1. Ф.Ф.Волькенштейн
Электроны и кристаллы
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1983г.

2. 22.37
В 71
УДК 539.2
В 71 Волькенштейн Ф. Ф.
Электроны и кристаллы. — М.: Наука. Главная редакция физико-
математической литературы, 1983. — 128 с. с ил.
В этой книжке рассматриваются некоторые вопросы физики твердого тела.
Речь идет о поведении электронов в кристаллах: в металлах, полупроводниках и
диэлектриках. И о некоторых свойствах этих кристаллов. Книжка не претендует
на то, чтобы быть исчерпывающим обзором современных достижений физики
твердого тела. Автор поставил перед собой более скромную задачу: описать
некоторые основополагающие представления физики металлов, полупроводников
и диэлектриков. Книжка рассчитана на читателя, оканчивающего среднюю школу
или уже ее окончившего, но еще не забывшего школьного курса физики. Автор
пытается вести изложение на наглядном модельном языке, не выходя, насколько
это возможно, за рамки классических представлений.
© Издательство «Наука»,
Главная редакция
физико-математической литературы, 1983

3. ОГЛАВЛЕНИЕ
ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ: О ЗАКОНАХ ПОПУЛЯРИЗ……….…….4
ВВЕДЕНИЕ …………………………………………...…………………. 6
§ 1. О каких электронах будет идти речь в этой книжке?.......................6
§ 2. Каким кристаллам посвящена эта книжка?.......................................9
Глава 1. ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ………………………..…….…...14
§ 1. «Свободные» и «связанные» электроны…………………..….…...14
§ 2. «Электронный газ» в металле...........................................................19
§ 3. Успехи и неудачи классической теории металлов………….…..25
§ 4. Испускание электронов металлами..................................................29
§ 5. Электрон в периодическом поле. Проводники и изоляторы ........35
Глава 2. ЭЛЕКТРОНЫ В ПОЛУПРОВОДНИКЕ...................................40
§ 1. «Порядок» и «беспорядок» в кристалле…………………...……....40
§ 2. Свободные электроны и свободные дырки в полупроводник..….43
§ 3. Язык «энергетических зон» и «локальных уровней»………….....47
§ 4. Проводимость полупроводников......................................................51
§ 5. Электроны и кванты………………………….……………….…....57
Глава 3. ЭЛЕКТРОНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ
ПОЛУПРОВОДНИКА…………………………………………………..61
§ 1. Проблема поверхности в физике и в химии полупроводников.....61
§ 2. Адсорбция на поверхности полупроводника…………..…….......64
§ 3. Роль электронов и дырок при адсорбции………………………….68
§ 4. Взаимодействие поверхности с объемом.........................................71
§ 5. Химические реакции на поверхности полупроводников.............74
Глава 4. ЭЛЕКТРОНЫ В ДИЭЛЕКТРИКЕ…………………..…......... 78
§ 1. Проводимость диэлектриков.............................................................78
§ 2. Пробой диэлектриков.........................................................................81
§ 3. Окрашивание кристаллов…………………………………………..86
§ 4. Свечение кристаллов..........................................................................90
§ 5. Электрические магниты — электреты.............................................94
§ 6. Диэлектрическая проницаемость.....................................................97
§ 7. Сегнетоэлектрики и пьезоэлектрики……………………..………101
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ: ТЕОРИЯ И
ЭКСПЕРИМЕНТ……………………………………………………..105

4. ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ:
О ЗАКОНАХ ПОПУЛЯРИЗАЦИИ
Всякий ученый, специалист в той или иной области науки, знает,
что написать научную монографию гораздо легче, чем научно-
популярную книжку на ту же тему. Выступить с докладом перед
узким кругом коллег легче, чем прочитать научно-популярную
лекцию перед широкой аудиторией.
Это потому, что ученые говорят на своем, специфическом для
каждой отрасли науки, языке, непонятном для специалистов другой
отрасли науки и тем более для людей, не имеющих специального
образования. Такие люди, попав в среду ученых, чувствуют себя так,
как если бы они попали в среду людей, говорящих на чужом языке.
Они понимают лишь отдельные слова, перемешанные с непонятными
словами, так что смысл разговора от них ускользает.
Популяризатор — это переводчик, переводящий речь ученого на
общедоступный язык. Популяризация науки, так же как перевод
стихотворения на другой язык,— это особое искусство, требующее
особого мастерства.
Я хотел бы предложить такой список основных законов («свод
законов»), которому должен подчиняться популяризатор.
Прежде всего, популяризатор должен быть совершенно точен при
изложении материала. Ничего не может быть легче и соблазнительнее,
чем делать непонятное понятным за счет упрощений, искажений, а
иногда даже допущения неправильностей в изложении. Многие
авторы не могут удержаться от этого соблазна. В физике, как правило,
нет таких вещей, которые были бы принципиально непонятными для
неискушенного читателя и не делались бы понятными без нарушения
строгости изложения, при надлежащем выборе угла зрения.

