Suche senden
Hochladen
プログラマのための線形代数再入門
•
317 gefällt mir
•
53,995 views
Taketo Sano
Folgen
2015/1/30 「プログラマのための数学勉強会」にて発表。 動画: https://www.youtube.com/watch?v=hyzotMaTtPg
Weniger lesen
Mehr lesen
Wissenschaft
Melden
Teilen
Melden
Teilen
1 von 81
Jetzt herunterladen
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Empfohlen
「内積が見えると統計学も見える」第5回 プログラマのための数学勉強会 発表資料
「内積が見えると統計学も見える」第5回 プログラマのための数学勉強会 発表資料
Ken'ichi Matsui
ゼロから始める深層強化学習(NLP2018講演資料)/ Introduction of Deep Reinforcement Learning
ゼロから始める深層強化学習(NLP2018講演資料)/ Introduction of Deep Reinforcement Learning
Preferred Networks
数学カフェ 確率・統計・機械学習回 「速習 確率・統計」
数学カフェ 確率・統計・機械学習回 「速習 確率・統計」
Ken'ichi Matsui
【メタサーベイ】基盤モデル / Foundation Models
【メタサーベイ】基盤モデル / Foundation Models
cvpaper. challenge
プログラマのための線形代数再入門2 〜 要件定義から学ぶ行列式と逆行列
プログラマのための線形代数再入門2 〜 要件定義から学ぶ行列式と逆行列
Taketo Sano
暗号技術の実装と数学
暗号技術の実装と数学
MITSUNARI Shigeo
Swin Transformer (ICCV'21 Best Paper) を完璧に理解する資料
Swin Transformer (ICCV'21 Best Paper) を完璧に理解する資料
Yusuke Uchida
「世界モデル」と関連研究について
「世界モデル」と関連研究について
Masahiro Suzuki
Empfohlen
「内積が見えると統計学も見える」第5回 プログラマのための数学勉強会 発表資料
「内積が見えると統計学も見える」第5回 プログラマのための数学勉強会 発表資料
Ken'ichi Matsui
ゼロから始める深層強化学習(NLP2018講演資料)/ Introduction of Deep Reinforcement Learning
ゼロから始める深層強化学習(NLP2018講演資料)/ Introduction of Deep Reinforcement Learning
Preferred Networks
数学カフェ 確率・統計・機械学習回 「速習 確率・統計」
数学カフェ 確率・統計・機械学習回 「速習 確率・統計」
Ken'ichi Matsui
【メタサーベイ】基盤モデル / Foundation Models
【メタサーベイ】基盤モデル / Foundation Models
cvpaper. challenge
プログラマのための線形代数再入門2 〜 要件定義から学ぶ行列式と逆行列
プログラマのための線形代数再入門2 〜 要件定義から学ぶ行列式と逆行列
Taketo Sano
暗号技術の実装と数学
暗号技術の実装と数学
MITSUNARI Shigeo
Swin Transformer (ICCV'21 Best Paper) を完璧に理解する資料
Swin Transformer (ICCV'21 Best Paper) を完璧に理解する資料
Yusuke Uchida
「世界モデル」と関連研究について
「世界モデル」と関連研究について
Masahiro Suzuki
Layer Normalization@NIPS+読み会・関西
Layer Normalization@NIPS+読み会・関西
Keigo Nishida
[DL輪読会]Learning Transferable Visual Models From Natural Language Supervision
[DL輪読会]Learning Transferable Visual Models From Natural Language Supervision
Deep Learning JP
SSII2020SS: グラフデータでも深層学習 〜 Graph Neural Networks 入門 〜
SSII2020SS: グラフデータでも深層学習 〜 Graph Neural Networks 入門 〜
SSII
[DL輪読会]Revisiting Deep Learning Models for Tabular Data (NeurIPS 2021) 表形式デー...
[DL輪読会]Revisiting Deep Learning Models for Tabular Data (NeurIPS 2021) 表形式デー...
