ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Αποστόλου Γεώργιος
Μαθηµατικός
apgeorge2004@yahoo.com

ΙΩΑΝΝΙΝΑ
21 Ιανουαρίου 2014

Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΙΩΑΝΝΙΝΑ 21 Ιανουαρίου 2014

1 / 118




ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Αποστόλου Γεώργιος
Μαθηµατικός
apgeorge2004@yahoo.com

ΙΩΑΝΝΙΝΑ
21 Ιανουαρίου 2014


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


2 / 118




Βασικές Γνώσεις


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


3 / 118




Περιεχόµενα
1
2

3
4
5

6
7
8
9
10

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΩΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ
∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ Vietta
∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ
ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ
ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


3 / 118




Εξισώσεις


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


4 / 118




Ερώτηση 1η
Τι ονοµάζουµε εξίσωση µε έναν άγνωστο ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


5 / 118




Εξίσωση
Είναι µια ισότητα µεταξύ δυο συναρτήσεων, f (x ) = g (x ) που έχουν το ίδιο
πεδίο ορισµού.
Η οποία όµως, δεν είναι απαραίτητο να ισχύει, για όλο το πλήθος των τιµών της
µεταβλητής x.
Η διαδικασία την οποία ακολουθούµε, για να προσδιορίσουµε τις τιµές της
µεταβλητής, που επαληθεύουν την ισότητα, ονοµάζετε επίλυση της εξίσωσης.
Ισοδύναµες λέγονται οι εξισώσεις που έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


6 / 118





Εξισώσεις 1ου ϐαθµού
Είναι εξισώσεις µεταξύ δυο πρωτοβάθµιων πολυωνύµων, µε την ίδια µεταβλητή.
Αυτή η εξίσωση µετά τις πράξεις παίρνει τη µορφή αx + β = 0, όπου α, β
πραγµατικοί αριθµοί.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


7 / 118





Ερώτηση 2η
Πως λύνουµε µια εξίσωση πρώτου βαθµού ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


8 / 118





Μεθοδολογία
Για να λύσουµε µια εξίσωση 1ου ϐαθµού,
κάνουµε τις πράξεις,
χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους
αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι ≠ 0 διαιρούµε µε αυτόν και τα δυο µέλη,
διαφορετικά η εξίσωση είναι ή αδύνατη ή αόριστη.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


9 / 118





Παράδειγµα 1ο
Να λυθεί η εξίσωση 2(x + 1) = −x + 3
Λύση
2(x + 1) = −x + 3

⇔ 2x + 2 = −x + 3
⇔ 2x + x = 3 − 2
⇔ 3x = 1
⇔ x=

1
3

άρα, η εξίσωση έχει µοναδική λύση.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


10 / 118





Να λυθεί η εξίσωση x + 3 = 2(x − 3) − x
Λύση
x + 3 = 2(x − 3) − x

⇔ x + 3 = 2x − 6 − x
⇔ x − 2x + x = −6 − 3
⇔ 0x = −8

το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση δεν έχει λύση.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


11 / 118





Να λυθεί η εξίσωση 5(x − 3) − x = 4x − 15
Λύση
5(x − 3) − x = 4x − 15

⇔ 5x − 15 − x = 4x − 15
⇔ 5x − x − 4x = 15 − 15
⇔ 0x = 0

το οποίο, ισχύει για κάθε x ∈ R, άρα η εξίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει
άπειρες λύσεις.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


12 / 118





Ερώτηση 3η
Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται παραµετρικές ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


13 / 118





Παραµετρικές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν
κι άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.
Η επίλυση µιας παραµετρικής εξίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


14 / 118





∆ιερεύνηση παραµετρικής εξίσωσης
Είναι :
αx + β = 0 ⇔ αx = −β
Τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις :

β
α
Αν α = 0 τότε από : αx = −β ⇔ 0x = −β

Αν α ≠ 0 τότε από : αx = −β ⇔ x = − , µοναδική λύση.
τώρα αν :
i. β ≠ 0 έχουµε, 0x = −β ≠ 0 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση
είναι αδύνατη, δεν έχει πραγµατικές ϱίζες.
ii. β = 0 έχουµε, 0x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x ∈ R, άρα η εξίσωση
είναι ταυτότητα, έχει άπειρες πραγµατικές ϱίζες.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


15 / 118





Να λυθεί η εξίσωση λ2 x − 1 = x + λ (1) για τις διάφορες τιµές του λ ∈ R.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


16 / 118





Λύση
Λύση
Για να λύσω την παραµετρική εξίσωση, ϑα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη
µορφή: αx = β

λ2 x − 1 = x + λ ⇔ λ2 x − x = 1 + λ
⇔ (λ2 − 1)x = 1 + λ

τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις :


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


17 / 118





Λύση
Αν λ2 − 1 ≠ 0 ⇒ λ ≠ ±1 ⇒ λ ∈ R − {−1, 1}
τότε η εξίσωση έχει µοναδική λύση την :
1+λ
1
1+λ
=
=
x= 2
λ − 1 (λ − 1)(λ + 1) λ − 1
Αν λ=-1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 0 άρα η εξίσωση είναι
αόριστη, έχει άπειρες λύσεις.
Αν λ=1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 2 άρα η εξίσωση είναι
αδύνατη, δεν έχει καµία λύση.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


18 / 118





Ερώτηση 4η
Ποιοι είναι οι ποιο συνηθισµένοι τρόποι για να ανάγουµε την επίλυση µιας
εξίσωσης, σε επίλυση εξισώσεων πρώτου βαθµού ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


19 / 118





Αναγωγή σε εξισώσεις 1ου ϐαθµού
Παραγοντοποίηση A(x )B (x ) = 0 ⇐⇒ A(x ) = 0 ή B (x ) = 0
΄Αθροισµα µη αρνητικών προσθετέων π.χ.
A2 (x ) + B 2 (x ) = 0 ⇐⇒ A(x ) = 0 και B (x ) = 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


20 / 118





Να λυθεί η εξίσωση x 2 − 7x + 6 = 0
Λύση
x 2 − 7x + 6 = 0


⇔ x 2 − (6 + 1 ) x + 6 ⋅ 1 = 0
⇔ (x − 6 ) ⋅ (x − 1 ) = 0
⇔ x −6=0 ή x −1=0
⇔ x=6 ή x=1

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


21 / 118





Να λυθεί η εξίσωση (x − 2)2 + (x 2 − 4)2 = 0
Λύση
Πρέπει x − 2 = 0 ⇐⇒ x = 2 και x 2 − 4 = 0 ⇐⇒ x = ±2
΄Αρα η κοινή λύση είναι x = 2


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


22 / 118





Να λυθεί η εξίσωση : (x − 3)3 − 8x 3 + (x + 3)3 = 0
Λύση
Από την ταυτότητα του Euler έχουµε ότι :
αν α + β + γ = 0 ⇒ α3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ
Η εξίσωση που µας δίνεται, γράφεται : (x − 3)3 − (2x )3 + (x + 3)3 = 0
κι έχουµε : x − 3 − 2x + x + 3 = 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


23 / 118





Λύση
(x − 3)3 − 8x 3 + (x + 3)3 = 0 ⇔ (x − 3)3 − (2x )3 + (x + 3)3 = 0


⇔ (x − 3)3 − (2x )3 + (x + 3)3 = 0
⇔ 3(x − 3)(2x )(x + 3) = 0
⎧ x −3=0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ 2x = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ x +3=0
⎪
⎩
⎧ x=3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ x=0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ x = −3
⎩
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


24 / 118




Ερώτηση 5η
Πως λύνω εξισώσεις µε απόλυτες τιµές ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


25 / 118




΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής f (x ) = θ > 0 ⇐⇒ f (x ) = ±θ
Στο παρακάτω παράδειγµα, εφαρµόζοντας τη συγκεκριµένη ιδιότητα των
απολύτων τιµών, έχουµε :
2x +1 −6=0


⇐⇒ 2 x + 1 = 6
⇐⇒

x +1 =3

⎧
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

x +1=3
x + 1 = −3
x=2
x = −4


26 / 118




΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής f (x ) = α < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη
΄Αρα η εξίσωση : 2x + 7 + 9 = 0 ⇒ 2x + 7 = −9 είναι αδύνατη.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


27 / 118




⎧ f (x ) = g (x )
⎪
⎪
⎪
΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής f (x ) = g (x ) ⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ f (x ) = −g (x )
⎪
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


28 / 118




Να λυθεί η εξίσωση x − 1 − 3 x + 5 = 0
Λύση
x −1 −3x +5 =0

⇐⇒

x −1 =3x +5

⎧
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩

x − 1 = 3(x + 5)
x − 1 = −3(x + 5)

⎧ x − 1 = 3x + 15
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪ x − 1 = −3x − 15
⎩
x = −8

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ x = −7
⎪
4x = −14
⎪
⎪
2
⎩
−2x = 16


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


29 / 118




Από τη σχέση : f (x ) = f (x ) ⇒ f (x ) > 0
Οπότε από την εξίσωση x + 1 = x + 1 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x > −1


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


30 / 118




Από τη σχέση : f (x ) = −f (x ) ⇒ f (x ) < 0
Οπότε από την εξίσωση 2x − 4 = −2x + 4 ⇒ 2x − 4 < 0 ⇒ 2x < 4 ⇒ x < 2


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


31 / 118




΄Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f (x ) = g (x ),
επειδή το f (x ) ≥ 0 ϑα πρέπει και το g (x ) ≥ 0

⎧ g (x ) ≥ 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
΄Αρα από την εξίσωση f (x ) = g (x ) ⇒ ⎨ f (x ) = g (x )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ f (x ) = −g (x )
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


32 / 118




Να λυθεί η εξίσωση 3x − 6 = 2x − 2
Λύση

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3x − 6 = 2x − 2 ⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2x − 2 ≥ 0
3x − 6 = 2x − 2
3x − 6 = −2x + 2
x≥1

