Evaluacion 15%

1. {
Cónicas,Ecuaciones
Paramétricas y
Coordenadas Polares
Benjamín Simon Ruíz Velasquéz
Seccion IV
C.I 27.947.275

2.  Es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de
cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación
respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por
su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha
recta.
 Una Parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que
son equidistantes de un punto fijo llamado foco y de una recta
fija llamada directriz.
a)Parábola.

3. Teorema 1.
La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X, es:
En donde el foco es el punto (p, 0) y la ecuación de la directriz es x = -
p . S i p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre
hacia la izquierda.
S i el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen,
su ecuación es:
En donde el foco es el punto (0, p), y la ecuación de la directriz es y = - p. Si
p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia
abajo.
En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de
4p, que es el coeficiente del término de primer grado.

4. Teorema 2
La ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje x, es de la forma:
(y – k)² = 4p (x – h)
Siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco
y el vértice.
Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha, p < 0 la parábola se abre
hacia la izquierda.
Si el vértice es el punto (h,k) y el eje y su ecuación es de la forma:
(x – h)² = 4p (y – k)
Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba, si p < 0 la parábola se abre
hacia abajo.
Asdadsadsada
Asda
Adsas
Asdasd
ads

5. Teorema 3.
Una ecuación de segundo grado en las variables X y Y que carezca del
término en xy puede escribirse en la forma:
Si A = 0, C ǂ 0 y D ǂ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es
paralelo a (o coincide con) el eje X.
Si, en cambio, D = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas
a1 eje X, dos rectas coincidentes paralelas a1 eje X, o ningún lugar
geométrico, según que las raíces de:
Sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.
Si A ǂ 0, C = 0 y E ǂ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es
paralelo a (o coincide con) el eje Y.
Si, en cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas
a1 eje Y, dos rectas coincidentes paralelas a1 eje Y o ningún lugar
geométrico, según que las raíces de:
Sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.

6. Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que
equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella,
llamado foco.
1)Lado recto.
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es
paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. La longitud del lado recto
es siempre 4 veces la distancia focal(el lado recto mide 4 veces la distancia
focal).
2) Semejanza de todas las parábolas.
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la
única sección cónica que tiene excentricidad e = 1. La unicidad se refiere a que
todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su
escala.
3) Tangentes a la parábola.
Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:
la tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su
proyección.
Propiedades.

7. Ejemplo: Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las
siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las
coordenadas del foco y la ecuación de la directriz:

8. Se entiende por elipse a aquellas formas geométricas que están formadas
por curvas planas resultantes de la intersección entre una forma cónica y
un plano. La elipse no es un círculo si no que se compone de dos trazos
perpendiculares entre sí de los cuales uno es mayor y otro menor (por lo
general el trazo vertical es el menor ya que la elipse suele ser más extensa
horizontal que verticalmente). La conjunción de estos dos trazos es el
centro de la elipse y con ellos se forma el eje central de la elipse.
Teorema de dandelin.
Una sección cónica cerrada (es decir, una elipse) es el lugar geométrico de
los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos)
es constante. Esto ya era conocido por los antiguos matemáticos griegos
como Apolonio de Perga, pero las esferas de Dandelin facilitan la prueba de
dicho teorema.
Teorema de apolonio.
La suma de los cuadrados de dos pares de diámetros conjugados
cualesquiera (incluso los ejes) es constante .
B)Elipse.

9. La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias
a dos puntos llamados focos es constante. Esta propiedad es utilizada
por los jardineros para trazar elipses en el terreno, clavadas dos
estacas y sujeto en ellas un cordel por sus extremos, basta deslizar otra
estaca resbalando sobre el hilo tirante, y el surco que marca es una
elipse, que tiene sus focos en las estacas fijas, porque la suma de
distancias es constantemente la longitud del cordel.
La recta que une los focos es, evidentemente, eje de simetría de la
elipse, el segmento AB, que en él intercepta la elipse se llama eje
mayor su punto medio O, centro de la elipse, y el segmento CD, de
perpendicular por él se llama eje menor.
Propiedades.

10. Ejemplo: Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto
(2, 1) y cuyo eje menor mide 4.

11. Es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando
un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría y con ángulo menor
que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia
de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que
la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando
la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son
perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los
siguientes elementos:
a)Centro, O
b)Vértices, A y A
c)Distancia entre los vértices
d)Distancia entre los focos
c)Hipérbola.

12. Teorema de Dandelin.
Teniendo nuestra superficie cónica sabemos como obtener una hipérbola.
Aquí tenemos Las intersecciones del plano con las generatrices que nos dan
los puntos A y B, los vértices. Cambien tenemos dos esferas tangentes al
plano en los puntos F1 y F2 que son los focos, y a la superficie cónica
formando las circunferencias tangentes(que pasan por T1y T2 una y por T3
y T4 la otra), cuyos planos al extenderlos cortan el plano de corte y nos dan
las directrices d1 y d2.

13. Ahora en esta imagen podemos tomar la generatriz de la superficie cónica que pasa por un punto
P. Esta corta a la esfera superior en un punto A y a la esfera inferior en un punto B.
Es evidente que sea cual sea el punto P, tenemos siempre la relación
|PB – PA| =AB = Cte.
os puntos A y F1 son puntos de la esfera superior, el segmento PA esta en la generatriz así que es
tangente a dicha esfera y el segmento PF1 también lo es pues esta en el plano de corte y la esfera
es tangente al plano.
Así pues PA y PF1 son segmentos de tangente a la esfera trazados desde un mismo punto por lo
que
PA = PF1
Lo mismo tenemos para los puntos B y F2,, el segmento PB es parte de la generatriz por lo tanto es
tangente a la esfera inferior y el segmento PF2 se encuentra en el plano de corte por lo que
también es tangente a la esfera, siendo dos segmentos de tangente a la esfera trazados desde el
mismo punto tenemos que: PB = PF2, Por un lado teníamos que: |PB – PA| =AB = Cte. Y por el
otro obtuvimos que: PA = PF1 y PB = PF2, por lo tanto el resultado es: |PF1 – PF2| = Cte.

14. La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar
geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados
focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real.
Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la
curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se
representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la
curva. Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c.
Entre a, b y c existe la relación c2 = a2 + b2.
La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del centro
O. Las rectas que unen un punto M de la curva con dos focos, se llaman radios
vectores r y r' y por definición se verifica: r - r' = 2a.
La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio 2a. Se
define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los
focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales tienen por centro los
focos y radio a.
La hipérbola, como la elipse, se puede definir como el lugar geométrico de los
centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a las
circunferencias focales del otro foco.
Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en los puntos del infinito.
Estas asíntotas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva.

15. Ejemplo: Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal
10.

16.  Investigue en YouTube sobre las secciones cónicas mencionadas
anteriormente, y coloque en el enlace o dirección electrónica de un video
donde se resuelvan cada uno de ellas.
a)Elipse.
https://www.youtube.com/watch?v=ira6fc3zuRg
b)Parabola.
https://www.youtube.com/watch?v=GbUg3Iw8YYo
https://www.youtube.com/watch?v=Jb_9ZKXWPrE
c)Hiperbola.
https://www.youtube.com/watch?v=ORQ_XfVXA2Q

17. Resolver cada uno de los siguientes Problemas hallar el vértice, el foco y la directriz de
la parábola, y trazar su gráfica.
a) y2 = 4x
b) (x+3)2 = -2(y-2)
· Hallar la ecuación y la gráfica de la parábola con;
Vértice: (2,3); foco1,2)
a) y2 = 4x
La ecuacion de la forma: y2 = 4px Foco=(1,0)
V=(0,0) en el origen Directriz x+p=0
y2 = 4px x= -p
y2 = 4x; igual a y2 = 4px x= -1
4p=4
p=4/4
p=1 Distancia focal

18. Y
1
-X X
F(1,0)
V(0,0)
-Y x= -1 Diretriz

19. b) (x+3)2 = -2(y-2)
Ecuación General (x-h) 2 = -4p(y-k)
(x+3)2 = -4p (y-(-2))
(x+3)2 = -4p (y+2)
V=(-3,2)
Sabemos que: -4p=-2 Así que el lado recto (LR) es -2 por eso:
-4p=-2
p=-2/4
p=1/2 La distancia focal es: ½
Coordenadas del foco Directriz
F=(h,k,-p) y – k – p=0 y – 2 – ½ =0
F= -3,2 – ½ y = 2+ ½ y= 5/2
F=(-3,3/2)

20. Y
3
V=(-3,2)
F=(-3,3/2)
2
3/2
1
- 3 -2 -1 1 2 X
-X
-Y

21. Curva planas y ecuaciones
parametricas
Curva plana.
Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o
cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es
una curva plana
Trazo de una curva.
Para trazar una curvas se necesitan muchas cosas como: dominio, intervalo,
simetría. límites, continuidad, asíntotas, derivadas, tangentes, valores
extremos, intervalos de incremento y decremento, concavidad y puntos de
inflexión; todo esto nos revela las características importantes de las funciones
Ejemplo: Trazar la curva dada por las siguientes ecuasiones :

22. Solución
Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecua-
ciones paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla.

23. Eliminación del parámetro.
Al encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de
ecuaciones paramétricas se le llama eliminación del parámetro
. Por ejemplo, el parámetro
del conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo 1 se puede eliminar como
sigue.
Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación x=4y(al cuadrado)-4
representa una parábola con un eje horizontal y vértice en (-4,0).
El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse
al pasar a la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación
rectangular debe ajustarse de manera que su gráfica coincida con la gráfica
de las ecuaciones paramétricas.

24. Ajustar el dominio después de la eliminación
del parámetro.
Dibujar la curva representada por las ecuaciones
eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular
resultante.
Solución
Para empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por
ejemplo, se puede despejar t de la primera ecuación.
Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y, se obtiene

26. Empleo de la trigonometría para eliminar un parámetro .
Dibujar la curva representada por
al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.

27. Hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada.

28. Curva suave.
Una curva C representada por x= f(t) y y= g(t) en un intervalo I se dice que es suave
si f y g son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto posible-
mente en los puntos terminales de I
. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo subintervalo de alguna
partición de I .
https://www.youtube.com/watch?v=7cY6PgNNOgQ
https://www.youtube.com/watch?v=VfAaL4FWML8
https://www.youtube.com/watch?v=nHRumeChM2E