Đề thi thử Đại học môn Toán

1. Së gi¸o dôc vμ ®μo t¹o Hμ néi K× thi thö §¹i häc , cao ®¼ng lÇn 2 n¨m 2010
Tr−êng THPT Liªn Hμ Thêi gian lμm bμi : 180 phót
®Ò chÝnh thøc
I-PhÇn chung (7 ®iÓm )
C©u 1(2®iÓm) Cho hμm sè 3 21
3
2 2
m
y x x x= − + +1 (1) ( m lμ tham sè )
a)Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vμ vÏ ®å thÞ hμm sè (1) khi m=9 .
b)T×m m ®Ó ®å thÞ hμm sè (1) cã hai ®iÓm cùc trÞ ®èi xøng nhau qua ®iÓm I(2;2) .
C©u 2 (2®iÓm)
1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh
11 11
cos( ) cos( ) sin( ) 0
5 10 2 2 10
x x
x
π π π
− + − + − =
2) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 2 2
2 11 15 2 3 6+ + + + − ≥ +x x x x x
C©u 3(1®iÓm) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng ®−îc giíi h¹n bëi c¸c ®−êng
2
16= −y x x vμ 2
3 12= −y x x
C©u 4 (1®iÓm) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lμ tam gi¸c ®Òu c¹nh a , tam gi¸c SAB c©n
t¹i S vμ thuéc mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) . Hai mÆt ph¼ng (SCA) vμ
(SCB) hîp víi nhau gãc 600
. TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.ABC theo a .
C©u 5 (1 ®iÓm ) Cho
, , 0a b c
a b c abc
>⎧
⎨
+ + =⎩
Chøng minh r»ng
2 2 2
3
2(1 ) (1 ) (1 )
a b c
bc a ca b ab c
+ + ≤
+ + +
II-PhÇn tù chän (3 ®iÓm )(Häc sinh chØ ®−îc lμm mét trong hai phÇn hoÆc A hoÆc B)
PhÇn tù chän A
C©u 6a (2 ®iÓm )
1) Trªn mÆt ph¼ng täa ®é Oxy , cho h×nh b×nh hμnh ABCD cã diÖn tÝch b»ng 4 , A(1;2) ,
B(5;-1) ,t©m I thuéc ®−êng th¼ng x+y-1=0 . T×m täa ®é C,D .
2) Trong kh«ng gian Oxyz ,ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng Δ ®i qua A(1;-1;0) ,song
song víi (P) vμ kho¶ng c¸ch tõ gèc täa ®é ®Õn1 0+ − =y z Δ b»ng 1 .
C©u 7a (1 ®iÓm ) Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3
3 27log ( 2) 1 log (3 2)x x+ − = − .
PhÇn tù chän B
C©u 6b(2 ®iÓm)
1) Trªn mÆt ph¼ng täa ®é oxy ,cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch b»ng 45 , B(2;1) , C(-1;5)
,träng t©m G thuéc ®−êng th¼ng 3 1x y 0− + = . T×m täa ®é ®Ønh A .
2) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc täa ®é oxyz ,viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua 2
®iÓm A(1,2,1) , B(2,1,2) vμ t¹o víi mÆt mÆt ph¼ng (Q) x-2z+5=0 mét gãc α
sao cho α =
1
cos
30
.
C©u 7b(1 ®iÓm )
T×m tham sè ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh∈m R
3 1 1
1
⎧ − − =⎪
⎨
+ − = −⎪⎩
z i
z i m z
( Èn z lμ sè phøc)
cã nghiÖm duy nhÊt .