5. Второй закон: каждый впервые встречающийся термин или
понятие должны быть тут же объяснены. Без этого читатель
перестанет понимать текст, и произойдет то, что является самым
страшным для автора: читатель отложит его книгу в сторону. Так,
например, если автор пишет: «Квадрат модуля волновой функции
электрона периодичен с периодом решетки», то он должен здесь же
или на предыдущих страницах, книги объяснить, что такое «квадрат
модуля», что такое « перед ним, и автор понимает, что знает и чего не
знает его читатель. Этим определяется язык, на котором автор
разговаривает с читателем, и этим определяется граница, отделяющая
непонятное от понятного.
Вся книга должна быть написана (за исключением некоторых
специально оговоренных случаев) для читателя одного и того же
уровня. Это третий (совершенно очевидный) закон популяризации.
Необходимо воздерживаться от употребления иностранных слов,
если есть равнозначные русские слова. Текст, переписанный
иностранными словами, производит впечатление учености, а на самом
деле является признаком неуважения к читателю.
Многие популяризаторы считают необходимым вставлять в текст
беллетристические отступления. Возможны и даже желательны
метафоры, аналогии, ассоциации, но беллетристические экскурсы, не
имеющие отношения к излагаемому материалу, не делают непонятное
понятным, а всего лишь разжижают текст, подобно стакану воды,
вылитому в тарелку с супом.
Популяризатор иногда считает, что его задача состоит в том,
чтобы па максимальном количестве страниц дать минимальное
количество информации. В действительности же дело состоит не в
том, много или мало подается информации на каждой странице книги,
а в том, как подается эта информация. В этом «как» и состоит
искусство популяризатора.

6. Нет греха, если один и тот же материал повторяется несколько
раз в различных местах книги. Если, конечно, он освещается при этом
по-разному, подобно тому, как театральный юпитер освещает сцену
светом то одного, то другого цвета. Это приводит к тому, что
излагаемый материал глубже внедряется в сознание читателя.
Когда читатель раскрывает книгу, он дает свою руку автору,
который дальше ведет его за собой по тропинкам дремучего леса,
называемого «наукой». Чтобы не сбиться с пути, читатель все время
должен помнить, а автор все время должен ему напоминать, куда он
идет, какова цель его путешествия. Иначе говоря, читатель должен
держать перед собой план книги, подобно путешественнику,
держащему в руках карту своего маршрута. Знакомство с книгой
начинается со знакомства с ее оглавлением, которое отражает
содержание и построение книги. Автор должен вести читателя к цели
наиболее коротким путем, не делая зигзагов в стороны.
Отметим еще один, может быть самый важный закон, в этом
«своде законов» популяризации. Книга должна быть интересной.
Понятия «интересно» и «неинтересно» — это субъективные, а не
объективные понятия. Все зависит от того, как посмотреть на вещи.
Автор может видеть вещи так, что «интересное» покажется читателю
скучным, или так, что «неинтересное» покажется ему увлекательным.
Искусство популяризатора как раз и состоит в превращении
«неинтересного» в «интересное».
Задача научно-популярной книги состоит не только (и не
столько) в том, чтобы снабдить читателя некоторым запасом знаний
по данному предмету, сколько в том, чтобы возбудить в нем интерес к
этому предмету. Если, прочитав книгу, читатель потянется рукой к
книжной полке, чтобы взять другую книгу на ту же ила на близкую
тему, то популяризатор может считать свою задачу выполненной.

7. В настоящей книжке рассматриваются некоторые вопросы
физики твердого тела. Речь будет идти о поведении электронов в
металлах, полупроводниках и диэлектриках. И о некоторых свойствах
тел, обусловленных этим поведением. Книжка не претендует на то,
чтобы быть исчерпывающим обзором современных достижений
физики твердого тела. Автор поставил перед собой более скромную
задачу: описать некоторые основополагающие представления в
физике металлов, полупроводников и диэлектриков. Книжка является
своего рода дополнением к соответствующим разделам в курсе
физики средней школы. Она рассчитана на читателя, оканчивающего
среднюю школу или уже ее закончившего, но еще не забывшего
школьного курса физики.
Автор не требует от читателя познаний, выходящих за рамки
школьной программы. Более того, в некоторых местах книги автор
касается вопросов, входящих в эту программу, но излагает их
несколько иначе, чем это сделано в школьных учебниках.
Математический аппарат, используемый в книге, не выходит за
пределы элементарной алгебры и элементов математического анализа,
знакомых читателю по школьной программе.
Автор пытается вести изложение на наглядном модельном языке,
не выходя, насколько это возможно, за рамки классических
представлений. Однако современная физика твердого тола построена
на фундаменте квантовой механики, управляющей микромиром
(миром атомов и электронов). Здесь автор попадает в трудное
положение, поскольку он не вправе рассчитывать на знакомство
читателя с квантовой механикой. Поэтому в некоторых местах книги
мы ограничиваемся изложением результатов теории твердого тела
(заботясь лишь о том, чтобы эти результаты сделать понятными), но
вовсе не касаемся того, как эти результаты были получены. Здесь
читателю приходится верить автору на слово. Это, увы, неизбежно.

