Weitere ähnliche Inhalte
Mehr von Sukhee Bilgee (15)
Lection 6
- 1. Батлав.............................. Сургалтын албаны дарга Г. Мөнхзаяа
Лекц №6
Тоон дарааллын хязгаар
Натурал тоон олонлог дээр тодорхойлогдсон функцийг тоон дараалал гэнэ.
x1, x2 ,..., xn ... xn -г тоон дарааллын ерөнхий гишүүн гэнэ.
Тодорхойлолт: 0 тоо сонгон авах бүрд xn a нөхцөл биелэгдэж байх N дугаар
олдож байвал а-г xn дарааллын хязгаар гээд lim xn a /1/ гэж тэмдэглэнэ.
n
Дараалал төгсгөлөг хязгаартай бол түүнийг нийлдэг дараалал гэнэ.Нийлдэггүй дарааллыг
салдаг дараалал гэнэ. xn a гэдэг нь - xn a a xn a
a ; a -г а цэгийн орчин гэнэ.
Дарааллын хязгаар нь a ; a орчинд xn дарааллын бүх гишүүд тодорхой N
дугаараасаа эхлэн агуулагдана гэдгийг илтгэнэ.Дараалал өөрийнхөө хязгаар руу янз
бүрийн байдлаар тэмүүлж болно.
Жишээ
1 1 (1)n
a. / xn 1 ; б / xn 1 в / xn 1 дарааллууд бүгд 1 рүү тэмүүлнэ.
n xn n
а/ нь 1 рүү зөвхөн баруун талаас нь буурч
б/ нь 1 рүү зөвхөн зүүн талаас нь өсөж
в/ нь 1 рүү 2 талаас нь хэлбэлзэх замаар тэмүүлж байна.
Хязгаарын дүрмүүд:
xn , yn нийлдэг бол xn yn ,xn , xn yn дарааллууд мөн нийлнэ.
1. lim ( xn yn ) lim xn lim yn
n n n
1|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
- 2. 2. lim (xn ) lim xn
n n
3. lim ( xn yn ) lim xn lim yn
n n n
xn n xn
lim
4. lim yn 0 бол lim
n n y lim yn
n
n
5. Хязгаар ба тэнцэтгэл биш xn b бол lim xn a b
n
xn b бол lim xn a b байна.
n
Тодорхой бус илэрхийллүүдийн тухай
Хязгаарыг бодох дүрмүүдийг шууд хэрэглэх боломжгүй тохиолдлуудыг “тодорхой бус
“илэрхийллүүд гэнэ.Ийм хэлбэрийн жишээ:
x 0
А/ xn 0, yn 0, үед n нь хэлбэртэй
yn 0
x
Б/ xn yn , үед n нь хэлбэртэй
yn
В/ xn 0, yn , үед xn yn нь 0 хэлбэртэй
Г/ xn yn , үед xn yn нь хэлбэртэй
Ийм хэлбэрийн хязгаарыг бодохыг тодорхой бус илэрхийллийг тайлах гэнэ.
Жишээ
2n 2 n 1
1. lim энэ бодлого нь хэлбэрийн тодорхойгүй байна
n 3n 1
2
1 1
lim (2 )
n n n2 2
1 3
lim (3 2 )
n n
2|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
- 3. 2. lim ( n 2 1 n) энэ бодлого нь хэлбэрийн тодорхойгүй байна.
n
1
( n 2 1 n)( n 2 1 n) 1
lim lim lim n 0
n
n2 1 n n
n 1 n n 2
2
Монотон зааглагдсан дараалал нийлнэ.
Эйлерийн e тоо натураль логарифм
n n
1 1
Tr: xn 1 / n 1,2,3,... / дараалал нийлнэ. lim 1 e /2/
n n
n
e 2,718...
log a -г натураль логарифм гээд na гэж тэмдэглэнэ.
e
n 1
1
Баталгаа. yn 1 дараалал авч үзье.Энэ дараалал монотон буурахыг тогтооё. n 2
n
үед дарааллын дараалсан 2 гишүүний ногдворт Бернуллийн тэнцэтгэл биш хэрэглэвэл
1 n
(1 ) 2n
yn 1
n 1 n n 1
(1 2 ) n
n n
(1 2 )
n 1 n
(1 ) 1 yn 1 yn yn
yn 1 n 1
(1 ) (n 1) n 1
2 n
n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1
n
1 n 1
дараалал буурна. yn (1 )n 1 1 2 дороосоо зааглагдсан yn дараалал
n n
нийлнэ.
n n 1 1
1 1 1
lim xn lim 1 lim 1 1 lim yn
n n
n n
n n n
n
1 1
Мөрдөлгөө. lim n n 1 lim n 1 n e 1
n
n n n
1 1 1
zn 1 ... lim zn e
1! 2! n! n
e-иррациональ тоо
3|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг