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PRML読み会第一章
- 2. 目次 • PRMLの概要 • 第一章の概要 • 第一章 – 多項式曲線フィッティング(回帰) – 確率論 – モデル選択 – 次元の呪い – 決定理論 – 情報理論 2
- 3. PRML概要 • 少し古いが主要な手法が載っている – 確率分布、線形回帰、線形識別、NN、カーネル法、 SVM、グラフィカルモデル、EMアルゴリズム、変分 ベイズ法、モンテカルロ法、次元削減、隠れマルコ フモデル、アンサンブル • 色々な所で読まれているのでWEBに情報たくさ ん • 「ベイズ理論による統計的予測」とあるが最尤 法も載っている • ちょっと高い(上下合わせて1.5万) 3
- 5. 機械学習の考え方(手書き文字認識) 5 • 28x28ピクセルの画像データは784次元の実数値ベクト ルxとして合わせる • N個の訓練集合({x1,x2,…,xN},{t1,t2,…tN})からモデルのパ ラメータを自動的に調整する – ここでxは画像データ、tは一つ一つの数字に対応する目標ベク トル • 機械学習によって関数y(x)が得られる – 画像xを入力すると目標ベクトルと符号化方法の等しいベクトル yが出力される – 具体的な関数y(x)の形をデータから決めてく過程を訓練、または 学習という
- 7. 機械学習の考え方 • 応用ではほとんどの場合、前処理・特徴抽出が 行われる – 文字認識なら回転・拡大縮小・並行移動・二値化し て固定した枠に収まるようにし、文字を書いた状 況・人による多様性を減らす – 性能を上げるためだけでなく、高速化のために行わ れることもある – ちなみにDeepLearnigは特徴抽出の自動化を行って いる(と解釈してます) 7
- 8. 機械学習の考え方 • 訓練データが入力ベクトルとそれに対応する目 標ベクトルで構成される問題(関数を獲得する) は教師あり学習という • 数字認識のような離散カテゴリに当てはめるクラス分類 • 連続変数を予測する回帰 • 訓練データが入力ベクトルのみで目標値が存在 しない問題を教師なし学習という • 類似したグループに分類するクラスタリング • 入力データの分布を求める密度推定 • 強化学習は省略(ABテスト周りの話はこの辺) 8
- 10. 多項式曲線フィッティング • N個の入力値を𝑋 𝑁 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑁) 𝑇 とする • 対応するN個目標値を𝑇 𝑁 = (𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡 𝑁 ) 𝑇とする • 訓練集合 𝑋 𝑁, 𝑇 𝑁 を利用して新たな入力値 𝑥の目標 変数 𝑡を予測することが目標 手法はいろいろあるが、ここでは以下のような多項式 で予測することを考える 𝑦 𝑥, 𝒘 = 𝑤0 + 𝑤1 𝑥 + 𝑤2 𝑥2 + ⋯ + 𝑤 𝑀 𝑥 𝑀 = 𝑖=0 𝑀 𝑤𝑖 𝑥 𝑖 10
- 11. 多項式曲線フィッティング • 𝑦 𝑥, 𝒘 は𝑥に対しては非線形関数 • パラメータ𝒘に対しては線形 • パラメータに対して線形なモデルを線形モデルという • 𝑀をモデルのパラメータということがある • パラメータを任意に固定した時の関数𝑦 𝑥, 𝒘 の値と訓練集 合の値のずれを誤差関数で測り、誤差を最少にするように パラメータを選ぶことで関数を推定する。 11 𝑦 𝑥, 𝒘 = 𝑤0 + 𝑤1 𝑥 + 𝑤2 𝑥2 + ⋯ + 𝑤 𝑀 𝑥 𝑀 = 𝑖=0 𝑀 𝑤𝑖 𝑥 𝑖
- 12. 多項式曲線フィッティング • 単純で広く利用されている誤差関数は二乗和誤 差関数 𝐸 𝒘 = 1 2 𝑖=0 𝑁 𝑦(𝑥𝑖, 𝒘) − 𝑡𝑖 2 • 二乗和誤差関数はパラメータの二次関数なので ただ一つの最小値をもち、解𝒘∗は簡単に求まる • 結果として得られる関数は𝑦(𝑥, 𝒘∗ )となる • あとはモデルパラメータを選ぶ課題が残ってい るがこれはモデル比較(選択)という課題でパラ メータの学習とは分けて考えられる 12