Deep Learning JP
TensorFlow計算グラフ最適化処理
TensorFlow計算グラフ最適化処理
Atsushi Nukariya
マルチモーダル深層学習の研究動向
マルチモーダル深層学習の研究動向
Koichiro Mori
【DL輪読会】SimCSE: Simple Contrastive Learning of Sentence Embeddings (EMNLP 2021)
【DL輪読会】SimCSE: Simple Contrastive Learning of Sentence Embeddings (EMNLP 2021)
Deep Learning JP
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
Eiji Uchibe
Pythonの理解を試みる 〜バイトコードインタプリタを作成する〜
Pythonの理解を試みる 〜バイトコードインタプリタを作成する〜
Preferred Networks
基底変換、固有値・固有ベクトル、そしてその先
基底変換、固有値・固有ベクトル、そしてその先
Taketo Sano
深層生成モデルと世界モデル(2020/11/20版)
深層生成モデルと世界モデル(2020/11/20版)
Masahiro Suzuki
BERT入門
BERT入門
Ken'ichi Matsui
最適化計算の概要まとめ
最適化計算の概要まとめ
Yuichiro MInato
全力解説!Transformer
全力解説!Transformer
Arithmer Inc.
機械学習モデルの判断根拠の説明(Ver.2)
機械学習モデルの判断根拠の説明(Ver.2)
Satoshi Hara
最適化超入門
最適化超入門
Takami Sato
数式からみるWord2Vec
数式からみるWord2Vec
Okamoto Laboratory, The University of Electro-Communications
[DL輪読会]Grokking: Generalization Beyond Overfitting on Small Algorithmic Datasets
[DL輪読会]Grokking: Generalization Beyond Overfitting on Small Algorithmic Datasets
Deep Learning JP
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
ohken
[DL輪読会] マルチエージェント強化学習と心の理論
[DL輪読会] マルチエージェント強化学習と心の理論
Deep Learning JP
ゲーム開発におけるバックトラック法
ゲーム開発におけるバックトラック法
大介 束田
「明日話したくなる「素数」のお話」第1回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg
「明日話したくなる「素数」のお話」第1回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg
Junpei Tsuji
Weitere ähnliche Inhalte
Was ist angesagt?
Layer Normalization@NIPS+読み会・関西
Layer Normalization@NIPS+読み会・関西
Keigo Nishida
[DL輪読会]Learning Transferable Visual Models From Natural Language Supervision
[DL輪読会]Learning Transferable Visual Models From Natural Language Supervision
Deep Learning JP
SSII2020SS: グラフデータでも深層学習 〜 Graph Neural Networks 入門 〜
SSII2020SS: グラフデータでも深層学習 〜 Graph Neural Networks 入門 〜
SSII
[DL輪読会]Revisiting Deep Learning Models for Tabular Data (NeurIPS 2021) 表形式デー...
[DL輪読会]Revisiting Deep Learning Models for Tabular Data (NeurIPS 2021) 表形式デー...
Deep Learning JP
TensorFlow計算グラフ最適化処理
TensorFlow計算グラフ最適化処理
Atsushi Nukariya
マルチモーダル深層学習の研究動向
マルチモーダル深層学習の研究動向
Koichiro Mori
【DL輪読会】SimCSE: Simple Contrastive Learning of Sentence Embeddings (EMNLP 2021)
【DL輪読会】SimCSE: Simple Contrastive Learning of Sentence Embeddings (EMNLP 2021)
Deep Learning JP
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
Eiji Uchibe
Pythonの理解を試みる 〜バイトコードインタプリタを作成する〜
Pythonの理解を試みる 〜バイトコードインタプリタを作成する〜
Preferred Networks
基底変換、固有値・固有ベクトル、そしてその先
基底変換、固有値・固有ベクトル、そしてその先
Taketo Sano
深層生成モデルと世界モデル(2020/11/20版)
深層生成モデルと世界モデル(2020/11/20版)
Masahiro Suzuki
BERT入門
BERT入門
Ken'ichi Matsui
最適化計算の概要まとめ
最適化計算の概要まとめ
Yuichiro MInato
全力解説!Transformer
全力解説!Transformer
Arithmer Inc.
