Διαφάνειες θεωρίας στις ιδιότητες ανισοτήτων και στις πράξεις μεταξύ τους - Άλγεβρα Α' Γενικού Λυκείου και ΕΠΑΛ. Εξετάζουμε απλά και λίγο πιο σύνθετα παραδείγματα κατασκευής σύνθετων ανισοτήτων από απλούστερες - με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. Διερευνούμε, επίσης, χαρακτηριστικές «παθολογικές» περιπτώσεις πράξεων μεταξύ ανισοτήτων (διαίρεση και πολλαπλασιασμό κατά μέλη, αντιστροφή των μελών κ.α.). Επίσης, με τη βοήθεια μικροπειραμάτων στο Geogebra, εξετάζουμε και τη μεταβολή αλγεβρικών παραστάσεων καθώς οι ελεύθερες μεταβλητές τους παίρνουν διάφορες τιμές.

1. Πραγματικοί αριθμοί
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 3ο — Πράξεις & Ανισότητες (Β΄)
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr
Μάρκος Βασίλης
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

2. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
΄Ενα πιο «μεγάλο» παράδειγμα
Παράδειγμα
Αν 2 < x < 5 να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών βρίσκεται η
παράσταση:
A = 2x2
+ x + 4.
Διαδοχικά έχουμε:
2 < x < 5 ⇔ 4 < x2
< 25
·2
⇐=
=⇒ 8 < 2x2
< 50 (1)
2 < x < 5
+4
⇐=
=⇒ 6 < x + 4 < 9 (2)
(1) + (2) ⇒ 14 < 2x2
+ x + 4 < 59.
Επομένως, 14 < A < 59.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

3. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
΄Ενα ακόμα πιο «μεγάλο» παράδειγμα
Παράδειγμα
Αν 3 < x < 7 να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών βρίσκεται η
παράσταση:
A = x2
− 2x − 3.
Διαδοχικά έχουμε:
3 < x < 7 ⇔ 9 < x2
< 49 (3)
3 < x < 7
·(−2)
⇐=
=⇒ −6 > −2x > −14
−3
⇐=
=⇒ −9 > −2x − 3 > −17 (4)
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

4. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
Συνέχεια. . .
Εδώ παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να προσθέσουμε τις (3) και
(4) διότι δεν έχουν την ίδι φορά, συνεπώς γράφουμε τη μία από
τις δύο «ανάποδα», ας πούμε την (3):
49 > x2
> 9, (5)
συνεπώς:
(4) + (5) ⇒ 40 > x2
− 2x − 3 > −8,
άρα 40 > A > −8.
Κλικ εδώ για το παράδειγμα στο Geogebra.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

5. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
΄Ενα «ανάποδο» παράδειγμα
Παράδειγμα
Αν −3 < x < −1 να βρείτε τις τιμές μεταξύ των οποίων
βρίσκεται η παράσταση:
A =
2
2x2 + x + 2
.
Ξεκινάμε να «χτίζουμε» την παράσταση στον παρονομαστή,
όπως είδαμε παραπάνω:
−3 < x < −1 ⇔ 9 > x2
> 1 ⇔ 18 > 2x2
> 2 (6)
−3 < x < −1 ⇔ −1 < x + 2 < 1 ⇔ 1 > x + 2 > −1 (7)
(6) + (7) ⇒ 19 > 2x2
+ x + 2 > 1 (8)
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

6. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
Συνέχεια. . .
Τώρα, δεδομένου ότι και τα τρία μέλη είναι θετικά, μπορούμε να
τα αντιστρέψουμε, αλλάζοντας τη φορά:
(8) ⇔
1
19
<
1
2x2 + x + 2
<
1
1
⇔
2
19
<
2
2x2 + x + 2
< 2.
΄Αρα 1
19 < A < 2. Κλικ εδώ για το παράδειγμα στο Geogebra.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

7. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
Μία απορία
Στο αμέσως προηγούμενο παράδειγμα, είδαμε ότι 2
19 < A < 2.
Ωστόσο, αν πάμε στο αντίστοιχο «μικροπείραμα» στο Geogebra
(κλικ εδώ) θα δούμε ότι το A όχι μόνο δεν πλησιάζει προς το 2
αλλά είναι διαρκώς μικρότερο του 1. Μπορείτε να εξηγήσετε
γιατί;
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

8. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
Με δύο μεταβλητές
Παράδειγμα
Αν 0 < x < 4 και −2 < y < 1 να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών
βρίσκεται η παράσταση:
A = 2x + 4y − 7.
Διαδοχικά έχουμε:
0 < x < 4
·2
⇐=
=⇒ 0 < 2x < 8 (9)
−2 < y < 1
·4
⇐=
=⇒ −8 < 4y < 4
−7
⇐=
=⇒ −15 < 4y − 7 < −3 (10)
(9) + (10) ⇒ −15 < 2x + 4y − 7 < 5.
΄Αρα −15 < A < 5.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

9. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
΄Ενα ακόμα παράδειγμα με δύο μεταβλητές
Αν −2 < x < 5 και −4 < y < 6 να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών
βρίσκεται η παράσταση:
A = 4x + 5y + 1.
Διαδοχικά έχουμε:
−4 < y < 6
·5
⇐=
=⇒ −20 < 5y < 30
+1
⇐=
=⇒ −19 < 5y + 1 < 31
(11)
−2 < x < 5
·4
⇐=
=⇒ −8 < 4x < 20 (12)
(11) + (12) − 27 < 4x + 5y + 1 < 51
΄Αρα −27 < A < 51.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

10. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
Κι άλλο παράδειγμα. . .
Αν 3 < x < 4 και −1 < y < 3 να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών
βρίσκεται η παράσταση:
A = 4x − 2y + 3.
Διαδοχικά έχουμε:
3 < x < 4 ⇔ 12 < 4x < 16 (13)
−1 < y < 3
·(−2)
⇐=
=⇒ 2 > −2y > −6 ⇔ 5 > −2y + 3 > −3 (14)
(13) + (14) ⇒ 9 < 4x − 2y + 3 < 21.
΄Αρα 9 < A < 21.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

11. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
Λίγος πολλαπλασιασμός
Αν −1 < x < 3 και 2 < y < 5 να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών
βρίσκεται η παράσταση:
A = y(x + 2).
Διαδοχικά έχουμε:
2 < y < 5 (15)
−1 < x < 3 ⇔ 1 < x + 2 < 5 (16)
(15) · (16) ⇒ 2 < y(x + 2) < 25.
΄Αρα 2 < A < 25.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

12. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
Λίγος ακόμα πολλαπλασιασμός
Αν −2 < x < 4 και 1 < y < 2 τότε να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών
βρίσκεται η παράσταση:
A = (y − 4)(x − 6).
Διαδοχικά έχουμε:
−2 < x < 4 ⇔ −8 < x − 6 < −2 (17)
1 < y < 2 ⇔ −3 < y − 4 < −2 (18)
(17) · (18) ⇒ 24 > (y − 4)(x − 6) > 4. (19)
΄Αρα 4 < A < 24.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

13. Πραγματικοί αριθμοί
Ιδιότητες της διάταξης
Διαίρεση;
Αν 2 < x < 4 και 4 < y < 8 να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών
βρίσκεται η παράσταση:
A =
3x + 2
y
.
Διαδοχικά έχουμε:
2 < x < 4 ⇔ 6 < 3x < 12 ⇔ 8 < 3x + 2 < 14 (20)
4 < y < 8 ⇔
1
4
>
1
y
>
1
8
(21)
(20) · (21) ⇒ 1 <
3x + 2
y
<
7
2
.
΄Αρα 1 < A < 7/2.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου