1. S giáo d c và đào t o Hà n iở ụ ạ ộ
Tr ng THPT Liên Hà ĐÊ THI TH ĐAI HOC NĂM 2011ườ ̀ Ử ̣ ̣
**************** Môn : TOAN; khôi: A,B(́ ́ Th i gian lam bai: 180 phut, không kê th i gian phat đê)ờ ̀ ̀ ́ ̉ ờ ́ ̀
PHÂN CHUNG CHO TÂT CA CAC THI SINH̀ ́ ̉ ́ ́ (7,0 điêm)̉
Câu I (2 điêm)̉
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a ham sôả ự ế ẽ ồ ị ủ ̀ ́
2 1
1
x
y
x
−
=
−
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C), bi t kho ng cách t đi m I(1;2) đ n ti p tuy n b ngế ươ ế ế ủ ế ả ừ ể ế ế ế ằ 2 .
Câu II (2 điêm)̉
1) Giai ph ng trình̉ ươ
217
sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( )
2 2 12
x
x x x
π π
+ + = + +
2) Giai hê ph ng trình :̉ ̣ ươ
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
 − + =

− + = −
Câu III (1 điêm)̉ : Tinh tích phân: I =́
4
0
tan .ln(cos )
cos
x x
dx
x
π
∫
Câu IV (1 điêm)̉ :
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A v i AB = a, các m t bên là các tam giác cân t iạ ớ ặ ạ
đ nh S. Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng t o v i m t ph ng đáy góc 60ỉ ặ ẳ ạ ớ ặ ẳ 0
. Tính côsin c a góc gi a hai m tủ ữ ặ
ph ng (SAB) và (SBC) .ẳ
Câu V: (1 điêm)̉ Cho a,b,c la cac sô d ng thoa man a + b + c = 1. Ch ng minh r ng:̀ ́ ́ ươ ̉ ̃ ứ ằ
3
a b b c c a
ab c bc a ca b
+ + +
+ + ≥
+ + +
PHÂN RIÊNG̀ (3 điêm)̉ Thi sinh chi đ c lam môt trong hai phân (phân A hoăc B)́ ̉ ượ ̀ ̣ ̀ ̀ ̣
A. Theo ch ng trinh Chuânươ ̀ ̉
Câu VI.a (1 điêm)̉
Trong măt phăng toa đô Oxy cho điêm A(1;1) và đ ng th ng̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ườ ẳ ∆ : 2x + 3y + 4 = 0.
Tim t a đ đi m B thu c đ ng th ng̀ ọ ộ ể ộ ườ ẳ ∆ sao cho đ ng th ng AB vàườ ẳ ∆ h p v i nhau góc 45ợ ớ 0
.
Câu VII.a (1 điêm̉ ): Trong không gian v i hê toa đô Oxyz, cho điêm M(1;-1;1)ớ ̣ ̣ ̣ ̉
va hai đ ng th ng̀ ườ ẳ
1
( ):
1 2 3
x y z
d
+
= =
− −
và
1 4
( '):
1 2 5
x y z
d
− −
= =
Ch ng minh: điêm M, (d), (d’) cung năm trên môt măt phăng. Viêt ph ng trinh măt phăng đo.ứ ̉ ̀ ̀ ̣ ̣ ̉ ́ ươ ̀ ̣ ̉ ́
Câu VIII.a (1 điêm)̉
Gi i ph ng trinh:ả ươ ̀ 2 2
2
(24 1)(24 1) (24 1)log log xx x x xLog x x x++ ++ =