…………….HÕt……………
http://laisac.page.tl
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. §¸p ¸n thi thö lÇn 2
C©u ý Néi dung §iÓm
1a *TËp x¸c ®Þnh : D=R
*TÝnh 23 9
' 6
2 2
y x x= − +
' 0 1, 3y x x= ⇔ = =
*XÐt dÊu y’ : ,' 0 ( ;1) (3; )y x> ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ ( )' 0 1;3y x< ⇔ ∈
*KÕt luËn : hμm sè ®· cho ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng ( ;1)−∞ vμ (3; )+∞
nghÞch biÕn trªn kho¶ng (1;3)
*Cùc trÞ : Hμm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x=1 , yC§=3 vμ ®¹t cùc tiÓu t¹i x=3 , yCT=1
*Giíi h¹n : ,lim
x
y
→+∞
= +∞ lim
x→−∞
= −∞
*B¶ng biÕn thiªn
x +∞1 3−∞
y’ + 0 - 0 +
y
3 +∞
−∞
1
y
*VÏ ®å thÞ
x
0
0.25
0.25
0.25
0.25
1b
* 23
' 6
2 2
m
y x x= − + , 2
' 0 3 12 0y x x m= ⇔ − + = (*)
*Hμm sè ®· cho cã 2 ®iÓm cùc trÞ khi vμ chØ khi pt(*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
' 36 3 0
12 (**)
m
m
⇔ Δ = − >
⇔ <
*Gäi hai nghiÖm cña (*) lμ 1 2&x x
⇒®å thÞ hμm sè cã hai ®iÓm cùc trÞ lμ 1 1 2 2( ; ) & ( ; )A x y B x y
Ta cã 3 2 21 1 1
3 1 ( )(3 12 ) ( 4) 1
2 2 6 3 3
= − + + = − − + + − + +
m m
y x x x x x x m x
3
m
1 1 2 2( 4) 1 & ( 4) 1
3 3 3
m m m
y x y x
3
m
− + + = − + +⇒ =
*Tõ ®ã A,B ®èi xøng qua ®iÓm I(2;2) khi vμ chØ khi
1 2
1 2
2
2
2
2
x x
y y
+⎧
=⎪⎪
⎨
+⎪ =
⎪⎩
¸p dông hÖ thøc Viet 1 2 4x x+ = thay vμo trªn ta ®−îc m=9 tháa m·n (**)
0.25
0.25
0.25
0.25

3. 2.1
*§Æt
2 10
x
t
π
= − ph−¬ng tr×nh trë thμnh
cos(2 2 ) cos( ) sin 0t t tπ π− + − + =
cos2 cos sin 0t t t⇔ − + =
(cos sin )(cos sin 1) 0t t t t⇔ − + − =
cos sin 0 (1)
cos sin 1 0 (2)
t t
t t
− =⎡
⇔ ⎢ + − =⎣
*(1) tan 1
4
t t k
π
π⇔ = ⇔ = +
*
1
(2) sin( )
4 2
t
π
⇔ + = 2 ; 2
2
t k t k
π
π π⇔ = = +
*Gi¶i ra nghiÖm
7
2
10
x k
π
π= + ; 4
5
x k
π
π= + ;
6
4
5
x k
π
π= +
0.25
0.25
0.25
0.25
2.2 *§iÒu kiÖn : ( ; 3] [1;x∈ −∞ − ∪ +∞)
TH1 : XÐt 1x ≥
BiÕn ®æi bpt t−¬ng ®−¬ng víi 3x + ( 2 5 1) 2 5 ( 1)x x x x+ + − ≥ + − −
3 2 5 1x x x⇔ + ≥ + − −
3 1 2x x x⇔ + + − ≥ + 5
x x⇔ + − ≥
b×nh ph−¬ng 2 vÕ
2
4 8 21 0
7 3
( ; ] [ ; )
2 2
x −∞ − ∪ +∞⇔ ∈
KÕt hîp 1x ≥ ta ®−îc tËp nghiÖm trong tr−êng hîp nμy lμ 1
3
[ ; )
2
T = +∞
TH2: xÐt 3x ≤ −
BiÕn ®æi bpt t−¬ng ®−¬ng víi 3x− − ( 2 5 1 ) 1 ( 2 5x x x x )− − + − ≥ − − − −
3 1 2x x⇔ − − ≥ − − − −5x
3 2 5 1x x⇔ − − + − − ≥ − x
x x⇔ + − ≥
b×nh ph−¬ng 2 vÕ
2
4 8 21 0
7 3
( ; ] [ ; )
2 2
x −∞ − ∪ +∞⇔ ∈
KÕt hîp ta ®−îc tËp nghiÖm trong tr−êng hîp nμy lμ3x ≤ − 2
7
( ;
2
T = −∞ − ]
KÕt luËn : TËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ
7 3
( ; ] [ ;
2 2
T )= −∞ − ∪ +∞
0.25
0.25
0.25
0.25
3 *Ph−¬ng tr×nh hoμnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hai hμm sè lμ
2 2
16 3 12x x x− = − x )§iÒu kiÖn ( ; 4] [4;x∈ −∞ − ∪ +∞
2
16 3 12x x⇔ − = −
2 2
4; 5x x
4
16 (3 12)
