પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની કેટલીક ખાસિયતો

1. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની ખાતસયિ
સુસ્મિિા વૈષ્ણવ
સંખ્યાઓની રસભરી દુનનયામાં પ્રાથનમક ડોકીયું

2. આપણે સંખ્યા ૮ લઈએ. આ ૮ વમતુઓને બે આડી રેખાિાં ગ ઠવીએ.
િ બરાબર ૪ - ૪ વમતુઓની બે રેખા િળે છે.
હવે, સંખ્યા ૯ લઈએ. િેને પણ આ જ રીિે ગ ઠવવા જિાં એક રેખાિાં ૪ અને એક રેખાિાં ૫ વમતુઓ રહે
છે.
@
પહેલાં ઉદાહરણિાં લંબચ રસ આકારે ગ ઠવાિી વમતુઓ, બીજા ઉદાહરણિાં એ આકાર બનાવિી નથી, એક
વમતુ જૂદી પડી જાય છે. સંખ્યા ૮ ની જેવી બીજી સંખ્યાઓ ૨, ૪, ૬, ૮, ૧૦,૧૨......િળે છે િેને બેકી
સંખ્યાઓ કહેવાય છે. સંખ્યા ૯ જેવી બીજી સંખ્યાઓ ૧,૩,૫,૭,૯,૧૧.......િળે છે િેને એકી સંખ્યાઓ
કહેવાય છે. ગણિરીની ક્રિયાિાં એકી અને બેકી સંખ્યા વારાફરિી આવે છે.
@ @ @ @
@ @ @ @
@ @ @ @
@ @ @ @

3. બધીજ બેકી સંખ્યાઓનું એક અગત્યનું લક્ષણ એ છે કે િે દરેકને આપણે િેનાથી નાની
સંખ્યાઓના ગુણાકાર િરીકે દર્ાાવી ર્કીએ છીએ.
દા. િ. ૬ = ૨*૩, ૬ = ૧*૬
૮ = ૨*૪, ૮ = ૪*૨, ૮ = ૨*૨*૨, ૮ = ૧*૮
અહીં ૬ ને ગુણાકાર રુપે દર્ાાવવા જે નાની સંખ્યાઓ િળે છે
િેને િિવાર લખીએ િ ૧, ૨, ૩ અને ૬ છે.
આ સંખ્યાઓને ૬ ના અવયવ કહેવાય.
બીજા ઉદાહરણિાં ૮ ના અવયવ ૧, ૨, ૪ અને ૮ છે.

4.  અવયવ ની વ્યાખ્યા સિજ્યા પછી નીચેની સંખ્યાઓ િપાસીએ.
૨ = ૧*૨.......અવયવ ૧ અને ૨.
૩ = ૧*૩.......અવયવ ૧ અને ૩.
૪ = ૧*૪, ૪ = ૨*૨.......અવયવ ૧,૨ અને ૪.
૫ = ૧*૫ .......અવયવ ૧ અને ૫.
૭ = ૧*૭.......અવયવ ૧ અને ૭.
૯ = ૧*૯, ૯ = ૩*૩.......અવયવ ૧,૩ અને ૯.
૧૦ = ૧*૧૦, ૧૦ = ૨*૫ ....અવયવ ૧, ૨ ,૫ અને ૧૦.
ઉપરની સંખ્યાઓના અવયવ જ િાં મપષ્ટ છે કે ક ઈ પણ સંખ્યાના બે અવયવ િ િળે જ
છે, િે છે, ૧ અને મૂળ સંખ્યા પ િે.
બીજા અવયવ ની સંખ્યા નક્કી નથી હ િી.
૧ અને મૂળ સંખ્યાની વચ્ચે એક પણ અવયવ ન હ ય.
દા.િ.:
૫ ના અવયવ ૧ અને ૫ જ છે. જ્યારે ૯ ના અવયવ િાં ૧ અને ૯ની વચ્ચે ૩ એ એક
અવયવ છે.
સંખ્યા ૧૦ લઈએ િ ૧ અને ૧૦ની વચ્ચે બે અવયવ ૨ અને ૫ છે. ક્રમશઃ......

