = π × ফযা 2 =4π ফগব একক
তগাররকয আয়েন = π ঘন একক
30. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
ভরকাণী রত্রবু রজয ভরকাণ রবি অনয দুইরি তকাণ রফ ূেরকান । এই তকাণ দুইরিয ভরষ্ট এক ভরকাণ [∠MOP
θ + ∠OPM 90-θ = 900 ∠PMO] । এই তকাণ দ্বয় যস্পরযয ূযক তকাণ।
ভরকাণী রত্রবু রজয ূেরকান দ্বরয়য ভরধয তম তকারনয ভান তদয়া থাকরফ োয রফযীে ফাহুরক রম্ব ধরয রাফ
কযরে রফ।
ভরকাণী রত্রবু রজয তেরত্রিঃ (আরেবূ জ) = রম্ব + (বূ রভ)
তকান রত্রবূ রজয ফাহুগুররায অনুাে (3:4:5), (5:12:13), (7:24:25) (8:15:17) রর রত্রবু জরি একরি ভরকাণী
রত্রবু জ রফ। কাযন( 5 = 4 + 3 ) উবয় রেয ভান ভান য়।
∠θ ূেরকারণয রত্ররকাণরভরেক অনুােিঃ
n =
রম্ব
অরেবূ জ
[া র অরে] ⇛ =
অরেবূ জ
রম্ব
=
বূ রভ
অরেবূ জ
[ক বূ অরে] ⇛ =
অরেবূ জ
বূ রভ
=
রম্ব
বূ রভ
[রি র বূ ] ⇛ =
বূ রভ
রম্ব
31. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
n = ⇛ =
= ⇛ =
= ⇛ =
n = ⇛ =
n n
n + = 1
⇛ n = 1 −
⇛ = 1 − n
− = 1
⇛ = 1 +
⇛ = − 1
− = 1
⇛ = 1 +
⇛ = 1 −
32. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
তকাণ ∠θ
sin 0 1
2
1
√2
√3
2
1
cos 1 √3
2
1
√2
1
2
0
tan( ) 0 1
√3
1 √3 ∞
cot( ) ∞ √3 1 1
√3
0
sec( ) 1 2
√3
√2 2 ∞
Cosec ( ) ∞ 2 √2 2
√3
1
0, 1, 2, 3, 4, াংখযা গুররায প্ররেযকরক 4 দ্বাযা বাগ করয বাগপরগুররা ফগবভূর কযরর , , , ,
তকানগুররায n এয অনুারেয ভান ায়া মায়। অথবাৎ n 0 n 30 n 45 n 60 n 90 অনুাে
গুররায ভান মথাক্ররভ াংখযা গুররায ফগবভূর 0,
√
√
1 ।
আফায sin এয অনুােগুররায ভান উল্টাক্ররভ ারজরয় ররখরর cos এয অনুােগুররায ভান ায়া মায়। sin অনুাে
ভান গুররারক cos এয অনুাে ভান দ্বাযা বাগ কযরর tan এয অনুাে ভান ায়া মায়।
−1 ≤ n ≤+1
−1 ≤ ≤+1
θ θ এয ভান ≥1 অথফা ≤ -1
nθ θ এয ভারনয তকান ীভা রনধবাযন কযা মায় না ।
33. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
⇛ sin / cos / tan {n × 90 ফা )± θ} তকারনয অনুারেয ভানিঃ
{n × 90 ফা ± θ} তকারনয রত্ররকাণরভরেক অনুােিঃ
প্রদত্ত তকাণরক এরূ দুইরি অাংর বাগ কযরে রফ মায একরি অাং ূেরকান (θ<90 ), এফাং
অয অাং 90 ফা ফা এক ভরকারণয n গুরণেক ।ধরয প্রদত্ত তকাণরক ( n × 90 ± θ ) আকারয প্রকা কযা র।
[ n (রজাড় াংখযা ) × 90 ± θ] অথবাৎ n এয ভান তজাড় াংখযা ররিঃ রত্ররকাণরভরেক অনুাে গুররায রযফেবন রফ না ।
[ n ( রফরজাড় াংখযা ) × 90 ± θ] অথবাৎ n এয ভান রফরজাড় াংখযা ররিঃ রত্ররকাণরভরেক অনুাে গুররায
রযফেবন রফ । তমভনিঃ
⇛ Sin থাকরর ো রযফরেবে রয় cos রফ , আফায ⇛ cos থাকরর sin রফ
⇛ tan থাকরর ো রযফরেবে রয় cot রফ , আফায ⇛ cot থাকরর tan রফ
⇛ sec থাকরর ো রযফরেবে রয় cosec রফ , আফায ⇛ cosec থাকরর sec রফ
রযফরেবে অনুারেয রিি রননবয়িঃ
প্রথরভ n এয এক একরকয জনয একরি িেুববাগ রাফ করয , এরি িক ফা ঘরড়য কাঁিায রফযীে রদরক গননা করয
তমরে রফ। এবারফ n এয ভান অনুারয িেুববাগ রাফ কযায য , ± θ এয ভান রাফ কযরে রফ। মরদ +θ থারক
োরর n এয প্রাপ্ত িেুববারগয যফেবী িেুববাগ রাফ কযরে রফ। মরদ − θ থারক োরর n এয প্রাপ্ত িেুববাগই রাফ
কযরে রফ। এখন n এয গণনা তথরক প্রাপ্ত িেুববাগ মরদ ,
প্রথভ িেুববাগ য় ⇒ োরর কর অনুারেয ভান ধনাত্নক রফ।
রদ্বেীয় িেুববাগ য় ⇒ োরর sin cosec অনুারেয ভান ধনাত্নক রফ। ফারক ফ অনুারেয ভান ঋনাত্নক।
েৃেীয় িেুববাগ য় ⇒ োরর tan cot অনুারেয ভান ধনাত্নক রফ। ফারক ফ অনুারেয ভান ঋনাত্নক।
রদ্বেীয় িেুববাগ য় ⇒ োরর cos sec অনুারেয ভান ধনাত্নক রফ। ফারক ফ অনুারেয ভান ঋনাত্নক।
এখন প্রাপ্ত তকারনয ভান মরদ ঋনাত্নক য় োরর রনরিয রনয়ভ আনুারয রযফরেবে রফিঃ
− = − n − = − = − n
− = − − = − = −
34. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
35. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
36. Want more Updates http://facebook.com/tanbir.ebooks
facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
ইিাযরনি রে াংগ্রীে
http://techtunes.com.bd/tuner/tanbir_cox
http://tunerpage.com/archives/author/tanbir_cox
http://somewhereinblog.net/tanbircox
http://pchelplinebd.com/archives/author/tanbir_cox
http://prothom-aloblog.com/blog/tanbir_cox
http://facebook.com/tanbir.cox
http://facebook.com/tanbir.ebooks
http://tanbircox.blogspot.com