x
x x
≥⎧
⇔ ⎨
− = −⎩
⇔ = =
Ta cã [ ]2 2
16 3 12 4;5x x x x x− ≥ − ∀ ∈
*DiÖn tÝch cÇn tÝnh lμ
5
2 2
4
( 16 (3 12 ))S x x x x d= − − −∫ x
5 5
2 2
4 4
16 (3 12 )x x dx x x d= − − −∫ ∫ x
XÐt
5
2
1
4
16I x x dx= −∫ ®Æt 2
16t x= − 2 2
16t x⇒ = −
0.25
0.25

4. tdt xdx⇒ =
§æi cËn : x=4 ⇒ t=0 , x=5 ⇒ t=3
3 3
2
1
0
3
9
03
t
I t dt⇒ = = =∫
XÐt
5
2 3 2
2
4
5
(3 12 ) ( 6 ) 7
4
I x x dx x x= − = − =∫
VËy (®vdt)2S =
0.25
0.25
4 *Gäi H lμ trung ®iÓm cña AB
SSH AB⇒ ⊥
K(SH ABC⇒ ⊥ )
*KÎ AK SC⊥ ( )SC ABK⇒ ⊥
SC KB⇒ ⊥
C A0
[( );( )] ( ; ) 60SAC SBC KA KB⇒ = =
⇒ hoÆc=AKB 0
60 =AKB 0
120 H
NÕu th× dÔ thÊy=AKB 0
60 KABΔ ®Òu
KA AB AC⇒ = = v« lý B
VËy =AKB 0
120
* c©n t¹i KKABΔ ⇒ = 0
60AKH 0
tan 60 2 3
AH a
KH⇒ = =
*Trong vu«ng t¹i H , ®−êng cao KH cãSHCΔ
2 2
1 1 1
HK HC HS
= + 2
thay
3
;
22 3
a a
KH HC= =
6
8
a
SH⇒ =
*
2 3
1 1 6 3
. . . .
3 3 8 4
SABC ABC
a a a 2
32
H S= = =V S
0.25
0.25
0.25
0.25
5
*§Æt
1 1
; ;x y z
a b
= = =
1
c
*Tõ gi¶ thiÕt
, , 0a b c
a b c abc
>⎧
⎨
+ + =⎩
, , 0
1
x y z
xy yz zx
>⎧
⇒ ⎨
+ + =⎩
*BiÕn ®æi 2 22
2
1 1
.
1 1(1 ) ( 1)
a yz
bc x xy yz zx xbc a
a
= = =
yz
+ + + ++ +
( )(
yz
)x y x z
=
+ +
*¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho 2 sè d−¬ng ta cã
1
( )
( )( ) 2
yz y z
x y x z x y x z
≤ +
+ + + +
*BiÕn ®æi t−¬ng tù ,råi céng vÕ ta ®−îc
1
( )
2
y z x y x z
VT
x y x z z x z y y x y z
≤ + + + + +
+ + + + + +
3
2
VT⇒ (®pcm)≤
0.25
0.25
0.25
0.25

5. §¼ng thøc x¶y ra khi vμ chØ khi x=y=z
1
3
= khi ®ã 3a b c= = =
6a *§iÓm I thuéc ®t x+y-1=0 ⇒ ( ;1 )I x x−
*
1
1
4
IAB ABCDS S= = vμ
1
. ( ; )
2
IABS AB d I A= B
2
( ; )d I AB
AB
⇒ = (*)
*AB=5 , AB cã pt : 3x+4y-11=0
Tõ (*) ⇒
5
7 2
9
x
x
x
= −⎡
+ = ⇔ ⎢ = −⎣
*Víi x=-5 => I(-5;6) => C(-11;10) vμ D(-15;13)
*Víi x=-9 =>I(-9;10) => C(-19;18) vμ D(-23;21)
0.25
0.25
0.25
0.25
7a *Gi¶ sö Δ cã vtcp (( ; ; )u a b c 2 2 2
0)a b c+ + >
* / /( )PΔ . 0Pu n c b⇒ = ⇒ = −
*Ta cã
2 2
2 2
[ , ] 3 2
( ; )
2
OA u b ab a
d O
u a b
+ +
Δ = =
+
Tõ ®ã
2 2
2 2
03 2
( ; ) 1 1
22
bb ab a
d O
b aa b
=⎡+ +
Δ = ⇔ = ⇔ ⎢ = −+ ⎣
*Víi b=0 =>c=0 ,chän a=1 ⇒ Δ cã ph−¬ng tr×nh
1
1
0
x t
y
z
= +⎧
⎪
= −⎨
⎪ =⎩
*Víi b=-2a chän a=1,b=-2 ,c=2 cã ph−¬ng tr×nh⇒ Δ
1 1
1 2 2
x y z− +
= =
−
0.25
0.25
0.25
0.25
8a
*§iÒu kiÖn :
3
2 0
3 2
x
x
⎧ + >
⎨
− >⎩ 0
*BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi
3 3
2 3 3 2x x+ = −
§Æt 3
3 2x t− = , ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh
3
3
2 3 (1)
2 3 (2)
x t
t x
⎧ + =⎪
⎨
+ =⎪⎩
Trõ theo tõng vÕ c¸c pt (1) cho pt(2) ta ®−îc
2 2
( )( 3)x t x xt t− + + + = 0 (*)
Do
2
2 2 2 3
3 ( ) 3 0
2 4
t t
x xt t x+ + + = + + + > nªn (*) t=x
Thay vμo (1) ®−îc gi¶i pt nμy ®−îc c¸c nghiÖm x=1 vμ x=-23
3 2x x− + = 0
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ x=1 .
