4. TAULUKKOKIRJA
● MAOL-taulukkokirja on korvaamaton
apuväline matematiikan laskijalle.
● MAOL-taulukkokirjan saa ottaa mukaan
sekä tentteihin että yo-kirjoituksiin.
● Huom! Taulukkokirjassa ei saa olla
merkintöjä eikä alleviivauksia. Käytä
tarvittaessa muistilappuja kirjan välissä, ne
saat kätevästi poistettua ennen koetta.
5. OPISKELIJAN VINKIT
LASKIMEN HANKINTAAN
● Hanki laskin, jossa on sinulle tarvittavat
toiminnot → funktiolaskin tai graafinen
laskin.
● Lyhyessä matematiikassa pärjää mainiosti
funktiolaskimella.
● Funktiolaskimia saa yllättävänkin edullisesti
(noin. 30 €:lla).
● Graafiset laskimet ovat reilusti kalliimpia.
● Graafisella laskimella voi piirtää kuvaajia, ja
siinä on enemmän ominaisuuksia.
6. CASIO FX-991ES PLUS
● Itse olen mieltynyt Casio FX-991ES Plus
funktiolaskimeen, koska siinä
○ murtoluvut voi syöttää murtolukumuodossa,
○ murtoluvun muuttaminen desimaalimuotoon on
helppoa (S↔D näppäin),
○ laskin on selkeä ja
helppokäyttöinen.
7. MATEMAATTISET MERKIT
● MAOL-taulukkokirjasta (2005) löytyy
sivuilta 12-13 mm. seuraavat merkinnät:
○ = yhtäsuuri
○ ≠ erisuuri kuin
○ ≈ likimäärin yhtäsuuri kuin
○ ~ verrannollinen (kuviot ovat yhdenmuotoiset)
○ < pienempi kuin
○ > suurempi kuin
○ ≤ pienempi tai yhtäsuuri kuin
○ ≥ suurempi tai yhtäsuuri kuin
○ ± plus (tai) miinus
9. LASKUJÄRJESTYS
Miten edetä matematiikan laskussa?
1. laske sulkeiden sisällä olevat laskut
2. laske potenssit ja juuret
3. laske kerto- ja jakolaskut
4. laske yhteen- ja vähennyslaskut
11. YHTÄLÖ
● Kun kaksi lauseketta on merkitty
yhtäsuuriksi, on kyse yhtälöstä.
● Yhtälön ratkaisutapa valitaan sen mukaan,
millainen yhtälö on kyseessä.
● Yhtälö voi olla joko tosi tai epätosi,
identtisesti tosi tai identtisesti epätosi.
○ 2 + x = 4 (yhtälö on tosi, jos x = 2)
○ 0 + x = x (yhtälö on identtisesti tosi)
○ 3 + 2 = 10 (yhtälö on epätosi)
○ x - 4 = x (yhtälö on identtisesti epätosi)
12. KERRATTAVAT YHTÄLÖT
● Ensimmäisen asteen yhtälö
○ muuttujan korkein eksponentti on yksi
○ Esim. 2 + x = 4
● Vaillinainen toisen asteen yhtälö
○ muuttujan korkein eksponentti on 2, yhtälöstä
puuttuu ensimmäisen asteen termi tai vakiotermi
○ Esim. 4x2
+ 2x = 0
● Täydellinen toisen asteen yhtälö
○ yhtälöstä löytyy sekä toisen asteen termi,
ensimmäisen asteen termi että vakiotermi
○ Esim. 3x2
+ 4x - 7 = 0
13. SIEVENTÄMINEN
● Yhtälön ratkaisussa hyödynnetään usein
sieventämistä eli lausekkeen muuttamista
mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon.
● Apua sieventämiseen löytyy MAOL-
taulukkokirjan kaavoista ja laskusäännöistä.
● Muun muassa binomin neliö (s. 18, MAOL
2005) on hyvä opetella!
