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アセットアロケーションの未来
- 2. 自己紹介～中川 慧 【略歴】 2012/3 京都大学 経済学部 卒業 2015/3 筑波大学大学院ビジネス科学研究科 経営システム科学 修了(経営学) 2016/4 筑波大学大学院ビジネス科学研究科 システムズマネジメントコース(博士課程) 入学 2018/2 野村アセットマネジメント株式会社 資産運用先端技術研究室 【研究】 https://sites.google.com/site/keinakagawasite/ ✔ 機械学習/人工知能： 「金融時系列のための深層t過程回帰モデル」(2018) 人工知能学会金融情報学研究会(2019年人工知能学会研究会優秀賞)など ✔ 金融工学/計量ファイナンス： 「Complex Valued Risk Diversification」(2019) Entropyなど 内外株式、マルチアセットのクオンツファンドの開発、運用経験。 先端的な要素技術の研究開発と資産運用ビジネスへの応用に従事。 2
- 5. ファイナンスの歴史 1934年 Graham & Dodd 証券分析 1938年 Williams 配当割引モデル 1952年 Markowitz 平均分散法(ポートフォリオ理論の基礎) 1958年 Modigiliani & Miller MM理論(コーポレート・ファイナンスの基礎) 1964年 Sharpe CAPM(均衡理論) 1973年 Black, Scholes & Merton ブラックショールズモデル(オプション理論の基礎) 1976年 Ross 裁定価格理論 (APT) 1979年 Kahneman & Tversky 行動ファイナンス理論 1979年 Harrison & Kreps 資産価格付けの基本定理(離散) 1981年 Harrison & Pliska 資産価格付けの基本定理(連続) （赤字はノーベル経済学賞の受賞者） 5
- 6. 平均分散ポートフォリオ ✔ ポートフォリオ理論では、投資家は収益率の期待値(平均)と 分散(リスク)にしたがってポートフォリオを決定すると仮定。 ニッセイ基礎研年金ストラテジー Vol.103(2005)より ✔ 投資家は効率的フロンティア上のポートフォリオを選択。 インプット：期待リターン、リスク、リスク回避度 ↓ リスクとリターンのトレードオフ最適化 アウトプット：最適ウェイト ✔ どこを選択するかはリスク回避度次第。 6
- 8. ✔ Rollの批判：キャッシュフローを生むあらゆる証券(債券、不動産、人、etc)の 時価総額加重ポートフォリオは構築不可能 CAPMからAPTへ ✔ アノマリーの発見：サイズ、バリューファクターなどCAPMでは説明できない現象 𝜇𝑖 − 𝑟𝑓 = 𝑘=1 𝐾 𝛽 𝑘(𝑟𝑘 − 𝑟𝑓) 𝐾個のリスクファクターへ拡張(APT) はじめにリスクファクターを特定し、 それらについての(局所)平均分散効率性を検証すればAPTは検証可能！ リスクファクターこそが今日のファクター投資の原型である。 8
- 10. ファクター リスク・プレミアムとしての整理 アノマリーとしての整理 バリュー 高い財務レバレッジや利益に対 する不確実性への対価 業績の良い(悪い)企業の過大 (過小)評価 サイズ 流動性やデフォルト・リスクへの対 価 アナリストが少ない等の情報の非 対称性 モメンタム マクロ経済(景気)へのエクスポー ジャーに対する対価 ニュースに対する過小反応や投 資家の群集心理 クオリティ 高クオリティ(ROE)の継続に対す る不確実性への対価 マーケットサイドでみた低リスクを ファンダメンタルサイドでみたものが クオリティ ボラティリティ - ファイナンス理論と矛盾 射幸心をあおる高ボラ銘柄の過 大評価 実務的にも学術的にも有名なファクターを整理する。 ファクター投資：概要 10
- 12. “… and the cross-section of expected returns“ Harvey et,al. [2016] Review of Financial Studies ✔ 2012年までに少なくとも316のファクターが試され、 さらにそれらのファクターの大部分は過去10年のものであることが報告されている。 ファクター投資：概要 12 ✔ アセットアロケーションにおいてもファクターの存在が報告されている。
- 13. ✔ 株式ではなく、資産配分を考える場合のファクターとは？ ✔ 資産配分において、長期的な視点からマクロ経済のファクターに基づいた意思決定は非常 に重要である。(GDP成長、人口動態、物価、etc…) ✔ マクロ経済の観点に基づくファクター(マクロ・ファクター)を特定・定義し、各資産クラスとの関 係を明らかにする必要がある。 マクロ・ファクターの特定とそのエクスポージャー管理が重要 (株式におけるファクターとの差異) ファクター投資：マクロファクターとアロケーション 13『マクロ・ファクターの定量化とリスク分析への活用』(伊藤,中川. 証券アナリストジャーナル2018年8月号)
- 15. ✔ 一般的な手法 経済成長 インフレ 実質金利 アカデミック 実務 物価上昇率 成長率 生産性 株式 クレジットスプレッド 金融政策 （一例） ファンダメンタルズ そのもの、直接投資不可 市場指数で代替的に表現することで 投資可能なファクターとして扱う。 コモディティー 国債 物価連動債 マクロ・ファクターの定義 1:1紐づけは 適切？ 15
- 16. ✔ 各資産は複数のファクターに影響を受けることをモデル化したい 経済成長 インフレ 実質金利 米 国 株 マクロ・ファクター（共通変動要因） マルチアセット市場 日 本 株 ドイ ツ株 英 国 株 米 国 債 円 債 ドイ ツ債 英 国 債 円・・・ ・・・ ユー ロ 英 ポン ド ・・・ ・各資産が複数のマクロファクターの影響を受けることを定量化。＜より現実に近い設定＞ ・市場データを用いてファクターを定義。 ＜実務的な応用が可能＞ マクロ・ファクターの定量化 16
