Don't forget to follow me @syifadhila ^^

1. 1
Nama : SyifaRahmi Fadhila
Kelas : SCI A
I. lingkaran
lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-
jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat.
Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian
dalam dan bagian luar.
II. Elemenlingkaran
Elemen-elemen yang terdapat padalingkaran, yaitu :
 Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
1. Titik pusat (P)
merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik
manapun pada lingkaran selalu tetap.
 Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
d r

2. 2
2. Tali busur (TB)
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua
titik yang berbeda.
3. Busur (B)
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit
dengan lingkaran.
4. Keliling lingkaran (K)
merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter (D)
merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-
jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
6. Apotema
merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
 Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1. Juring (J)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah
jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
2. Tembereng (T)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan
tali busurnya.
3. Cakram (C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-
jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

3. 3
III. Persamaan lingkaran
Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak
sama terhadap satu titik tertentu.

4. 4
Persamaan umum lingkaran adalah:
Mencari jarak antara 2 titik A (x1,y1) dan B (x2,y2):
Mencari jarak antara titik A (x1,y1) dan garis Ax+By+C=0 :
Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran
:
Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!
Jawab:

5. 5
Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola
dan menyinggung garis !
Jawab:
maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).

6. 6
IV. Persamaanparametrik
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu
Yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran
dalam ruang x-y.
V. Kedudukan garis terhadaplingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran,
substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.
Lihat diskriminannya:
Jika:
 D < 0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
 D = 0, berarti garis menyinggung lingkaran
 D > 0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.
Contoh 1:

7. 7
 Tentukanposisi garis:
o terhadaplingkaran
Jawab:
Karena , maka garis berada di luar lingkaran.
Contoh 2:
 Tentukanp agar garis terletakdi luarlingkaran
Jawab:
syarat:

8. 8
atau
Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan
nilai p : atau
VI. Persamaan garis singgung lingkaran
Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran
 Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:
 Jika persamaan lingkaran ( x – xp )2 + ( y – yp )2 = r2, maka persamaan
garis singgungnya:
 Jika persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka persamaan garis
singgungnya:
𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 +
1
2
𝐴( 𝑥 + 𝑥1) +
1
2
𝐵( 𝑦 + 𝑦1) + 𝐶 = 0
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√ 𝑚 + 1 atau 𝑦 − 𝑦 𝑝 = 𝑚(𝑥 − 𝑥 𝑝) ± 𝑟√ 𝑚 + 1
VII. Luas lingkaran

9. 9
Luas lingkaran memiliki rumus
Dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
Dalamkoordinat polar, yaitu
Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran,
seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat
dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam r1 dan jari-jari luar r2.

10. 10
Penjumlahan elemen juring
Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-
elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi
panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama
dengan R yaitu jari-jari lingkaran.
Luas juring
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan
fungsi dari R dan θ, yaitu;
Dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ bernilai 2π, juring yang
dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.
Luas cincin lingkaran
Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam r1dan
jari-jari r2 luar, yaitu:

11. 11
Dimana untuk r1 = 0 , rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.
Luas potongan cincin lingkaran
Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh
Yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.
VIII. Keliling lingkaran
Keliling lingkaran memiliki rumus:
Panjang busur lingkaran
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus
Yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva
Dimana digunakan

12. 12
Sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda ± mengisyaratkan bahwa
terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat
definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya
dikalikan dua.
IX. π(Pi)
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu
perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:
X. Garis Singgung Lingkaran
Garis Singgung Persekutuan Dalam
Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan
Q, dengan jari-jari R dan r. Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ,
sedangkan garis q merupakan garis singgung persekutuannya. Geser garis q melalui
perpanjangan PA sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis CQ dengan CQ//q.
Perhatikan segitiga PQC siku-siku di C, dengan pythagoras maka:
Karena CQ = q maka panjang garis singgung persekutuan dalam adalah:
𝑞 = √𝑝2 − (𝑅 + 𝑟)2
Keterangan:

13. 13
q = garis singgung persekutuan dalam
p = jarak kedua titik pusat lingkaran
R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r
Garis Singgung Persekutuan Luar
Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan
Q, dengan jari-jari r dan R. Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ,
sedangkan garis l merupakan garis singgung persekutuan luarnya. Geser garis l
sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis PR dengan PR//l. Perhatikan segitiga PQR
siku-siku di R, dengan pythagoras maka:
Karena PR = l, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah
𝑙 = √𝑝2 − (𝑅 − 𝑟)2
Keterangan:
l = garis singgung persekutuan luar
p = jarak kedua titik pusat lingkaran
R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r
XI. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

14. 14
Berdasarkan gambar di atas, kita dapat melihat bahwa garis k tidak memotong
lingkaran O, garis l menyinggung lingkaran O di titik A, dan garis m memotong lingkaran O di
titik-titik B dan C. Karena suatu garis singgung tepat melalui satu titik pada lingkaran
(misalkan titik A), maka garis singgung tersebut akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran
yang menghubungkan titik A dengan titik pusat lingkaran. Sifat dari garis singgung tersebut
dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran.
Menentukan Persamaan Garis Singgung
Pada bagian ini kita akan menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1, y1)
pada lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 = r2, yaitu lingkaran yang berpusat di titik (0,
0) dan berjari-jari r. Perhatikan ilustrasi berikut.

15. 15
Misalkan kita akan menentukan persamaan garis g yang melalui titik A(x1, y1), yaitu titik
pada lingkaran x2 + y2 = r2. Karena titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2 maka,
Selanjutnya kita buat ruas garis OA, yaitu ruas garis yang memiliki ujung-ujung di titik O
(pusat lingkaran) dan titik A. Sehingga gradien dari ruas garis tersebut adalah
Karena garis g tegak lurus dengan ruas garis OA, maka
Karena garis g melalui titik A(x1, y1) dan bergradien mg = –x1/y1, maka persamaan garis g
dapat ditentukan sebagai berikut.
Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh x1x + y1y = r2. Sehingga,
persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran x2 + y2 = r2 dapat
disimpulkan sebagai berikut.

16. 16
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah x1x +
y1y = r2.
Untuk lebih memahami mengenai persamaan garis singgung lingkaran, perhatikan contoh
berikut.
Contoh: Menentukan Persamaan Garis Singgung
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2, –3) pada lingkaran x2 + y2 = 13.
Pembahasan Dengan (x1, y1) = =(2, –3) dan x2 + y2 = 13, kita mendapatkan x1 = 2, y1 = –3, dan
r2 = 13. Sehingga persamaan garis singgung tersebut adalah
XII. IrisanDua Lingkaran

17. 17
Mencari titik potong dua lingkaran
• Eliminasi x2 dan y2 pada kedua persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan
garis yang melalui kedua titik potong lingkaran
• Substitusikan nilai x atau y dari garis tersebut ke salah satu persamaan lingkaran
sehingga diperoleh persamaan koordinat
• Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat pada langkah b
• Substitusikan nilai x atau y yang diperoleh ke persamaan lingkaran sehingga
mendapatkan pasangannya

18. 18

19. 19