2015年度日本ファイナンス学会発表資料

1. 東京都港区愛宕 2-5-1 愛宕グリーンヒルズ MORIタワー 28階 〒105-6228
http://www.smam-jp.com
＜2013年4月12日＞
モデル予見制御に基づく
共和分ペアトレード戦略
三井住友アセットマネジメント
株式運用G クオンツ運用担当
中川 慧

2. アウトライン
【1】 研究の背景・目的
【2】 先行研究の整理
【3】 定式化
【4】 実証分析
【5】 まとめと今後の課題

3. 【1】 研究の背景・目的
 運用業界では、「ベンチマーク」を意識した相対収益型の運用から安定的な
収益獲得を目指す絶対収益型の運用へシフトしつつある。
 絶対収益型の代表的な運用戦略が株式ペアトレードである。先行研究は個々の
ペアのポジションの構築・解消の閾値を決定するトレーディング戦略、平均/分散
アプローチによって複数のペアの保有枚数を同時決定するポートフォリオ戦略の
2つに分類できる。
 実運用を意識しポートフォリオ戦略として、共和分性を満たす複数の株式ペアの
モデル予見制御に基づくペアトレード戦略の定式化と実証分析を行い、安定的な
収益獲得が可能であることを示す。

4. 0
50
100
150
200
250
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
3/29/2013 4/29/2013 5/29/2013 6/29/2013 7/29/2013 8/29/2013 9/29/2013
Spreadの水準
株価水準
九電-関電のSpread 九州電力 関西電力
ペアトレード
Step 1: 似たような価格変動をするペアを探す。(ここでは九電と関電)
Step 2: ペアの価格差であるSpreadが広がれば、割安な方(関電)を買い、
割高な方(九電)を売る。 (①)
Step 3: Spreadが収束すればポジションを閉じ、利益を得る。(②)
① ②
(データ取得元:Bloomberg)

5. 共和分性
 一般に、株価はランダムウォーク(単位根過程:差分を取ると定常過程)に従
い将来の株価を予測することはできない。
 一方で、株価のペアのSpreadが一定の近傍で変動するという現象が観察さ
れる。計量経済学的には、これを株式のペアは共和分性を満たすという。
定義:共和分
単位根過程に従う 𝑋𝑡, 𝑌𝑡 に対して、𝑌𝑡 − 𝛽𝑋𝑡が定常過程となる定数𝛽(≠ 0)
が存在するとき、 𝑋𝑡, 𝑌𝑡 は共和分性を満たすという。
定義: (弱)定常過程
期待値 𝐸[𝑌𝑡] = 𝜇が時間 𝑡に依存しない。
自己共分散Cov[𝑌𝑡, 𝑌𝑡−𝑠] が時間 𝑡に依存せず、時間幅 𝑠にのみ依存する。

6. 【2】 先行研究の整理
実運用に当たってはポートフォリオで運用する必要がある。
ペアが共和分性を満たすと定常過程(平均と分散共分散が一定)となり 、ポートフォリオ理論と相性が良い。
✓どのようにポートフォリオを構築するか？ Myopic/Dynamic/MPC
(山本,枇々木[2015]を参考に作成)
区分 カテゴリ 論文 決定変数 時間区分 手法 概要
[1] トレーディング戦略 理論 Vidyamurthy.G (2004) 閾値 離散 - 共和分性を満たすペアのポジション設定/解消閾値の考察
[2] トレーディング戦略 実証 Gatev etal. (2006) 閾値 離散 バックテスト
米国市場(1996～2002)において、
コスト控除後でもプラスの収益獲得が可能であることの実証
[3] トレーディング戦略 理論/実証 山本,枇々木 (2015) 閾値 離散 DFO手法
リスク・リターン・コストの観点からDFO手法に基づく最適な投資戦略を求め、
様々な状況下での最適戦略の考察
[4] ポートフォリオ戦略 理論 Kim,Pribms,Boyd (2008) 保有枚数 連続 Dynamicポートフォリオ
共和分性を満たす複数ペアがOU過程に従う場合に、
確率制御のアプローチでDynamicポートフォリオに基づく投資枚数の解析解の導出
[5] ポートフォリオ戦略 理論/実証 山田,Pribms (2012) 保有枚数 連続/離散 Dynamicポートフォリオ/Myopicポートフォリオ
上記のDynamicポートフォリオに対応する離散時間版のMyopicポートフォリオの構築と
各ポートフォリオのパフォーマンス比較
[6] ポートフォリオ戦略 理論 Yamada,Pribms (2012) 保有枚数 離散 Model Predictive Control (MPC)ポートフォリオ
共和分性を満たす複数ペアがVAR(1)モデルに従う場合に、
モデル予見制御(Model Predictive Control、MPC)による投資枚数の解析解の導出
- ポートフォリオ戦略 理論/実証 本稿 保有枚数 離散 MPCポートフォリオ
共和分性を満たす複数ペアの従う時系列を拡張し、
コストの観点からターンオーバーにかかる制約を加味したMPCポートフォリオの構築と実証分析

7.  各ポートフォリオ構築方法の比較
Myopic
Dynamic
・・・
𝑇0 1 2 𝑇 − 1・・・
0:期初
𝜏:予測期間
𝑇:満期
𝑇 − 1 𝑇210
・・・
MPC ・・・
𝑇0 1 2 𝑇 − 1・・・ 𝜏 𝑇 − 𝜏 ・・・・・・𝜏 + 1
✓
1期先の富最大化
満期Tの富最大化
予測期間先τの
富最大化

8. 【2】先行研究の整理
 モデル予見制御(MPC)とは
制御対象をモデル化し、予測期間τ 、リバランス期間𝛿を与え、予測期間分の
ラグを織り込んだ条件付最適化問題(*)をリバランス毎に解く。
[MPCアルゴリズム]
Select 𝜏 > 0, 𝛿 > 0
Set 𝑛 = 0
For 𝑡 = 0 to 𝑇
If 𝑡 = 𝑛 Then
Ｏｐｔｉｍｉｚｅ(*)
Set 𝑛 = 𝑡 + 𝛿
End if
Next 𝑡
[条件付最適化問題]
時点𝑡から𝑡 + τまでのポートフォリオの収益率を𝑅𝑡,𝜏とし、
時点𝑡における各ペアの投資枚数を
𝒖 𝒕 ≔ 𝑢 𝑡
1
, … , 𝑢 𝑡
𝑚
𝑇
∈ 𝑅 𝑚とする。 max
𝒖 𝒕∈𝑅 𝑚
𝐸𝑡 𝑅𝑡,𝜏 −
𝜆
2
𝑉𝑡 𝑅𝑡,𝜏 … (∗)
ただし、𝑉𝑡 𝑅𝑡,𝜏 ≔ 𝑅𝑡,𝜏 − 𝐸𝑡 𝑅𝑡,𝜏
2
,𝜆はリスク回避係数
予測期間𝜏＝5
リバランス期間𝛿＝3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
時間軸 𝑡

9. 【3】モデル(定式化)
共和分性を満たす𝑚個の株式のペア(𝑋t
𝑖
, 𝑌t
𝑖
)に対し、多変量スプレッド過程を
𝑺 𝑡 ≔ 𝑆𝑡
1
, … , 𝑆𝑡
𝑚
𝑇
, 𝑆𝑡
𝑖
≔ 𝑋t
𝑖
− 𝛽 𝑖 𝑌t
𝑖
として、
𝒖 𝑡 ≔ 𝑢 𝑡
1
, … , 𝑢 𝑡
𝑚
𝑇
, 𝑢 𝑡
(𝑖)
: 𝑖番目のスプレッド𝑆𝑡
(𝑖)
に対する投資枚数(≠ウェイト)
予測期間𝜏後のポートフォリオの富は
W𝑡+𝜏 = 𝒖 𝑡
𝑇
𝑺 𝑡+𝜏 − 𝑺 𝑡 + 1 + 𝑟 𝜏
𝑊𝑡 − 𝒖 𝑡
𝑇
𝑺 𝑡 −
𝛼
2
𝒖 𝑡 − 𝒖 𝑡−𝛿
2
✓共和分性を満たす(定常過程の)複数のペアに対して定常時系列(VARMA)モデルを仮定。
✓各ペアの投資枚数を決定変数とする、リスク・リターン・コストを
加味した条件付平均分散問題を解く。
スプレッドの損益 余資運用部分 ターンオーバー制約