機械学習モデルの判断根拠の説明(Ver.2)
機械学習モデルの判断根拠の説明(Ver.2)
Satoshi Hara
最適化超入門
最適化超入門
Takami Sato
数式からみるWord2Vec
数式からみるWord2Vec
Okamoto Laboratory, The University of Electro-Communications
[DL輪読会]Grokking: Generalization Beyond Overfitting on Small Algorithmic Datasets
[DL輪読会]Grokking: Generalization Beyond Overfitting on Small Algorithmic Datasets
Deep Learning JP
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
ohken
[DL輪読会] マルチエージェント強化学習と心の理論
[DL輪読会] マルチエージェント強化学習と心の理論
Deep Learning JP
Was ist angesagt?
(20)
Layer Normalization@NIPS+読み会・関西
Layer Normalization@NIPS+読み会・関西
[DL輪読会]Learning Transferable Visual Models From Natural Language Supervision
[DL輪読会]Learning Transferable Visual Models From Natural Language Supervision
SSII2020SS: グラフデータでも深層学習 〜 Graph Neural Networks 入門 〜
SSII2020SS: グラフデータでも深層学習 〜 Graph Neural Networks 入門 〜
[DL輪読会]Revisiting Deep Learning Models for Tabular Data (NeurIPS 2021) 表形式デー...
[DL輪読会]Revisiting Deep Learning Models for Tabular Data (NeurIPS 2021) 表形式デー...
TensorFlow計算グラフ最適化処理
TensorFlow計算グラフ最適化処理
マルチモーダル深層学習の研究動向
マルチモーダル深層学習の研究動向
【DL輪読会】SimCSE: Simple Contrastive Learning of Sentence Embeddings (EMNLP 2021)
【DL輪読会】SimCSE: Simple Contrastive Learning of Sentence Embeddings (EMNLP 2021)
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
Pythonの理解を試みる 〜バイトコードインタプリタを作成する〜
Pythonの理解を試みる 〜バイトコードインタプリタを作成する〜
基底変換、固有値・固有ベクトル、そしてその先
基底変換、固有値・固有ベクトル、そしてその先
深層生成モデルと世界モデル(2020/11/20版)
深層生成モデルと世界モデル(2020/11/20版)
BERT入門
BERT入門
最適化計算の概要まとめ
最適化計算の概要まとめ
全力解説!Transformer
全力解説!Transformer
機械学習モデルの判断根拠の説明(Ver.2)
機械学習モデルの判断根拠の説明(Ver.2)
最適化超入門
最適化超入門
数式からみるWord2Vec
数式からみるWord2Vec
[DL輪読会]Grokking: Generalization Beyond Overfitting on Small Algorithmic Datasets
[DL輪読会]Grokking: Generalization Beyond Overfitting on Small Algorithmic Datasets
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
[DL輪読会] マルチエージェント強化学習と心の理論
[DL輪読会] マルチエージェント強化学習と心の理論
Andere mochten auch
ゲーム開発におけるバックトラック法
ゲーム開発におけるバックトラック法
大介 束田
「明日話したくなる「素数」のお話」第1回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg
「明日話したくなる「素数」のお話」第1回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg
Junpei Tsuji
偶然にも500万個のSSH公開鍵を手に入れた俺たちは
偶然にも500万個のSSH公開鍵を手に入れた俺たちは
Yoshio Hanawa
技術選択とアーキテクトの役割
技術選択とアーキテクトの役割
Toru Yamaguchi
プログラム組んだら負け!実はHTML/CSSだけでできること2015夏
プログラム組んだら負け!実はHTML/CSSだけでできること2015夏
Yusuke Hirao
運用に自動化を求めるのは間違っているだろうか
運用に自動化を求めるのは間違っているだろうか
Masahito Zembutsu
実践イカパケット解析
実践イカパケット解析
Yuki Mizuno
MySQLテーブル設計入門
MySQLテーブル設計入門
yoku0825
ウェブパフォーマンスの基礎とこれから
ウェブパフォーマンスの基礎とこれから
Hiroshi Kawada
AutoEncoderで特徴抽出
AutoEncoderで特徴抽出
Kai Sasaki
オンラインゲームの仕組みと工夫
オンラインゲームの仕組みと工夫
Yuta Imai
Webアプリケーション負荷試験実践入門
Webアプリケーション負荷試験実践入門
樽八 仲川
ちゃんとした C# プログラムを書けるようになる実践的な方法~ Visual Studio を使った 高品質・低コスト・保守性の高い開発
ちゃんとした C# プログラムを書けるようになる実践的な方法~ Visual Studio を使った 高品質・低コスト・保守性の高い開発
慎一 古賀
「スプラトゥーン」リアルタイム画像解析ツール 「IkaLog」の裏側
「スプラトゥーン」リアルタイム画像解析ツール 「IkaLog」の裏側
Takeshi HASEGAWA
SQLアンチパターン 幻の第26章「とりあえず削除フラグ」
SQLアンチパターン 幻の第26章「とりあえず削除フラグ」
Takuto Wada
人は一ヶ月でエンジニアになれるのか - 詳細解説
人は一ヶ月でエンジニアになれるのか - 詳細解説
Livesense Inc.
