1. ĐỀ SỐ 1
www.toanpt.net

2. HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I:
1. Bạn tự giải
(3;0) MN =
uuuur
Phương trình đường thẳng MN: y =2
( C): y = 3 2
3 4 x x+ -
2
' 3 6 y x x= +
0
' 0
2
x
y
x
=é
Þ = Û ê = -ë
Hàm số đạt cực đại tại điểm A(­2 ;0) và đạt cực tiểu tại điểm B(0 ;­4)
Vì MNPQ là hình bình hành nên // MN PQ Þ pt đường thẳng PQ (d) có dạng y = a
Kết hợp với đk (d) cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt P, Q nên (d) đi qua A hoặc B
+Trường hợp (d) qua A ta có pt (d) là y = 0
Phương trình hoành độ giao điểm (d) và ( C ) là: 3 2
3 4 0 x x+ - =
1
2
x
x
=é
Û ê = -ë
(1;0) PÞ ; Q(­2 ;0)
Ta có: ( 3;0) PQ = -
uuur
cùng phương với MN
uuuur
nên thoả
+Trường hợp (d) đi qua B nên pt (d) là y = ­4
Chứng minh tương tự ta được P(­3;4) , Q(0; ­4) (3;0) PQÞ =
uuur
nên thoả
Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là :y = 0 hoặc y = ­4
Câu II:
1) 2 2
3 4sin 2 2sin 4
3
6sin 2cos
sin
3
x x
x x
x
p
p
æ ö
- + +ç ÷
è ø = -
æ ö
-ç ÷
è ø
(1)
Đk : sin 0
3 3
x x k
p p
p
æ ö
- ¹ Û ¹ +ç ÷
è ø
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
3 2 sin 2 3 cos2 2sin 4 sin 3 3cos2 1 cos2
3
2cos2 1 2sin 2 3 sin 3 cos 1 2cos2
2cos2 1 2sin 2 3 sin 3 cos 0
3 1 3
2cos2 1 sin 2 sin cos 0
2 2 2
2cos2 1 2sin cos cos
6 6
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
p
p p
æ ö
Þ - + + = - - - -ç ÷
è ø
Û - - = - -
Û - - + - =
æ ö
Û - - + - =ç ÷ç ÷
è ø
æ ö æ ö
Û - - + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
0
6
x
pé ùæ ö
+ =ç ÷ê ú
è øë û

3. 6
1
cos2
2
6
cos 0
6
3
1
sin 2 6 2 3
2
x k
x
x k
x
x k
x x k
x k
p
p
p
p
p
p
p
p p
p
p p
é
= +ê
é ê
= -ê ê = +ê ê
ê æ ö êÛ + = Ûê ç ÷ ê = +è øê ê
ê êæ ö
- =ê ç ÷ ê = +
è øë ê
ê = +ë
Kết hợp với đk ta có họ nghiệm là
6
6
2
3
2
x k
x k
x k
x k
p
p
p
p
p
p
p p
é
= +ê
ê
-ê = +
ê
ê
ê = +
ê
ê = +ë
với k ZÎ
2)
( )
( )( )
2
2 1 2 1
2
2 3 2 4
x y
x y
x y x y x y
ì -
ï + + + =
í
ï + + + + =î
Đk:
1
2 1 0 2
2 1 0 1
2
x
x
y
y
-ì
³ï+ ³ì ï
Ûí í
+ ³ -î ï ³
ïî
Từ phương trình thứ 2 ta có: ( 1)( 2 4) 0 x y x y+ - + + =
Mà theo đk ta có:
1
3 2
2 2 4 0
1 2
2
x
x y x y
y
-ì
³ï -ï
Þ + ³ Þ + + >í
-ï ³
ïî
1 x yÞ + = (1)
Đặt 2 1 x a+ = , 2 1 y b+ = với , 0 a b ³
2 2
2( ) a b x yÞ - = - và 2 2
4 a b+ = (2)
Từ phương trình thứ nhất ta có:
2 2 2
1
2 2
a b
a b
æ ö-
+ = ç ÷
è ø
(3)
Xét 0 a b+ =
1
2
x y
-
Û = = không thoả (1) nên loại
0 a bÞ + ¹ nên từ (3) 2
( )( ) 8 a b a bÞ + - = (4)
Đặt a b u+ = , ab v= với 2
4 u v³ (*)
Từ (2) và (4) ta có hệ : 2
2 8
2 4
u uv
u v
- =ì
í
- =î