14. BINOMIN NELIÖ
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
(2 + x)2
= 49
22
+ 2 · 2 · x + x2
= 49
4 + 4x + x2
= 49
x2
+ 4x + 4 = 49
Nyt meillä on täydellinen toisen asteen yhtälö!
15. KERRATAAN
MERKKISÄÄNNÖT!
● Kahdesta peräkkäisestä - merkistä tulee +
merkki:
○ 3 - (-1) = 3 + 1
● Kun negatiivinen luku kerrotaan tai jaetaan
negatiivisella luvulla, saadaan positiivinen
luku:
○ -2 · (-2) = 4
○ -6 : (-3) = 2
● Kun jokin termi siirretään = merkin toiselle
puolelle, sen etumerkki muuttuu:
○ 2x + 1 = 7 → 2x = 7 - 1
16. ENSIMMÄISEN ASTEEN
YHTÄLÖN RATKAISU
● Ensimmäisen asteen yhtälö ratkaistaan siirtämällä
vakiotermit (luvut) yhtäsuuruusmerkin oikealle
puolelle, jolloin vasemmalle puolelle jää tuntematon.
● Vakiotermien siirtämisessä on kyse siitä, että yhtälön
molemmilta puolilta joko lisätään tai poistetaan
yhtä paljon.
○ 3x + 5 = 11
○ -5| 3x + 5 = 11 |-5
○ 3x = 11 - 5
○ 3x = 6
Jatkuu →
17. JATKUU...
○ Yhtälön molemmat puolet voidaan myö
jakaa tai kertoa!
○ : 3| 3x = 6 |:3
○ x = 2
● Seuraavalla sivulla yksinkertaisempi tapa merkitä
yhtälöön tehtävät muutokset →
18. 3x + 5 = 11
● 3x + 5 = 11
Siirretään +5 yhtäsuuruusmerkin oikealle puolelle,
jolloin sen etumerkki muuttuu.
3x = 11 - 5
● 3x = 6 |: 3
Jaetaan yhtälön molemmat puolet x:n
kertoimella.
● x = 2
19. TARKISTUS
Sijoitetaan saatu x:n arvo yhtälöön ja katsotaan, onko
yhtälö tosi.
● 3x + 5 = 11
● 3 · 2 + 5 = 11
● 6 + 5 = 11
● 11 = 11
Yhtälö on tosi!
Laskinkohan
oikein…?
20. RATKAISU
PÄHKINÄNKUORESSA
1. Poistetaan sulkeet
2. Siirretään termit (muuttujan sisältävät
termit yhtäsuuruusmerkin vasemmalle
puolelle, muut oikealle)
3. Yhdistetään samanmuotoiset termit
4. Selvitetään tuntemattoman arvo; voidaan
hyödyntää jako-/kertolaskua
21. ESIMERKKI 25 - x = 2(x + 5)
1. Poistetaan sulkeet:
25 - x = 2x + 10
2. Siirretään termit:
-x - 2x = 10 - 25
3. Yhdistetään samanmuotoiset termit:
-3x = -15
4. Selvitetään tuntemattoman arvo; voidaan
hyödyntää jako-/kertolaskua:
-3x = -15 |: (-3)
x = 5
24. TÄYDELLINEN TOISEN
ASTEEN YHTÄLÖ
● Täydellisen toisen asteen yhtälön
normaalimuoto on ax2
+ bx + c = 0, a ≠ 0
● Tällainen yhtälö ratkaistaan ratkaisukaavalla
● Perehdyttäessä binomin neliöön saatiin
täydellinen toisen asteen yhtälö
x2
+ 4x + 4 = 49 → 1x2
+ 4x + 4 = 49
→ 1x2
+ 4x - 45 = 0
● Yhtälössä toisen asteen termin kerroin a = 1.
27. FUNKTIO
● Funktiolla tarkoitetaan sääntöä, jolla
kuvataan kahden suureen välistä
riippuvuutta.
● Funktio nimetään yleensä kirjaimella f, g tai
h.
● Funktion muuttuja ilmoitetaan suluissa: f(x).