⎧ x=4
⎪
⎪
⎪
⎪
x = 4 ⇐⇒ ⎪
⎨
⎪
⎪ x=8
⎪
⎪
⎪
8
5
⎩
x=
5


33 / 118




΄Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f (x ) + g (x ) = 0 επειδή f (x ) ≥ 0 και
g (x ) ≥ 0 πρέπει να είναι : f (x ) = g (x ) = 0
΄Αρα από την εξίσωση :

⎧ x2 − 4 = 0
⎪
⎪
⎪
x − 4 + 3x − 6 = 0 ⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ 3x − 6 = 0
⎪
⎩
⎧ x = ±2
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ x=2
⎪
⎩
⇐⇒ x = 2
2


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


34 / 118




∆ιωνυµικές εξισώσεις


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


35 / 118




Ερώτηση 6η
Πως λύνουµε εξισώσεις της µορφής x ν = α;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


36 / 118




Επίλυση διωνυµικών εξισώσεων
Οι λύσεις της εξίσωσης x ν = α είναι :
Για α > 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x =

√
ν

α
√
Για α > 0 και ν άρτιο, η λύση της εξίσωσης είναι x = ± ν α
√
Για α < 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = − ν α
Για α < 0 και ν άρτιο, η εξίσωση είναι αδύνατη


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


37 / 118




Παραδείγµατα
Να λυθούν οι εξισώσεις

√

x 2 = 4 ⇔ x = ± 4 = ±2
x 4 = −34 η εξίσωση είναι αδύνατη.
x3 = 8 ⇔ x =

√
3

3

8=2

√

x = −125 ⇔ x = − 3 − 125 = −5
x 20 = 0 ⇔ x = 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


38 / 118





Εξισώσεις 2ου ϐαθµού
Είναι εξισώσεις µεταξύ δυο δευτεροβάθµιων πολυωνύµων, µε την ίδια
µεταβλητή.
Αυτή η εξίσωση µετά τις πράξεις παίρνει τη µορφή αx 2 + β x + γ = 0, όπου
α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί, µε α ≠ 0.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


39 / 118





Ερώτηση 7η
Πως λύνουµε µια εξίσωση 2ου βαθµού ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


40 / 118





Επίλυση εξίσωσης δευτέρου ϐαθµού
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β 2 − 4 ⋅ α ⋅ γ .

√
−β ± ∆
Αν ∆ > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις x1,2 =
2⋅α
−β
Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση έχει µία διπλή λύση την x =
2⋅α
Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση δεν έχει πραγµατική λύση (αδύνατη).


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


41 / 118





Να λυθεί η εξίσωση 2x 2 + 6x = 0
Λύση
2x 2 + 6x = 0

⇔ 2x (x + 3) = 0
⎧ x=0
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪ x +3=0
⎪
⎩
⎧ x=0
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪
⎪ x = −3
⎩

΄Οταν λείπει το γ ϐγάζω κοινό παράγοντα.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


42 / 118





Να λυθεί η εξίσωση x 2 − 4 = 0
Λύση
x2 − 4 = 0

⇔ x2 = 4
⇔ x = ±2

΄Οταν λείπει το x χωρίζω γνωστούς από αγνώστους.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


43 / 118





Να λυθεί η εξίσωση 3x 2 + 16 = 0
Λύση
3x 2 + 16 = 0


⇔ 3x 2 = −16
αδύνατη

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


44 / 118





Να λυθεί η εξίσωση 2x 2 − 5x + 3 = 0
Λύση
Η 2x 2 − 5x + 3 = 0 είναι της µορφής αx 2 + β x + γ = 0
µε α = 2, β = −5, γ = 3, τότε
η ∆ = β 2 − 4αγ = (−5)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 1 > 0

√
−β ± ∆
άρα η εξίσωση έχει δυο λύσεις τις x1,2 =
2⋅α


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


45 / 118





Να λυθεί η εξίσωση x 2 − 6x + 9 = 0
Λύση
Η εξίσωση x 2 − 6x + 9 = 0 έχει ∆ = β 2 − 4αγ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 0
άρα έχει διπλή ϱίζα την x =

6
2

=3


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


46 / 118





Να λυθεί η εξίσωση 3x 2 + 4x + 2 = 0
Λύση
Η εξίσωση 3x 2 + 4x + 2 = 0 έχει ∆ = β 2 − 4αγ = 42 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = −8 < 0
άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


47 / 118





Παράδειγµα 7ο Εξίσωση µε απόλυτα που ανάγεται σε
εξίσωση 2ου ϐαθµού
Να λυθεί η εξίσωση x 2 − 7 x + 12 = 0
Λύση
x 2 − 7 x + 12 = 0

⇔

x 2 − 7 x + 12 = 0 ϑέτω x = ω

ω 2 − 7ω + 12 = 0
∆ = 1 άρα έχει δυο λύσεις
⎧ ω1 = 4
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪ ω =3
⎪ 2
⎩


⎧
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

x =4
x =3
x = ±4
x + ±3


48 / 118





Ερώτηση 8η
Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται παραµετρικές ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


49 / 118







ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


50 / 118





Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν κι
άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


50 / 118





Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν κι
άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.
Η επίλυση µιας παραµετρικής εξίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


50 / 118





Να λύσετε την εξίσωση : x 2 + α2 = β 2 − 2αx , α.β ∈ R


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


51 / 118





Λύση
Λύση
x 2 + α 2 = β 2 − 2α x ⇔ x 2 + 2α x + α 2 − β 2 = 0
∆ = (2α)2 − 4(α2 − β 2 ) = 4α2 − 4α2 + 4β 2 = 4β 2
Αν ∆ = 4β 2 = 0 ⇔ β = 0 τότε x = −2α
Αν β ≠ 0 τότε

√
x 1 ,2


4β 2

−2α ±
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2

−2α + 2β
2

+2α + 2β
2

−α + β
−α − β

52 / 118





Ιδιότητες, που είναι χρήσιµες στις εξισώσεις 2ου ϐαθµού
΄Οταν έχω παραµετρικές εξισώσεις της µορφής
αx 2 + β x + γ = 0, ϑα πρέπει να λάβω υπόψιν µου τα παρακάτω.
΄Εχει πραγµατικές ϱίζες
α ≠ 0, ∆ ≥ 0
∆εν έχει πραγµατικές ϱίζες
α ≠ 0, ∆ < 0
΄Εχει µια διπλή πραγµατική ϱίζα
α ≠ 0, ∆ = 0
΄Εχει 2 πραγµατικές και άνισες ϱίζες
α ≠ 0, ∆ > 0
Οι ϱίζες είναι αντίθετες
α ≠ 0, ∆ > 0, S = 0
Οι ϱίζες είναι αντίστροφες
α ≠ 0, ∆ > 0, P = 1


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


53 / 118





Ιδιότητες, που είναι χρήσιµες στις εξισώσεις 2ου ϐαθµού
Οι ϱίζες είναι οµόσηµες
Οι ϱίζες είναι ετερόσηµες
Οι ϱίζες είναι ϑετικές
Οι ϱίζες είναι αρνητικές

α ≠ 0, ∆ > 0, P > 0
α ≠ 0, ∆ > 0, P < 0
α ≠ 0, ∆ > 0, P > 0, S > 0
α ≠ 0, ∆ > 0, P > 0, S < 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


54 / 118





Παράδειγµα
Να ϐρείτε τις τιµές του µ ∈ R, για τις οποίες η εξίσωση
µx 2 + 2x + µ = 0, µ ≠ 0 έχει διπλή ϱιζά.
ΛΥΣΗ
Για να έχει η εξίσωση µx 2 + 2x + µ = 0 διπλή ϱιζά Θα πρέπει
µ ≠ 0, ∆ = 0
΄Αρα έχω : µ ≠ 0 το οποίο δίνεται και

∆ = 0 ⇔ 22 − 4µ 2 = 0


⇔ µ2 = 1
⇔ µ = ±1

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


55 / 118





Ερώτηση 9η
Ποιοι είναι οι τύποι του Vietta;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


56 / 118





Τύποι του Vietta
΄Οταν έχουµε την εξίσωση αx 2 + β x + γ = 0, µε α ≠ 0 και ∆ > 0,
η οποία έχει δυο λύσεις x1 , x2 τότε ισχύει :
S = x1 + x2 = −

γ
β
και P = x1 ⋅ x2 =
α
α


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


57 / 118





Αν x1 , x2 οι λύσεις της εξίσωσης x 2 + x − 12 = 0, να υπολογιστούν οι
παραστάσεις :
x1 + x2
x1 x2
2
2
x1 + x2
3
3
x1 + x2

(x1 − x2 )2
x1 − x2
2
x1

x2

+

2
x2

x1


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


58 / 118





Λύση
Λύση
Στην εξίσωση x 2 + x − 10 = 0, είναι α = 1, β = 1, γ = −12 άρα :
S = x1 + x2 =

−β
= −1
γ

γ
= −12
α
2
2
x1 + x2 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = (−1)2 − 2 ⋅ (−12) = 1 + 24 = 25
3
3
2
2
x1 + x2 = (x1 + x2 )(x1 − x1 x2 + x2 ) = −1(25 + 12) = −37
2
2
(x1 − x2 )2 = x1 − 2x1 x2 + x2 = 25 − 2 ⋅ (−12) = 49
√
√
x1 − x2 = (x1 − x2 )2 = 49 = 7
3
2
2
x 3 + x2
x1 x2
−37 37
+
= 1
=
=
x2 x1
x1 x2
−12 12
P = x1 x2 =


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


59 / 118




Ερώτηση 9η
Ποιες εξισώσεις λέγονται διτετράγωνες ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


60 / 118




∆ιτετράγωνες εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις τις µορφής αx 2ν + β x ν + γ = 0
και λύνονται µε αντικατάσταση, ϑέτοντας ω = x ν