中の下のエンジニアを脱出するための仕事術
中の下のエンジニアを脱出するための仕事術
Noriaki Kadota
SSL/TLSの基礎と最新動向
SSL/TLSの基礎と最新動向
shigeki_ohtsu
MySQL 5.7の罠があなたを狙っている
MySQL 5.7の罠があなたを狙っている
yoku0825
フーリエ変換と画像圧縮の仕組み
フーリエ変換と画像圧縮の仕組み
yuichi takeda
Andere mochten auch
(20)
ゲーム開発におけるバックトラック法
ゲーム開発におけるバックトラック法
「明日話したくなる「素数」のお話」第1回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg
「明日話したくなる「素数」のお話」第1回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg
偶然にも500万個のSSH公開鍵を手に入れた俺たちは
偶然にも500万個のSSH公開鍵を手に入れた俺たちは
技術選択とアーキテクトの役割
技術選択とアーキテクトの役割
プログラム組んだら負け!実はHTML/CSSだけでできること2015夏
プログラム組んだら負け!実はHTML/CSSだけでできること2015夏
運用に自動化を求めるのは間違っているだろうか
運用に自動化を求めるのは間違っているだろうか
実践イカパケット解析
実践イカパケット解析
MySQLテーブル設計入門
MySQLテーブル設計入門
ウェブパフォーマンスの基礎とこれから
ウェブパフォーマンスの基礎とこれから
AutoEncoderで特徴抽出
AutoEncoderで特徴抽出
オンラインゲームの仕組みと工夫
オンラインゲームの仕組みと工夫
Webアプリケーション負荷試験実践入門
Webアプリケーション負荷試験実践入門
ちゃんとした C# プログラムを書けるようになる実践的な方法~ Visual Studio を使った 高品質・低コスト・保守性の高い開発
ちゃんとした C# プログラムを書けるようになる実践的な方法~ Visual Studio を使った 高品質・低コスト・保守性の高い開発
「スプラトゥーン」リアルタイム画像解析ツール 「IkaLog」の裏側
「スプラトゥーン」リアルタイム画像解析ツール 「IkaLog」の裏側
SQLアンチパターン 幻の第26章「とりあえず削除フラグ」
SQLアンチパターン 幻の第26章「とりあえず削除フラグ」
人は一ヶ月でエンジニアになれるのか - 詳細解説
人は一ヶ月でエンジニアになれるのか - 詳細解説
中の下のエンジニアを脱出するための仕事術
中の下のエンジニアを脱出するための仕事術
SSL/TLSの基礎と最新動向
SSL/TLSの基礎と最新動向
MySQL 5.7の罠があなたを狙っている
MySQL 5.7の罠があなたを狙っている
フーリエ変換と画像圧縮の仕組み
フーリエ変換と画像圧縮の仕組み
Mehr von Taketo Sano
Divisibility of Lee’s class and its relation with Rasmussen’s invariant / 201...
Divisibility of Lee’s class and its relation with Rasmussen’s invariant / 201...