- 17. ✔ 統計的手法(主成分分析)によるマクロファクターの抽出 様々な市場変動 3つの共通要因に集約 ※2011年10月末～2018年10月末の試算結果。Data Stream, Bloombergより作成。 実質金利ファクター 経済成長ファクター インフレファクター マクロ・ファクターの定量化 17
- 18. ✔ 主要マクロファクター：経済成長 ※Data Stream, Bloombergより作成。 マクロ・ファクターの定量化 ～代表的な3つのマクロ・ファクター～ 18
- 19. ※Data Stream, Bloombergより作成。世界景気先行指数としてOECD CLIを使用。 マクロ・ファクターの定量化 ～代表的な3つのマクロ・ファクター～ ✔ 主要マクロファクター：経済成長 19
- 20. ※Data Stream, Bloombergより作成。 マクロ・ファクターの定量化 ～代表的な3つのマクロ・ファクター～ ✔ 主要マクロファクター：実質金利 20
- 21. ※Data Stream, Bloombergより作成。 マクロ・ファクターの定量化 ～代表的な3つのマクロ・ファクター～ ✔ 主要マクロファクター：実質金利 21
- 22. ※Data Stream, Bloombergより作成。 マクロ・ファクターの定量化 ～代表的な3つのマクロ・ファクター～ ✔ 主要マクロファクター：インフレーション 22
- 23. ※Data Stream, Bloombergより作成。 マクロ・ファクターの定量化 ～代表的な3つのマクロ・ファクター～ ✔ 主要マクロファクター：インフレーション 23
- 24. ※試算値、19年5月末時点、斜線は感応度が負であることを意味する。 ※MSCI World Index USD, MSCI Emerging Market Index USD, S&P GSCI, FTSE WGBI USD Hedged, ICE BoA ML US HY Constrained Index, JPM GBI-EM Diversified Index USD, CAD/USD(WMR),AUD/USD(WMR) 代表的資産クラス ✔ 資産のリターン源泉への理解 ～価格変動要因の分解～ リスク 寄与率 定性的な解釈がしやすい＋3ファクターでの説明力の高さ マクロファクターの効用① ～資産のリターン源泉の理解～ 0% 25% 50% 75% 100% 先進株 新興国株 商品 ヘッジ外債 米HY債 L新興国債 資源国通貨 その他 インフレ 実質金利 経済成長 24
- 26. ※当社試算値、18年10月末時点、HFRI(Hedge Fund Research Index)の総合・戦略別指数を使用。 ・ヘッジファンド総じて,経済成長ファクターへのエクスポージャー大。 ・特定のマクロファクターにティルトしていない特徴を持つ戦略もある。 ・全体として分散効果が得られているか？どのような戦略を組み入れるべきか？を検討するヒントに。 マクロファクターの効用② ～ポートフォリオ・リスク分析への活用～ ✔ リスク分析への活用 26
- 28. 平均分散ポートフォリオの課題 ✔ 平均分散ポートフォリオの代表的な課題として次の3点がある。 (1) Error Maximization (2) 資産集中 (3) 期待リターンの推定の困難性 (4) テールリスク 【問題点】 【キーワード】 (1) ファクター投資 (2) リスクベース・ポートフォリオ (3) 機械学習・AI（今回は紹介なし） 28
- 29. 平均分散ポートフォリオの課題 日本株 12.13% 外国株 15.48% 債券 9.23% ✔ Error Maximizationの例 日本株 外国株 債券 日本株 0.02528 0.02098 0.00411 外国株 0.02098 0.05452 0.00085 債券 0.00411 0.00085 0.00487 期待リターン 13.5%以上、 リスクを最小にするポートフォリオ。 19.5% 59.3% 21.2% 期待リターン 共分散行列 13.34% +10% 50.3% 35.2% 14.5% +160% 最適ウェイト 株の年率リスクは20%。 1%の誤差は推定値として非常に優秀だが、、 29
- 30. ニッセイ基礎研年金ストラテジー Vol.103(2005)より✔ 資産集中の例 横軸(リスク)は景気などに よらず安定してそう。 しかし縦軸(リターン)は？ ✔ 期待リターンの推定の困難性の例 平均分散ポートフォリオの課題 30
- 31. ✔ テールリスクの例 平均分散ポートフォリオの課題 森平 爽一郎 著 金融リスクマネージメント入門 日経文庫[新書] 日本経済新聞出版 学習のための補足資料 31
- 33. ✔ 推定の難しい期待リターンを直接使用せず、リスクのみを使用するポートフォリオ構築法 リスクベース・ポートフォリオとは ✔ 最小分散(MV)、リスクパリティ(RP)、最大分散度(MD)が代表的である。 ✔ リスクベースポートフォリオは実務家が中心になって提案されている。 ポートフォリオ 論文 概要 MV Clarke, et al [2006] 米国市場における最小分散ポートフォリオの実証分析 MV 山田,上崎 [2009] 日本市場における最小分散ポートフォリオの実証分析 RP Qian [2005] リスクパリティ・ポートフォリオの提案とその効率性の検討 RP Maillard, et al [2010] 効率的なリスクパリティ・ウェイトの計算方法の提案 MD Choueifaty and Coignard [2008] 最大分散度ポートフォリオの提案と実証分析 MV,RP,MD Jurczenko, et al [2013] リスクベース・ポートフォリオを一般化して定式化 33