0.25
0.25
0.25
0.25
6b *BC cã ph−¬ng tr×nh 4x+3y-11=0
*G thuéc ®−êng th¼ng x-3y+1=0 (3 1; )G y y⇒ −
*Ta cã
1 1
15& . ( ; )
3 2
GBC ABC GBCS S S BC d G B= = = C
30
( ; ) 6d G BC
BC
⇒ = =
0.25

6. 15 15
6
5
y −
⇒ =
3
1
y
y
=⎡
⇔ ⎢ = −⎣
1 2(8;3)& ( 4; 1)G G⇒ − −
−1 2(23;3)& ( 13; 9)A A⇒ −
0.25
0.25
0.25
7b *Gi¶ sö (P) cã vtpt (( ; ; )n A B C 2 2 2
0)A B C+ + >
*(P) chøa A,B . 0n AB⇒ = B A C⇒ = +
*Ta cã
.
cos cos( ; )
.
P Q
P Q
P Q
n n
n n
n n
α = =
2 2
21
30 5. 2 2 2
A C
A C AC
−
⇒ =
+ +
⇔ 2 2
2 13 11 0 ;2 11A AC C A C A− + = ⇔ = = C
0
*Víi A=C chän A=C=1 , B=2
=> (P) cã ph−¬ng tr×nh 2 6x y z+ + − =
*Víi 2A=11C chän A=11, C=2 , B=13
=> (P) cã ph−¬ng tr×nh 11 13 2 39 0x y z+ + − =
0.25
0.25
0.25
0.25
8b *Gi¶ sö z=x+yi víi ,x y R∈
Thay vμo hÖ vμ biÕn ®æi ®−îc
2 2
2
( 1) ( 3) 1
(2 2) 2 2 0
x y
m x y m
⎧ − + − =⎪
⎨
− + + − =⎪⎩
(I)
HÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt khi vμ chØ khi
®−êng th¼ng tiÕp xóc víi ®−êng trßn
cã t©m I(1;3) ,b¸n kÝnh R=1
Δ 2
(2 2) 2 2 0m x y m− + + − =
2 2
( 1) ( 3) 4x y− + − = 9
( ; ) 1d I⇔ Δ =
2
2
( 1) 7
1
4( 1) 4
m
m
− −
⇔
− +
= gi¶i pt nμy ®−îc c¸c nghiÖm 1m = ± 3 vμ 1 15m = ±
§¸p sè : 1m = ± 3 vμ 1 15m = ±
0.25
0.25
0.25
0.25

7. *NhËn thÊy 1 2
2 0
2
x x+
= ≠ nªn O kh«ng thÓ lμ trung ®iÓm cña AB
do ®ã O,A,B lμ ba ®Ønh cña tam gi¸c c©n t¹i O ⇔ OA=OB
2 2 2
1 1 2 2[( 4) 1 ] [( 4) 1 ]
3 3 3
m m m
x x x x⇔ + − + + = + − + + 2
3
m
BiÕn ®æi vμ chia 2 vÕ cho ta ®−îc1 2 0x x− ≠
2
1 2 1 2( 4) ( ) 2( 4)(1 )
3 3
m m
x x x x+ + − + + − + = 0
3
m
¸p dông hÖ thøc Viet ta cã thay vμo trªn råi rót gän ®−îc1 2 4x x+ =
gi¶i pt nμy ®−îc nghiÖm m=9 vμ m=10 tháa m·n (**)2
19 90 0m m− + =
*§¸p sè : m=9 vμ m=10