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写像の性質
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1.
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F : X → Y を写像とする. 以下の問に答えよ. (1) Xの部分集合AとY の部分集合Bに対して F(A)={F(x)|x∈A}, 𝐹−1 (B)={x∈X |F(x)∈B} とおくとき, 次の主張 (a), (b) について, 正しければ証明し, 誤りならば反例をあげよ. (a) F(A1 ∩ A2) = F(A1) ∩ F(A2). 答え 偽 反例 F:{1,2,3}→{1,2}をF(1)=F(3)=1 F(2)=2, A1={1,2} A2={3,2}とすると(a)は成り立たない。 (a) (b) 𝐹−1(B1 ∩B2)=𝐹−1 (B1)∩𝐹−1 (B2). 答え 真 証明[斎藤毅]集合と位相p43 (2) X が空集合でなく, F : X → Y が単射ならば Y から X への全射が存在するこ と を示せ. 証明 単射であるから、F(x)≠F(y)ならばx≠y G:Y→XをF(x)の点はxに、Y-F(X)の点をある1点 に写す写像を考える。すると全てのx∈Xに対してF(x)が存在し、G(F(x))=xとなるので全射で ある。
2.
X, Y を集合とし,
F : X → Y を写像とする. 以下の問に答えよ. (1) Xの部分集合AとY の部分集合Bに対して F(A)={F(x)|x∈A}, 𝐹−1(B)={x∈X |F(x)∈B} とおくとき, 次の主張 (a), (b) について, 正しければ証明し, 誤りならば反例をあげよ. (a) F(A1 ∩ A2) = F(A1) ∩ F(A2). (b) (b) 𝐹−1 (B1 ∩B2)=𝐹−1 (B1)∩𝐹−1 (B2). (2) X が空集合でなく, F : X → Y が単射ならば Y から X への全射が存在するこ と を示せ.
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