- 34. ✔ リターンの水準は関係なく、リスクのみを最小化して作られるポートフォリオ 分散共分散行列を 𝜮 = E 𝑹 − 𝝁 𝑹 − 𝝁 𝑇 とすると、 ポートフォリオの分散は𝜎 𝑃 2 = 𝒘 𝑇 𝜮𝒘と書ける。 𝑹 = 𝑅1, . . . , 𝑅 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産の収益率ベクトル 𝒘 = 𝑤1, … , 𝑤 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産のウェイトベクトル 𝝁 = 𝜇1, … , 𝜇 𝑁 𝑻 : 𝑁個の期待リターンベクトル このとき、最小分散ポートフォリオは以下を 満足するウェイトを持つ。 最小分散ポートフォリオ(MV) 𝒘 = 𝜮−𝟏 𝟏 𝟏 𝑇 𝜮−𝟏 𝟏 制約(0 < 𝑤𝑖)がない場合には 解析的にウェイトが求まる。 s. t. ; 𝟏 𝐓 𝒘 = 1， 0 < 𝑤𝑖 < 1 min 𝒘 𝜎 𝑃 2 = 1 2 𝒘 𝑇 𝜮𝒘 34
- 35. ✔ MVは時価総額加重型ポートフォリオと比して良好なシャープレシオ Clarke, et al[2006] 、山田,上崎[2009]など 「ボラティリティ・アノマリー」と言われ、そのメカニズムについては行動ファイナンス的な側面から 様々な解釈が与えられている。 ・機関投資家はベンチマークに対するトラッキングエラーや空売 り/レバレッジの禁止等の様々な「運用制約」に縛られている。 そのためベンチマークに勝つためにハイベータ銘柄に対する選好 が強く、これがハイベータ銘柄の低リターンをもたらす。 岩澤,内山[2013] 裁定の限界 非合理的取引 ・Barberis and Huang[2008]は「宝くじ」のつもりで 高ボラティリティ銘柄に投資する投資家が、 その証券を過大評価する結果、 超過リターンは平均すれば負になることを指摘。 しかし、CAPMを前提とすると、 時価総額加重型ポートフォリオがリスクリターンで最も効率的のはず・・ 最小分散ポートフォリオ(MV) 35
- 36. ✔ 全ての資産のリスク寄与度(配分)が等しいポートフォリオ Qian [2005] 𝑅𝐶𝑖 = 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶𝑖 リスク寄与度(Risk Contribution; RC)は次のように書ける。 ∵ 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶𝑖 = 𝜎 𝑃 このリスク寄与度が各資産で等しいポートフォリオを リスクパリティポートフォリオという。 𝑀𝑅𝐶 = 𝜕𝜎 𝑃 𝜕𝒘 = 𝜮𝒘 𝜎 𝑃 , 𝑀𝑅𝐶𝑖 = 𝜮𝒘 𝒊 𝜎 𝑃 ポートフォリオのリスク(𝜎 𝑃)をウェイトで微分した 限界リスク寄与(Marginal Risk Contribution;MRC)を以下のように定義する。 リスクパリティ・ポートフォリオ(RP) ウェイトで合計するとリスクに！ リスクの分解を表す。 36
- 37. min 𝒘 𝑖=1 𝑁 𝑗=1 𝑁 𝑅𝐶𝑖 − 𝑅𝐶𝑗 2 ✔ 空売りを許さない場合には以下の最小化問題を解くことで、効率的にウェイトが 計算できることが示されている。 また、以下は凸問題でUniqueな解を持つことを示した。Maillard, et al [2010] s. t. 𝟏 𝐓 𝒘 = 1 リスクパリティ・ポートフォリオ(RP) 0 < 𝒘 < 1 RPのうち、相関を考慮せずボラティリティのみでリスクパリティにするポートフォリオを ボラティリティ・インバース(VI)ポートフォリオという。 37
- 38. max 𝒘 DR(𝐰) = 𝒘 𝑻 𝝈 𝜎 𝑃 ✔ 分散効果が最も享受できるポートフォリオ Choueifaty [2008] シャープレシオ最大化ポートフォリオの期待超過リターンの 代わりにボラティリティを使用したとも見れる。 このとき、最大分散度ポートフォリオは以下の分散度 (Diversification Ratio;DR) を最大化する。 ポートフォリオのリスクは𝜎 𝑃 = 𝒘 𝑇 𝚺𝒘 と書ける。 また、各資産のボラティリティを 𝝈 = diag 𝚺 とする。 最大分散度ポートフォリオ(MD) 連動して増える（減る） 38
- 39. (平成26年業務概況書 GPIF HP;http://www.gpif.go.jp/operation/state/pdf/h26_q4.pdf より筆者作成) 各ポートフォリオの比較 国内 債券 国内 株式 外国 債券 外国 株式 標準偏差 4.7 25.1 12.6 27.3 国内債券 1 -0.16 0.25 0.09 国内株式 -0.16 1 0.04 0.64 外国債券 0.25 0.04 1 0.57 外国株式 0.09 0.64 0.57 1 相関係数 ✔ GPIFのリスク見通し(右)の下でのウェイト(上)とリスク寄与度、リスク、分散度(下) GPIFのリスク見通し 39
- 43. 研究紹介 [3] "Risk-Based Portfolio with Large Dynamic Covariance Matrices", Kei Nakagawa, Mitusyoshi Imamura and Kenichi Yoshida, 2018,International Journal of Financial Studies [2] “リスクベース・ポートフォリオの高次モーメントへの拡張”,中川 慧, 2017, リスク管理・保険とヘッジ(JAFEE Journal) 朝倉書店 [1] “ブラック・リッターマン法を用いたリスクベース・ポートフォリオの拡張“,中川慧,2019, ファイナンシャルプランニング研究,2018年度日本FP学会優秀賞受賞 43