8. Автор не берется судить о том, в какой мере настоящая книжка
удовлетворяет «своду законов» популяризации, изложенному выше.
Во всяком случае, он служил автору путеводителем при написании
книги.
Известный французский физик, один из основоположников
квантовой механики, Луи де Бройль сказал как-то, что «наука — это
дочь удивления и любопытства». Задача популяризатора состоит в
том, чтобы разбудить и поддерживать в читателе неиссякаемыми эти
два чувства: удивление и любопытство.

9. ВВЕДЕНИЕ
§ 1. О КАКИХ ЭЛЕКТРОНАХ БУДЕТ ИДТИ РЕЧЬ В ЭТОЙ
КНИЖКЕ?
Всякое вещество, как известно, может находиться в твердом,
жидком и газообразном состояниях. Эти состояния называются
агрегатными состояниями вещества. К этим трем агрегатным
состояниям, которые можно было бы назвать «классическими»,
современная физика прибавила еще четвертое состояние - плазму.
Плазма — это такое состояние вещества, при котором все атомы
вещества разрушены: с атомов сорваны частично или даже полностью
их электронные оболочки. Мы в этой книжке не будем говорить ни о
газообразных телах, ни о жидких, ни, тем более, о плазме. Мы
сосредоточим наше внимание исключительно на твердом состоянии
вещества.
Современная физика распадается на две ветви: физика атомного
ядра и элементарных частиц, с одной стороны, и физика твердого
состояния — с другой. Это две основные магистрали, по которым
идет развитие физики. В настоящее время это две самостоятельные,
почти не пересекающиеся науки. Физик, занимающийся атомным
ядром, часто бывает несведущ в физике твердого тела. И наоборот.
Обращаясь к твердым телам, мы должны различать два сорта
твердых тел: кристаллические аморфные. Примером
кристаллического тела является каменная (или поваренная) соль, с
которой мы встречаемся ежедневно за обеденным столом. Типичный
пример аморфного тела — обыкновенное стекло. Пожалуй, одна из
основных черт, отличающих аморфное тело от кристаллического, —
это отсутствие определенной температуры плавления у аморфного
тела. Вместо последней наблюдается более или менее растянутый

10. интервал размягчения, в котором тело постепенно переходит из
твердого состояния в жидкое. В этой книжке не будет речи об
аморфных телах. Мы ограничимся рассмотрением кристаллических
тел.
Кристаллические тела распространен в природе шире, чем это
кажется первый взгляд. Кристаллическое тело может обладать
строгой геометрической формой, характеризующейся более или менее
сложной симметрией. Такие кристаллические тела называются
монокристаллами. Наряду с ними существуют так называемые
поликристаллы, представляющие собрание множества мельчайших
монокристалликов, пробно слепленных друг с другом. Крупинка
поваренной соли — пример монокристалла. Кусок медной проволоки
пример поликристаллического тела. Здесь, как это часто бывает,
мелкие монокристаллики меди неразличимы невооруженным глазом.
В физике слово «кристалл» имеет более широкий смысл, чем тот,
который придается ему в общежитии. В нашей повседневной жизни
мы называем «кристаллом» то, что физик называет
«монокристаллом». В этой книжке речь в основном будет идти о
монокристаллах. При переходе к поликристаллу сохраняются все
свойства монокристалла, но добавляются, однако, некоторые
специфические особенности, обусловленные наличием стыков между
отдельными монокристалликами. Эти стыки могут приводить,
например, к появлению дополнительного сопротивления при
прохождении электрического тока через кристалл.
Мы в дальнейшем будем для краткости употреблять слово
«кристалл» вместо «монокристалл». Там, где речь будет идти о
поликристалле, это будет специально оговариваться.
Всякий кристалл состоит из отдельных частиц одного или
нескольких разных сортов, расположенных на определенных
расстояниях друг от друга в строго определенном порядке. Кристалл

