3. Ta có d(I ;d) = 0
4
0
2
1
1
1
( 1)
-
+
-
x
x
Xét hàm số f(t) =
4
2
( 0)
1
t
t
t
>
+
ta có f’(t) =
2
4 4
2(1 )(1 )(1 )
(1 ) 1
- + +
+ +
t t t
t t
0.25
f’(t) = 0 khi t = 1
Bảng biến thiên
x 0 1 +¥
f’(x) + 0
f(x) 2
Từ bảng biến thiên ta cã d(I ;d) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay
0
0
0
2
1 1
0
x
x
x
=é
- = Û ê
=ë 0.25
+ Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến d cã pt là y = x
+ Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến d cã pt là y = x+4
0.25
II
(2,0®)
1
(1,0®) 1. Giaûi heä phöông trình : (I)
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
ì + + + =
í
+ + + + =î
(I)
ì + + + =ï
Û í
+ + + + = Þ = -ïî
2 2
2 2
x y x y 4
x y x y xy 2 xy 2
§Æt = + = ³ Þ = + + Þ + = -2 2 2 2 2 2 2
S x y;P xy(S 4P) S x y 2xy x y S 2P
Vaäy ( )
ì = -
ì - + = ïï
Û Û é =í í
ê- + =ï ïî = -ëî
2
2
P 2
S 2P S 4
I S 0
S P S 2
S 1
ì + =
í
= -î
1
x y 0
TH :
xy 2
vaäy x, y laø nghieäm cuûa phöông trình + - =2
X 0X 2 0
Vaäy heä coù 2 nghieäm
x 2
x 2
ì =ï
í
= -ïî
hay
x 2
y 2
ì = -ï
í
=ïî
ì + = -
í
= -î
2
x y 1
TH :
xy 2
vaäy x,y laø nghieäm cuûa phöông trình 2
X X 2 0+ - =
Þ = = -X 1hay X 2. Vaäy heä coù 2 nghieäm
x 1
y 2
=ì
í
= -î
V
x 2
y 1
= -ì
í
=î
Toùm laïi heä Pt (I) coù 4 nghieäm
x 2
y 2
ì =ï
í
= -ïî
V
x 2
y 2
ì = -ï
í
=ïî
V
x 1
y 2
=ì
í
= -î
V
= -ì
í
=î
x 2
y 1
0,5
0,5
4. O
C
B
A
D
S
H
2
(1,0®)
2. Tìm nghieäm treân kho¶ng (0; p ) cuûa phöông trình :
2 2 3
4sin 3 cos 2 1 2cos ( )
2 4
x
x x
p
- = + - (1)
(1) ( )
3
2 1 cosx 3 cos2x 1 1 cos 2x
2
pæ ö
Û - - = + + -ç ÷
è ø
(1) 2 2cosx 3 cos2x 2 sin2xÛ - - = -
(1) 2cosx 3 cos2x sin2xÛ - = - . Chia hai veá cho 2:
(1) Û - = -
3 1
cosx cos2x sin2x
2 2
( )cos 2x cos x
6
pæ ö
Û + = p -ç ÷
è ø
( ) ( )hoÆc
p p p
Û = + = - + p
5 2 7
x k a x h2 b
18 3 6
Do ( )x 0,Î p neân hoï nghieäm (a) chæ choïn k=0, k=1, hoï nghieäm (b) chæ choïn
h = 1. Do ñoù pt(1) coù ba nghieäm x thuoäc ( )0,p laø: 1 2 3
5 17 5
x ,x ,x
18 18 6
p p p
= = =
0,5
0,5
III
(1,0®)
(1,0®)
Tính tích phân: I =
4
0
tan .ln(cos )
cos
x x
x
x
p
ò d
Đặt t=cosx
dt=sinxdx , đổi cận: x=0 thì t=1 ,
4
x
p
= thì
1
2
t =
Từ đó
1
1 2
2 2
1 1
2
ln ln t t
I dt dt
t t
= - =ò ò
*Đặt 2
1
ln ; u t dv dt
t
= =
1 1
; du dt v
t t
Þ = = -
Suy ra
1
2
1
2
1 1
1 1 2 1
ln ln 2 1 1
2
2 2
I t dt
t t t
= - + = - -ò
*Kết quả
2
2 1 ln 2
2
I = - -
0,5
0,5
IV
1,0®
Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.
Ta có
1
( . . )
2
D = D Þ = = SBD CBD c c c SO CO AC
Vậy tam giác SCA vuông tại S.