10. 【3】モデル(定式化)
時点𝑡から予測期間𝜏後のポートフォリオの富の収益率は𝑅𝑡,𝜏 ≔
𝑊𝑡+𝜏
𝑊𝑡
多変量スプレッド過程𝑺 𝑡が次のVARMA(p, q) モデルに従うとする。
𝑨(𝑳)𝑺 𝑡 = 𝑴 𝑳 𝒆 𝑡 + 𝒄, 𝒆 𝒕~𝑵(𝟎, 𝚺)
𝑨 𝑳 ≔ 𝑰 − 𝑨 𝟏 𝑳 − ⋯ − 𝑨 𝒑 𝑳 𝒑, 𝑴 𝑳 ≔ 𝑰 + 𝑴 𝟏 𝑳 + ⋯ + 𝑴 𝒒 𝑳 𝒒
ただし、𝚺, 𝑨𝒊, 𝑴𝒊, 𝑰 ∈ 𝑅 𝑚×𝑚 , 𝒄 ∈ 𝑅 𝑚, 𝑳はラグオペレータ、 𝑰は単位行列
以上のもとで条件付平均分散問題 max
𝒖 𝒕∈𝑅 𝑚
𝐸𝑡 𝑅𝑡,𝜏 −
𝜆
2
𝑉𝑡 𝑅𝑡,𝜏
の解として最適な投資枚数𝒖 𝑡
∗
は以下となる。
𝒖 𝑡
∗
=(
𝛾
𝑊𝑡
𝚺 + 𝜳 𝟏 𝚺𝜳 𝟏 + ⋯ + 𝜳 𝝉−𝟏 𝚺𝜳 𝝉−𝟏 +α𝑰)
−1
[𝐸𝑡 𝑺 𝑡+𝝉 − 1 + 𝑟 𝝉 𝑺 𝑡 + 𝛼𝒖 𝑡−𝛿]
𝜳𝒊 = 𝑴𝒊 + 𝒋=𝟏
𝒊
𝑨𝒋 𝜳𝒊−𝒋
リスクに対する調整項 スプレッドの期待損益(リターン)

11. Step 1:共和分性を満たすペアの選定(スクリーニング→ペアの選定)
Step 2:共和分性を満たすペアに対して時系列モデルを仮定し、パラメータを推定
Step 3:MPCに基づき最適ポートフォリオを構築しパフォーマンスを計測
1年(営業日)
In Sample：共和分ペアの推定(STEP1)
VARパラメータの推定(STEP2)
1年(営業日)
Out of Sample：
MPCポートフォリオのシミュレーション(STEP3)
・2007/4初をIn Sampleの起点として、
1年づつのローリングで7回繰り返して行う。(データ取得元:Bloomberg)
In Sample：共和分ペアの推定(STEP1)
VARパラメータの推定(STEP2)

12. ①スクリーニングプロセス
基準化株価 𝑃𝑇
(𝑖)
= 𝑡=1
𝑇
1 + 𝑟𝑡
(𝑖)
; 𝑟𝑡
(𝑖)
=
𝑋t
𝑖
𝑋t−1
𝑖 − 1 最小2乗距離 d(𝑖, 𝑗) = 𝑡=1
𝑇
𝑃𝑡
(𝑖)
− 𝑃𝑡
(𝑗) 2
 同一の産業内の全てのペアに対して基準化株価の最小2乗距離を計算する。
(Gatev et al(2006))
 距離の最も近いペアのスプレッドのDF統計量(𝑎𝑗 = 0の場合の𝑡 𝐷𝐹:片側t検定で負に有意)
が一定値(-3)以下のペアを採用する。(ペアを入替え2回計算し、小さい方を取る)
𝑆𝑡
𝑖
≔ Yt
𝑖
− 𝛽 𝑖 Xt
𝑖
− 𝑐(𝑖)∆𝑆𝑡
𝑖
= 𝛿𝑆𝑡−1
𝑖
+
𝑗=1
𝑛
𝑎𝑗∆𝑆𝑡
𝑖
+𝜀𝑡 ∆𝑆𝑡
𝑖
≔ 𝑆𝑡
𝑖
-𝑆𝑡−1
𝑖
𝑡 𝐷𝐹 ≔
𝛿
𝑠 𝑒
𝛿: 𝑂𝐿𝑆推定量 𝑠 𝑒:標準誤差
TOPIX500構成銘柄を65のブルームバーグ産業分類基準(BICS®)に切り分ける。
期初の株価を1にしたリターン指数

13. ②ペア選定プロセス
 スクリーニングを通過したペアをDF統計量の小さい順にソート。
ラグ10までの有意水準1％のEngle-Grangerの共和分検定を行いペアを採用。
 ただし、すでにペア選定プロセスを通過したペアと同一の銘柄を含んだペアは、
銘柄の重複を省くため除外する
In Sample期間 # of Pairs
2007/4初～2008/3末 18
2008/4初～2009/3末 20
2009/4初～2010/3末 26
2010/4初～2011/3末 23
2011/4初～2012/3末 11
2012/4初～2013/3末 14
2013/4初～2014/3末 16
(各年度の共和分ペア数)
Long企業 Short企業 業種
奥村組 大氣社 Engineering&Construction
長谷工コーポレーション 積水化学工業 Home Builders
野村不動産ホールディングス 三菱地所 Real Estate
大日本印刷 凸版印刷 Commercial Services
ローソン イオン Retail
伊藤忠商事 日立ハイテクノロジーズ Distribution/Wholesale
ＪＳＲ 昭和電工 Chemicals
淀川製鋼所 大和工業 Iron/Steel
ファナック ナブテスコ Machinery-Diversified
アイフル 野村ホールディングス Diversified Finan Serv
常陽銀行 山口フィナンシャルＧＲＰ Banks
八十二銀行 千葉銀行 Banks
大垣共立銀行 百五銀行 Banks
スルガ銀行 セブン銀行 Banks
ＭＳ＆ＡＤｲﾝｼｭｱﾗﾝｽｸﾞﾙｰﾌﾟﾎｰﾙﾃ 東京海上ホールディングス Insurance
九州電力 関西電力 Electric

14.  AIC基準でVAR(p)モデルのpを決定。
 各年度ともにVAR(1)が最適であると結果から,本シミュレーションでは
全期間でVAR(1)モデルを使用。
𝑺 𝑡 = 𝑨𝑺 𝑡−1 + 𝒄 + 𝒆 𝑡, 𝒆 𝒕~𝑵 𝟎, 𝚺
𝚺, 𝑨 ∈ 𝑅 𝑚×𝑚
, 𝒄 ∈ 𝑅 𝑚
(各年度のラグpごとのAIC)
In Sample期間 # of Pairs p=1 p=2 p=3 p=4 p=5
2007/4初～2008/3末 18 118.20 118.83 119.32 119.81 119.83
2008/4初～2009/3末 20 138.37 139.20 139.90 140.34 139.88
2009/4初～2010/3末 26 146.64 147.72 148.45 148.07 146.83
2010/4初～2011/3末 23 100.60 101.69 102.28 102.43 101.92
2011/4初～2012/3末 11 47.80 48.25 48.79 49.14 49.49
2012/4初～2013/3末 14 80.62 80.88 81.14 81.42 81.82
2013/4初～2014/3末 16 94.08 94.70 95.23 95.30 95.46