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


61 / 118




Να λυθεί η εξίσωση 4x 4 + 11x 2 − 3 = 0
Λύση
4x 4 + 11x 2 − 3 = 0, ϑέτω x 2 = ω


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

⇔ 4ω 2 + 11ω − 3
⎧ ω1 = −12
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪ ω =1
⎪ 2
⎩
⎧ x 2 = −12 αδυνατη
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪ 2
⎪ x =1
⎪
⎩
⎧ x = −1
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪
⎪ x=1
⎩

62 / 118




Ερώτηση 10η
Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται πολυωνυµικές ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


63 / 118




Πολυωνυµικές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις µεταξύ 2 πολυωνύµων


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


64 / 118




Ερώτηση 11η
Πως λύνουµε πολυωνυµικές εξισώσεις ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


65 / 118




1ου ϐαθµού χωρίζοντας γνωστούς από αγνώστους
2ου ϐαθµού µε διακρίνουσα
3ου ϐαθµού και πάνω, κάνοντας παραγοντοποίηση, ώστε να έχω, µόνο,
παράγοντες 1ου και 2ου ϐαθµού.
⎧ A (x ) = 0
⎪
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Η εξίσωση A(x )B (x )Γ(x )...K (x ) = 0 ⇐⇒ ⎨ ...
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ K (x ) = 0
⎪
⎩
µε A(x ), B (x ), Γ(x ), ..., K (x ) πολυώνυµα πρώτου και δεύτερου ϐαθµού.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


66 / 118




Ερώτηση 12η
Πόσες ρίζες έχει µια πολυωνυµική εξίσωση ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


67 / 118




Αν η ισοδύναµη εξίσωση, που ϑα προκύψει, από τη µεταφορά όλων των όρων,
των πολυωνύµων της εξίσωσης, στο 1ο µέλος και την αναγωγή των όµοιων
όρων έχει πολυώνυµο ν ου ϐαθµού, τότε η εξίσωση, ϑα έχει το πολύ ν
πραγµατικές ϱίζες.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


68 / 118




Παρατήρηση
Πιθανή ακέραια ϱίζα ενός πολυωνύµου είναι ένας από τους διαιρέτες τους
σταθερού όρου (όταν οι συντελεστές του πολυωνύµου είναι ακέραιοι). Αν το
άθροισµα των συντελεστών είναι 0, τότε το πολυώνυµο έχει σίγουρα ϱίζα το 1
(Παρατήρηση πολύ χρήσιµη όταν κάνω παραγοντοποίηση µε το σχήµα του
Horner.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


69 / 118




Να λυθεί η εξίσωση, 3x 3 + 8x 2 − 15x + 4 = 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


70 / 118




Λύση
Λύση
Το άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου είναι 0, άρα η εξίσωση έχει
σίγουρα ϱίζα το 1.
Το πολυώνυµο είναι 3ου ϐαθµού, οπότε πρέπει να το παραγοντοποιήσουµε.
1
3 8 −15
4
3
11
−4
3 11 −4
0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


71 / 118




Λύση
Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης του
3x 3 + 8x 2 − 15x + 4 µε το x − 1 είναι 3x 2 + 11x − 4 και το υπόλοιπο 0.
Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε :
3x 3 + 8x 2 − 15x + 4 = (x − 1)(3x 2 + 11x − 4)
x 3 + 8x 2 − 15x + 4 = 0


⇐⇒ (x − 1)(3x 2 + 11x − 4) = 0
⎧ x −1=0
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪ 2
⎪ 3x + 11x − 4 = 0
⎪
⎩
⎧ x=1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎧
⎪
⎪ ⎪
⇐⇒ ⎨ ⎪ x = −4
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎨
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ x = −1
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎩
3
⎩
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


72 / 118




Παρατήρηση
Σχέσεις µεταξύ των ϱιζών ενός πολυωνύµου 3ου ϐαθµού και τον συντελεστών
του
ρ1 , ρ2 ρ3 οι ϱίζες του πολυωνύµου αx 3 + β x 2 + γ x + δ = 0

γ
δ
β
σ2 = ρ1 ρ2 + ρ1 ρ3 + ρ2 ρ3 =
δ
α
σ3 = ρ1 ρ2 ρ3 = −
δ

σ1 = ρ1 + ρ2 + ρ3 = −

Η εξίσωση 3ου ϐαθµού που έχει ϱίζες τις ρ1 , ρ2 ρ3
είναι η x 3 − σ1 x 2 + σ2 x − σ3 = 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


73 / 118




Ρητές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις µεταξύ ϱητών συναρτήσεων (Κλάσµατα µεταξύ πολυωνύµων)


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


74 / 118




Ερώτηση 13η
Πως λύνω τις ρητές εξισώσεις ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


75 / 118




Επίλυση ϱητών εξισώσεων
Για να λύσω µια ϱητή εξίσωση :
Παραγοντοποιώ τους παρονοµαστές
Βάζω περιορισµούς
Κάνω απαλοιφή παρονοµαστών µε το Ε.Κ.Π. των παρονοµαστών
Λύνω την εξίσωση που προκύπτει
Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