● Huom! f(x) = y
● y = funktion arvo, x = muuttuja
28. KERRATTAVAT FUNKTIOT
● Vakiofunktio
○ funktion muoto: f(x) = a
○ a on jokin reaaliluku
○ funktion kuvaaja on vaakasuora
● Ensimmäisen asteen polynomifunktio
○ funktion muoto: f(x) = kx + b
○ k ja b ovat reaalilukuja, k ≠ 0
○ funktion kuvaaja on suora
● Toisen asteen polynomifunktio
○ funktion muoto: f(x) = ax2
+ bx + c
○ a, b ja c ovat reaalilukuja, a≠0
○ funktion kuvaaja on paraabeli
29. SUORAN PIIRTÄMINEN
1. Suora muutetaan (jos se ei valmiiksi ole) ratkaistuun
muotoon: y = kx + b.
2. Ensimmäinen piste koordinaatistoon piirretään suoran
ja y-akselin leikkauspisteeseen (0, b).
3. Seuraava piste määräytyy kulmakertoimen (k) mukaan:
○ Jos k > 0, suora on nouseva.
○ Jos k < 0, suora on laskeva.
4. Mennään yksi pykälä koordinaatistossa oikealle ja
kulmakertoimen verran ylös tai alas, piirretään piste.
5. Toistetaan edellinen kohta.
6. Piirretään suora saatujen pisteiden kautta.
31. SUORAN YHTÄLÖ JA
LEIKKAUSPISTEET
● Suoran yhtälön ratkaistu muoto on
y = kx + b, jossa
○ k = kulmakerroin
○ b = vakiotermi
● Suora leikkaa y-akselin
pisteessä (0, b)
● Suora leikkaa x-akselin
pisteessä (x, 0)
○ x:n arvo saadaan selville
ratkaisemalla suoran
yhtälö, jossa y = 0.
y = kx + b → y = 5x + 2
32. y = 5x + 2
● Ratkaistaan suoran yhtälö:
○ 5x + 2 = 0
○ 5x = 0 - 2 (luvun 2 etumerkki muuttuu, kun se
siirretään yhtäsuuruusmerkin toiselle puolelle)
○ 5x = -2 |: 5 (jaetaan yhtälön molemmat puole
kertoimella)
○ x = -2 : 5
○ x = -0,4
● Suora y = 5x + 2 leikkaa
x-akselin pisteessä
(-0,4; 0)
33. NOLLAKOHTA
● Funktion nollakohdaksi kutsutaan sitä
kohtaa, jossa funktion kuvaaja leikkaa x-
akselin. Tällöin y:n arvo on nolla.
● Edellisen dian suoran y = 5x + 2 nollakohta
saadaan suoran ja x-akselin
leikkauspisteestä, joka on (-0,4; 0).
● → nollakohta on x = -0,4.
35. HUIPUN KOORDINAATIT
● Paraabelin x-koordinaatti saadaan laskettua
kaavalla
● y-koordinaatti saadaan selville, kun
sijoitetaan saatu x:n arvo paraabelin
yhtälöön.
36. PARAABELIN y = 3x2
+ 2x - 1
HUIPPU
● x-koordinaatti:
● y-koordinaatti:
38. OPET VAUHDISSA!
● Opetus.tv:stä löytyy hyvää tietoa toisen
asteen polynomifunktiosta.
● Lyhyt video toisen asteen funktion
pienimmästä ja suurimmasta arvosta sekä
nollakohdista.
● Kati-open Matikkaverkko-blogista löytyy
esimerkkejä baraabelin piirtämisestä.
● Kati-ope kertoo GeoGebrasta.
39. KATSO MAOL:STA!
● MERKINTÖJÄ JA SYMBOLEJA:
○ Reaali- ja kompleksiluvut
● KAAVOJA JA MÄÄRITELMIÄ:
○ Algebra:
■ Reaalilukujen aksioomat
■ Potenssien laskusääntöjä
■ Polynomin jako tekijöihin
■ Toisen asteen yhtälö
○ Analyyttinen geometria:
■ Suora
■ Paraabeli
