20. บทที่ ๑ 20 Math E-Book Release 2.5 เพิ่มเติม จากเนือหาเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู่ ้ (กฎการนับนี้จะได้ศึกษาอย่างละเอียดในบทที่ ๑๓ หัวข้อ ๑๓.๓) เมื่อมีของ n ชิ้น สามารถหยิบออกมาทีละ r ชิ้น ได้ผลไม่ซากันทังสิ้น ้ํ ้ n n! r แบบ (nr)! r ! โดยที่สญลักษณ์ x! สําหรับจํานวนนับ มีนิยามว่า x ! 1 2 3 ... x ั เช่น ถ้าเซตหนึ่งมีสมาชิก 7 ตัว จะมีสับเซตทีหยิบสมาชิกมาเพียง 3 ตัว ่ 7 7! 12 3 4 5 6 7 อยู่ 3 35 แบบ 4! 3! 12 3 4 1 2 3(10) ให้ S {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} แล้ว ให้หา n(X) และ n(Y)เมื่อกําหนด X { A P(S) | 1 A และ 7 A }และ Y { A X | ผลบวกของสมาชิกภายใน A ไม่เกิน 6 } ๑.๒ แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต แผนภาพ การแสดงเซตด้วย แผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ (Venn-Euler ของเซต Diagram) ช่วยให้เห็นลักษณะความเกี่ยวข้องกันของสมาชิกระหว่างหลายๆ เซตได้ ชัดเจนขึ้น จึงเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาส่วนใหญ่ที่เกี่ยวกับเรื่องเซต ในการเขียน แผนภาพดังกล่าวนิยมแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยกรอบสี่เหลี่ยม และภายในบรรจุ รูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทนขอบเขตของเซต A, B, C ต่างๆ ซึ่งจะต้องเขียน ให้มีบริเวณที่เซตสองเซตซ้อนทับกัน หากว่าสองเซตนั้นมีสมาชิกร่วมกัน ดังภาพ U U U A A B A B B A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน A และ B มีสมาชิกร่วมกัน A เป็นสับเซตของ B (เรียกว่าเป็น disjoint sets) เพื่อความเป็นระเบียบและลดความสับสนในการคิดคํานวณ ถ้าไม่ทราบรูปแบบชัดเจน ควรจะวาดS แผนภาพเซต A และ B ให้มีสมาชิกร่วมกันก่อน (ในลักษณะเหมือนรูปกลาง) แล้วจากนั้นเมือ ่ คํานวณจนทราบแน่ชัดว่าชินส่วนใดไม่มีสมาชิก จึงค่อยแรเงาทิ้งไป ้
21. คณิต มงคลพิทักษสุข 21 เซต kanuay@hotmail.com ตัวอย่าง 1.6 กําหนดเอกภพสัมพัทธ์ U {0, 1, 2, 3, 4, ..., 11} ถ้า A เป็นเซตของจํานวนที่นอยกว่า 5, B เป็นเซตของจํานวนคีที่ไม่เกิน 9 ้ ่ และ C เป็นเซตของจํานวนเฉพาะ ให้เขียนแผนภาพแสดงเซต A, B และแสดงเซต A, B, C วิธีคิด จากโจทย์ จะทราบว่า A {0, 1, 2, 3, 4} , B {1, 3, 5, 7, 9}และ C {2, 3, 5, 7, 11} จึงเขียนแผนภาพแสดงเซต A, B ได้ดังนี้ และเขียนแผนภาพแสดงเซต A, B, C ได้ดังนี้ U 6 8 10 11 U 5 04 1 9 B 0 2 1 A 4 3 79 2 3 57 68 11 A B 10 Cการดําเนินการ ในพื้นฐานของวิชาคณิตศาสตร์ เราได้รู้จักการดําเนินการเกี่ยวกับจํานวนอยู่ เกี่ยวกับเซต หลายลักษณะ เช่น การบวก, การลบ, การคูณ, การหาร, การยกกําลัง, การถอด ราก, การหาค่าสัมบูรณ์ เป็นต้น ซึ่งล้วนแล้วแต่เป็นวิธีการทําให้เกิดจํานวนใหม่ขึ้น จากจํานวนที่มีอยู่เดิม การดําเนินการเกี่ยวกับเซตก็เป็นการทําให้เกิดเซตใหม่ขึ้นจาก เซตที่มีอยู่เดิมเช่นเดียวกัน ซึ่งการดําเนินการที่พบโดยทั่วไปมีอยู่ 4 ลักษณะ ได้แก่ 1. ยูเนียน (Union: ) เซต A B คือเซตของสมาชิกสมาชิกทั้งหมดของ A กับ B (เทียบได้กับคําว่า “A หรือ B”) ผลลัพธ์ที่ได้มักจะมีจํานวนสมาชิกเพิ่มขึ้น U U U A A B A B B ยูเนียนของ A กับ B ได้เป็น B 2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection: ) เซต A B คือเซตของสมาชิกตัวที่ปรากฏซ้ํากันใน A และ B (เทียบได้กับคําว่า “A และ B”) ผลลัพธ์ที่ได้มักจะมีจํานวนสมาชิกน้อยลง U U U A A B A B B อินเตอร์เซกชันของ A กับ B อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็นเซตว่าง ได้เป็น A