Taketo Sano
トポロジーと圏論の夜明け
トポロジーと圏論の夜明け
Taketo Sano
Swift で数学研究のススメ
Swift で数学研究のススメ
Taketo Sano
(意欲的な中高生のための)トポロジー・圏論・コンピュータ
(意欲的な中高生のための)トポロジー・圏論・コンピュータ
Taketo Sano
特性類の気持ち
特性類の気持ち
Taketo Sano
Swift で数学のススメ 〜 プログラミングと数学は同時に学べ
Swift で数学のススメ 〜 プログラミングと数学は同時に学べ
Taketo Sano
山手線は丸いのか?プログラマのためのトポロジー入門
山手線は丸いのか?プログラマのためのトポロジー入門
Taketo Sano
何もないところから数を作る
何もないところから数を作る
Taketo Sano
「数える」とは何か? 〜 「とは何か?」を問う、AI時代の数学
「数える」とは何か? 〜 「とは何か?」を問う、AI時代の数学
Taketo Sano
情報幾何学 #2.4
情報幾何学 #2.4
Taketo Sano
情報幾何学 #2 #infogeo16
情報幾何学 #2 #infogeo16
Taketo Sano
objc2swift 〜 Objective-C から Swift への「コード&パラダイム」シフト
objc2swift 〜 Objective-C から Swift への「コード&パラダイム」シフト
Taketo Sano
何もないところから数を作る
何もないところから数を作る
Taketo Sano
objc2swift (続・自動変換の野望)
objc2swift (続・自動変換の野望)
Taketo Sano
さらに上を目指すための iOS アプリ設計
さらに上を目指すための iOS アプリ設計
Taketo Sano
objc2swift (自動変換の野望)
objc2swift (自動変換の野望)
Taketo Sano
2015 02-18 xxx-literalconvertible
2015 02-18 xxx-literalconvertible
Taketo Sano
let UIWebView as WKWebView
let UIWebView as WKWebView
Taketo Sano
コードを書けば複素数がわかる
コードを書けば複素数がわかる
Taketo Sano
虚数は作れる!Swift で学ぶ複素数
虚数は作れる!Swift で学ぶ複素数
Taketo Sano
Mehr von Taketo Sano
(20)
Divisibility of Lee’s class and its relation with Rasmussen’s invariant / 201...
Divisibility of Lee’s class and its relation with Rasmussen’s invariant / 201...
トポロジーと圏論の夜明け
トポロジーと圏論の夜明け
Swift で数学研究のススメ
Swift で数学研究のススメ
(意欲的な中高生のための)トポロジー・圏論・コンピュータ
(意欲的な中高生のための)トポロジー・圏論・コンピュータ
特性類の気持ち
特性類の気持ち
Swift で数学のススメ 〜 プログラミングと数学は同時に学べ
Swift で数学のススメ 〜 プログラミングと数学は同時に学べ
山手線は丸いのか?プログラマのためのトポロジー入門
山手線は丸いのか?プログラマのためのトポロジー入門
何もないところから数を作る
何もないところから数を作る
「数える」とは何か? 〜 「とは何か?」を問う、AI時代の数学
「数える」とは何か? 〜 「とは何か?」を問う、AI時代の数学
情報幾何学 #2.4
情報幾何学 #2.4
情報幾何学 #2 #infogeo16
情報幾何学 #2 #infogeo16
objc2swift 〜 Objective-C から Swift への「コード&パラダイム」シフト
objc2swift 〜 Objective-C から Swift への「コード&パラダイム」シフト
何もないところから数を作る
何もないところから数を作る
objc2swift (続・自動変換の野望)
objc2swift (続・自動変換の野望)
さらに上を目指すための iOS アプリ設計
さらに上を目指すための iOS アプリ設計
objc2swift (自動変換の野望)
objc2swift (自動変換の野望)
2015 02-18 xxx-literalconvertible
2015 02-18 xxx-literalconvertible
let UIWebView as WKWebView
let UIWebView as WKWebView
コードを書けば複素数がわかる
コードを書けば複素数がわかる
虚数は作れる!Swift で学ぶ複素数
虚数は作れる!Swift で学ぶ複素数
プログラマのための線形代数再入門
1.
プログラマのための線形代数 再 入門 ∼行列・線形変換・アフィン変換∼ @taketo1024 2015/01/30
第1回プログラマのための数学勉強会
2.
今日の内容 1. 行列の積 2. 線形変換とアフィン変換
3.
1. 行列の積
4.