- 13. 13
- 14. 14
- 15. 多項式曲線フィッティング • モデル間の性能の差を計るために新たにデータ を用意して次の誤差関数を用いる 𝐸 𝑅𝑀𝑆 𝒘∗ = 2𝐸(𝒘∗) 𝑁 15
- 16. 多項式曲線フィッティング • モデルパラメータを固定(𝑀 = 9)して、データ数 を変える 16
- 17. 多項式曲線フィッティング • 複雑なモデルではデータ数が少ないと過学習が 起こりやすい • データ数が少ない状況でも過学習を抑えるテク ニックとして正則化がある 17 𝐸 𝒘 = 1 2 𝑖=0 𝑁 𝑦 𝑥𝑖, 𝒘 − 𝑡𝑖 2 + 𝜆 2 𝒘 2 正則化項
- 19. 多項式曲線フィッティング 19
- 20. 確率論 20 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 𝑃 𝑋, 𝑌 𝑃(𝑋|𝑌) 𝑃 𝑋 = 𝑌 𝑃(𝑋, 𝑌) 𝑃 𝑋, 𝑌 = 𝑃 𝑋 𝑌 𝑃 𝑌 = 𝑃 𝑌 𝑋 𝑃 𝑋 P Y X = 𝑃 𝑋 𝑌 𝑃(𝑌) 𝑃(𝑥) 確率変数𝑋が𝑥𝑖となる確率。以降では𝑥𝑖を省略する 確率変数𝑋, 𝑌の同時確率 乗法定理 条件付き確率 周辺化(加法定理) ベイズの定理 𝑃 𝑋, 𝑌 = 𝑃 𝑋 𝑃(𝑌) 確率変数𝑋, 𝑌が独立
- 21. 確率論 実数上では確率密度関数をつかって考える 21 𝑝 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 実数上の変数𝑥が(𝑎, 𝑏)に入る確率 𝑝 𝑥 = 𝑝 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 加法定理 𝑝 𝑥, 𝑦 = 𝑝 𝑥 𝑦 𝑝(𝑦) 乗法定理
- 22. 期待値と分散 22 𝐸 𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝐸 𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓 𝑥 𝑝 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝐸 𝑓 𝑥 |𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑝 𝑥|𝑦 𝑑𝑥 𝑣𝑎𝑟 𝑓 = 𝐸 𝑓 𝑥 − 𝐸 𝑓 𝑥 2 = 𝐸[𝑓 𝑥 2] − 𝐸[𝑓(𝑥)]2 𝑐𝑜𝑣 𝑥, 𝑦 = 𝐸 𝑥,𝑦 (𝑥 − 𝐸 𝑥 )(𝑦 − 𝐸 𝑦 ) = 𝐸 𝑥,𝑦 x, y − E x E[y]
- 23. ベイズ確率 ベイズの定理を機械学習に当てはめると 23 𝑝 𝑤 𝑋 = 𝑝 𝑋 𝑤 𝑝(𝑤) 𝑝(𝑋) 𝑝 𝑤 𝑋 ∝ 𝑝 𝑋 𝑤 𝑝(𝑤) パラメータの事後確率 モデル パラメータの事前分布 規格化定数 パラメータ推定だけこっちでもいい場合も多い。 (というか規格化定数は計算するのが難しい)
- 24. 最尤推定 24 • 𝑝 𝑋 𝑤 (尤度)を最大にするパラメータ推定法を 最尤推定法という • 気持ち的にはデータを生成する確率を最大にする パラメータが良いパラメータだろう、という考え方 でも • そもそも𝑝 𝑋 𝑤 って厳密に言えば確率じゃない • 単純に最大化すると過学習しがち • 実用的なモデルを使おうとすると、モデル選択が 難しい(厳密に言えばできない)場合が多い いろいろな問題がありつつも、計算量と精度の バランスを考えると採用されることも多い
- 25. 正規分布での最尤推定 • 正規分布 • いろいろな所で現れる、基本の確率分布 • 誤差(ノイズ)は正規分布に従うと考えることが 多い • 平均は𝜇、分散は𝜎2 25 𝑁 𝑥 𝜇, 𝜎2 = 1 2𝜋𝜎2 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥 − 𝜇 2 2𝜎2
- 26. 正規分布での最尤推定 • 同一の正規分布から独立にデータがN個生成さ れたとする(i.i.d.) • 尤度は • 尤度を最大化するにあたって↑では扱いにくい ので対数を取る場合が多い(尤度関数) 26 𝑃 𝑋 𝜇, 𝜎 = 𝑖=1 𝑁 𝑁(𝑥𝑖|𝜇, 𝜎) 𝐿 𝑋 = log 𝑋 𝜇, 𝜎 = 𝑖=0 𝑁 − 1 2 log 2𝜋𝜎2 − (𝑥𝑖 − 𝜇)2 2𝜎2
- 27. 正規分布での最尤推定 尤度関数を𝜇で微分して0とおくと 27 0 = 𝑑𝐿 𝑑𝜇 = 𝑖=0 𝑁 − 𝑥𝑖 − 𝜇 𝜎2 𝑛𝜇 = 𝑥𝑖 𝜇 𝑀𝐿 = 1 𝑛 𝑥𝑖
- 28. 正規分布での最尤推定 尤度関数をσで微分して0とおくと 28 0 = 𝑑𝐿 𝑑𝜎 = − 1 2 4𝜋𝜎 2𝜋𝜎2 − 1 2 × −2 𝜎3 (𝑥𝑖 − 𝜇)2 0 = 1 𝜎 + (𝑥𝑖 − 𝜇)2 𝜎3 𝜎 𝑀𝐿 2 = 1 𝑛 (𝑥𝑖 − 𝜇 𝑀𝐿)2
- 29. 正規分布での最尤推定 最尤推定で求めたパラメータの期待値は であるので、バイアスのある推定量であることが 分かる 29 𝐸 𝜇 𝑀𝐿 = 𝜇 𝐸 𝜎 𝑀𝐿 2 = 𝑁 − 1 𝑁 𝜎2
- 30. 多項式曲線フィッティング 最尤法を用いて再度曲線フィッティングを行ってみる。基 本的な設定は同一。 ノイズが正規分布から発生していると思うと、モデルは以 下のように書くことができる 30 𝑝 𝑡 𝑥, 𝑤, 𝛽 = 𝑁(𝑡|𝜇 = 𝑦 𝑥, 𝑤 , 𝜎2 = 𝛽−1)
- 31. 多項式曲線フィッティング 尤度は𝑃 𝑋 𝑤, 𝜇 = 𝑁(𝑡|𝑦 𝑥𝑖, 𝑤 , 𝛽−1)であるので尤度関数 は 尤度関数を𝑤に関して最大化する時、最後の二項は関係な く、初項の𝛽も影響を与えないので の最大化と等しい。よって、二乗和誤差関数の最小化と同 じ問題を解いていることになる。 31 𝐿 𝑋 = − 𝛽 2 𝑡𝑖 − 𝑦 𝑥𝑖, 𝑤 2 + 𝑁 2 𝑙𝑜𝑔𝛽 − 𝑁 2 𝑙𝑜𝑔2𝜋 𝐸′[𝑋] = − 1 2 𝑡𝑖 − 𝑦 𝑥𝑖, 𝑤 2
- 32. 多項式曲線フィッティング パラメータ𝑤の事前分布を導入する すると事後分布は尤度と事前分布の積に比例する 32 𝑝 𝑤 = 𝑖=1 𝑀 𝑁(𝑤𝑖|0, 𝛼−1) 𝑝(𝑤|𝑋) ∝ 𝑁(𝑡|𝑦 𝑥𝑖, 𝑤 , 𝛽−1 ) 𝑖=1 𝑀 𝑁(𝑤𝑖|0, 𝛼−1 )
- 33. 多項式曲線フィッティング 事後確率を最大にするパラメータ推定法を最大事後確率 (MAP)推定という。尤度と同様に対数を取り、関係のない 項を取り除くと を得る。これは正則化項をつけた二乗和誤差関数に対応し ている。 33 𝐸′′ [𝑋] = − 1 2 𝑡𝑖 − 𝑦 𝑥𝑖, 𝑤 2 − 𝛼 2 𝑤𝑖 2
- 34. モデル選択 • 新たなデータに対する性能(汎化性能)を上げた い • 複雑なモデルを選べば訓練集合に対する誤差は いくらでも0に近づけるが、汎化性能が上がると は限らない • どうにかして新たなデータに対する誤差を推定 して、適切なモデルを選びたい 34
- 35. 交差確認(クロスバリデーション) • 訓練データをS等分し、(S-1)/Sのデータで訓練 して1/Sで誤差を測定、をS回繰り返して平均す ることで汎化性能を計る手法 • 極端な場合はSをデータ数として実行する • データ数が大きくなれば汎化誤差に収束する • 訓練時間はS倍に増える 35 テスト 1回目 テスト 2回目 テスト 3回目 テスト 4回目 与えられたデータ
- 36. 情報量規準 • クロスバリデーションでは時間がかかるのであ る種の仮定を置いて、汎化誤差を簡単に推定す る • 赤池情報量規準 𝐴𝐼𝐶 = − log 𝑝 𝑋 𝑤 𝑀𝐿 + 𝑀 • ベイズ情報量規準 𝐵𝐼𝐶 = −2 log 𝑝 𝑋 𝑤 𝑀𝐿 + 𝑀 log 𝑛 36
- 37. 決定理論 • 入力𝑥に対応する目標変数𝑡の同時分布𝑝(𝑥, 𝑡)は 事後分布などの各分布が得られるので、これら の変数に関する不確実性を説明している • 同時分布𝑝(𝑥, 𝑡)をデータから決めるのを推論と いう(一般に難しい) • 実際の応用では目標変数を予測したり、目標変 数が取る値に応じて特定の行動をとることが多 い • 同時分布を用いて、ある基準のもとで最適な行 動を決定したい 37