76 / 118




Να λυθεί η εξίσωση :
2 2x − 3
2 − x2
x

+

x −2

+

x 2 − 2x

=0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


77 / 118




Λύση
Λύση
΄Εχω την εξίσωση :
2
x

x −2

x

2 − x2

2x − 3

+

2

+

x 2 − 2x

2 − x2

2x − 3

+

x −2

+

=0 ⇔

x 2 − 2x
2
x

= 0 µε x ≠ 0 και x ≠ 2
2 − x2

2x − 3

+

x −2

+

x (x − 2 )

=0

2

2x − 3

x

x −2

⇔ x ( x − 2 ) + x (x − 2 )

+ x ( x − 2)

2 − x2
x (x − 2 )

=

⇔ 2(x − 2) + x (2x − 3) + 2 − x 2 = 0
⇔ 2x − 4 + 2x 2 − 3x + 2 − x 2 = 0
⇔ x 2 − x − 2 = 0, ∆ = 9
⎧ x1 = 2 απορρίπτεται
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪ x = −1
⎪ 2
⎩

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


78 / 118




΄Αρρητες εξισώσεις
Είναι αυτές που έχουν τον άγνωστο µέσα σε υπόριζο


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


79 / 118




Ερώτηση 14η
Πως λύνω τις άρρητες εξισώσεις ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


80 / 118




Επίλυση ϱητών εξισώσεων
Για να λύσω µια άρρητη εξίσωση :
Βάζω περιορισµούς, οι παρονοµαστές να είναι διάφοροι του 0 και τα
υπόριζα να είναι µεγαλύτερα ή ίσα απ το 0
Χωρίζω τις ϱητές από τις άρρητες παραστάσεις
Απαιτώ και τα δυο µέλη της εξίσωσης να είναι οµόσηµα, δηλαδή η ϱητή
παράσταση που προέκυψε πρέπει να είναι οµόσηµη µε τη άρρητη
Υψώνω και τα δυο µέλη, σε κατάλληλη δύναµη, κάνω τις πράξεις και λύνω
την εξίσωση που προκύπτει
Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


81 / 118




√

√
Να λυθεί η εξίσωσή

2x − 5 +


x −2=2

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


82 / 118




Λύση
Λύση

⎧
⎪ x≥5
⎪
⎪
⎪
5
⎪
2
⇐⇒ x ≥
΄Εχουµε τους περιορισµούς ⎨
⎪
2
⎪
⎪ x≥2
⎪
⎪
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


83 / 118




√

√
Να λυθεί η εξίσωσή

2x − 5 +


x −2=2

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


84 / 118




Λύση
Λύση

√

√
2x − 5 +

x −2=2

√
√
⇔ ( 2x − 5 + x − 2)2 = 22
√
⇔ 2x − 5 + x − 2 + 2 (2x − 5)(x − 2) = 4
√
11
⇔ 2 (2x − 5)(x − 2) = 11 − 3x , x ≤ (1)
3
√
⇔ (2 (2x − 5)(x − 2))2 = (11 − 3x )2
⎧ 4(2x − 5)(x − 2) = (11 − 3x )2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5
⎪
⎪
⇔ ⎨ x≥2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ x ≤ 11
⎪
⎪
⎩
3
⇔ ...


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


85 / 118




Λύση

⎧ x = 3 ή x = 27
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
11
⎪
⎪
⎪ x≤
⎪
⎪
3
⎩
⇔ x=3


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


86 / 118




Τριγωνοµετρικές εξισώσεις
Είναι εξισώσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών συναρτήσεων


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


87 / 118




Ερώτηση 14η
Πως λύνω τις τριγωνοµετρικές εξισώσεις ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


88 / 118




Επίλυση τριγωνοµετρικών εξισώσεων
Οι τύποι επίλυσης τριγωνοµετρικών εξισώσεων είναι οι παρακάτω :

⎧
⎪2κπ + α
⎪
ηµx = ηµα ⇒ x = ⎨
⎪2κπ + π − α, κ Z
⎪
⎩
συν x = συνα ⇒ x = 2κπ ± α, κ Z
φx = φα ⇒ x = κπ + α, κ Z
σφx = σφα ⇒ x = κπ + α, κ Z


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


89 / 118




Πίνακας τριγωνοµετρικών αριθµών ϐασικών γωνιών
Εδώ ϑα ήταν χρήσιµο, να ϑυµηθούµε τον πίνακα µε τους τριγωνοµετρικούς
αριθµούς των ϐασικών γωνιών.
rad

ηµ

0

0

0

30

π

45

π

60
90

π
3

1
2
√
2
2
√
3
2

3
2
√
2
2
1
2

2

1

0

µοίρες

συν

φ

6
4

π


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

1

0

√

√

σφ

3
3

√
3

1

1

√

√

3

3
3

0


90 / 118




Επίλυση τριγωνοµετρικών εξισώσεων, µε αρνητικό 2ο µέλος
΄Οταν έχω αρνητικό 2ο µέλος στην εξίσωση, τότε ακολουθώ την αντίστροφη
διαδικασία απ΄ την αναγωγή στο 1ο τετερτηµόριο, οι τύποι επίλυσης
τριγωνοµετρικών εξισώσεων είναι οι παρακάτω :

−ηµ(x ) = ηµ(−x )
−συν(x ) = συν(π − x )
− φ(x ) = φ(−x )
−σφ(x ) = σφ(−x )


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


91 / 118




Να λυθεί η εξίσωσή 2συν(2x −

π
5


) = 1 µε 0 ≤ x < π

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


92 / 118




Λύση
Λύση

2συν(2x −

π
5

) = 1 ⇔ συν(2x −


⇔ συν(2x −

π
5

π
5

1

)=

2

) = συν

⎧ 2x − π = 2κπ +
⎪
⎪
⎪
5
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ ή
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ 2x − π = 2κπ −
⎪
⎪
⎩
5

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

π

π
3

3

π
3


93 / 118




Λύση

⎧
⎪ x = κπ +
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ ή
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ x = κπ −
⎪
⎪
⎪
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4π
15

π
15

, κ∈Z


94 / 118




Λύση
΄Οµως από υπόθεση, ϑα πρέπει 0 ≤ x < π έτσι ϑα έχουµε :
4π
<π
0 ≤ x < π ⇔ 0 ≤ κπ +
15
4
⇔ 0 ≤ (κ + )π < π
15
4
<1
⇔ 0≤κ+
15
4
4
⇔ − ≤κ≤1−
15
15
4
11

⇔ −
⇔
οπότε x =

≤κ≤

15
κ=0

15
(αφούκ ∈ Z)

4π
15


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


95 / 118




Εκθετικές εξισώσεις
Είναι εξισώσεις µεταξύ εκθετικών συναρτήσεων


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


96 / 118




Ερώτηση 15η
Πως λύνω τις εκθετικές εξισώσεις ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


97 / 118




Επίλυση εκθετικών εξισώσεων
Για την επίλυση της εξίσωσης της µορφής κx = λ µε κ > 0, κ ≠ 1 διακρίνουµε
τις παρακάτω περιπτώσεις :
Αν λ ≤ 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.
Αν λ > 0, τότε προσπαθούµε να γράψουµε το λ σε µορφή δύναµης µε
ϐάση το κ π.χ. λ = κν οπότε επειδή η εκθετική συνάρτηση είναι 1 − 1

κx = λ ⇔ κx = κν ⇔ x = ν
Την περίπτωση που το λ δεν µπορούµε να το γράψουµε ως δύναµη µε ϐάση το
κ ϑα το δούµε στο κεφάλαιο της λογαριθµικής συνάρτησης.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


98 / 118




Επίλυση εκθετικών εξισώσεων
Γενικά, χρησιµοποιώ την ιδιότητα που προκύπτει από τη µονοτονία των εκθετικών
συναρτήσεων

αf (x ) = αg(x ) ⇐⇒ f (x ) = g (x ), µε α > 0, ≠ 1
Οπότε έχω να λύσω µια εξίσωση όπως αυτές που είδαµε πριν.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


99 / 118




3x = 9 ⇔ 3x = 32 ⇔ x = 2
52x −4 = 1 ⇔ 52x −4 = 50 ⇔ 2x − 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
1
1 2
1
2
2
2
2
2x −3x = ⇔ 2x −3x = 2 ⇔ 2x −3x = ( ) ⇔ 2x −3x = 2−2
4
2
2

⇔ x 2 − 3x = −2 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ή

x=2


100 / 118




Να λυθεί η εξίσωση : 2x +1 + 2x +2 + 2x −1 + 2x −2 = 54


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


101 / 118




Λύση
Λύση
2x +1 + 2x +2 + 2x −1 + 2x −2 = 54 ⇔2x ⋅ 2 + 2x ⋅ 22 + 2x ⋅ 2−1 + 2x ⋅ 2−2 = 54


⇔2 ⋅ 2x + 4 ⋅ 2x +

1
2

⋅ 2x +

1
4

⋅ 2x = 54

27

⋅ 2x = 54
4
⇔27 ⋅ 2x = 216

⇔

⇔ 2x = 8
⇔ 2x = 23
⇔ x = 3.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


102 / 118




Να λυθεί η εξίσωση : 8x + 18x − 2 ⋅ 27x = 0.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


103 / 118




Λύση
Λύση
8x + 18x − 2 ⋅ 27x = 0 ⇔ (23 )x + (2 ⋅ 9)x − 2 ⋅ (33 )x ⇔
23x + 2x ⋅ (32 )x − 2 ⋅ 33x = 0 ⇔ 23x + 2x ⋅ 32x − 2 ⋅ 33x = 0 ⇔
2x ⋅ 32x