行列の足し算 ✓ 3 5 4 10 ◆ + ✓ 3
4 5 8 ◆ = ✓ 3 + 3 5 + 4 4 + 5 10 + 8 ◆ = ✓ 6 9 9 18 ◆
5.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 5 · 4 4 · 5 10 · 8 ◆ = ✓ 9 20 20 80 ◆
6.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 5 · 4 4 · 5 10 · 8 ◆ = ✓ 9 20 20 80 ◆ こうだったら簡単だったのに…
7.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆ これが正しい計算規則です。
8.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
9.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
10.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
11.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
12.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
13.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
14.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
15.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
16.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
17.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
18.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
19.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆ ふぅ…
20.
正直、3 3以上の行列計算は 地獄です。 (僕は必ず計算を間違うので気が狂いそうになる)
21.
なぜこう定義する?
22.
もんだい • さの工場では車とトラックを製造しています。 • 車の製造には作業員3人、ロボット5台の稼働が必 要です。 •
トラックの製造には作業員4人、ロボット8台の稼 働が必要です。 • さの工場で車を2台、トラックを3台製造するのに 必要な作業員とロボットの稼働はいくらでしょう?
23.
こたえ 車2台 : 2
(作業員:3人 + ロボット:5台) トラック3台 : 3 (作業員:4人 + ロボット:8台) +) 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台
24.
こたえ 車2台 : 2
(作業員:3人 + ロボット:5台) トラック3台 : 3 (作業員:4人 + ロボット:8台) +) 作業員:(2 3 + 3 4) = 18人、 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台
25.
こたえ 車2台 : 2
(作業員:3人 + ロボット:5台) トラック3台 : 3 (作業員:4人 + ロボット:8台) +) 作業員:(2 3 + 3 4) = 18人 ロボット:(2 5 + 3 8) = 34台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台
26.
こたえ 車2台 : 2
(作業員:3人 + ロボット:5台) トラック3台 : 3 (作業員:4人 + ロボット:8台) +) 作業員:(2 3 + 3 4) = 18人 ロボット:(2 5 + 3 8) = 34台 こたえ 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台
27.
行列の積で書き直すと…
28.
(ベクトルは縦に書かないの?は後で説明します) 車・トラック 作業員・ロボット 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ = 2 · 3 + 3 · 4 2 · 5 + 3 · 8 = 18 34 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台
29.
もんだい 2 • 作業員はサンドイッチを2個食べ、コーヒーを3杯 飲みます。 •
ロボットはサンドイッチ6個、コーヒー10杯を燃 料として動きます。 • さの工場で車を2台、トラックを3台製造するのに 必要なサンドイッチとコーヒーはいくらでしょう?
30.
こたえ SW COFFEE 作業員 2個/人
3杯/人 ロボット 6個/台 10杯/台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台 ✓ 3 5 4 8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆
31.
こたえ 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ = 18 34 SW COFFEE 作業員 2個/人 3杯/人 ロボット 6個/台 10杯/台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台 車・トラック 作業員・ロボット
32.
こたえ 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ = 18 34 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 SW COFFEE 作業員 2個/人 3杯/人 ロボット 6個/台 10杯/台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台 車・トラック 作業員・ロボット 作業員・ロボット
33.
こたえ 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ = 18 34 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 SW COFFEE 作業員 2個/人 3杯/人 ロボット 6個/台 10杯/台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台 こたえ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー作業員・ロボット
34.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394
35.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394先にこっちを計算すると…
36.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 ✓ 3 5 4 8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = ✓ 3 · 2 + 5 · 6 3 · 3 + 5 · 10 4 · 2 + 8 · 6 4 · 3 + 8 · 10 ◆ = ✓ 36 59 56 92 ◆
37.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 ✓ 3 5 4 8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = ✓ 3 · 2 + 5 · 6 3 · 3 + 5 · 10 4 · 2 + 8 · 6 4 · 3 + 8 · 10 ◆ = ✓ 36 59 56 92 ◆
38.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 2 3 ✓ 36 59 56 92 ◆ = 2 · 36 + 3 · 56 2 · 59 + 3 · 92 = 240 394
39.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 2 3 ✓ 36 59 56 92 ◆ = 2 · 36 + 3 · 56 2 · 59 + 3 · 92 = 240 394
40.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 2 3 ✓ 36 59 56 92 ◆ = 2 · 36 + 3 · 56 2 · 59 + 3 · 92 = 240 394 同じ!