15. 取引コスト
現実的な取引コストを考慮するため、リバランス後のポートフォリオの富は
W𝑡+1 = 𝒖 𝑡
𝑇
𝑺 𝑡+1 − 𝑺 𝑡 + 1 + 𝑟 𝜏
𝑊𝑡 − 𝒖 𝑡
𝑇
𝑺 𝑡 −
𝑖=1
𝑚
𝜌 𝑢t 𝑋t
𝑖
− 𝑢t−𝛿 𝑋t
𝑖
+ 𝑢t 𝛽 𝑖
𝑌t
𝑖
− 𝑢t−𝛿 𝛽 𝑖
𝑌t
𝑖
で計算し(𝜌=15bp)、またショートコスト(借株料など)として、富の1%を日割りで控除する。
レバレッジ ≔
𝑖=1
𝑚
𝑢 𝑡
∗ 𝑖
𝑋𝑡
𝑖
+ 𝛽 𝑖 𝑌𝑡
𝑖
𝑊𝑡
ターンオーバーにかかる制約を考慮せず(α=0)、予測期間とリバランス期間を変更し、
シャープレシオと日々の富の水準を評価する。
 レバレッジ
ロングとショートを足し合わせたレバレッジが2倍程度になるようにリスク回避係数を調整する。
 無リスク利子率𝑟
年率10bpとする。

16. (Out of Sampleにおける年率シャープレシオの水準:縦軸と予測期間:横軸)
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
10 20 30 40 50 60 70 80 90
年率換算Sharpe Ratio
[Out of Sample:2014/4～2015/3］
δ:1 δ:10 δ:20 δ:30 δ:40 δ:50 δ:60
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
10 20 30 40 50 60 70 80 90
年率換算Sharpe Ratio
[Out of Sample:2014/4～2015/3］
δ:1 δ:10 δ:20 δ:30 δ:40 δ:50 δ:60
0.9
0.93
0.96
0.99
1.02
1.05
1.08
1.11
τ=60,δ=20の富の水準
年間
リターン
年率
標準偏差
Sharpe
Ratio
MAX
日次リターン
MIN
日次リターン
MPC 7.84% 7.95% 0.97 1.73% -1.79%
TPX500 26.70% 16.29% 1.64 4.37% -2.89%

17. (Out of Sampleにおける年率シャープレシオの水準:縦軸と予測期間:横軸)
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
τ=60,δ=20の富の水準
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
10 20 30 40 50 60 70 80 90
年率換算Sharpe Ratio
[Out of Sample:2008/4～2009/3]
δ:1 δ:10 δ:20 δ:30 δ:40 δ:50 δ:60
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
10 20 30 40 50 60 70 80 90
年率換算Sharpe Ratio
[Out of Sample:2008/4～2009/3]
δ:1 δ:10 δ:20 δ:30 δ:40 δ:50 δ:60
年間
リターン
年率
標準偏差
Sharpe
Ratio
MAX
日次リターン
MIN
日次リターン
MPC 21.67% 15.56% 1.39 4.45% -3.26%
TPX500 -37.30% 42.13% -0.89 13.80% -9.73%

18. (Out of Sampleにおける年率シャープレシオの水準:縦軸と予測期間:横軸)
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
MPC(τ=60,δ=20)とTPX500の富の水準
MPC(τ=60,δ=20) TPX500
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
10 20 30 40 50 60 70 80 90
年率換算Sharpe Ratio
[Out of Sample:2008/4～2015/3]
δ:1 δ:10 δ:20 δ:30 δ:40 δ:50 δ:60
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
10 20 30 40 50 60 70 80 90
年率換算Sharpe Ratio
[Out of Sample:2008/4～2015/3]
δ:1 δ:10 δ:20 δ:30 δ:40 δ:50 δ:60