23x
33x

2

+

3x

33x

2

−2⋅

33x
33x

=0⇔

x

2

23x
33x
x

2x ⋅ 32x

+

3

3x ⋅ 32x

2

−2⋅

33x
33x

=0⇔

x

( ) + ( ) − 2 = 0 ⇔ (( ) ) + ( ) − 2 = 0.
3

3


3

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3


104 / 118




Λύση
2 x
Θέτω ( ) = ω οπότε έχουµε ω 3 + ω − 2 = 0 η οποία µε τη ϐοήθεια του
3
1 0 1
−2 1
σχήµατος Horner ↓ 1 1
2
1 1 2
9
3
οπότε ω + ω − 2 = 0 ⇔ (ω − 1) ⋅ (ω 2 + ω + 2) = 0
δηλαδή ω = 1 αφού η ω 2 + ω + 2 = 0 είναι αδύνατη ∆ < 0.
2
Τελικά ( )x = ω
3
2 x
⇔( ) =1
3
2 x
2 0

⇔( ) =( )
3
3
⇔x=0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


105 / 118




Λογαριθµικές εξισώσεις
Είναι εξισώσεις µεταξύ λογαριθµικών συναρτήσεων


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


106 / 118




Ερώτηση 16η
Πως λύνω τις λογαριθµικές εξισώσεις, µε βάση το 10 ή το e;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


107 / 118




Επίλυση λογαριθµικών εξισώσεων
΄Οταν έχω να λύσω την εξίσωση log (f (x ) = log (g (x ))) ουσιαστικά έχω να
λύσω το σύστηµα
⎧ f (x ) = g (x )
⎪
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
log (f (x ) = log (g (x ))) = ⎨ f (x ) > 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ g (x ) > 0
⎪
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


108 / 118




Ιδιότητες λογαρίθµων
αx = θ ⇐⇒ x = logα θ, θ > 0
ln 1 = 0,

ln e = 1

log 1 = 0,

log 10 = 1

ln(x1 ⋅ x2 ) = ln x1 + ln x2
x1
= ln x1 − ln x2
ln
x2
ln x κ = κ ln x (ενώ lnκ x = ln x ⋅ ... ⋅ ln x)
x

αx = eln α = ex ln α


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


109 / 118




Παραδειγµα 1ο

log10 x = 3

⇐⇒ x = 103
⇐⇒ x = 1000

logx 16 = 4


⇐⇒ x 4 = 16
√
4
⇐⇒ x = ± 16
⇐⇒ x = 2

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


110 / 118




Να λυθεί η εξίσωση 2x −1 = 3
ΛΥΣΗ
2x −1 = 3


⇐⇒ x − 1 = log2 3
⇐⇒ x = 1 + log2 3
⇐⇒ x = log2 2 + log2 3
⇐⇒ x = log2 (2 ⋅ 3)
⇐⇒ x = log2 6

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


111 / 118




Να λυθεί η εξίσωση logx (x 2 + 3x + 2) = logx (8x − 2)
ΛΥΣΗ
΄Εχω τους περιορισµούς, x 2 + 3x + 2 > 0, 8x − 2 > 0, x > 0, x ≠ 1
logx (x 2 + 3x + 2) = logx (8x − 2)


⇐⇒ x 2 + 3x + 2 = 8x + −2

⇐⇒ x 2 − 5x + 4 = 0
⎧ x = 1 η οποία δεν ικανοποιεί τους περι
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ x=4
⎪
⎩

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


112 / 118




Να λυθεί η εξίσωση log2 x − log4 x = 3
΄Οταν έχω εξίσωση µε λογάριθµους διαφορετικών ϐάσεων, τότε χρησιµοποιώ
τον τύπο αλλαγής ϐάσης, ώστε να εµφανίζονται λογάριθµοι µε µία ϐάση µόνο.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


113 / 118




Λύση
ΛΥΣΗ
΄Εχω τον περιορισµό x > 0
log2 x − log4 x = 3


logx

logx

⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

log2
logx
log2
logx

−
−

log4
logx
log22
logx

=3
=3

−
=3
log2 2log2
2logx − logx = 3 ⋅ 2log2

⇐⇒ logx = log26
⇐⇒ x = 26 = 64

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


114 / 118




Να λυθεί η εξίσωση 10x logx = x 2

√


x

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


115 / 118




Λύση
ΛΥΣΗ
΄Εχω τον περιορισµό x > 0
Λογαριθµίζω και τα δυο µέλη
10x logx = x 2

√
x

√
⇐⇒ log (10x logx ) = log (x 2 x )
1

⇐⇒ log10 + logx logx = logx 2 + logx 2
1

⇐⇒ 1 + log 2 x = 2logx + logx ϑέτω logx = w
2

1

⇐⇒ 1 + w 2 = 2w + w
2

⇐⇒ 2w 2 − 5w + 2 = 0
⎧ w =2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ w=1
⎪
⎪
⎪
2
⎩

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


116 / 118




Λύση

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩


lox = 2
logx =

1

2
x = 100

√
x=

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10


117 / 118




ΤΕΛΟΣ

ΚΑΛΟ ∆ΙΑΒΑΣΜΑ !!!


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


118 / 118

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (20)

Ähnlich wie ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Ähnlich wie ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (20)

Mehr von George Apostolou

Mehr von George Apostolou (9)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