1. Лекция 22
(
7.2. Линеаризация основного уравнения движения
V = V x ,V y
)
Рис. 7.1. Обтекание тонкого тела (профиля)
Vx = V∞ + Vx'
V y = V y'
где
ϕ′( x, y )
Vx' ≈ 0 ,
ϕ( x, y )
V y' ≈ 0 << V∞ .
V ( x, y )
V y = V y'
,
(7.8)

2. ∂ϕ ∂ϕ′
Vy =
=
∂y ∂y
Vx =
(7.9)
ϕ = V∞ x + ϕ′
∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ′
= 2 ,
2
∂x
∂x
(7.11)
2
a = ( a ∞ + a ′ ) ≈ a∞
(7.10)
∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ′
= 2
2
∂y
∂y
(7.12)
Vx ≈ V∞
2
2
∂ϕ
∂ϕ′
= V∞ +
∂x
∂x
∂ 2ϕ
∂ 2ϕ
∂  ∂ϕ′ 
∂
′
′ 
′
′
VxV y
= VxV y
= VxV y 
Vy
 = VxV y

∂y∂x
∂x∂y
∂x  ∂y 
∂x
( )
(V y′ ) 2
(7.13)
Линеаризованное уравнение возмущенного потока для потенциала
(
2
1− M∞
M∞ ≈ 0
)
∂ 2 ϕ′ ∂ 2 ϕ′
+ 2 =0
2
∂x
∂y
∂ 2 ϕ′ ∂ 2 ϕ′
+ 2 =0
2
∂x
∂y
(7.15)
ϕ′
(7.14)
уравнение Лапласа

3. 7.3. Связь между дозвуковым потоком сжимаемого газа и
потоком несжимаемой жидкости около тонкого профиля
(1 −
2
M∞
)
∂ 2 ϕ′ ∂ 2 ϕ′
+ 2 =
2
∂x
∂y
∂ 2 ϕ′
∂ 2 ϕ′
∂ 2 ϕ′
+ 2 =
1

∂x 2 ∂y
x
2
∂
1− M∞
 1− M 2
∞

∂ 2 ϕ′ ∂ 2 ϕ′
+ 2 =0
2
∂x1
∂y1
где
x1 =
ϕ′( x1 , y1 )
x
2
1− M∞
Vx′нс =
,
∂ϕ′
=
∂x1
∂ 2 ϕ′
+ 2 =0
2
∂y




,
(7.16)
y1 = y .
∂ϕ′
1
1−
2
M∞
∂x
2
= 1− M∞
∂ϕ′
2
= 1 − M ∞ Vx′сж
∂x
(7.17)

4. Vx′ сж =
Vx′ нсж
2
1- M∞
(7.18)
Vx′сж ( x, y ) = Vx′ ( x, y )
V 2 
dp

+ d
 2 =0
ρ


ρ = ρ∞ + ρ′ ≈ ρ∞
dp
+ VdV = 0
ρ
V = V x2 + V y2 =
(V∞ + Vx′ ) 2 + V y′2
dp
+ V∞ dV x′ = 0
ρ∞
p=0
Vx′ = 0
x=0
p − p∞ = −ρ∞V∞V x′
(7.19)
≈ V∞ + Vx′
(7.20)

5. с pсж
2Vx′
p − p∞
=
=−
2
V∞
ρ ∞V∞
2
c pнс = −
c pсж = −
2Vx′ сж
V∞
=−
(7.21)
2Vx′ нс
V∞
2Vx′ нс
2
1− M∞
c pнс
=
2
1− M∞
(7.22)
Правило Прандтля – Глауэрта:
коэффициент давления для тонкого тела в сжимаемом потоке при числе
Маха набегающего потока M ∞ в
1
2
1− M∞
больше, по сравнению с
коэффициентом давления в несжимаемом потоке.

6. Рис. 7.2. Характерный вид распределения коэффициентов давления по профилю для
различных чисел Маха ( M ∞1 > M ∞ 2 > M ∞3 )

7. 7.4. Влияние сжимаемости на аэродинамические
характеристики профиля
1
(
)
c y = ∫ с p н − c p в dx
(7.23)
0
1
(
)
m z = ∫ c pн − c pв x dx
(7.24)
0
( c pн − c pв )
c yсж =
m zсж =
c yнс
2
1− M∞
m zнс
1−
2
M∞
(7.25)
(7.26)

8. x D сж
mz
=−
= − x D нс
cy
(7.27)
cy
Рис. 7.3. Сравнение экс­периментальных (1) значений
в дозвуковой облас­ти и рассчитанных (2)по теории Прандтля ­ Глауэрта

9. Рис. 7.4. Зависимость толщины турбулентного пограничного
слоя на пластине от числа M ∞

10. Рис. 7.5. Изменение коэффициента сопротивления пластины в зависимости от
числа
M∞
и положения точки перехода ламинарного течения в турбулентное:
1 − xт = 1 ; 2 − xт < 1 ; 3 − xт = 0

11. Рис. 7.6. Изменение коэффициента
c xap
профильного сопротивления симметричного профиля в зависимости
от числа M ∞ и толщины профиля
c%