19.  予測期間が長いほどパフォーマンスは向上する傾向
 リバランスのタイミングによってパフォーマンスに差が生じる
 次にα(ターンオーバー制約)を考慮して同様のシミュレーションを行う。
係数に誤差を仮定し、正則化解を求める相変原理を参考にαを算出する。
相変原理: 𝑨𝒙 𝜶 − 𝒃 = δ𝒃 として 𝛼を選ぶ。
𝒙 𝜶=(
𝛾
𝑊𝑡
𝚺 + 𝜳 𝟏 𝚺𝜳 𝟏 + ⋯ + 𝜳 𝝉−𝟏 𝚺𝜳 𝝉−𝟏 +α𝑰)
−1
[𝐸𝑡 𝑺 𝑡+𝝉 − 1 + 𝑟 𝝉 𝑺 𝑡 + 𝛼𝒖 𝑡−𝛿]
𝑨=(
𝛾
𝑊𝑡
𝚺 + 𝜳 𝟏 𝚺𝜳 𝟏 + ⋯ + 𝜳 𝝉−𝟏 𝚺𝜳 𝝉−𝟏 )
𝒃 = [𝐸𝑡 𝑺 𝑡+𝝉 − 1 + 𝑟 𝝉
𝑺 𝑡]
δ𝒃 = diag(𝚺)

20. (Out of Sampleにおける年率シャープレシオの水準:縦軸と予測期間:横軸)
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
10 20 30 40 50 60 70 80 90
年率換算Sharpe Ratio（α考慮）
［Out of Sample:2014/4～2015/3］
δ:1 δ:10 δ:20 δ:30 δ:40 δ:50 δ:60
0.95
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
τ=60,δ=10の富の水準
α考慮 αなし

21. (Out of Sampleにおける年率シャープレシオの水準:縦軸と予測期間:横軸)
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
10 20 30 40 50 60 70 80 90
年率換算Sharpe Ratio（α考慮）
[Out of Sample:2008/4～2009/3]
δ:1 δ:10 δ:20 δ:30 δ:40 δ:50 δ:60
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
τ=60,δ=10の富の水準
α考慮 αなし

22. (Out of Sampleにおける年率シャープレシオの水準:縦軸と予測期間:横軸)
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
τ=60,δ=10の富の水準
α考慮 αなし
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
10 20 30 40 50 60 70 80 90
年率換算Sharpe Ratio
[Out of Sample:2008/4～2015/3]
δ:1 δ:10 δ:20 δ:30 δ:40 δ:50 δ:60

23. A B =B-A
期間 SR SR_α 差異
200804-200903 1.26 1.60 0.33
200904-201003 0.96 0.62 -0.34
201004-201103 1.23 1.44 0.22
201104-201203 0.69 0.96 0.27
201204-201303 0.67 0.73 0.06
201304-201403 0.74 1.12 0.38
201404-201503 1.40 1.72 0.32
A B C D E=A-B F=C-D =C-A =F-E =D-B
期間 Gross Net Gross_α Net_α Cost Cost_α PF差異 Cost差異 総差異
200804-200903 25.36% 20.45% 39.13% 34.79% 4.91% 4.34% 13.77% 0.58% 14.35%
200904-201003 15.88% 10.46% 12.38% 8.15% 5.43% 4.23% -3.50% 1.20% -2.30%
201004-201103 17.14% 12.58% 15.24% 11.58% 4.56% 3.66% -1.90% 0.90% -1.00%
201104-201203 9.45% 4.27% 10.36% 6.41% 5.18% 3.95% 0.91% 1.23% 2.14%
201204-201303 10.85% 6.23% 10.19% 6.92% 4.62% 3.27% -0.66% 1.35% 0.69%
201304-201403 15.84% 10.83% 23.12% 19.61% 5.01% 3.51% 7.28% 1.50% 8.78%
201404-201503 17.21% 11.50% 21.18% 15.92% 5.71% 5.26% 3.97% 0.45% 4.42%
(予測期間60,リバランス期間10におけるリターンの比較)
(予測期間60,リバランス期間10におけるシャープレシオの比較)
 リターンについてはコストの削減により回転率を抑制
 シャープレシオも改善傾向
ただし、ターンオーバーにかかる制約により、適切なリバラン
スを実施できないことでパフォーマンスが劣後する場合も。

24. 0
50
100
150
200
250
300
日次リターンのヒストグラム
平均 0.06%
標準誤差 0.02%
中央値 （メジアン） 0.04%
標準偏差 0.01
分散 0.00
尖度 3.82
歪度 0.35
最小 -3.69%
最大 4.96%
(日次リターンの統計量 )
予測期間60,リバランス期間10における日次リターン

25. 回帰統計
重相関 R 0.31
重決定 R2 0.09
補正 R2 0.06
標準誤差 0.04
観測数 84
分散分析表
自由度 変動 分散 観測された分散比 有意 F
回帰 3 0.01 0.00 2.74 0.05
残差 80 0.10 0.00
合計 83 0.11
係数 標準誤差 t P-値 下限 95% 上限 95%
切片 0.02 0.00 4.21 0.00 0.01 0.03
Monentum -0.88 0.45 -1.93 0.06 -1.78 0.03
Value -1.39 0.55 -2.52 0.01 -2.49 -0.29
TPX500 2.11 0.91 2.31 0.02 0.29 3.93
Monentum Value TPX500 MPC
Monentum 1
Value 0.94 1
TPX500 0.98 0.99 1
MPC -0.14 -0.17 -0.15 1
予測期間60,リバランス期間10におけるリスクの状況
(指数とポートフォリオの相関行列)
 MPCポートフォリオの月次リターンをスタイル指数で回帰した結果
指数は、モメンタム(Citi QuantIFI Index Japan Momentum)、バリュー(大和DSI2 Large Value)、ベータ(TOPIX500)を使用

26.  Out of Sample期間全体のうち、どれくらいの期間で共和分性が成立していたか
(ラグ10までの有意水準5%のEngle-Grangerの共和分検定)
0
5
10
15
20
25
30
#ofPairs
Out of Sample期間において共和分性が継続した割合
各ペアの共和分性の継続割合
Out of Sample期間 # of Pairs 平均 標準偏差
200804-200903 18 33% 24%
200904-201003 20 55% 28%
201004-201103 26 27% 19%
201104-201203 23 34% 21%
201204-201303 11 32% 27%
201304-201403 14 25% 17%
201404-201503 16 39% 25%
全期間 128 35% 23%
(各年度毎詳細)

27.  まとめ
各シミュレーション期間で取引コストを控除しても良好なパフォーマンス。
 今後の課題
・ペアのスクリーニングプロセスの改良。
・ペアの時系列モデルを拡張したシミュレーションの実施
(VARMA/DCC-GARCH Modelなど)
・共和分ペアを動的に入れ替えたシミュレーションの実施
・定式化の連続時間への拡張

28. 【参考文献(一部)】
[1]「Pairs Trading:Quantitative Method and Analysis」
Vidyamurthy,G.(2004)
[2] 「Pairs Trading:Performance of a Relative Values Arbitrage Rule」
E.Gatev,et al(2006)
[3] 「ファンド運営を意識した最適ペアトレード戦略-DFO手法を用いた問題設計-」
山本零, 枇々木規雄. (2015)
[4] 「Dynamic Spread Trading」
Kim.S-J,J.Primbs,and S.Boyd (2008)
[5] 「共和分性に基づく最適ペアトレード」
山田雄二,J.Primbs (2012)
[6] 「Model Predictive Control for Optimal Portfolios with Cointegrated Pairs of
Stocks」
Y.Yamada,J.Primbs (2012)