Theo ch ng trinh Nâng caoươ ̀
Câu VI.b (1 điêm)̉
Trong măt phăng toa đô Oxy cho đ ng troṇ ̉ ̣ ̣ ườ ̀ 2 2
( ): 1C x y+ = , đ ng thăngườ ̉ ( ): 0d x y m+ + = . Tim̀ m để
( )C căt́ ( )d tai A va B sao cho diên tich tam giac ABO l n nhât.̣ ̀ ̣ ́ ́ ớ ́
Câu VII.b (1 điêm)̉
Trong không gian v i hê toa đô Oxyz, cho ba m t ph ng:ớ ̣ ̣ ̣ ặ ẳ
(P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0
và đ ng th ngườ ẳ 1∆ :
2
2
−
−x
=
1
1+y
=
3
z
. G iọ 2∆ là giao tuy n c a (P) và (Q).ế ủ
Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) vuông góc v i (R) và c t c hai đ ng th ngế ươ ườ ẳ ớ ắ ả ườ ẳ 1∆ , 2∆ .
Câu VIII.b (1 điêm)̉ Gi i b t ph ng trình: logả ấ ươ x( log3( 9x
– 72 )) ≤ 1
----------Hêt--------́ --
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI MỂ
Câu -ý N i dungộ Điể
m
1.1 *T p xác đ nh :ậ ị { } 1D = ¡
*Tính 2
1
' 0
( 1)
y x D
x
−
= < ∀ ∈
−
Hàm s ngh ch bi n trên các kho ngố ị ế ả ( ;1)−∞ và (1; )+∞
*Hàm s không có c c trố ự ị
*Gi i h nớ ạ
1x
Lim y+
→
= +∞
1x
Lim y−
→
= −∞
2
x
Lim y
→+∞
= 2
x
Lim y
→−∞
=
Đ th có ti m c n đ ng :x=1 , ti m c n ngang y=2ồ ị ệ ậ ứ ệ ậ
*B ng bi n thiênả ế
x −∞ 1 +∞
y’ - -
y
*V đ thẽ ồ ị
0.25
0.25
0.25
0.25
1.2 *Ti p tuy n c a (C) t i đi mế ế ủ ạ ể 0 0( ; ( )) ( )M x f x C∈ có ph ng trìnhươ
0 0 0'( )( ) ( )y f x x x f x= − +
Hay
2 2
0 0 0( 1) 2 2 1 0x x y x x+ − − + − = (*)
*Kho ng cách t đi m I(1;2) đ n ti p tuy n (*) b ngả ừ ể ế ế ế ằ 2
0
4
0
2 2
2
1 ( 1)
x
x
−
⇔ =
+ −
gi i đ c nghi mả ượ ệ 0 0x = và 0 2x =
*Các ti p tuy n c n tìm :ế ế ầ 1 0x y+ − = và 5 0x y+ − =
0.25
0.25
0.25
0.25
2.1 *Bi n đ i ph ng trình đã cho t ng đ ng v iế ổ ươ ươ ươ ớ
os2 3sin 2 10 os( ) 6 0
6
c x x c x
π
− + + + =
os(2 ) 5 os( ) 3 0
3 6
c x c x
π π
⇔ + + + + =
2
2 os ( ) 5 os( ) 2 0
6 6
c x c x
π π
⇔ + + + + =
Gi i đ cả ượ
1
os( )
6 2
c x
π
+ = − và os( ) 2
6
c x
π
+ = − (lo i)ạ
*Gi iả
1
os( )
6 2
c x
π
+ = − đ c nghi mượ ệ 2
2
x k
π
π= + và
5
2
6
x k
π
π= − +
0.25
0.25
0.25
0.25

3. 2.2
*Bi n đ i h t ng đ ng v iế ổ ệ ươ ươ ớ
2 2 3
3 2
( ) 1
( ) 1
x xy x y
x y x xy
 − = −