4. j
K
I
J
H
O
D
C
B
A
S
Giải hệ trên ta được
2
5 1
u
u
=é
ê
= -ë
+ Trường hợp: u =2 ta có
3
2
2 2 1
2 0 2
2 0 1
2 2 2
3
2
x
a b a
y
a b b
a b a
x
a b b
y
éì
=êïï
êíé é+ = =ì ì -êïí íê ê =
ê- = = ïî î îê êÛ Û êê ê+ = = -ì ì ìê =ê êí í ïêï- = - =ê êî îë ë íê
ïê =
ïêîë
+ Trường hợp : 5 1 u = - thì 1 5 v = + không thoả (*) nên loại
Vậy hệ có 2 cặp nghiệm (x ;y) =
3 1 1 3
; ; ;
2 2 2 2
- -æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu III:
( ) 1
ln
2 ln 2 ln
xdx
x x x+ + -
ò
l
( )
( ) ( )
( )
1 1 1
1 1
3 3
1
2 ln 2 ln 1 2 ln 2 ln
2 2
1
2 ln 2 ln 2 ln 2 ln
2
1
(2 ln ) (2 ln )
3
3 3 4 2 1
3
x x dx xdx xdx
x x x
xd x xd x
x x
+ - - æ ö+ -
= = -ç ÷ç ÷
è ø
é ù
= + + + - -ê ú
ë û
é ù= + + -
ê úë û
- +
=
ò ò ò
ò ò
l l l
l l
l
Câu IV:
Ta có: S.ABCD là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau
ABCD nội tiếp
ABCD là hình chữ nhật (vì theo giả thiết ABCD là hình bình hành)
Gọi J là hình chiếu của O trên AD
Đặt DC = x
OH =
Dễ CM: J là trung điểm AD
SJ vuông góc với AD
SJ =
Tam giác SHO vuông tại O ta có:
(h = SO)
VS.ABCD = SABCD.SO =
VS.ABCD max ó 4xh max
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:
2x.(2h)
VS.ABCD max ó
X = 2h = 2a

5. Gọi M, N lần lượt là trung điểm DC, BC
MN =
SM =
SN =
Xét tam giác SMN, ta có:
cosMSN =
Ta có: SO vuông góc CD; OM vuông góc CD
(SOM) vuông góc CD
(SOM) vuông góc (SDC)
Kẻ OH vuông góc SM
OH vuông góc (SDC)
Tương tự: kẻ OK vuông góc SN
OK vuông góc (SBC)
Vậy góc giữa (SDC) và (SBC) là góc giữa OH và OK
Tam giác SOM vuông tại O có OH vuông góc SM:
Tam giác SON vuông tại O có OK vuông góc SN:
Tam giác SHK ta có:
Tam giác KOH ta có:
cosKOH =
Vậy cosin góc giữa (SBC) và (SDC) là
Câu V: 5 2 54 2 14 P x x y= - + - -
2 2 2 2
2 1 2 14 50 x y x x y x y= + - + + + - - +
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
1 7 1
7 7
7 7
x y y x
y y y y
y y
= - + + - + -
³ + - = + -
³ + - =
Đẳng thức xảy ra khi
2 2
1 0
1
(7 ) 0
3
4
x
x
y y
y
x y
- =ì
=ìï ï
- ³ Ûí í
=ïîï + =î
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 khi
1
3
x
y
=ìï
í
=ïî
A. Theo chương trình chuẩn:
Câu VI a.

6. 1) ( ) 1 C có tâm 1 (3; 4) I - bán kính 1 3 2 R =
( ) 2 C có tâm 1 ( 5;4) I - bán kính 1 5 2 R =
Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm ( ; 1) I a a -
Vì (C) tiếp xúc ngoài với ( ) 1 C và ( ) 2 C nên ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1
2 2
2 2
3 3 3 2
5 5 5 2
a a R II R R
II R R a a R
ì - + + = += +ì ï
Ûí í
= + + + - = +î ïî
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3 3 3 2 5 5 5 2
32 2 2
a a a aÞ - + + - = + + - -
Û =
Vậy không có đường tròn (C) cần tìm
2) Phương trình mặt phẳng (P) qua A(a;0;0) ,B(0;b;0) ,C(0;0;c) có dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
Mà (P) qua I(1;1;1) nên
1 1 1
1
a b c
+ + = (1)
Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA = IB = IC
2 2 2
2 2 2
(1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) 2
(1 ) (1 ) (1 )
a b c
a b c
Û - + = - + = - +
Û - = - = -
+ a = b = c thì (1) ta có a = b = c = 3
Þ pt (P) là: 3 0 x y z+ + - =
+ a = b và c = 2­ a thì (1) vô nghiệm
C/M tương tự trường hợp a = c và b = 2 –a với TH b = c và a= 2 –c cũng vô nghiệm
Vậy (P) :x + y+ z ­3 =0
Câu VII a.
Đặt 2 2
1 z x yi x y= + Þ + = với , x y RÎ
Đặt ( ) ( )
2 2
3 2 ( 3) ( 2) 3 2 14 2(3 2 ) z i x y i x y x yw w= - + Þ = - + + = - + + = - -
Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có: 2 2 2
(3 2 ) (9 4)( ) 13 x y x y- £ + + =
13 3 2 13 x yÞ - £ - £ 2 13 2(3 2 ) 2 13 x yÛ - £ - - £
14 2 13wÞ ³ -
Vậy 3 2 z i- + nhỏ nhất bằng 14 2 13- khi
2 2
3
1 13
2 3 2 13
13
x
x y
x y y
ì
=ïì + =ï ï
Ûí í
-- =ï ïî =
ïî
Vậy số phức
3 2
13 13
z i= -
B.Theo chương trình nâng cao :
Câu VIb:
1) Gọi tọa độ B là :(b;12­2b)
Ta có:
M AB; N BC; AB vuông góc BC
BM vuông góc BN