29. 𝑅𝑡,𝜏 − 𝐸𝑡 𝑅𝑡,𝜏 =
𝒖 𝑡
𝑇
𝑊𝑡
[𝑺 𝑡+𝜏 − 𝐸𝑡(𝑺 𝑡+𝜏)] であるので、 𝑺 𝒕の𝑉𝑀𝐴(∞)表現を
𝑺 𝒕 = 𝒆 𝒕 + 𝜳 𝟏 𝒆 𝒕−𝟏 + ⋯ + 𝜳 𝝉−𝟏 𝒆 𝒕− 𝝉−𝟏 + 𝜳 𝝉 𝒆 𝒕−𝝉 + ⋯
⇔ 𝑺 𝑡+𝝉 = 𝒆 𝒕+𝝉 + 𝜳 𝟏 𝒆 𝒕+𝝉−𝟏 + ⋯ + 𝜳 𝝉−𝟏 𝒆 𝒕+𝟏 + 𝜳 𝝉 𝒆 𝒕 + ⋯ , 𝜳𝒊 ∈ 𝑅 𝑚×𝑚
とすると、𝑺 𝑡+𝜏の条件付き期待値は𝐸𝑡 𝑺 𝑡+𝜏 = 𝜳 𝝉 𝒆 𝒕 + 𝜳 𝝉+𝟏 𝒆 𝒕−𝟏 + ⋯ と書けるので、
𝑅𝑡,𝜏 − 𝐸𝑡 𝑅𝑡,𝜏 =
𝒖 𝑡
𝑇
𝑊𝑡
[𝒆 𝒕+𝝉 + 𝜳 𝝉 𝒆 𝒕+𝝉−𝟏 + ⋯ + 𝜳 𝝉−𝟏 𝒆 𝒕+𝟏]
を得て、ゆえに条件付き分散 𝑉𝑡 𝑅𝑡,𝜏 は、
𝑉𝑡 𝑅𝑡,𝜏 =
𝒖 𝑡
𝑇
𝑊𝑡
[𝜮 𝒕+𝝉 + 𝜳 𝟏 𝜮 𝒕+𝝉−𝟏 𝜳 𝟏 + ⋯ + 𝜳 𝝉−𝟏 𝜮 𝒕+𝟏 𝜳 𝝉−𝟏]
𝒖 𝒕
𝑊𝑡
=
𝒖 𝑡
𝑇
𝑊𝑡
[𝜮 + 𝜳 𝟏 𝜮𝜳 𝟏 + ⋯ + 𝜳 𝝉−𝟏 𝜮𝜳 𝝉−𝟏]
𝒖 𝑡
𝑊𝑡
以上から、条件付き平均分散問題は
max
𝒖 𝑡∈𝑅(𝑚)
1 + 𝑟 𝜏
+
𝒖 𝑡
𝑇
𝑊𝑡
𝐸𝑡 𝑺 𝑡+𝜏 − 1 + 𝑟 𝜏
𝑺 𝑡 −
𝛼
2𝑊𝑡
𝒖 𝑡 − 𝒖 𝑡−δ
2
−
𝛾
2
𝒖 𝑡
𝑇
𝑊𝑡
[𝜮 + 𝜳 𝟏 𝜮𝜳 𝟏 + ⋯ + 𝜳 𝝉−𝟏 𝜮𝜳 𝝉−𝟏]
𝒖 𝒕
𝑊𝑡
と書くことができ、𝒖 𝑡について微分すると、(1階の条件)
𝒖 𝑡 =
𝛾
𝑊𝑡
𝜮 + 𝜳 𝟏 𝜮𝜳 𝟏 + ⋯ + 𝜳 𝝉−𝟏 𝜮𝜳 𝝉−𝟏 + 𝛼𝑰
−𝟏
[𝐸𝑡 𝑺 𝑡+𝜏 − 1 + 𝑟 𝜏 𝑺 𝑡+𝛼𝒖 𝑡−δ]

30. 連立方程式
𝑨𝒙 = 𝒃
において
𝑨𝒙 − 𝒃 2 = 0
を最小にする𝒙 を最小自乗解という。これに正則化項のα 𝒙 2を加えた、
J = 𝑨𝒙 − 𝒃 2 + α 𝒙 2
の解𝒙 𝜶を正則化解と呼ぶ。
さらに、𝒃には誤差δ𝒃があり、真の値𝒃∗は不明であるが、その誤差の大きさ δ𝒃 は
わかっていると仮定する。
つまり、𝒃 = 𝒃∗
+ δ𝒃であるが、真の解𝒙 𝒆𝒙が満たすべき
𝑨𝒙 𝒆𝒙 − 𝒃∗ − δ𝒃 = δ𝒃
という関係を正則化解𝒙 𝜶 に対して当てはめ、
𝑨𝒙 𝜶 − 𝒃 = δ𝒃 として 𝛼を選ぶ。