− − = −
*Đ t n phặ ẩ ụ
2
3
x xy u
x y v
 − =

=
, ta đ c hượ ệ
2
1
1
u v
v u
 = −

− = −
*Gi i h trên đ c nghi m (u;v) là (1;0) và (-2;-3)ả ệ ượ ệ
*T đó gi i đ c nghi m (x;y) là (1;0) và (-1;0)ừ ả ượ ệ
0.25
0.25
0.25
0.25
3 *Đ t t=cosxặ
Tính dt=-sinxdx , đ i c n x=0 thì t=1 ,ổ ậ
4
x
π
= thì
1
2
t =
T đóừ
1
12
2 2
11
2
ln lnt t
I dt dt
t t
= − =∫ ∫
*Đ tặ 2
1
ln ;u t dv dt
t
= =
1 1
;du dt v
t t
⇒ = = −
Suy ra
1
2
1
2
1 1
1 1 2 1
ln ln 21 1
2
2 2
I t dt
t t t
= − + = − −∫
*K t quế ả
2
2 1 ln 2
2
I = − −
0.25
0.25
0.25
0.25
4 *V hìnhẽ
*G i H là trung đi m BC , ch ng minhọ ể ứ ( )SH A BC⊥
*Xác đ nh đúng góc gi a hai m t ph ng (SAB) , (SAC) v i m t đáy làị ữ ặ ẳ ớ ặ
0
60SEH SFH= =
*Kẻ HK SB⊥ , l p lu n suy ra góc gi a hai m t ph ng (SAB) vàậ ậ ữ ặ ẳ
(SBC)
b ngằ HK A .
*L p lu n và tính đ c AC=AB=a ,ậ ậ ượ
2
2
a
HA = ,
0 3
tan 60
2
a
SH HF= =
*Tam giác SHK vuông t i H cóạ 2 2 2
1 1 1 3
10
K H a
HK HS HB
= + ⇒ =
*Tam giác AHK vuông t i H cóạ
2
202tan
33
10
a
A H
A K H
K H
a
= = =
3
cos
23
A K H⇒ =
0.25
0.25
0.25
0.25
5
*Bi n đ iế ổ
1 1
1 (1 )(1 )
a b c c
ab c ab b a a b
+ − −
= =
+ + − − − −
0.25

4. *T đóừ
1 1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
V T
a b c a c b
− − −
= + +
− − − − − −
Do a,b,c d ng và a+b+c=1 nên a,b,c thu c kho ng (0;1) => 1-a,1-b,1-cươ ộ ả
d ngươ
*áp d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s d ng ta đ cụ ấ ẳ ứ ố ươ ượ
3
1 1 1
3. . .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
V T
a b c a c b
− − −
≥
− − − − − −
=3 (đpcm)
Đ ng th c x y ra khi và ch khiẳ ứ ả ỉ
1
3
a b c= = =
0.25
0.25
0.25
6.a
*∆ có ph ng trình tham sươ ố
1 3
2 2
x t
y t
= −

= − +
và có vtcp ( 3;2)u = −
ur
*A thu cộ ∆ (1 3 ; 2 2 )A t t⇒ − − +
*Ta có (AB; ∆ )=450
1
os( ; )
2
c A B u⇔ =
uuuur ur . 1
2.
A B u
A B u
⇔ =
uuuurur
ur
2 15 3
169 156 45 0
13 13
t t t t⇔ − − = ⇔ = ∨ = −
*Các đi m c n tìm làể ầ 1 2
32 4 22 32
( ; ), ( ; )
13 13 13 13
A A− −
0.25
0.25
0.25
0.25
7.a *(d) đi qua 1(0; 1;0)M − và có vtcp 1 (1; 2; 3)u = − −
uur
(d’) đi qua 2 (0;1;4)M và có vtcp 2 (1;2;5)u =
uur
*Ta có 1 2; ( 4; 8;4)u u O  = − − ≠ 
uur uur ur
, 1 2 (0;2;4)M M =
uuuuuuur
Xét 1 2 1 2; . 16 14 0u u M M  = − + = 
uur uur uuuuuuur
 (d) và (d’) đ ng ph ng .ồ ẳ
*G i (P) là m t ph ng ch a (d) và (d’) => (P) có vtptọ ặ ẳ ứ (1;2; 1)n = −
ur
và đi
qua M1 nên có ph ng trìnhươ 2 2 0x y z+ − + =
*D th y đi m M(1;-1;1) thu c mf(P) , t đó ta có đpcmễ ấ ể ộ ừ
0.25
0.25
0.25
0.25
8.a *Đi u ki n :x>0ề ệ
*TH1 : xét x=1 là nghi mệ
*TH2 : xét 1x ≠ , bi n đ i ph ng trình t ng đ ng v iế ổ ươ ươ ươ ớ
1 2 1
1 2log (24 1) 2 log (24 1) log (24 1)x x xx x x
+ =
+ + + + +
Đ tặ log ( 1)x x t+ = , ta đ c ph ng trìnhượ ươ
1 2 1
1 2 2t t t
+ =
+ +
gi i đ c t=1 và t=-2/3ả ượ
*V i t=1ớ log ( 1) 1x x⇒ + = ph ng trình này vô nghi mươ ệ
*V i t=-2/3ớ
2
log ( 1)
3
x x⇒ + = −
2 3
.(24 1) 1x x⇔ + = (*)
Nh n th yậ ấ
1
8
x = là nghi m c a (*)ệ ủ
N uế
1
8
x > thì VT(*)>1
0.25
0.25
0.25
0.25