41.
18 34 つまりこういうこと ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー 52 95 240 394
42.
18 34 つまりこういうこと ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー 52 95 ✓ 36 59 56 92 ◆ 一発でいける! 240 394
43.
SW COFFEE 作業員 2個/人
3杯/人 ロボット 6個/台 10杯/台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台 = SW COFFEE 車 36個/台 59杯/台 トラック 56個/台 92杯/台 ✓ 3 5 4 8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = ✓ 36 59 56 92 ◆ 行列の掛け算は、対応表の合成になっていた! 打ち消しあう
44.
もんだい 3 • では車を52台、トラックを95台製造するのに必要 なサンドイッチとコーヒーは?
45.
こたえ 18 34 240
394 ✓ 3 5 4 8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー 52 95 … …
46.
18 34 こたえ ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー 52 95 … ✓ 36 59 56 92 ◆ 一発でいきましょう 240 394…
47.
18 34 こたえ ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー 52 95 … ✓ 36 59 56 92 ◆ 7192 11808 こたえ
48.
行列の積は変換の合成と対応する形で 定義されていた! x y x
y A x y AB A B AB あらかじめ積を計算しておけば、中間をすっ飛ばせる!
49.
ちなみに数学ではベクトルを縦に書き、 行列を左から掛けることが多い A B ✓ x y ◆ A ✓ x y ◆ BA ✓ x y ◆ BA 順序に注意! と書く場合はこっちの方が分かりやすいf(~x)
= A~x
50.
「転置」を取れば同じ計算になる 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 ✓ 2 6 3 10 ◆ ✓ 3 4 5 8 ◆ ✓ 2 3 ◆ = ✓ 240 394 ◆ 左から作用 右から作用 … DirectX 系 … OpenGL 系
51.
以後、変換について話すので後者の スタイルで書きます。 (DirectX 系の人は脳内転置お願いします)
52.
2. 線形変換とアフィン変換
53.
線形変換 ベクトルの線形性(平行と比率)の保たれる変換 f
54.
線形変換 … 和をバラせる … 実数倍をバラせる ( f(~x
+ ~y) = f(~x) + f(~y) f(a · ~x) = a · f(~x)
55.
✓ 1 0 ◆ , ✓ 0 1 ◆ の行き先だけで決まる!線形変換は f ✓ 1 0 ◆ = ✓ ax ay ◆ , f ✓ 0 1 ◆ = ✓ bx by ◆ とすれば、 f ✓ x y ◆ = f(x
· ✓ 1 0 ◆ + y · ✓ 0 1 ◆ ) = x · f ✓ 1 0 ◆ + y · f ✓ 0 1 ◆ = x · ✓ ax ay ◆ + y · ✓ bx by ◆ ✓ x y ◆ x ✓ 1 0 ◆ y ✓ 0 1 ◆ f ✓ x y ◆ = x ✓ ax ay ◆ + y ✓ bx by ◆ x ✓ ax ay ◆ y ✓ bx by ◆ f
56.
その結果は行列とベクトルの積で書ける! x ✓ ax ay ◆ y ✓ bx by ◆ f ✓ x y ◆ = x ✓ ax ay ◆ + y ✓ bx by ◆ = ✓ ax
bx ay by ◆ ✓ x y ◆ f ✓ x y ◆ = ✓ ax bx ay by ◆ ✓ x y ◆
57.
つまり線形変換は の行き先を並べた行列で表現できる! ✓ 1 0 ◆ , ✓ 0 1 ◆ f f ✓ x y ◆ = ✓ ax bx ay
by ◆ ✓ x y ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ ax ay ◆ ✓ bx by ◆ … f の行列表示f
58.
同様に3次元ベクトルの線形変換は、 3次行列との積で書ける f 0 @ x y z 1 A = x 0 @ ax ay az 1 A
+ y 0 @ bx by bz 1 A + z 0 @ cx cy cz 1 A = 0 @ ax bx cx ay by cy az bz cz 1 A 0 @ x y z 1 A f 0 @ ax ay az 1 A 0 @ bx by bz 1 A 0 @ cx cy cz 1 A
59.