11. подобен пчелиным сотам, построенным из одинаковых практически
бесконечно повторяющихся ячеек. Каждая такая кристаллическая
ячейка характеризуется определенной конфигурацией входящих в нее
частиц. Совокупность кристаллических ячеек образует то, что
называется кристаллической решеткой. Каждая кристаллическая
ячейка имеет грани, пересечения которых называются ребрами. В
свою очередь, пересечения ребер представляют собой узлы
кристаллической решетки. Таким образом, кристалл это дом,
построенный из совершенно одинаковых кирпичей. Эта строгая
пространственная периодичность в структуре кристалла —
характерная его черта. Более того, эта строгая периодичность
структуры может рассматриваться как определение самого понятия
кристалла. Кристалл — это символ порядка. В противоположность
ему символом полного хаоса является газ: составляющие его частицы
мечутся из стороны в сторону, сталкиваются и при каждом таком
столкновений меняют направление своего движения.
По характеру частиц, составляющих кристалл, все кристаллы
можно разделить на молекулярные, атомные и ионные. В первом
случае структурными элементами кристалла являются отдельные
молекулы. Каждая такая молекула представляет собой: группы
атомов, сближенных, прочно связанных друг с другом и образующих
единое целое. Атомные кристаллы построены из атомов, каждый из
которых состоит из положительно заряженного ядра, в котором
сосредоточена почти вся масса, и семейства электронов, суммарный
отрицательный заряд которых компенсирует положительный заряд
ядра. Атомные кристаллы могут состоять из атомов одного
определенного сорта или из атомов нескольких разных сортов, для
каждого из которых отведены свои места в кристаллической решетке.
Ионные кристаллы состоят из атомов, которые обладают недостатком
или избытком электронов, т.е. атомов, из электронной оболочки

12. которых изъят один или несколько электронов или, наоборот, в
электронную оболочку которых добавлен один или несколько
электронов (такие электрически-заряженные атомы называются, как
известно, ионами). Очевидно, ионный кристалл обязан содержать по
крайней мере два сорта ионов, противоположно заряженных.
Мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением атомных и
ионных кристаллов. Молекулярные кристаллы имеют с ними много
общего, но в то же время обладают своей спецификой, которую мы
оставим в стороне.
Атомы или ионы помечаются в узлах кристаллической решетки,
около которых они совершают малые колебания, размах этих
колебаний растет с температурой.
Таким образом, кристалл содержит в себе множество электронов
(по нескольку на каждый кристаллический узел), которые связаны со
своими атомами или ионами, но могут с большей или меньшей
лёгкостью отщепляться от них и уходить странствовать по кристаллу.
Это относится главным образом к электронам, принадлежащим
внешним слоям электронных оболочек. Воздействуя на кристалл тем
или иным способом, например, нагревая кристалл или освещая его
светом определенной длины волны (т. е. лучом определенного цвета),
можно иногда облегчить высвобождение электронов. Эти электроны
подчиняются своеобразным « правилам внутреннего распорядка».
Поведением этих электронов управляют определенные законы. А
поведение электронов в свою очередь определяет многие свойства
кристалла. Такие, например, как проводимость, теплопроводность,
теплоемкость, оптическое поглощение и многое другое, о чем речь
будет дальше. В металлах, полупроводниках и диэлектриках (в
следующем параграфе будет, пояснено, что это такое) эти электроны
ведут себя по-разному. Правильнее было бы сказать обратное: от

13. поведения электронов зависит, будет ли наш кристалл металлом,
полупроводником или диэлектриком.
Населяющие кристалл электроны — основные действующие лица
в этой книжке. Поведению таких электронов и тем многочисленным
свойствам кристалла, которые определяются их поведением, и
посвящена эта книжка.
§ 2. КАКИМ КРИСТАЛЛАМ ПОСВЯЩЕНА ЭТА КНИЖКА?
Одной из основных характеристик кристалла является его
проводимость, т. е. способность пропускать сквозь себя
электрический ток. Среди кристаллов есть такие, которые обладают
очень большой проводимостью, и такие, проводимость которых
ничтожно мала, практически равна нулю.
То, что в природе существуют тела с большой проводимостью
(проводники), и в то же время тела, у которых проводимость
практически вовсе отсутствует (изоляторы),— это очень важное
обстоятельство. На нем зиждется вся современная цивилизация.
Действительно, всякое электротехническое устройство представляет
собой комбинацию из проводников и изоляторов. Что произошло бы,
если бы в один прекрасный, момент все изоляторы превратились в
проводники? Произошла бы катастрофа: погасли бы электрические
лампы, остановились бы трамваи и автомобили, перестали бы звонить
телефоны. Электрический ток ушел бы в землю, которая является
бездонным резервуаром для электрических зарядов. Представим себе
теперь что, наоборот, все проводники превратились в изоляторы. Ток
замер бы в проводах. Электрические заряды оцепенели бы, потеряв
способность передвигаться по проводникам, нас постигла бы такая же
катастрофа: цивилизованный мир погрузился бы в темноту и застыл
бы в неподвижности.

