Normal dağılım üzerinden Z ve T puanlarının açıklanması

1. Eğitimde İstatistiksel
Yöntemler-1
Z ve T Puanları

2. Standart puanlar:
Veri analizi yaparken alınan verilerin hatasız
biçimde karşılaştırılabilmesi için aritmetik ortalama
ve standart sapmadan yararlanılır. Aritmetik
ortalama ve standart sapmanın aynı olduğu
gruplarda karşılaştırma yapmak kolaydır ancak
Aritmetik ortalaması ve standart sapması farklı olan
dağılımların aynı aritmetik ortalama ve standart
sapma ya sahip dağılım haline dönüştürülmesi ve
sağlıklı karşılaştırma yapılabilmesi için verilerin
standartlaştırılması gerekir.

3. Alınan puanları
standartlaştırmak için Z ve T
puanları kullanılır:

4. *Z puanı:
Aritmetik ortalaması sıfır (Xort= 0) ,
standart sapması bir (Sx = 1,00) olan
puanlara Z puanı, dağılımlara ise
standart normal dağılım ya da birim
normal dağılım denir.

5. Z puanı şu şekilde bulunur:
Z=
alınan veri-verilerin ortalaması
standart sapma

6. Z PUANI
-3
-2
-1
0
1
2
3
T PUANI
20
30
40
50
60
70
80

7. Örnek Standartlaştırma
X   6.2  5
Z

 .12

10
Standartlaşmış
Normal Dağılım
Normal
Dağılım
 = 10
= 5 6.2 X
=1
= 0 .12
Z

8. *Bir örnek:
Ayşe;
ortalamanın 70 ve standart sapmanın 2 olduğu matematik sınavından 77,
ortalamanın 50 ve standart sapmanın 1,6 olduğu kimya sınavından 58 almıştır.
Ayşe hangi derste daha başarılıdır?
Görüldüğü gibi Matematik ve Kimya sınavlarında öğrencilerin durumları farklılık
gösteriyor.
Bu durumda Ayşe’nin içinde bulunduğu gruba göre derslerdeki başarısının
karşılaştırılması için önce iki dersin de aynı standarda getirilmesi gerekir. Bunu Z
puanı ile yapalım:
Zmat= 77-70
2
=
3,5
Zkim=58-50= 5
1,6
Bu sonuca göre Ayşe kimya dersinden daha düşük not almasına rağmen içinde
bulunduğu gruba göre kimyada daha başarılıdır.

9. *T puanı:
İşlevi Z puanı ile aynıdır. Yani verileri belli bir standarda
getirip karşılaştırmak için kullanılır. Z puanı ile farkı ise
şudur:
Z puanında 0 olarak kabul edilen aritmetik ortalama T
puanında 50 kabul edilir
Z puanında 1 kabul edilen standart sapma T puanında 10
kabul edilir
Bu düzenleme ile veriler Z puanındaki negatif ve kesirli
olabilen ifadelerden kurtularak pozitif ve tam sayı olarak
ifade edilebilir

10. Z PUANI
-3
-2
-1
0
1
2
3
T PUANI
20
30
40
50
60
70
80

11. Örnek: TUS puanı hesaplama
Çoktan seçmeli sorulardan oluşan Bilim Sınavı cevap kâğıtları
ÖSYM'de optik okuyucu ile okunarak, adayların iki testin her
birindeki sorulara verdikleri doğru ve yanlış cevaplar ayrı ayrı
toplanacak, doğru cevap sayısından yanlış cevap sayısının
dörtte biri çıkarılarak ham puanlar elde edilecektir. Bu ham
puanlar, her test için ayrı olmak üzere, ortalaması 50, standart
sapması 10 olan standart puanlara dönüştürülecektir. Standart
puanlar kullanılarak, tıp fakültesi mezunu adaylar için Ağırlıklı
Klinik Tıp Bilimleri Puanı (K) ve Ağırlıklı Temel Tıp Bilimleri Puanı
(T) olmak üzere iki ayrı puan hesaplanacaktır. Tıp fakültesi
dışındaki fakültelerden mezun adaylar için ise yalnız T Puanı
hesaplanacaktır.

12. T puanı şu şekilde bulunur:
T= 50+ (10x z puan)

13. Örneğin; Z puanı 1,2 olan birinin T puanı
T=50+ (10x1,2)=62 olarak hesaplanır

14. Öğrenci No
Adı soyadı
Ham
Başarı
Puanl
arı
1030514587
Can SARAN
76
1.1
61
1030514689
Veli UZUN
56
-0.7
43
1030515854
Ayşe YÜCE
60
-0,3
47
Öğrencilerin ortalama puanı
Bu puanların standart sapması
Z -skorları
: 192/3 = 64
: 10,583
T-skorları

15. z ve t puanları hipotezlerin belli güven
aralıklarında doğru olup olmadığını
anlamamıza da yardımcı olur

16. Ho:0 hipotez farksızlık hipotezidir,
test edilen konu olay test
konusu farklılık yaratmamıştır.

17. H1:Alternatif hipotez ise farklılık hipotezidir
test edilen şeyin önceki durum ile sonraki
durum arasında fark yaratacağını ifade
eder.

18. Alternatif hipotez 3 şekilde
kurulur:

19. Alternatif hipotezde ilk ortalama ile son
ortalama eşit ise hipotez çift yönlüdür ve
normal dağılımdaki şekli aşağıdaki gibidir.