- 38. 設定 • X線画像𝑥が与えられたとき、癌である(𝐶1)か癌 でない(𝐶2)かを決定したい • 直観的には事後確率 𝑃 𝐶 𝑘 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝐶 𝑘 𝑃(𝐶 𝑘) 𝑃(𝑥) が高くなるように判定すれば良い • 同時分布の推論は可能と仮定する 38
- 39. 誤識別率の最小化 • 誤識別を少なくすることを考える • 決定のためには𝑥を何れかのクラスに割り振る規 則が必要である • そのような規則は入力空間を決定領域𝑅 𝑘に分割 する • 誤りはクラス𝐶1(2)に属する入力をクラス𝐶2(1)に 割り当てることで起こる 𝑃 誤り = 𝑅1 𝑝 𝑥, 𝐶2 𝑑𝑥 + 𝑅2 𝑝 𝑥, 𝐶1 𝑑𝑥 39
- 40. 期待損失の最小化 • 多くの応用では単に誤識別の数を減らすよりも 目的が複雑になる • 癌の判定で言えば – 癌でないのに癌と判定する – 癌なのに癌でないと判定する を比べると明らかに前者を増やしてでも後者の 誤りを減らすべき • このような問題は損失関数を導入することで定 式化できる 40
- 41. 期待損失の最小化 • 入力に対して真のクラスが𝐶 𝑘でクラス𝐶𝑗を割り 当てたとする • 損失の値を𝐿 𝑘𝑗で表し、行列表示する • 損失を最少にしようと思っても真のクラスに依 存するので計算できないが、期待値を取ること はできる 𝐸 𝐿 = 𝑘 𝑗 𝑅 𝑗 𝐿 𝑘𝑗 𝑝 𝑥, 𝐶 𝑘 𝑑𝑥 41
- 42. 棄却オプション • 決定境界付近では誤識別が起こりやすい • 場合によってはこのような時には決定をさける 方が良い場合もある • 癌判定の例で言えば、自明な場合は機械で判断 して微妙な場合は人間にゆだねるような仕組み • 閾値を適当に設定し、下回った場合に決定を避 けるようにする 42
- 43. 決定と推論 • まずモデル𝑝(𝑥|𝐶 𝑘)と事前確率を推論し、事後確 率を求めて決定を行うアプローチを生成モデル という • 事後確率を直接モデル化して推論し、決定を行 うアプローチを識別モデルという • 推論から決定までのプロセスをまるごとモデル 化して入力から決定を行う関数を識別関数とい う 43
- 44. 回帰のための損失関数 • 真の値𝑡の推定値𝑦(𝑥)の損失は𝐿(𝑡, 𝑦 𝑥 )であると すると期待損失は 𝐸 𝐿 = 𝐿 𝑡, 𝑦 𝑥 𝑝 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑡 となる • 回帰で良く使われるのは二乗誤差 𝐿 𝑡, 𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑥 − 𝑡 2 44
- 45. 情報理論 • 明示的に使うことはあまりないが、手法の構築 や誤差の評価など機械学習の基礎をなす • 情報量 • エントロピー • KLダイバージェンス 45
- 46. 情報量とエントロピー • ある情報の「量」を定量的に扱いたい • 情報を確率変数の実現値とすると – 確率が低い事象が起こったとき程、情報は多い – 互いに独立な確率変数の情報量は単独な場合の和 𝐼 𝑋 = 𝑋1 = log 1 𝑝(𝑋 = 𝑋1) = − log 𝑝(𝑋 = 𝑋1) • 情報量の平均をエントロピーという 𝐻 𝑋 = 𝑋 𝑖 𝑝(𝑋𝑖)𝐼 𝑋𝑖 46
- 47. KLダイバージェンス • 分布間の距離として解釈できる(ただし、距離の 定義は満たさない) 𝐾𝐿[𝑝| 𝑞 = − 𝑝 𝑥 log 𝑞 𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 • 対象ではないが常に0以上であり、0の時はpとq が等しい時のみ • 最尤法はKLダイバージェンスの最小化として解 釈できる 47
Hinweis der Redaktion
- M=0の時は定数関数、M=1の時は線形関数となる Sin関数がテイラー展開できることを考えるとM=3でなんとなくうまくいく気がする M=9の時はむちゃくちゃに発振しているが、誤差は0になっている(すべてのデータ点を通っている)