1. S GD & T THANH HOÁ
TRƯ NG THPT H U L C 4
----------***----------
KI M TRA CH T LƯ NG D Y – H C B I DƯ NG L N 1
NĂM H C: 2011 - 2012
MÔN TOÁN, KH I A (Th i gian làm bài 180 phút)
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m)
Câu I (2,0 i m) Cho hàm s 3 2
3 1y x x= − + .
1. Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s .
2. Tìm hai i m M, N thu c th (C) sao cho dài o n MN b ng 32 và ti p tuy n c a (C) t i M và
N song song v i nhau.
Câu II (2,0 i m)
1. Gi i phương trình
2 sin( )
4 (1 sin2 ) cot 1
sin
x
x x
x
π
−
+ = + .
2. Gi i b t phương trình − ≤ + +3 2
3 1 2 3 1x x x .
Câu III (1,0 i m) Tính tích phân
1
0
3 2
1
x x
x
xe e
I dx
xe
+ +
=
+∫ .
Câu IV (1,0 i m) Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác vuông cân nh A, = 2BC a . G i O là
trung i m c a BC, hình chi u vuông góc H c a S lên m t áy ( )ABC th a mãn: 2 0OA OH+ = , góc
gi a SC và m t áy ( )ABC b ng 0
60 . Hãy tính th tích kh i chóp .S ABC và kho ng cách t trung i m I
c a SB t i m t ph ng ( )SAH .
Câu V (1,0 i m) Gi i h phương trình
2 2 4 2
2 (4 3 ) ( 3)
2012 ( 2 2 5 1) 4024x
y y x x x
y x x
 + = +

− + − + =
PhÇn riªng (3,0 ®iÓm)
ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B)
A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn
C©u VI.a (2,0 i m)
1. Trong m t ph ng t a Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm (2;1)I và = 2AC BD . i m
1
(0; )
3
M thu c
ư ng th ng AB, i m (0;7)N thu c ư ng th ng CD. Vi t phương trình ư ng chéo BD bi t nh B
có hoành dương.
2. Trong không gian t a Oxyz, cho hai i m (1;8;9)A và − − −( 3; 4; 3)B . Tìm t a i m C trên m t
ph ng Oxy sao cho tam giác CAB cân t i C và có di n tích b ng 1672 .
C©u VII.a (1,0 i m) Cho t p h p { }2
2 31 15 0X x N x x= ∈ − + ≤ . Ch n ng u nhiên t t p X ba s t
nhiên. Tính xác su t ba s ư c ch n có t ng là m t s l .
B. Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao
C©u VI.b (2,0 i m)
1. Trong m t ph ng t a Oxy, cho ư ng tròn ( ) 2 2
: 2+ =C x y . Vi t phương trình ti p tuy n c a
ư ng tròn (C) bi t ti p tuy n ó c t các tia Ox, Oy l n lư t t i A và B sao cho tam giác OAB có di n
tích nh nh t.
2. Trong không gian t a Oxyz, cho tam giác ABC có (3;1;0)A , nh B n m trên m t ph ng Oxy và
nh C n m trên tr c Oz. Tìm t a các i m B và C sao cho i m (2;1;1)H là tr c tâm c a tam giác
ABC.
Câu VII.b (1,0 i m) Gi i phương trình ( ) ( ) ( )8
4 22
1 1
log 3 log 1 log 4 .
2 4
+ + − =x x x
-------------------- HÕt --------------------
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. S GD & T THANH HOÁ
TRƯ NG THPT H U L C 4
----------***----------
®¸p ¸n – thang ®iÓm
®Ò kiÓm tra chÊt l−îng d¹y - häc båi d−ìng LÇn 1
n¨m häc: 2011 – 2012- m«n to¸n, khèi A
( áp án – Thang i m g m 05 trang)
Câu N i dung i m T ng
I.1
Kh o sát hàm s .
0
1 . T p xác nh: D=R
0
2 . S bi n thiên:
Gi i h n: ( ) ( )3 2 3 2
lim 3 1 ; lim 3 1
→−∞ →+∞
− + = −∞ − + = +∞
x x
x x x x
y’=3x2
-6x=0
0
2
x
x
=
⇔  =
B ng bi n thiên:
x -∞ 0 2 + ∞
y’ + 0 - 0 +
1 + ∞
y
-∞ -3
Hàm s ng bi n trên m i kho ng: (-∞;0) và (2; + ∞)
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng (0;2)
C c tr : Hàm s t c c i t i x = 0, giá tr c c i b ng 1
Hàm s t c c ti u t i x = 2, giá tr c c i b ng -3.
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
( i m)
I.2
Tìm hai i m M, N
Gi s 3 3
( ; 3 1), ( ; 3 1) ( )M a a a N b b b a b− + − + ≠
Vì ti p tuy n c a (C) t i M và N song song suy ra
y a y b( ) ( )′ ′= ⇔ a b a b( )( 2) 0− + − = ⇔b = 2 – a ⇒ a ≠ 1 (vì a ≠ b).
2 2 3 2 3 2 2
( ) ( 3 1 3 1)MN b a b b a a= − + − + − + −
=[ ]
22 3 3
2(1 ) ( 1) ( 1) 3( )a b a b a − + − − − − − 
=
2
2 3
4( 1) 2(1 ) 6(1 )a a a − + − − −  = a a a6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1)− − − + −
2
32MN = ⇔ a a a6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1)− − − + − = 32 . t 2
( 1)t a= −
Gi i ra ư c t = 4 ⇒ a b
a b
3 1
1 3
 = ⇒ = −
 = − ⇒ =
⇒ M(3; 1) và N(–1; –3)
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
( i m)
0
3 . th
Có y’’= 6x-6
y’’ = 0 và y’’ i d u t i
x =1→ i m u n là I(1;-1)
Nh n xét:
th hàm s nh n i m
I(1;-1) là tâm i x ng