20. Alternatif hipotezde uygulama öncesi ortama
uygulama sonrası ortalamadan büyük ise sağ
kuyruk testi ile elde edilir ve normal dağılımdaki
şekli aşağıdaki gibidir:

21. Alternatif hipotezde uygulama öncesi
ortama, uygulama sonrası ortalamadan
küçükse sol kuyruk testi ile elde edilir ve
normal dağılımdaki şekli aşağıdaki gibidir:

22. Alternatif hipotezler test edilirken z
kritik değerlerinden yararlanılır:
Z' nin kritik değerleri önem düzeyine göre aşağıda verilmiştir.
Sağ Kuyruk Testi
Önem Derecesi
Sol Kuyruk Testi
Çift Yönlü Test
0.10
-1.28
+1.28
1.65
0.05
-1.65
+1.65
1.96
0.01
-2.33
+2.33
2.58

23. Şimdi tüm bunları bir örnek ile gösterelim:
Bir işletmenin yıllık ortalama üretim miktarı düzenli olarak kaydedilmiş ve ortalaması
500 olarak bulunmuştur. Bu yılki üretimi denetlemek isteyen yöneticiler bu yılın
ortalamasını X=490, standart sapması S=4 olarak bulmuştur. 0,01 güven sınırına göre
yıllık üretim miktarlarının ortalaması 500 kabul edilebilir mi? Test ediniz.
*H0=kabul edilebilir iki değer arasında fark yoktur
*H1=kabul edilemez iki değer birbirinden farklıdır
*Hipotezde önceki ortalama 500 ve sonraki ortalamanın da 500 olup olmadığı test
edildiğine göre ilk ortama ve son ortalama eşittir.Bu durumda hipotez çift yönlüdür.
*Tabloya göre çift yönlü hipotezde ;
0.01 güven düzeyinde çift yönlü test z kritik değeri=2.58
soruda bulunan z değeri =490-500/4=2,5
ZHesap< ZTablo; 2.5<2.58 olduğundan H0 kabul, H1 ret edilir.
Sonuç: iki ortalama arasında fark yoktur. (z=2.5, p<.01)

24. * Alınan veriler arasında daha sağlıklı bir
karşılaştırma yapmak için Z puanından
yararlanarak yüzdelik dilim hesaplaması
yapılabilir.

25. Örnek:
Bir fabrikada her işçi bir günde ortalama 80 ürün üretebiliyor ve
ortalamadan standart sapma da 5 olarak belirleniyor.Bu fabrikada bir
günde 70 ürün üretebilen bir işçinin performansını değerlendirelim.
Z =İşçinin
ürün sayısı-ortalama ürün sayısı
standart sapma
=
 Tabloya göre z= -2 değeri
0,0227~0,023 değerine karşılık gelir. Amacımız
işçinin performansını yüzde olarak
değerlendirmek olduğuna göre;
0,023 x 100 = 2.3
Bunun anlamı şudur: Fabrikadaki işçilerin
%2,3 ü 70 ürün ve altında üretim yapmıştır
Ve bizim işçimiz tembeller arasında %2,3 lük dilime
girmiştir.
Yani fabrikadaki %97,7 sinin performansı bizim
işçimizden yüksektir
70 – 80=
5
-2

26. İşçimizin normal dağılımdaki yeri:

27. Z
=İşçinin
ürün sayısı-ortalama ürün sayısı
standart sapma
Tabloya göre z= 2 değeri
0,9772 ~ 0,98
Değerine karşılık gelmektedir
Bu veriyi yüzde olarak
değerlendirdiğimizde
0,98 x 100 = 98 olarak bulunur ki
işçimiz
başarılı grubun içinde % 98 lik
dilime girmiştir
Performansı işçilerin %98 inden
daha yüksektir
=
90 – 80
5
=
2

28. İşçimizin normal
dağılımdaki yeri:

29. Peki yüzdelik dilimini bildiğimiz
bir verinin gerçek değerini
nasıl buluruz?
Örneğin;
işçimizin ortalama kişi başı 80 ürün ürettiği ve
ortalamadan sapmanın 5 olduğu bir fabrikada
performansının diğer işçilerin % 64,8 inden daha iyi
olduğunu biliyoruz ve bu işçinin bir günde kaç ürün
imal edebildiğini merak ediyoruz

30. Tabloda verilen yüzdelik dilimin z puanı
karşılığı 0,38 olarak görülüyor o halde
formülde yerine yazarsak:
Z
=İşçinin
ürün sayısı-ortalama ürün sayısı
standart sapma
=
X – 80=
5
0,38
Bu işlem sonucunda X=82 bulunur
İşçimiz bir günde 82 adet ürün imal edebilmektedir.

31. Crocher, L, Algina J (1986) Induction to classical and modern test teory
words worlh pub. co. Washington
Demir, Mustafa : “Analitik Verilerin Değerlendirilmesi”, (68:72) , 02-2009
Desriptive Statistics , Tanımlar , Veri Analizi . digitercume.com
Gazi, Veysel : “İstatistik Müh. 100 ”, (27:32)
[http://obisis.erciyes.edu.tr/Files/bndseu.doc]
[www.biyoistatistik.hacettepe.edu.tr/.../sikliktablolari_tek _
degiskenli_grafikler.pps]
[http://ders.insaatbolumu.com/wp-content/uploads/yapi-yonetimi/pertuygulamalari1.jpg]
[http://www.anadoluarastirma.com]
[http://www.mathsisfun.com/data/standard-normal-distributiontable.html]
[http://yunus.hacettepe.edu.tr/~tonta/tonta.html]
Işığıçok, Erkan : “Performans Ölçümü, Yönetimi ve İstatistiksel Analizi” (7:9)