7. Mà b > 5
b=6 vậy B có tọa độ (6;0)
Từ tọa độ điểm M và N ta có:
Phương trình đường thẳng AB: x + y – 6 = 0
Phương trình đường thẳng BC: x – y – 6 = 0
VTPT của BD:
VTCP của BD:
//
Ta có:
tanDBC = 3
CD = BC tanDBC = 3BC
Mặt khác: SABCD = BC.DC = 6
BC = ; DC =
Ta có AD // BC, AD có phương trình: x – y + k1 = 0
d ( B;AD) =
mà d ( B;AD) = BA =
=
Hoặc k = 0 hoặc k = ­12
Hoặc AD: x – y = 0 hoặc x – y – 12 = 0
Tương tự ta tìm được:
Hoặc DC: x + y – 8 = 0 hoặc x + y – 4 = 0
2)
OABC là tứ diện đều
ó Tất cả các cạnh của nó bằng nhau
Tam giác ABC đều
Mà G là trọng tâm tam giác ABC
G là tâm của tam giác đều ABC
Ta có:
Gọi M là trung điểm BC
M (3; )
Mặt khác AG vuông góc với BC. Gọi
(1)
Ta lại có OABC là tứ diện đều, G là tâm của đáy ABC
OG vuông góc (ABC)
OG vuông góc BC
(2)
Từ (1) và (2)

8. Chọn c = ­1 ta có b = 1
Vậy
BC:
B(3; t + ; ­t + )
Mặt khác OA = OB
Hoặc t = hoặc t =
Hoặc B(3;3;0) hoặc B(3;0;­3)
2) Ta có: ( 2;1;1) GA = -
uuur
6 GAÞ =
Gọi M( x;y;z) là trung điểm BC
Ta có:
1
2
MG GA=
uuuur uuur
mà ( 2;1;1) GA = -
uuur
; (2 ;2 ;2 ) MG x y z= - - -
uuuur
3 3
3; ;
2 2
M
æ ö
Þ ç ÷
è ø
( ) 2;2;2 OG =
uuur
Vì O.ABC là tứ diện đều nên ; ( ) OG BC AM BC BC AOM^ ^ Þ ^
( ) ( ) , 0; 6;6 // 0; 1;1 BC OG AGé ùÞ = = - -ë û
uuur uuur uuur
Mặt khác: ( ) ( ) 0; 6;6 // 0; 1;1 BC = - -
uuur
nên phương trình đt BC có dạng:
3
3
2
3
2
x
y t
z t
ì
ï =
ï
ï
= -í
ï
ï
= +ïî
Gọi
3 3
3; ;
2 2
B t t
æ ö
- +ç ÷
è ø
1 1
1; ;
2 2
BG t t
æ ö
Þ = - + -ç ÷
è ø
uuur
ABCD đều nên BG = AG 2
4 4 9 0 t tÛ + - =
1 10
2
1 10
2
t
t
é - +
=ê
êÛ
ê - -
=ê
ë
1 2
4 10 2 10 4 10 2 10
3; ; ; 3; ;
2 2 2 2
B B
æ ö æ ö- + + -
Þ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu VIIb. 2 2 2
z z z= +

9. 4 2 2
2 2 2
2 2 2
( 1)
( 1)
z z z
z z z
z z z
Û = +
Û - =
Þ - =
( ) 2 2 2
1 z z zÛ - = (1)
Thế 2 4 2
z z z= - vào (1) ta được :
( )( ) 2 2 4 2 2
1 1 z z z z z- - - =
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
0
1 1 1 1 1
z
z z z
é =
êÛ é ùê - - + - - =
ê úë ûë
+ 2
0 z = 0 zÞ =
+( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1 z z zé ù- - + - - =
ê úë û
(2)
Đặt 2
1 z t- =
(2) ( ) ( )
2 1
1 1 0
1
t
t t
t
= -é
Û + - = Û ê =ë
2
2
0
0
2
2
2
z
z
z
z
z
=é
é ê=
Þ Û =ê ê
=ë ê = -ë
Vậy có 3 số phức thoả mãn là: 0 z = ; 2 z = và 2 z = -
Đào Minh Quân, Đinh Tấn Hưng
Và tập thể lớp 12 Toán2 Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh
( Vì giải nhanh nên chắc có sự thiếu sót mong các bạn góp ý, chia sẻ)