線形変換の合成は行列の積に対応する ✓ x y ◆ f ✓ x y ◆ = A ✓ x y ◆ g ✓ f ✓ x y ◆◆ = BA ✓ x y ◆ f
g g f : f と g の合成f g 左から作用
60.
行列は線形変換の定量表現!
61.
線形変換にはどんなものが ある?
62.
等倍・偏倍変換 A = ✓ a 0 0
b ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ a 0 ◆ ✓ 0 b ◆
63.
回転 A = ✓ cos✓ sin✓ sin✓
cos✓ ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ cos ✓ sin ✓ ◆ ✓ sin ✓ cos ✓ ◆
64.
反転 A = ✓ 1 0 0
1 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆
65.
正射影 A = ✓ 1 0 0
0 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ 1 0 ◆
66.
平行移動…? ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ p q ◆
67.
とならない変換は線形でない! f ✓ 0 0 ◆ = ✓ 0 0 ◆ f ✓ 0 0 ◆ = f( ✓ 0 0 ◆ + ✓ 0 0 ◆ ) =
2f ✓ 0 0 ◆ f より、 でなければいけない。 f ✓ 0 0 ◆ = ✓ 0 0 ◆ ✓ p q ◆
68.
えー、使えねぇ…
69.
そんなことない!
70.
xy 平面は xyz
空間の z=1 に浮いていると見る ✓ x y ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ 0 @ 0 0 1 1 A 0 @ x y 1 1 A
71.
xy平面の線形変換は、 z=1上で行われていると見る 0 @ ax bx 0 ay
by 0 0 0 1 1 A 0 @ x y 1 1 A = 0 @ ✓ ax bx ay by ◆ ✓ x y ◆ 1 1 A z=1 のまま の線形変換 ✓ x y ◆
72.
一方、こういう3次行列を考えれば、 z=1 上の点の平行移動が表現できる! 0 @ 1 0
p 0 1 q 0 0 1 1 A 0 @ x y 1 1 A = 0 @ x + p y + q 1 1 A z=1 は固定されたまま! ✓ p q ◆ 平行移動
73.
真横から見ると分かる! x, y x,
y z z z=1 z=1 0 @ 1 0 0 1 A , 0 @ 0 1 0 1 A 0 @ 0 0 1 1 A 0 @ 1 0 0 1 A , 0 @ 0 1 0 1 A 0 @ p q 1 1 A : 不変 z=1ではxy平面の平行移動! 空間全体は線形変換 0 @ 1 0 p 0 1 q 0 0 1 1 A
74.
平面上の平行移動は線形ではないが、 空間内に埋め込めば線形変換として表現できる!
75.
線形変換と平行移動を組み合わせたものを 「アフィン変換」という 0 @ 1 0 p 0
1 q 0 0 1 1 A 0 @ ax bx 0 ay by 0 0 0 1 1 A アフィン変換も一つ上の次元から見れば、 ただの線形変換! 線形変換 平行移動
76.
同様に xyz 空間も
4次元 xyzw 空間 において、 w=1 上に浮いてると考えれば、 xyz空間 w 0 B B @ 0 0 0 1 1 C C A x, y, z
77.
4次行列によって3次元空間の 線形変換・平行移動を表現できる! 0 B B @ ax bx cx
0 ay by cy 0 az bz cz 0 0 0 0 1 1 C C A 線形変換 0 B B @ 1 0 0 p 0 1 0 q 0 0 1 r 0 0 0 1 1 C C A 平行移動
78.
これに加えて、 「射影変換」も一つ上の次元の行列で表現できる (需要があればまた次回)
79.
3Dレンダリングの座標変換は、 全て4次元行列の積で表現できる! オブジェクト座標 ワールド座標 スクリーン座標
80.
まとめ 1. 行列は線形変換の定量表現 2. 行列の積は変換の合成に対応 3.
次数をあげれば平行移動も射影も表現できる
81.
Thanks! Twitter: @taketo1024 Blog: http://taketo1024.hateblo.jp
Jetzt herunterladen