- 44. 研究紹介 [3] "Risk-Based Portfolio with Large Dynamic Covariance Matrices", Kei Nakagawa, Mitusyoshi Imamura and Kenichi Yoshida, 2018,International Journal of Financial Studies [2] “リスクベース・ポートフォリオの高次モーメントへの拡張”,中川 慧, 2017, リスク管理・保険とヘッジ(JAFEE Journal) 朝倉書店 [1] “ブラック・リッターマン法を用いたリスクベース・ポートフォリオの拡張“,中川慧,2019, ファイナンシャルプランニング研究,2018年度日本FP学会優秀賞受賞 44
- 45. 【1】 研究の背景 ✔ Markowitzの平均分散法は、いくつかの問題点が指摘されている。例えば、 一部の資産クラスに片寄った配分結果となる、推定に用いるデータ期間や目標 リターンを少し変更しただけで極端に異なる配分結果となるなどがある。 (Michaud [1989]等) ✔ 運用業界では、平均分散法に代わって、リスクのみに基づきポートフォリオを 構築する、リスクベースのポートフォリオ構築方法が注目されている。 ✔ 投資家の見通しを反映させ、期待リターンを補正することで、最適化の結果 も極端な解に収束しにくくなり、安定する 45
- 46. 【1】 研究の目的 ✔ 新たなポートフォリオ構築の枠組みの提案 Pros Cons リスクベース・ポートフォリオ 良好なパフォーマンス リスク水準や期待リターンを考慮できない ブラック・リッターマン法 投資家の見通しを反映することができる 前提である時価加重型ポートフォリオの妥当性 研究の目的、貢献： リスクベース・ポートフォリオにブラックリッターマン法を組み合わせ、 期待リターンと見通しを導入し、両者の欠点を補完。 46
- 47. 【2】 先行研究の整理～ブラック・リッターマン法 ✔ 投資家が、「見通し」を持つ場合の最適なアセット・アロケーションを求めることができる。 論文 概要 Black and Litterman [1991] Black and Litterman [1992] Satchell and Scowcroft [2000] 上記モデルのベイズの定理を用いた記述(定式化) Firoozye and Blamont [2003] パラメータτの直観的解釈と設定方法の提案 Meucci [2006] パラメータΩの解釈および設定方法の提案 ブラック・リッターマン法の提案 ✔ 投資家の見通しを反映させ、期待リターンを補正することで、最適化の結果も極端な解に 収束しにくくなり、安定する。 ✔ (代表的個人の)資産配分が資産の時価に比例しているという均衡(CAPM)の仮定 47
- 48. 【2】 先行研究の整理～ブラック・リッターマン法 ビューの分布 リスク回避係数 𝛿 共分散行列 𝜮 均衡ウェイト 𝒘 𝐸𝑞 インプライド・均衡期待リターン 𝜫 = 𝛿𝜮𝒘 𝐸𝑞 事前分布 𝑁~(𝜫, 𝜏𝜮) ビュー 𝑸 不確実性 𝜴 ビューと事前分布の合成 𝑁~ 𝜏𝜮 −1 + 𝑷 𝑇 𝜴−1 𝑷 −1 𝜏𝜮 −1 𝜫 + 𝑷 𝑇 𝜴−1 𝑸 , 𝜏𝜮 −1 + (𝑷 𝑇 𝜴−1 𝑷) −1 𝑁~(𝑸, 𝜴) 一般化最小 二乗推定量 期待リターン を逆算！ 48
- 49. ✔ そこで、両者を組み合わせることで、互いの欠点を補完する手法を提案する。 本手法は、ブラック・リッターマン法を用いたリスクベース・ポートフォリオの拡張と言える。 【3】 提案手法 ✔ ブラック・リッターマン法はCAPMを前提としている。しかし、実証的に時価総額加重ポートフォ リオは効率的ではないため、そこから算出されるインプライド・期待リターンも妥当性を失う。 ✔ リスクベース・ポートフォリオの構築手法は期待リターンを明示的に考慮していない点、 そして投資家の見通しを入れることはできない点が課題としてある。 Step 1. リスクベースのポートフォリオ構築手法によってウェイト𝑤 𝑅𝐵を計算する。 Step 2. 当該ウェイトから、インプライド・期待リターン𝛱を導出する。 Step 3. 期待リターン、および分散-共分散行列に見通し𝑄, 𝛺を合成する。 Step 4. 合成されたリターン𝜇 𝑛𝑒𝑤と𝛴 𝑛𝑒𝑤を用いて、平均分散法に基づく最適化をする。 49
- 51. ✔ パラメータ𝛺について、Meucci [2006]は対角行列であることを気にせず、𝛺 = 1 𝑐 𝑃𝛴𝑃 𝑇を設定し、𝑐 = 𝜏−1とした。 【3】 提案手法 𝜫𝝁 インプライド・期待リターンサンプル期間の実績リターン 𝛿:二乗誤差が最小となるような係数 ✔ 各パラメータについて本論文では、簡便のため次の方法を採用する。 ✔ パラメータ𝜏について、Blamont and Firoozye [2003]は、まず𝛱の推定の 標準誤差として𝜏𝛴を解釈する。𝜏 = 1/𝑁(観測数) 51
- 52. 【4】実証分析 ✔ 分析に使用するデータ - 分析対象：日本、米国、英国、欧州の株式および債券指数の月次リターンデータ - 対象期間：2003/1/31-2017/3/31までで、171サンプル ✔ 実装はR(最適化はRsolnpパッケージ)で行った。 ✔ 資産配分を例に提案手法の有効性を検証する。 1. 各インプライド・期待リターンのポートフォリオの比較 2. 各インプライド・期待リターン＋見通しを反映したポートフォリオの比較 52
- 53. MSCI Japan MSCI US MSCI EMU MSCI UK CITI Japan CITI US CITI EMU CITI UK 年率リターン 7.33% 10.05% 8.77% 8.83% 1.87% 3.66% 4.54% 5.86% 年率標準偏差 18.32% 13.63% 16.54% 12.95% 2.14% 4.35% 4.06% 6.15% 歪度 -0.43 -0.78 -0.48 -0.63 -0.20 0.01 -0.06 0.19 尖度 5.18 6.47 5.34 5.02 5.37 6.32 4.38 4.95 Jarque-Bera統計量 13.88 56.74 17.85 17.72 13.13 35.18 0.90 6.62 p値 0.10% 0.00% 0.01% 0.01% 0.14% 0.00% 63.80% 3.66% サンプル数 いずれも171サンプル( 2003/1/31-2017/3/31 ) 【4】実証分析 相関行列 MSCI Japan MSCI US MSCI EMU MSCI UK CITI Japan CITI US CITI EMU CITI UK MSCI Japan 1.00 MSCI US 0.63 1.00 MSCI EMU 0.66 0.83 1.00 MSCI UK 0.56 0.82 0.84 1.00 CITIJapan -0.38 -0.16 -0.25 -0.12 1.00 CITIUS -0.35 -0.26 -0.32 -0.18 0.46 1.00 CITIEMU -0.13 -0.12 -0.08 -0.03 0.38 0.63 1.00 CITIUK -0.28 -0.18 -0.19 -0.07 0.43 0.72 0.62 1.00 表1: 使用指数のリターンの基本統計量 表2: 使用指数のリターンの相関行列 正の歪度 正規性が 棄却されない 債券と株は 弱い逆相関関係 53
- 54. 手順4: 手順3で計算したSRのリスク𝜎𝑆𝑅をターゲット・リスクとして、各インプライド・期待リターンを最大化する ように最適化を行う。 【4】実証分析～各インプライド・期待リターンの有効性の検証 max 𝑤 𝒘 𝑇 𝜫 max 𝒘 𝒘 𝑇 𝜫 𝒘 𝑇 𝜮𝒘 手順1: 過去12か月の月次リターンから推定した標本分散-共分散行列𝜮を使用し、各指数の時価総 額から、時価総額加重ウェイト𝒘 𝑬𝑸と3つのリスクベース・ポートフォリオのウェイト𝒘 𝑹𝑩を計算する。 手順2: 各ウェイトから、インプライド・期待リターン𝜫を算出する。 手順3: 時価総額加重ウェイト𝒘 𝑬𝑸から得られたインプライド・期待リターンを使用したSR最大ポート フォリオを計算し、これをベンチマークとする。 𝑠. 𝑡, 𝒘 𝑇 𝜮𝒘 = 𝜎𝑆𝑅，𝟏 𝑻 𝒘 = 1， 0 < 𝒘 < 1 54
- 55. MV_E RP_E VI_E MD_E EQ_E SR 年率リターン 5.42% 7.51% 7.02% 5.45% 5.45% 6.04% 年率標準偏差 5.83% 7.30% 6.92% 5.70% 7.52% 7.77% 年率シャープ・レシオ 0.93 1.03 1.01 0.96 0.73 0.78 歪度 0.28 -0.47 -0.51 0.29 -0.68 -1.32 尖度 4.16 4.14 4.21 4.06 4.78 6.76 合計収益 71.79% 99.47% 93.04% 72.26% 72.23% 79.99% MV_E RP_E VI_E MD_E EQ_E SR MSCI Japan 0% 12% 10% 1% 17% 7% MSCI US 0% 11% 6% 2% 12% 37% MSCI EMU 0% 9% 11% 1% 9% 10% MSCI UK 0% 15% 20% 3% 14% 7% 株式合計 0% 47% 46% 8% 52% 60% CITI Japan 1% 19% 12% 1% 19% 11% CITI US 24% 8% 9% 23% 10% 12% CITI EMU 7% 6% 8% 6% 8% 2% CITI UK 68% 20% 25% 62% 11% 14% 債券合計 100% 53% 54% 92% 48% 40% 表3:インプライド・期待リターンを用いたポートフォリオのサマリー 表4:インプライド・期待リターンを用いたポートフォリオの平均ウェイト 【4】実証分析～各インプライド・期待リターンの有効性の検証 55
- 57. 手順4’: 各ポートフォリオのリスク𝜎 𝑃をターゲット・リスクとして合成した期待リターンを最大化する ように最適化を行う。 【4】実証分析～見通しを反映したポートフォリオの比較 手順3’: 各資産の見通し𝑸として、Moskowitz et al.[2012]やAsness et al.[2013]など でも広く知られている直近の月を除いた12カ月のリターンすなわち、モメンタムを使用する。従って、 𝑷は単位行列であり、その他のパラメータは𝜏 = 1/12(Blamont and Firoozye[2003])、 𝜴 = 𝜏𝑷𝜮𝑷 𝑇 (Meucci[2006])とした。以上を用いて合成した期待リターン𝝁 𝑛𝑒𝑤と分散-共分散 行列𝜮 𝑛𝑒𝑤を計算する。 max 𝑤 𝒘 𝑇 𝝁 𝑛𝑒𝑤 𝑠. 𝑡, 𝒘 𝑇 𝜮 𝑛𝑒𝑤 𝒘 = 𝜎 𝑃，1 𝑇 𝒘 = 1， 0 < 𝒘 < 1 57
- 58. MV_BL RP_BL VI_BL MD_BL EQ_BL SR_BL 年率リターン 4.16% 4.14% 4.39% 3.96% 6.34% 5.32% 年率標準偏差 3.77% 3.41% 3.99% 3.51% 6.55% 8.09% 年率シャープ・レシオ 1.10 1.21 1.10 1.13 0.97 0.66 歪度 0.41 0.19 -1.42 -1.17 -0.89 -0.74 尖度 7.02 4.80 12.93 8.56 5.30 6.36 合計収益 55.15% 54.82% 58.23% 52.50% 84.00% 70.49% 【4】実証分析～見通しを反映したポートフォリオの比較 MV_E RP_E VI_E MD_E EQ_E SR MSCI Japan 0% 12% 10% 1% 17% 7% MSCI US 0% 11% 6% 2% 12% 37% MSCI EMU 0% 9% 11% 1% 9% 10% MSCI UK 0% 15% 20% 3% 14% 7% 株式合計 0% 47% 46% 8% 52% 60% CITI Japan 1% 19% 12% 1% 19% 11% CITI US 24% 8% 9% 23% 10% 12% CITI EMU 7% 6% 8% 6% 8% 2% CITI UK 68% 20% 25% 62% 11% 14% 債券合計 100% 53% 54% 92% 48% 40% 表5: 見通しを反映させたポートフォリオのサマリー 表6: 見通しを反映させたポートフォリオの平均ウェイト 58
- 61. 研究紹介 [3] "Risk-Based Portfolio with Large Dynamic Covariance Matrices", Kei Nakagawa, Mitusyoshi Imamura and Kenichi Yoshida, 2018,International Journal of Financial Studies [2] “リスクベース・ポートフォリオの高次モーメントへの拡張”,中川 慧, 2017, リスク管理・保険とヘッジ(JAFEE Journal) 朝倉書店 [1] “ブラック・リッターマン法を用いたリスクベース・ポートフォリオの拡張“,中川慧,2019, ファイナンシャルプランニング研究,2018年度日本FP学会優秀賞受賞 61
- 62. ✔ そこで、歪度や尖度といったより高次のモーメントもリスクとして捉え、 これらを取り込んだ定式化を行い従来のリスクベースポートフォリオを拡張する。 その上で資産配分を例に手法の収益性やリスクを確認する。 【1】研究の背景・目的 ✔ 運用業界では、平均分散法に代わって期待リターンの推計を必要とせず、リス クのみに基づきポートフォリオを構築するリスクベースのポートフォリオ構築方法が注 目されている。 ✔ しかし、従来のリスクベースポートフォリオは分散共分散構造のみを「リスク」 と捉えていた。 62
- 65. このとき各次数のモーメント行列は 𝑴 𝟏 = 𝐸 𝑹 = {𝜇𝑖} = 𝝁 𝑁 × 1 𝑴 𝟐 = 𝐸[ 𝑹 − 𝝁 𝑹 − 𝝁 𝑻] = {𝜎𝑖𝑗} 𝑁 × 1 1 × 𝑁 = 𝑁 × 𝑁 𝑴 𝟑 = 𝐸[ 𝑹 − 𝝁 𝑹 − 𝝁 𝑻 ⊗ 𝑹 − 𝝁 𝑻 ] = {𝑠𝑖𝑗𝑘} 𝑁 × 1 1 × 𝑁 ⊗ 1 × 𝑁 = 𝑁 × 𝑁2 𝑴 𝟒 = 𝐸[ 𝑹 − 𝝁 𝑹 − 𝝁 𝑻 ⊗ 𝑹 − 𝝁 𝑻 ⊗ 𝑹 − 𝝁 𝑻 ] = {𝑘𝑖𝑗𝑘𝑙} 𝑁 × 1 1 × 𝑁 ⊗ 1 × 𝑁 ⊗ 1 × 𝑁 = 𝑁 × 𝑁3 と定義される。 𝑹 = 𝑅1, . . . , 𝑅 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産の収益率ベクトル 𝒘 = 𝑤1, … , 𝑤 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産のウェイトベクトル 𝝁 = 𝜇1, … , 𝜇 𝑁 𝑻 : 𝑁個の期待リターンベクトル 【3】定式化 65
- 66. 𝑠𝑖𝑗𝑘 = 𝐸 𝑅𝑖 − 𝜇𝑖 𝑅𝑗 − 𝜇 𝑗 𝑅 𝑘 − 𝜇 𝑘 𝑺 𝑁𝑗𝑘] このとき𝑠𝑖𝑗𝑘のうち、𝑖を固定してできる行列を𝑺𝑖𝑗𝑘とすると 𝑺𝑖𝑗𝑘 = 𝑠𝑖11 ⋯ 𝑠𝑖1𝑘 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑠𝑖𝑗1 ⋯ 𝑠𝑖𝑗𝑘 𝑘𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐸 𝑅𝑖 − 𝜇𝑖 𝑅𝑗 − 𝜇 𝑗 𝑅 𝑘 − 𝜇 𝑘 𝑅𝑙 − 𝜇𝑙 ห𝑲 𝑁1𝑘𝑙, … , 𝑲 𝑁𝑁𝑘𝑙] このとき𝑘𝑖𝑗𝑘𝑙のうち、𝑖, 𝑗を固定してできる行列を𝑲𝑖𝑗𝑘𝑙とすると 𝑲𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝑘𝑖𝑗11 ⋯ 𝑘𝑖𝑗1𝑙 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑘𝑖𝑗𝑘1 ⋯ 𝑘𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑴 𝟑は次のような行列である。 𝑴 𝟒は次のような行列である。 （共歪度） （共尖度） 𝑴 𝟑 = [𝑺1𝑗𝑘, 𝑺2𝑗𝑘, … , 𝑴 𝟒 = [𝑲11𝑘𝑙 , … , 𝑲1𝑁𝑘𝑙 ห𝑲21𝑘𝑙, … , 𝑲2𝑁𝑘𝑙ȁ… 【3】定式化 66
- 67. min 𝒘 MR 𝒘 = 𝜆1 𝜎 𝑃 2 − 𝜆2 𝑠 𝑃 3 + 𝜆3 𝑘 𝑃 4 s. t. ; 𝟏 𝐓 𝒘 = 1, 0 < 𝑤𝑖 < 1, 𝜆𝑖 > 0 モーメント行列を用いるとポートフォリオの分散𝜎 𝑃 2 、歪度𝑠 𝑃 3 、尖度𝑘 𝑃 4 はそれぞれ 𝜎 𝑃 2 = 𝒘 𝑇 𝑴 𝟐 𝒘 𝑠 𝑃 3 = 𝒘 𝑇 𝑴 𝟑(𝒘⨂𝒘) 𝑘 𝑃 4 = 𝒘 𝑇 𝑴 𝟒(𝒘⨂𝒘⨂𝒘) と定義される。(Jondeau and Rockinger [2006]) 奇数次のモーメントの符号に注意し、 ポートフォリオの各次数のモーメント間の重み 𝜆𝑖> 0を考慮すると、 以下の最適化問題の解をウェイトとする。 これにより各次数のモーメントを考慮した最小リスクのウェイトが得られる。 【3】定式化(最小分散の拡張) 67