5.  ઉપર ૩ કે ૫ જેવી સંખ્યાઓના બે જ અવયવ િળે છે, ૧ અને િે સંખ્યા પ િે. આવી સંખ્યાઓને
અતવભાજ્ય સંખ્યાઓ કહેવાય છે.
૧ થી ૧૦૦ સુધીની સંખ્યાઓિાં રહેલી અતવભાજ્ય સંખ્યાઓની યાદી બનાવીએ :
૨, ૩, ૫, ૭, ૧૧, ૧૩, ૧૭, ૧૯, ૨૩, ૨૯. ૩૧, ૩૭, ૪૧, ૪૩, ૪૭, ૫૩, ૫૯, ૬૧ , ૬૭, ૭૧,
૭૩, ૭૯,૮૩, ૮૯, ૯૭.
 ઉપરની વ્યાખ્યા પ્રિાણે ક ઈ પણ બેકી સંખ્યા અતવભાજ્ય નથી કારણ કે િેન ૨ અવયવ હંિેર્ાં
િળે જ. િાત્ર સંખ્યા ૨ પ િે એક જ એવી અતવભાજ્ય સંખ્યા છે કે જે બેકી છે. આિ ૨ પછીની
અતવભાજ્ય સંખ્યાઓ એકી સંખ્યાઓ જ હ ય.
 અતવભાજ્ય તસવાયની બાકીની બધી જ સંખ્યાઓ તવભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. આ સંખ્યાઓને દરેકને
િેનાથી નાના અતવભાજ્ય અવયવ ના ગુણાકાર મવરુપે દર્ાાવી ર્કાય છે.
દા. િ. ૫૧ = ૩*૧૭, ૧૦૦ = ૨*૨*૫*૫.
આ અતવભાજ્ય સંખ્યાઓ પાયાની ઈંટ જેવું કાિ કરે છે જેિાં ક ઈ પણ આપેલી સંખ્યાને િેનાથી નાની
અતવભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર મવરુપે દર્ાાવી ર્કાય છે.
દા. િ. ૧૮ = ૨*૩*૩, ૬૬ = ૨*૩*૧૧, ૭૫ = ૩*૫*૫
.... આગળથી ચાલુ

6. ૧૮ અને ૬૬ના અવયવ જ ઈએ િ ૨ એ બંન્નેન અવયવ છે, ૩ પણ બંન્નેન અવયવ છે.
આિ ૨ અને ૩ને ૧૮ અને ૬૬ના સાિાન્ય અવયવ કહેવાય.
બે સંખ્યાઓ વચ્ચે જેટલા સાિાન્ય અવયવ હ ય િેના ગુણાકારથી જે સંખ્યા િળે િેને િે
બે સંખ્યાઓન ગુરુત્તિ સાધારણ અવયવ કહેવાય. ટૂંકિાં િે ગુ.સા.અ. િરીકે લખાય છે.
આિ, ૧૮ અને ૬૬ ન ગુ.સા.અ. ૨*૩= ૬ છે.
૧૮ અને ૭૫ ન ગુ.સા.અ. ૩ છે.
૬૬ અને ૭૫ ન ગુ.સા.અ. ૩ છે.
૧૮, ૬૬ અને ૭૫ ન ગુ.સા.અ. ૩ છે.

7. હવે, ક ઇ પણ આપેલી સંખ્યા, નાની કે િ ટી, િેને અતવભાજ્ય અવયવ િાં તવભાજજિ કરવી
હ ય િ િે સંખ્યા ૨,૩,૫,૭,૧૧,૧૩......થી તનર્ેષ ભાગી ર્કાય છે કે કેિ િે ભાગાકાર
કરીને જ ઈ લઈએ છીએ. પણ, જ્યારે આ સંખ્યા બહુ િ ટી હ ય ત્યારે આ બહુ િહેનિનું
કાિ થાય છે. િ આ ક્રિયાિાં આપણી િહેનિ થ ડી બચાવે િેવી ઉપય ગી હકીકિ
જાણીએ.
 જે સંખ્યાના એકિના મથાન પર ૦,૨,૪,૬ કે ૮ હ ય િેને ૨ વડે તન:ર્ેષ ભાગી ર્કાય.
દા.િ. :
૨૩૮,૪૬,૧૭૦.
 જે સંખ્યાના બધા જ આંકડાઓન સરવાળ ૩ થી તન:ર્ેષ ભાગી ર્કાય િે સંખ્યાને ૩
વડે તન:ર્ેષ ભાગી ર્કાય.
દા.િ. :
૧૪૨૫.
૧+૪+૨+૫=૧૨, ૧૨ એ ૩ વડે તવભાજ્ય છે િેથી ૧૪૨૫ પણ ૩ વડે તવભાજ્ય
છે . ૧૪૨૫ = ૩*૪૭૫. ક્રમશઃ......