5. N uế
1
8
x < thì VT(*)<1 , v y (*) có nghi m duy nh tậ ệ ấ
1
8
x =
*K t lu n : Các nghi m c a ph ng trình đã cho là x=1 vàế ậ ệ ủ ươ
1
8
x =
6.b *(C) có tâm O(0;0) , bán kính R=1
*(d) c t (C) t i hai đi m phân bi tắ ạ ể ệ ( ; ) 1d O d⇔ <
*Ta có
1 1 1
. .sin .sin
2 2 2
OA BS OA OB A OB A OB= = ≤
T đó di n tích tam giác AOB l n nh t khi và ch khiừ ệ ớ ấ ỉ 0
90A OB =
1
( ; )
2
d I d⇔ = 1m⇔ = ±
0.25
0.25
0.25
0.25
7.b
* 1∆ có ph ng trình tham sươ ố
2 2
1
3
x t
y t
z t
= −

= − +
 =
* 2∆ có ph ng trình tham sươ ố
2
5 3
x s
y s
z s
= +

= +
 =
*Gi sả ử 1 2;d A d B∩ ∆ = ∩ ∆ =
(2 2 ; 1 ;3 ) B(2+s;5+3s;s)A t t t⇒ − − +
* ( 2 ;3 6; 3 )A B s t s t s t= + − + −
uuuur
, mf(R) có vtpt (1;2; 3)n = −
ur
* ( ) &d R A B n⊥ ⇔
uuuur ur
cùng ph ngươ
2 3 6 3
1 2 3
s t s t s t+ − + −
⇔ = =
−
23
24
t⇒ =
*d đi qua
1 1 23
( ; ; )
12 12 8
A và có vtcp (1;2; 3)n = −
ur
=> d có ph ng trìnhươ
231 1
812 12
1 2 3
zx y −− −
= =
−
0.25
0.25
0.25
0.25
8.b
*Đi u ki n :ề ệ 3
0
log (9 72) 0
9 72 0
x
x
x >

− >

− >
gi i đ cả ượ 9log 73x >
Vì 9log 73x > >1 nên bpt đã cho t ng đ ng v iươ ươ ớ
3log (9 72)x
x− ≤
9 72 3x x
⇔ − ≤
3 8
3 9
x
x
 ≥ −
⇔ 
≤
2x⇔ ≤
*K t lu n t p nghi m :ế ậ ậ ệ 9(log 72;2]T =
0.25
0.25
0.25
0.25
L u ý : N u thí sinh làm cách khác đúng thì giám kh o ch m theo các b c làm c a cách đó .ư ế ả ấ ướ ủ