- 68. 𝑀𝑅𝐶2 = 1 2 𝜕𝜎 𝑃 2 𝜕𝒘 = 𝑴 𝟐 𝒘 𝑀𝑅𝐶3 = 1 3 𝜕𝑠 𝑃 3 𝜕𝒘 = 𝑴 𝟑(𝒘⨂𝒘) 𝑀𝑅𝐶4 = 1 4 𝜕𝑘 𝑃 4 𝜕𝒘 = 𝑴 𝟒(𝒘⨂𝒘⨂𝒘) 各次数の限界リスク寄与(MRC)を以下のように定義する。 各次数のリスク寄与度(RC)は次のように書ける。(分散、歪度、尖度の分解) 𝑅𝐶2,𝑖 = 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶2,𝑖 𝜎 𝑃 2 𝑅𝐶3,𝑖 = 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶3,𝑖 𝑠 𝑃 3 𝑅𝐶4,𝑖 = 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶4,𝑖 𝑘 𝑃 4 ∵ 𝒘 ⊙ 𝑀𝑅𝐶2 = 𝜎 𝑃 2 ∵ 𝒘 ⊙ 𝑀𝑅𝐶3 = 𝑠 𝑃 3 ∵ 𝒘 ⊙ 𝑀𝑅𝐶4 = 𝑘 𝑃 4 【3】定式化(リスクパリティの拡張) RP:リスク(標準偏差)の分解 68
- 69. ポートフォリオの各次数のリスク寄与度の重み 𝜆𝑖> 0を考慮し、 各次数のRCが一定となるような以下の最適化問題の解をウェイトとする。 これにより各次数のRC間のトレードオフを考慮した解が得られる。 +𝜆2 𝑓2 𝒘 + 𝜆3 𝑓3 𝒘min 𝒘 𝜆1 𝑓1 𝒘 𝑓2 𝒘 = 𝑖=1 𝑁 𝑗=1 𝑁 𝑅𝐶3,𝑖 − 𝑅𝐶3,𝑗 2 𝑓3 𝒘 = 𝑖=1 𝑁 𝑗=1 𝑁 𝑅𝐶4,𝑖 − 𝑅𝐶4,𝑗 2 𝑓1 𝒘 = 𝑖=1 𝑁 𝑗=1 𝑁 𝑅𝐶2,𝑖 − 𝑅𝐶2,𝑗 2 s. t. ; 𝟏 𝐓 𝒘 = 1， 0 < 𝑤𝑖 < 1 【3】定式化(リスクパリティの拡張) 69
- 70. 【3】定式化(最大分散度の拡張) 各次数の分散度(DR)を以下のように定義する。 𝐷𝑅2 = σ𝑖=1 𝑁 𝑤𝑖 𝜎𝑖𝑖 𝜎 𝑃 2 𝐷𝑅3 = σ𝑖=1 𝑁 𝑤𝑖 𝑠𝑖𝑖𝑖 𝑠 𝑃 3 𝐷𝑅4 = σ𝑖=1 𝑁 𝑤𝑖 𝑘𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑘 𝑃 4 max 𝒘 𝐷𝑅 𝒘 = 𝜆1 𝐷𝑅2 − 𝜆2 𝐷𝑅3 + 𝜆3 𝐷𝑅4 s. t. ; 𝟏 𝐓 𝒘 = 1, 0 < 𝑤𝑖 < 1, 𝜆𝑖 > 0 奇数次のモーメントの符号に注意し、 ポートフォリオの各次数のモーメント間の重み 𝜆𝑖> 0を考慮すると、 以下の最適化問題の解をウェイトとする。 これにより各次数のモーメントの分散を最大化するウェイトが得られる。 70
- 71. リスクパリティ(RP)、最大分散度(MD)、最小分散(MV) 、ボラティリティ・インバース(VI) 及び等ウェイト (EW)と高次モーメントを含めた最小分散(MV*)、リスクパリティ(RP*)と 最大分散度(MD*)について、国内外の株式と債券の資産配分による実証分析を行う。 (各指数の統計量) 【4】実証分析 (各指数の相関行列) 1998/7/30 から2016/4/28まで日次 71
- 72. 以上の条件で各ポートフォリオのシャープレシオと 最終的な富の水準を評価する。 ✔ リバランス 各月末にリバランスを行い、ウェイトを変更する。 （片道10bpをコストとして差し引く） ✔ 重み 拡張を行ったポートフォリオのモーメント間の重み𝜆𝑖は全て1とする。 ✔ 推定期間 過去2年(500営業日)のリターンから各次数のモーメントを推定。 【4】実証分析 72
- 73. (各ポートフォリオのサマリー) ✔ MV* 、RP*、MD*がシャープレシオと合計収益率において従来手法を上回っている。 【4】実証分析 ✔ MV* 、RP*、MD*共に事後的な歪度・尖度についても歪度は高く、尖度は低いという より望ましい水準へと改善した。 73
- 74. 【4】実証分析 (各ポートフォリオの全期間平均ウェイト) ✔ 高次モーメントを考慮したいずれのポートフォリオも最もリスクの小さい野村BPI 指数 のウェイトを減少させている。 ✔ 歪度改善のため債券から株式へとアロケーションが移っていることが確認できる。 74
- 80. 研究紹介 [3] "Risk-Based Portfolio with Large Dynamic Covariance Matrices", Kei Nakagawa, Mitusyoshi Imamura and Kenichi Yoshida, 2018,International Journal of Financial Studies [2] “リスクベース・ポートフォリオの高次モーメントへの拡張”,中川 慧, 2017, リスク管理・保険とヘッジ(JAFEE Journal) 朝倉書店 [1] “ブラック・リッターマン法を用いたリスクベース・ポートフォリオの拡張“,中川慧,2019, ファイナンシャルプランニング研究,2018年度日本FP学会優秀賞受賞 80
- 82. 【1】 研究の目的 ✓大規模な共分散行列の精度の良い推定手法の提案 cDCC-GARCHモデル+NonLinear Shrinkage(cDCC+NLS) ポートフォリオ DCC DCC＋LS DCC＋NLS cDCC cDCC＋LS cDCC＋NLS 最小分散 最小分散(制約なし) リスクパリティ 最大分散度 推定手法(精度)によって各ポートフォリオの パフォーマンスはどう変わるか？ 推定手法 82
- 83. リスク(共分散行列)の推定には2つの課題が存在する。 ✓ クロスセクション方向(𝑁)：資産数𝑁を十分に超える時点数が利用できない場合、 標本共分散行列の固有値がバイアスを持ち、大きな推定誤差が生ずる可能性。 手法 論文 概要 Linear Shrinkage (LS) Ledoit and Wolf [2004] サンプル共分散行列の固有値の持つバイアスを一様に補正する NonLinear Shrinkage (NLS) Ledoit and Wolf [2012] 真の固有値が小さい場合さらに小さく推定されるといった偏りを持つ そのためバイアスを固有値ごとに補正する 𝑁𝑇 𝑁(𝑁 − 1)/2個のパラメータ ２ ５ ０ ？ 10銘柄: 45個 20銘柄: 190個 50銘柄: 1,225個 100銘柄: 4,950個 のパラメータを たった𝑻個のデータで推定！ 【2】 先行研究の整理～共分散行列の推定 パラメータのほとんどが相関(共分散) 83
- 84. ✓ 時系列方向(𝑇)：ボラティリティ・クラスタリングや資産間の相関構造の動的な変化 手法 論文 概要 GARCH Bollerslev [1986] ボラティリティ・クラスタリングを表現するためのボラティリティが 時間変動するモデル DCC-GARCH Engle [2002] ボラティリティの時間変動に加え相関係数に動的構造を仮定した DCC-GARCHモデルの提案 cDCC-GARCH Aielli [2013] DCC-GARCHモデルを推定にあたって好ましい性質を持つように 理論的に修正したcDCC-GARCHモデルを提案 ・変動の激しい時期は持続する ・相関は同時に高まる 主に下落時に・・・ リスクの過小評価につながる 【2】 先行研究の整理～共分散行列の推定 リスク(共分散行列)の推定には2つの課題が存在する。 84
- 86. 上記の課題に同時に対応するために縮約法とDCC-GARCHを組み合わせた推定方法が提 案された 手法 論文 概要 DCC-GARCH + LS Hafner and Reznikova [2012] LSとCompsite Likilehoodを用いたDCC-GARCHモデルの推定方法 の提案 DCC-GARCH + NLS Engle [2016] NLSとCompsite Likilehoodを用いたDCC-GARCHモデルの推定方法 の提案 cDCC-GARCH + NLS 本研究 NLSとCompsite Likilehoodを用いたcDCC-GARCHモデルの推定方法 の提案 ✓ 時系列方向(𝑇)：ボラティリティ・クラスタリングや資産間の相関構造の動的な変化 【2】 先行研究の整理～共分散行列の推定 ✓ クロスセクション方向(𝑁)：資産数𝑁を十分に超える時点数が利用できない場合、 標本共分散行列の固有値がバイアスを持ち、大きな推定誤差が生ずる可能性。 リスク(共分散行列)の推定には2つの課題が存在する。 86
- 87. DCC-GARCHモデル 𝑁資産の時点𝑡(1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇)におけるリターンを 𝒓 𝒕 = 𝑟1𝑡, … , 𝑟 𝑁𝑡 𝑇 条件付き共分散行列𝑉 𝒓 𝒕 𝓕 𝑡−1 = 𝑯 𝒕とする。𝑯𝒕の変動を各資産の条件付き分散 と条件付き相関行列に分解したモデルをDCC-GARCHモデルという。 𝑸 𝒕 = 𝑺 ∘ 1 − 𝑎 − 𝑏 + 𝑎 ∘ 𝜺 𝒕−𝟏 𝜺𝒕−𝟏 𝑇 + 𝑏 ∘ 𝑸 𝒕−𝟏 𝒓 𝒕ȁ 𝓕 𝑡−1~𝑁 𝟎, 𝑯 𝒕 𝑯 𝒕 = 𝑫 𝒕 𝑹 𝒕 𝑫 𝒕 𝑫 𝒕 2 = diag 𝜔𝑖 + diag 𝛼𝑖 ∘ 𝒓 𝒕−𝟏 𝒓𝒕−𝟏 𝑇 + diag 𝛽𝑖 ∘ 𝑫 𝒕−𝟏 2 𝜺 𝒕 = 𝑫 𝒕 −1 𝒓 𝒕 𝑹 𝑡 = diag 𝑸 𝒕 −𝟏/𝟐 𝑸𝒕diag 𝑸 𝒕 −𝟏/𝟐 𝑺は標準化された残差𝜺 𝒕のサンプル共分散行列である。 演算子∘は要素毎の積(アダマール積)を表す。 …リターンをDe-Garchする 87
- 88. 1. Step2の逆行列の計算には概ね𝑁(𝑂3)程度の計算量が必要。銘柄数𝑁が 大きい場合に現実的な時間で解くことができない。 DCC-GARCHモデルの課題 3. መ𝑆の推定において資産数𝑁が大きい場合、大きな推定誤差が生ずる。 2. ഥ𝑸 = 1 T σ 𝑡=1 𝑇 𝑸 𝒕が𝑺と等しいことを仮定している。(Appendix. A参照) しかし、一般に𝑸 𝒕の期待値が𝜺 𝒕−𝟏 𝜺𝒕−𝟏 𝑻 の期待値に一致しないため仮定は成立しない。 複合尤度 (Composite Likelihood)による推定(Engle[2008]) cDCC-GARCHモデル (Aielli [2013]) Non-Linear Shrinkage (Lediot and Wolf[2012]) 88
- 89. 【3】 提案手法 cDCC-GARCH+NLS Step1: はじめに分散項𝐿 𝑉 𝜽 を推定し、𝑫 𝒕を求める。 分散項𝐿 𝑉 𝜽 と相関項𝐿 𝐶 𝜽, 𝝓 はそれぞれ別々に最大化が可能なため cDCC-GARCHモデルのパラメータを2段階最大化で推定する。 𝜽 = argmax 𝜽 𝐿 𝑉(𝜽) Step2: 𝜽が推定されると𝝍を、 ෝ𝜺 𝒕 = diag 𝑸 𝒕 𝟏/𝟐 𝑫 𝒕 −1 𝒓 𝒕としてNonlinear Shrinkage法 で推定する。連続した2つのペアで構成された対数複合尤度関数𝐿 𝐶𝐿を𝜽と𝝍を用いて、 𝝓を推定できる。 𝝓 = argmax 𝝓 𝐿 𝐶𝐿(𝜽, 𝝓) 89
- 90. 分析に使用するデータ 分析対象：TOPIX構成銘柄 対象期間：2002/1～2015/12 【4】実証分析 実装はRおよびC++で行った。 (CRANにxdcclargeパッケージとして公開している) 各推定手法について以下の分析を行う。推定はすべて複合尤度を用いた。 1. 共分散行列の推定精度の比較(Engle et, al [2017]) 2. リスクベース・ポートフォリオのパフォーマンス比較 90
- 91. 真のモデルからの𝜮 𝑡 推定した𝜮 𝑡 乱数で生成 推定 【4】実証分析～共分散行列の推定精度の比較 91 推定した𝜮 𝑡と真の𝜮 𝑡の誤差を計算 各手法の誤差:小さいほうが精度が良い
- 92. ✓ 時価総額の上位𝑁銘柄から提案手法を含む複数の手法(DCC、DCC NLS、 cDCC NLS) で共分散行列を推定し、リスクベース・ポートフォリオのシミュレーション を行う。 ✓ 対象のリスクベース・ポートフォリオは、MV、ウェイト非負条件なしのMV(MV LS)、 RP、MDの4 つである。 ✓ 月次でリバランス、推定期間は過去60ヵ月分(営業日ベース)、検証期間を2007 年1月から2015年12月までとする。 ✓ パフォーマンスは年率換算後のリターン、リスク、シャープレシオで評価する。 【4】実証分析～パフォーマンス比較 92