2 2 2
1Þ = + = + CA SC SA x
Mặt khác ta có
2 2 2 2 2 2
AC BD AB BC CD AD+ = + + +
2
3 ( 0 3) BD x do xÞ = - < <
0,5
5. 2 2 1 1
2. . 1 3
2 2
Þ = = + - ABCD S BD CO x x
Gọi H là hình chiếu của S xuống (ABCD)
Vì SB = SD nên HB = HD
Þ H Î CA 0,25
Do tam gi¸c SCA vu«ng t¹i S vµ SH lµ ®êng cao nªn:
2 2 2 2
1 1 1
1
x
SH
SH SC SA x
= + Þ =
+
Vậy V = 2 1 1
. 3 ( )
3 6
= - ABCD S SH x x dvtt
0,25
V
(1,0®)
1,0®
Chøng minh r»ng neáu 0 1 y x£ £ £ thì
1
4
x y y x- £ . Ñaúng thöùc xaûy ra khi
naøo?
Ta coù 2
0 x 1 x x£ £ Þ ³ (*)
1 1
x y y x x y y x
4 4
- £ Û £ + (1)
Theo baát ñaúng thöùc Cauchy vµ (*) ta coù:
+ ³ + ³ =2 21 1 1
y x yx 2 yx . x y
4 4 4
. VËy
1
x y y x
4
- £
Daáu “= ’’xaûy ra
ì
£ £ £ï =ì
ï ï
Û = Ûí í
=ï ïîï =
î
2
2
0 y x 1 x 1
x x 1
y
1 4
yx
4
0,25
0,75
VI.a
(2,0®)
1
(1,0®)
1. Cho đường tròn (T): x 2
+ y 2
– 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d:
01yx =-+ . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (T) biết A
Î d.
y
0 2 4 6 x
A D
–3 I
–5 B C
Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2
Tọa độ của I(4, –3) thỏa m·n phương trình (d): x + y – 1 = 0. Vậy I Î d
Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn (T), có bán
kính R = 2.V× d song song víi ®êng th¼ng y=-x nªn gãc gi÷a d vµ Ox b»ng
450
,do ®ã h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh ®i qua A vµ song song víi Ox.
Hai ®êng th¼ng x = 2 và x= 6 là 2 tiếp tuyến của (T ) nên:
. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2 Þ A(2, –1)
Khi A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)
6. . Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6 Þ A(6, –5)
Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) 0,25
2
(1,0®)
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
1
1
: 2
2
x t
d y t
z t
= -ì
ï
=í
ï = - +î
và 2 : 1 3
1
x t
d y t
z t
=ì
ï
= +í
ï = -î
. Lập phương trình mặt cầu có đường kính là
đoạn vuông góc chung của d1 và d2.
Gọi M (1 t ; 2t ; 2 + t) 1 dÎ , N(t’ ; 1+3t’ 1 t’) 2 dÎ
Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là 1 ( 1;2;1) u = -
ur
, đường thẳng d2 có vecto
chỉ phương là 2 (1;3; 1) u = -
uur
.
( ' 1;3 ' 2 1; ' 3) MN t t t t t t= + - - + - - +
uuuur
MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 khi và chỉ khi
1
2
. 0 2 ' 3 3 0
11 ' 4 1 0 . 0
MN u t t
t t MN u
ì = - + =ìï
Ûí í
- - == îïî
uuuur ur
uuuur uur
3
'
5
7
5
t
t
ì
=ïï
Û í
ï =
ïî
Do đó M(
2 14 3
; ;
5 5 5
- -
), N(
3 14 2
; ;
5 5 5
).
Mặt cầu đường kính MN có bán kính R =
2
2 2
MN
= và tâm I(
1 14 1
; ;
10 5 10
-
) có
phương trình 2 2 2 1 14 1 1
( ) ( ) ( )
10 5 10 2
x y z- + - + + =
0,75
0,25
3
(1,0®)
2. T×m phÇn thùc cña sè phøc (1 )= + n
z i : ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4, *- + + = Υ n n n
.
Hµm sè f(x) = ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 x x- + + lµ hµm sè ®ång biÕn trªn (3; +∞) vµ
f(19) = 4. Do ®ã ph¬ng tr×nh ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4 n n- + + = cã nghiÖm duy nhÊt
19 n = .
w 1 2( os isin )
4 4
i c
p p
= + = + . Với n = 19 ¸p dụng c«ng thức Moavrơ ta cã:
19 19 19 19 19 3 3
w ( 2) os isin ( 2) os isin
4 4 4 4
z c c
p p p pæ ö æ ö
= = + = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Suy ra phần thực của z là : ( )
19 19 3 2
2 os ( 2) . 512
4 2
c
p
= - = - .
0,5
0,5
VI.b
(2,0®)
1
(1,0®)
1.Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn (C1):x 2
+ y 2
= 13 và (C2):(x 6) 2
+
y 2
= 25cắt nhau tạiA(2; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C1),
(C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C1) và (C2) lần lượt là M và
N .Gọi M(x; y) 2 2
1 ( ) 13 C x yÎ Þ + = (1)
Vì A là trung điểm của MN nên N(4 – x; 6 – y).
Do N 2 2
2 ( ) (2 ) (6 ) 25 (2)Î Þ + + - = C x y