8.  આપેલી સંખ્યાના છેલ્લા બે આકડાથી બનિી સંખ્યા જ ૪ થી તવભાજ્ય હ ય િ િે
સંખ્યા પણ ૪ થી તવભાજ્ય છે. દા.િ.૧૭,૩૬૪.આ સંખ્યાના છેલ્લા એટલે કે દર્કન
આંકડ અને એકિન આંકડ સંખ્યા ૬૪ બનાવે છે.િે ૪ વડે તવભાજ્ય છે િેથી ૧૭૩૬૪
પણ ૪ વડે તવભાજ્ય છે. ૧૭૩૬૪ = ૪* ૪૩૪૧.
 જે સંખ્યાન એકિન આંકડ ૦ કે ૫ હ ય િે સંખ્યા ૫ વડે તન:ર્ેષ ભાગી ર્કાય છે.
દા. િ. ૧,૨૭,૩૯૫.
અહીં એકિના મથાને ૫ છે. િેથી આપેલી સંખ્યા ૫ વડે તવભાજ્ય છે.
૧,૨૭,૩૯૫ = ૫* ૨૫૪૭૯.
 જે સંખ્યાના બધા જ આંકડાઓન સરવાળ ૯ થી તવભાજ્ય હ ય િે સંખ્યા પ િે પણ ૯
થી તવભાજ્ય છે.
દા. િ. ૧૩,૨૧૨.
બધા જ આંકડાઓન સરવાળ ૧+૩+૨+૧+૨ = ૯.
એટલે કે ૧૩,૨૧૨ = ૯ *૧૪૬૮.
.... આગળથી ચાલુ
ક્રમશઃ......

9.  જે સંખ્યાના એકિન આકડ ૦ હ ય િેને ૧૦ વડે તન:ર્ેષ ભાગી ર્કાય છે.
દા. િ. ૨૭૪૮૦ = ૧૦ * ૨૭૪૮.
 આપેલી સંખ્યાને ૧૧ વડે તનર્ેષ ભાગી ર્કાય કે કેિ િે જ વા નીચેની રીિ છે.
પહેલાં એકિન આકડ +ર્િકન આંકડ +દસ હજારન આકડ +........િેળવ .
પછી, દર્કન આંકડ + હજારન આંકડ +લાખન આંકડ +..........િેળવ .
આ બે પક્રરણાિ િાં િળેલી સંખ્યાઓન િફાવિ કાઢ . જ િે િફાવિ ૦ કે ૧૧ કે
૧૧ ના ઘક્રડયાિાં આવિી સંખ્યા હ ય િ આપેલી મૂળ સંખ્યા પણ ૧૧ થી તનર્ેષ
ભાગી ર્કાય છે.
દા. િ. ૨૫૭૪૦. અહીં અનુિિે ૦+૭ + ૨ = ૯ અને ૪+૫ = ૯ થાય છે. વળી,
૯-૯=૦ થાય છે. હવે ૧૧ વડે ૨૫૭૪૦ ન ભાગાકાર કરિાં
૨૫૭૪૦ = ૧૧ * ૨૩૪૦ િળે છે.
.... આગળથી ચાલુ

10. હવે આપણે ક ઈ પણ સંખ્યાના અવયવ પાડવાની રીિ સિજીએ.
દા. િ.
 ૪૩૨ ના અવયવ પાડવા છે.
આ પહેલાં જણાવેલ તવભાજ્યિાની કસ ટીની િદદથી આપણે જ ઇ ર્કીશું કે આ સંખ્યા
૨, ૩ અને ૯ થી તવભાજ્ય છે.
૪૩૨ = ૨*૨૧૬ = ૨*૨*૧૦૮ = ૨*૨*૨*૫૪ = ૨*૨*૨*૨* ૨૭ =
૨*૨*૨*૨*૩*૯ = ૨*૨*૨*૨*૩*૩*૩.
ક્રમશઃ......

11.  આપેલી સંખ્યા ૧૩૩૧ છે. એકમનો આંકડો + શતકનો આંકડો = ૧+૩ = ૪.
દશકનો આંકડો + હજારનો આંકડો = ૩+૧ = ૪.
મળેલી બે સંખ્યાનો તફાવત = ૪-૪ = ૦.
તેથી ૧૩૩૧ એ ૧૧થી નવભાજ્ય છે.
૧૩૩૧ = ૧૧*૧૨૧ = ૧૧*૧૧*૧૧.
 હવે સંખ્યા ૨૧૨૬૪ના અવયવો પાડીએ.
છેલ્લા બે આંકડા ૬૪ સંખ્યા છે, જે ૪થી નવભાજ્ય છે.
૨૧૨૬૪ = ૪*૫૩૧૬ =૪*૪*૧૩૨૯ = ૪*૪*૩*૪૪૩ = ૨*૨*૨*૨*૩*૪૪૩.
૪૪૩ અનવભાજ્ય સંખ્યા છે.
.... આગળથી ચાલુ