3. II.1
Gi i phương trình:
2 sin( )
4 (1 sin2 ) cot 1
sin
x
x x
x
π
−
+ = + .
i u ki n: sin 0x ≠
[ ]
π
π
π
π
⇔ − + = +
⇔ + − + − =
⇔ + − =

⇔

=

= − +⇔

=
2
(cos sinx)(cos sinx) cos sinx
(cos sinx) (cos sinx)(cos sinx) 1 0
(cos sinx)( os2 1) 0
2 sin(x+ )=0
4
os2 1
(tháa m·n §K)
4
(kh«ngtháa m·n §K)
PT x x x
x x x
x c x
c x
x k
x k
V y phương trình có nghi m
π
π= − + ∈( ).
4
x k k Z
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
( i m)
II.2
Gi i b t phương trình
i u ki n: x ≥≥≥≥ 1
− ≤ + + ⇔ − + + ≤ − + + +3 2 2 2
3 1 2 3 1 3 1. 1 ( 1) 2( 1)x x x x x x x x x
Chia hai v cho x2
+ x + 1, ta ư c b t phương trình tương ương
2 2
1 1
3 2
1 1
x x
x x x x
− −
≤ +
+ + + +
t t =
1
1
2
++
−
xx
x
, t≥≥≥≥ 0, ta ta ư c b t phương trình:
2
3 2 1t t t≤ + ⇔ ≤ ho c 2t ≥
+ V i 1t ≤ , ta có:
2 2
2
1
1 1 1 2
1
x
x x x x
x x
−
≤ ⇔ − ≤ + + ⇔ ≥ −
+ +
(luôn úng)
+ V i 2t ≥ , ta có:
2 2
2
1
2 1 4( 1) 4 3 5 0
1
x
x x x x x
x x
−
≥ ⇔ − ≥ + + ⇔ + + ≤
+ +
(vô nghi m)
V y b t phương trình ã cho có nghi m x ≥≥≥≥ 1.
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
( i m)
III
Tính tích phân
1 1 1
0 0 0
1
0
3 2
(2 ) 2
1 1 1
x x x x x x
x x x
xe e xe e xe e
I dx dx x dx
xe xe xe
+ + + +
= = + = +
+ + +∫ ∫ ∫
Xét
1
0 1
x x
x
xe e
J dx
xe
+
=
+∫ . t 1 ( )x x x
t xe dt xe e dx= + ⇒ = +
i c n: 0 1, 1 1x t x t e= ⇒ = = ⇒ = +
T ó
1
1
1
ln ln( 1)
1
e
edt
J t e
t
+
+
= = = +∫
V y 2 ln( 1)I e= + +
0,25
0,25
0.25
0,25
1,0
( i m)
Tính th tích, kho ng cách
Ta có 2 0OA OH+ = nên H thu c tia i c a tia OA và OA = 2OH
BC = AB 2 a2= 2AB AC a⇒ = = ; AO = a ; OH =
2
a
AH = AO + OH =
2
3a 0,25

4. IV
6
15
2
15
)2(
2
1
.
3
1
.
3
1 3
2
.
aa
aSHSV ABCABCS === ∆
Ta có
⊥ 
⇒ ⊥
⊥ 
( )
BO AH
BO SAH
BO SH
( ,( )) 1
( ,( )) 2
d I SAH SI
d B SAH SB
⇒ = =
⇒ = = =
1 1
( ,( )) ( ,( ))
2 2 2
a
d I SAH d B SAH BI
0,25
0,25
0,25
1,0
( i m)
V
Gi i h phương trình:
2 2 4 2
2 (4 3 ) ( 3) (1)
2012 ( 2 2 5 1) 4024 (2)x
y y x x x
y x x
 + = +

− + − + =
N u x = 0, t (1) suy ra y = 0. Khi ó không th a mãn (2). V y 0x ≠
Chia c 2 v c a (1) cho 3
x , ta ư c:
3 32 2
( ) 3. 3
y y
x x
x x
+ = + (3)
Xét hàm s 3
( ) 3 ,f t t t t R= + ∈ . D th y f(t) là hàm s ng bi n trên R
Do ó t (3) ta ư c
2y
x
x
= , hay 2
2y x= .
Th vào (2) ta có: 1 2
2012 ( 1) 4 ( 1) 2x
x x−  − + − − =
  
t u = x – 1, ta ư c phương trình : 2
2012 ( 4 ) 2u
u u+ − = (4)
L i xét hàm s 2
( ) 2012 ( 4 ) 2u
g u u u= + − = trên R.
Có 2
2
'( ) 2012 ln2012( 4 ) 2012 ( 1)
4
u u u
g u u u
u
= + − + −
+
2
2
1
2012 ( 4 )(ln2012 )
4
u
u u
u
= + − −
+
Vì 2
4 0u u+ − > và
2
1
1 ln2012
4u
< <
+
nên g’(u)>0 v i m i u R∈
Suy ra hàm s g(u) ng bi n trên R. M t khác g(0)=2 nên u = 0 là nghi m
duy nh t c a (4). T ó x = 1 và
1
2
y = .
V y h PT có 1 nghi m duy nh t
1
( ; ) (1; )
2
x y = .
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
( i m)
Ta có 2 2 5
2
a
HC HO OC= + =
Vì ⇒⊥ )(ABCSH
0
60))(;( ==
∧∧
SCHABCSC
2
15
60tan 0 a
HCSH == ;

5. VI.a.1
Vi t phương trình ư ng chéo BD
N
D
I
A C
B
N'M
Phương trình ư ng th ng AB(qua M và N’): 4x + 3y – 1 = 0
Kho ng cách t I n ư ng th ng AB:
2 2
4.2 3.1 1
2
4 3
d
+ −
= =
+
AC = 2. BD nên AI = 2 BI, t BI = x, AI = 2x. Trong ∆vuông ABI có:
2 2 2
1 1 1
4d x x
= + suy ra x = 5 suy ra BI = 5
i m B là giao i m c a ư ng th ng 4x + 3y – 1 = 0 v i ư ng tròn tâm I
bán kính 5
T a B là nghi m c a h : 2 2
4x 3y – 1 0
( 2) ( 1) 5x y
+ =

− + − =
B có hoành dương nên B( 1; -1).
V y phương trình ư ng chéo BD ( i qua B và I) là: 2x – y - 3 = 0.
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
( i m)
VI.a.2
Tìm t a i m C
G i C(a ;b ;0). Ta có CA = CB hay CA2
= CB2
2 2 2 2 2 2
( 1) ( 8) 9 ( 3) ( 4) 3 14 3a b a b a b⇔ − + − + = + + + + ⇔ = −
G i I là trung i m c a AB. Ta có I(-1 ;2 ;3). 304AB = .
Vì tam giác ABC cân t i C nên
2
22ABC
S
CI
AB
∆
= =
Ta có C(14-3b; b; 0). 2 2 2
22 (15 3 ) ( 2) 3 22CI b b= ⇔ − + − + =
T ó b = 4 ho c
27
5
b = . Suy ra
11 27
(2;4;0) ; ;0)
5 5
C hoÆc C(-
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
( i m)
VII.a
Tính xác su t
Ta có − + ≤ ⇔ ≤ ≤2 1
2 31 15 0 15
2
x x x .Vì x thu c N nên { }= 1;2;3;...;15X .
S cách ch n ng u nhiên 3 s t nhiên trong t p X là 3
15C .
t ng 3 s ó là s l , ta có các trư ng h p:
+ C 3 s u l : S cách ch n là 3
8C (vì t p X có 8 s l và 7 s ch n)
+ Có 2 s ch n và 1 s l : S cách ch n là 2 1
7 8.C C
⇒s cách ch n 3 s có t ng là 1 s l là 3
8C + 2 1
7 8.C C .
V y xác su t c n tìm là:
+
= = =
3 2 1
8 7 8
3
15
. 224 32
455 65
C C C
P
C
.
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
( i m)
G i N’ là i m i x ng c a N
qua I thì N’ thu c AB, ta có :
'
'
2 4
2 5
N I N
N I N
x x x
y y y
= − =

= − = −