12. અવયવ તવષે આટલું જાણીને આપણે અપ ૂણાાંક સંખ્યાઓની વાિ કરીએ.
બે અપ ૂણાાંક સંખ્યાઓ ૧/૨ અને ૪/૮ લઈએ.પહેલા અપ ૂણાાંકિાં અંર્ અને છેદ વચ્ચે ક ઇ
સાિાન્ય અવયવ નથી.
૪/૮ = ૨*૨/૨*૨*૨ = (૨/૨)*(૨/૨)*(૧/૨) =૧*૧*૧/૨ = ૧/૨.
અહીં અંર્ અને છેદના સાિાન્ય અવયવ ન ભાગાકાર ૧ થઈ જાય છે, અને ૧/૨ િળે છે.
આિ આપેલા બંન્ને અપ ૂણાાંક સિમૂલ્ય છે.
સાદી ભાષાિાં આપણે કહીએ કે ક ઈ પણ અપ ૂણાાંકિાં અંર્ અને છેદ વચ્ચે જ સાિાન્ય
અવયવ હ ય િ િેને ઉડાડી ર્કાય છે, િે પછી જે મવરુપ રહે િે અપ ૂણાાંક િેના સંક્ષક્ષપ્િ
રુપિાં છે િેિ કહેવાય.
ક્રમશઃ......

13. સિમૂલ્ય અપ ૂણાાંક નાં થ ડાં ઉદાહરણ જ ઈએ.
૩/૪ =૩૩/૪૪ =૪૫/૬૦ =૭૫/૧૦૦........
અહીં ૩/૪ એ આ અપ ૂણાાંકનું સંક્ષક્ષપ્િ રુપ છે.
સરળિાથી જ ઈ ર્કાય છે કે સંક્ષક્ષપ્િ રુપિાં આપેલા અપ ૂણાાંકના અંર્ અને છેદને ક ઇ
પણ સાિાન્ય સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરિાં જે નવ અપ ૂણાાંક િળે િે િેન સિમૂલ્ય
અપ ૂણાાંક છે.
આ ક્રિયા સાિાન્ય અવયવ ઉડાડવાની ક્રિયાથી ઊંધી છે.
.... આગળથી ચાલુ

14. હવે પ ૂણાાંક સંખ્યા એક એક લઈને િેને િિિાં બધીજ ૧ થી ૯ સંખ્યાઓ વડે ગુણીને યાદીની રીિે લખીએ.
૨*૧ = ૨
૨*૨ = ૪
૨*૩ = ૬
૨*૪ = ૮
૨*૫ = ૧૦
૨*૬ = ૧૨
૨*૭ = ૧૪
૨*૮ = ૧૬
૨*૯ = ૧૮
૨*૧૦ = ૨૦
આ યાદીને આપણી સાદી ભાષાિાં ૨ ન ઘક્રડય કહીએ છીએ.
અહીં જિણી બાજુએ ઉપરથી નીચે જે સંખ્યાઓ,૨,૪,૬,૮,૧૦,૧૨,૧૪,૧૬,૧૮,૨૦ િળે છે િેને સંખ્યા ૨ ના
પહેલા દસ અવયવીઓ કહેવાય છે.
૨ સાથે ૧૦ થી આગળની ૧૧,૧૨,૧૩.......સંખ્યા વડે ગુણિાં જઈએ િેિ િેિ નવા અવયવીઓ િળિા રહે
છે.
આિ અવયવીઓની સંખ્યા પણ અનંિ છે.
એક અગત્યની નોંધ : પહેલી ૫૦ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘક્રડયા રટી લેવાથી આપણે ઝડપથી કાિ કરી ર્કીએ
છીએ.

15. ૨ ના પ્રથિ દસ અવયવીઓ : ૨,૪,૬,૮,૧૦,૧૨,૧૪,૧૬,૧૮,૨૦.
૩ ના પ્રથિ દસ અવયવીઓ : ૩,૬,૯,૧૨,૧૫,૧૮,૨૧,૨૪,૨૭,૩૦.
૫ ના પ્રથિ દસ અવયવીઓ : ૫,૧૦,૧૫,૨૦,૨૫,૩૦,૩૫,૪૦,૪૫,૫૦.
ઉપરની યાદીિાં ૨ અને ૩ ના સાિાન્ય અવયવીઓ ૬, ૧૨ અને ૧૮ છે. જેિાં ૬ એ સૌથી
નાન છે. િ , ૬ ને સંખ્યા ૨ અને ૩ ન લઘુત્તિ સાિાન્ય અવયવી કહેવાય.
ટૂંકિાં િેને લ.સા.અ. લખાય છે.
આ પણ એક અગત્યન તવચાર છે.
એ જ પ્રિાણે ઉપરની યાદી પરથી, ૩ અને ૫ ન લ.સા.અ. ૧૫ અને ૨ અને ૫ ન લ.સા.અ.
૧૦ છે.
ત્રણેય સંખ્યા ૨,૩ અને ૫ ન લ.સા.અ. ૩૦ છે.