14. Какова же проводимость проводников (типичным примером
которых служат металлы) и какова проводимость у изоляторов
(диэлектриков; примером может служить кристалл каменной соли)?
Во сколько раз проводимость вторых меньше проводимости первых?
Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо вспомнить в каких
единицах измеряется проводимость.
С этой целью обратимся к хорошо знакомому вам закону Ома.
Предположим, что перед нами кусок проволоки длины L с площадью
поперечного сечения S: Предположим, что к концам проволоки
приложена разность потенциалов V (V называют еще иначе
электрическим напряжением). При этом через проволоку будет течь
ток, силу которого обозначим через I. Через R обозначим
сопротивление проволоки. Согласно закону Ома
(1)
Если V измерять в вольтах, а I — в амперах, то R будет
измеряться в Омах. Величина, обратная R (т.е. 1/R), называется
проводимостью. Она измеряется, следовательно, в обратных омах
(Oм-1) Из опыта известно, что проводимость проволоки тем меньше,
чем больше ее длина и чем меньше площадь ее поперечного сечения:
(2)
Здесь коэффициент имеет то или иное значение в зависимости
от материала, из которого сделана проволока. Этот коэффициент
называется удельной проводимостью. Мы в дальнейшем для
краткости будем называть удельную проводимость просто
проводимостью. Из (2) следует

15. Если L измеряется в сантиметрах, S —в квадратных сантиметрах,
а R — в Омах, то для «размерности» получаем
[ ]
В настоящее время пользуются Интернациональной Системой
единиц (СИ), где единицей проводимости является сименс (См),
1См=1Ом-1, соответственно для удельной проводимости единицей
измерения в СИ является См*м-1. Таковы единицы, в которых
измеряется .
Заметим попутно, что закону Ома (1) на основании (2) можно
придать иной вид, Подставляя (2) в (1),
(4)
Если ввести обозначения
то (4) перепишется так:
(5)
Это есть не что иное, как закон Ома (1), записанный в ином виде.
Здесь і называется плотностью тока (ток, приходящийся на единицу
площади сечения проводника), а Е — напряженностью

16. электрического поля (изменение потенциала на единицу длины). Не
путайте напряженность поля Е с напряжением V! Из закона Ома,
написанного в форме (5), видно, что плотность тока возрастает
пропорционально напряженности электрического поля (в этом
утверждении и состоит закон Ома), причем коэффициентом
пропорциональности является проводимость , имеющая различные
значения для различных кристаллов.
Для металлов около . Для
диэлектриков около . Таким
образом, проводимость диэлектриков в 1019 раз мень¬ше, чем у
металлов. Это — громадное число (единица с девятнадцатью нулями).
Здесь необходимо остановиться и сделать весьма важное
замечание. Существует обширная группа тел, проводимость которых
значительно меньше, чем у металлов, но значительно больше, чем у
диэлектриков, тел, которые стали предметом исследования благодаря
некоторым замечательным обнаруженным у них свойствам. Это - так
называемые полупроводники (которые с таким же правом можно
было бы назвать полудиэлектриками). Проводимость
полупроводников лежит в широких пределах:
Однако различие между металлами, полупроводниками и
диэлектриками не только и не столько в том, что они обладают
различными значениями проводимости, сколько в том, что у этих трех
групп тел проводимость по-разному реагирует на одни и те же
внешние воздействия.
Самым тривиальным таким воздействием является нагревание.
При нагревании металла его проводимость медленно убывает, как это
схематически изображено на рис. 1, а. У диэлектриков, наоборот,
проводимость резко возрастает при возрастании, температуры. Это
показано на схематическом рис. 1, б. Что касается полупроводников,

17. то некоторые из них ведут себя как, металлы; другие, наоборот, — как
диэлектрики. Увеличивая температуру некоторых (очень многих)
полупроводников, можно увеличить их проводимость в несколько
миллионов раз.
Рис. 1. Зависимость проводимости от температуры: а) металы, б)
диэлектрики и некоторые полупровоники.
Другой фактор, к которому обычно чувствительна проводимость
кристаллов — это примесь, введенная внутрь кристалла. Это могут
быть чужеродные атомы (или ионы), внедренные в междоузельное
пространство в кристаллической решетке или замещающие собой
собственные атомы (или ионы) решетки. Реальные кристаллы, как
правило, содержат в себе примеси той или иной концентрации, если
эти кристаллы не были подвергнуты специальной очистке.
Собственные атомы (ионы) решетки, расположенные не там, где им
положено быть, т. е. не в узлах решетки, а в междоузлиях, а также
пустые узлы решетки, т. е. узлы, из которых удалены атомы (или
ионы), так называемые вакансии, также, принадлежат к категории
«примесей». В физике кристаллов понятие «примесь» имеет более
широкий смысл, чем тот, который мы приписываем ему в
повседневной жизни. Примесью называется любой дефект,
нарушающий строго периодическую структуру кристаллической
решетки (рис. 2).
Проводимость металлов несколько снижается при введении
примеси, какова бы ни была ее природа, и притом тем сильнее, чем

18. больше примеси введено. Проводимость диэлектриков, как правило,
наоборот, несколько увеличивается под влиянием примеси.
Некоторые полупроводники ведут себя как металлы, но в
большинстве случаев полупроводники оказываются чрезвычайно
чувствительны к примесям: введение ничтожных количеств примеси
приводит к изменению проводимости во много раз. Так, один
чужеродный атом на тысячу собственных атомов решетки может
изменить ее проводимость в сотни раз. Мы здесь имеем дело с
поистине «гомеопатическими» эффектами.
Рис. 2. Дефекты структуры в кристалле серебра: а) вакансия, б)
междоузельный атом, в) чужеродный атом, замещающий собственный
атом решетки.
Отметим еще один фактор, от которого может зависеть
проводимость кристаллов. Это — электрическое поле, приложенное к
кристаллу. Все металлы при сколь угодно больших напряженностях
поля E подчиняются закону Ома (5): в них ток пропорционален
напряженности поля Е, т. е. σ остается постоянной величиной, не
зависящей от Е. В неметаллических кристаллах закон Ома соблюдется
лишь при не слишком больших Е. При дальнейшем росте Е наступает
отклонение от закона Ома: ток начинает расти с напряженностью поля
Е быстрее, а иногда медленнее, чем это требует закон Ома (рис. 3).

19. Рис. 3. Зависимость плотности тока i от напряженности поля Е: а)
металлы, б) неметаллические кристаллы
Это значит, что σ перестает быть постоянной величиной и сама
начинает изменяться по мере роста Е, При достаточно большом Е
наступает так называемый – пробой, т.е. разрушение кристалла:
кристалл выходит из строя.
Когда мы говорим об электрическом токе, мы имеем в виду
перемещение электрических зарядов в некотором преимущественном
направлении. В кристаллах такими зарядами служат, прежде всего,
электроны, которые придают то атомы или ионы, которым они
принадлежат, и начинают странствовать по кристаллу. Такой ток мы
называем электронным током. В ионных кристаллах, построенных из
ионов, такими носителями заряда могут служить сами ионы, которые,
уходя из узлов решетки в междоузельное пространство, приобретают
способность перемещаться по кристаллу. В этом случае мы говорим
об ионном токе в кристалле. Электронный ток осуществляется в
металлах и в полупроводниках. В диэлектрикам мы имеем дело, как
правило, при не слишком больших Е с ионным током, который при
достаточно больших Е сменяемся электронным током. В дальнейшем
мы познакомимся подробнее с механизмом прохождения тока в
кристалле и с различными типами электронного и ионного токов.

20. В этом параграфе мы описали некоторые отличительные черты и
некоторые свойства металлов, полупроводников и диэлектриков. Эти
черты и эти свойства предопределяются поведением электронов,
которые находятся внутри кристалла и о которых шла речь в
предыдущем параграфе. Именно они управляют свойствами
кристалла. В этой книжке мы постараемся объяснить, как это
происходит.

21. ГЛАВА 1
ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ
§1. «СВОБОДНЫЕ» И «СВЯЗАННЫЕ» ЭЛЕКТРОНЫ
В этой главе речь будет идти об электронах, населяющих металл;
о поведении таких электронов, законах, которым они подчиняются.
Задача этой главы объяснить некоторые свойства металлов.
Рассмотрим металлический кристалл, построенный из атомов
одного определенного сорта. Предположим для простоты, что это —
одновалентные атомы (например, Ag или Na). Переход к металлам с
более высокой валентностью (например, к двухвалентным, как Zn или
Ni) не внесет никакого принципиально нового в нашу картину.
Сохраним лишь один атом нашей решетки, мысленно удалив все
остальные, его окружающие в бесконечность. Рассмотрим, прежде
всего, такой изолированный атом. Потом мы посмотрим, что
произойдет, когда мы придвинем все остальные атомы, построив,
таким образом, кристаллическую решетку.
Наш атом состоит из положительно заряженного атомного остова
и находящегося на некотором расстоянии от него валентного
электрона. Этот атомный остов можно представить себе приближенно
как точечный заряд (аналог атома водорода). Будем считать, что он
находится в начале координат О. Таким образом, валентный электрон
движется в кулоновском поле точечного заряда. Потенциальная
энергия электрона U будет тем меньше, чем меньше |х| — расстояние
электрона от начала координат: зависимость U от х изображена на
рис. 4. Она имеет вид (мы ограничиваемся одномерной моделью, т. е.
представляем кристалл как цепочку атомов)
(1.1)

22. где е — заряд электрона. Как известно, потенциальная энергия
всегда определяется с точностью до постоянного слагаемого как
говорят, с точностью до аддитивной константы). Задавая эту
произвольную константу, мы тем самым фиксируем начало отсчета на
шкале энергии. В (1.1) эта константа выбрана так, что потенциальная
энергия обращается в нуль при х = ∞, т. е. когда электрон удален на
бесконечность. При таком выборе начала отсчёта энергия U при всех
конечных х будет отрицательна.
Рис. 4. Потенциальный кратер изолированного атома
На рис. 4, на котором показан ход потенциальной энергии U ,
можно изобразить также полную энергию электрона, которую мы
обозначим через W. Очевидно, W не зависит от х, т. е. изображается
горизонтальной прямой. Энергия W может иметь то или иное
заданное значение, но должна оставаться постоянной при движении
электрона. Горизонтальные прямые W1 и W2 - два произвольно
выбранных значения энергии W.
На том же рисунке можно изобразить также кинетическую
энергию К электрона. Очевидно,
(1.2)

23. Если электрон, обладающий полной энергией W1, находится на
расстоянии х1 от начала координат, его кинетическая энергия
изображается на рис. 4, согласно (2.2), отрезком АВ. Если же этот
электрон находится настоянии х2, то кинетическая энергия его
выражается отрезком CD. В этом последнем случае W < U и,
следовательно, К<0, т. е. кинетическая энергия оказывается
отрицательной величиной, что невозможно. Действительно, в рамках
классической механики,
,
где m - масса, а v - скорость электрона. Очевидно, кинетическая
энергия К может быть отрицательной, если масса электрона
отрицательна, что абсурдно, или, если скорость электрона v - мнимая
величина, что не менее абсурдно. Отсюда вытекает, что электрон,
обладающий, полной энергией W1, не может уйти от начала
координат дальше расстояния х0. Область, заштрихованная на рис. 4,
является для такого электрона с точки зрения классической механики
запрещенной. Очевидно, чем больше полная энергия электрона W,
чем выше лежит прямая W1 на рис.4, тем шире область, разрешенная
для электрона. Мы имеем здесь дело со связанным электроном, т.е. с
электроном, привязанным к атому, не способным удаляться от него
сколько угодно далеко.
Иначе обстоит дело, если полная энергия электрона
изображается на рис. 4 горизонтально W2 которая всюду лежит выше
кривой U. В этом случае К>0 при любых х, и все пространство
оказывается для электрона разрешенным. В данном случае мы имеем
дело со свободным электроном, связь которого с атомом порвана, так
что он имеет право удаляться от атома сколь угодно далеко.

24. Рис. 5. Ход потенциальной энергии электрона: а) в
изолированном атоме, б) в кристалле
Итак, мы имеем дело со связанным электроном, если его полная
энергия W отрицательна (W < 0, горизонталь W=W1 на рис. 4 лежит
под осью абсцисс), и со свободным электроном, если его полная
энергия W положительна (W>0, горизонталь W = W2 лежит над осью
абсцисс). Электрон, находящейся в связанном состоянии, можно
перевести в свободное состояние, если снабдить его достаточной
энергией, позволяющей электрону пересесть с уровня W1 на уровень
W2. Такой акт освобождения связанного электрона называется
ионизацией атома.
До сих пор мы рассматривали отдельный изолированный атом.
Построим теперь цепочку из таких атомов, расположив их на
расстоянии а друг от друга (см. рис. 5, б) (одномерную модель
кристалла). Мы имеем систему атомных остовов и систему
электронов. Каждый; электрон взаимодействует со своим атомным
остовом и со всеми остальными остовами и, кроме того, со всеми
остальными электронами. Этим последним взаимодействием мы
сейчас будем пренебрегать, хотя нет логических оснований для такого
пренебрежения. Действительно, взаимодействие электронов между
собой того же порядка величины, что и взаимодействие их с
атомными остовами. Нет оснований пренебрегать одними, сохраняя

25. другие. Тем не менее, мы примем это пренебрежение, считая каждый
электрон независимым от других, как бы не замечающим других
электронов. Это существенно упрощает задачу. К вопросу об учете
взаимодействия электронов друг с другом мы еще вернемся в
дальнейшем.
Итак, рассмотрим модель, в которой каждый электрон движется в
поле всех атомных остовов. Его потенциальная энергия U в таком
силовом поле изображается кривой, представляющей собою
наложение кривых изображенных на рис.4, сдвинутый относительно
друг друга на расстояние а. Такая результирующая кривая
(потенциальная энергия электрона U как функция х) изображена на
рис, 5, б. Мы имеем систему потенциальных кратеров, чередующихся
с потенциальными барьерами, окаймленную слева и справа
потенциальными порогами, соответствующими крайним атомам
(первому и последнему) нашей цепочки. Слева па рис. 5, а, еще раз
изображен потенциальный кратер изолированного атома.
Существенным на рис. 5, б является то, и это следует особо
подчеркнуть, что потенциальная энергия U электрона внутри
кристаллической решетки, вдали от ее краев, оказывается
периодической функцией координаты с периодом, равным
постоянной решетки а.
Спросим себя: как будут вести себя наши электроны, приобретут
ли они способность перемещаться по кристаллу или будут оставаться
привязанными каждый к своему атому? Ответ на этот вопрос зависит
от того, каков запас полной энергии W у электрона. Здесь следует
различать три случая:
1) Если электрон сидит на уровне W1, т. е. если он обладает
полной энергией W1 изображающейся горизонтальной прямой,
лежащей ниже вершин барьеров, то такой электрон согласно
классической механике заперт внутри своего потенциального кратера,

26. т. е. не может перейти в соседний кратер. Действительно, для такого
перехода электрон, оставаясь на своем энергетическом уровне W1,
должен пройти сквозь потенциальный барьер, т.е. через область, в
которой его полная энергия больше потенциальной и в которой ему
быть запрещено. Таким образом, кристалл оказывается как бы
разделенным стенками, непроницаемыми для электрона.
2)Если электрон сидит на уровне W1, расположенном над
вершинами потенциальных барьеров, как это изображено на рис. 5, б,
то такой электрон может беспрепятственно странствовать внутри
кристалла, перемещаясь от атома к атому, но не может выйти за
пределы кристалла. Область пространства, разрешенная для
электрона, ограничена слева и справа потенциальными порогами.
3)Наконец, если полная энергия электрона на рис. 5, б
изображается прямой W3, то такой электрон не только свободно
странствует внутри кристалла, но может выйти и за его пределы,
отдаляясь от него сколь угодно далеко.
До сих пор мы молчаливо предполагали, что электрон,
поведением которого мы интересовалась, является классической
частицей, т.е. подчиняется законам классической механики Ньютона.
В действительности же электрон — квантовая частица, управляемая
квантовой механикой, господствующей в микромире. Какие
коррективы вносит в нашу картину замена классической механики
механикой квантовой?
С точки зрения квантовой механики электрон может с большей
или меньшей вероятностью находиться там, где с точки зрения
классической механики его пребывание категорически запрещено.
Иначе говоря, квантовая частица может проникать в область,
запрещенную для классической частицы. Таким образом, электрон,
обладающий полной энергией W1 (рис. 5, б), может в большей или
меньшей степени проникать в область W1<U, т.е. внутрь

27. потенциального барьера и тем самым просачиваться сквозь него.
Вероятность такого просачивания тем больше, чем уже
потенциальный барьер и чем он ниже, т. е. чем меньше площадь,
заштрихованная на рис. 5, б. Электрон, находящийся с одной стороны
барьера, может оказаться на другой его стороне в результате
«туннельного» перехода сквозь барьер при сохранении неизменной
полной энергии электрона W1 . Этот эффект «туннельного» перехода
(туннелирования) характерен для современной квантовой теории
твердого тела, и мы на страницах этой книги еще не раз будем к нему
возвращаться.
Итак, введение квантовой механики приводит к тому, что
«абсолютно» связанный электрон делается «более или менее»
связанным. Появление квантовой механики в теории твердого тела
явилось манифестом о некотором высвобождении связанных
электронов.
В заключение сделаем одно замечание, в начале этого параграфа,
как читатель помнит, мы приняли следующее упрощающее, но никак
не обоснованное приближение: мы пренебрегли взаимодействием
электронов между собой. Это взаимодействие учитывают, вводя
некоторое, так называемое самосогласованное поле, созданное
усредненным зарядом всех электронов, и считая, что каждый электрон
движется как в поле атомных остовов, так и в этом
самосогласованном поле электронов. Это дает нам некоторое
дополнительное слагаемое в выражении для потенциальной энергии,
которое, однако, не нарушает ее основного свойства —
периодичности, и сохраняет за нами право продолжать пользоваться
рис. 5, б. Вопрос об учете взаимодействия между электронами —
сложный вопрос, и мы здесь не будем более на нем останавливаться.
Заметим лишь, что в современной квантовой теории твердого тела
задача о системе взаимодействующих электронов рассматривается как

28. задача о системе невзаимодействующих так называемых квазичастиц
(так называемых элементарных возбуждений).
§ 2. «ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ» В МЕТАЛЛЕ
Возвратимся к рис. 5,б, на котором изображен ход потенциальной
энергии электрона в металле. Этот рисунок может быть существенно
упрощен, если периодический ход потенциальной энергии заменить
некоторым, усредненным, но постоянным по всему кристаллу
значением, и потенциальные пороги на краях кристалла сделать
отвесными. При этом рис. 5, б превратится в рис. 6.
Мы не встретим никаких затруднений, если теперь от нашей
одномерной модели кристалла (цепочка атомов) перейдем к
трехмерной модели, представляя себе кристалл в виде куба (рис. 7) с
ребром L, на котором умещаются N атомов, так что
(1.3)
где а — расстояние между соседними атомами (постоянная
решетки). Тогда на рис. 6 ось х может быть заменена осью у или осью
z.

29. Такая упрощенная модель кристалла, представляющая собой
потенциальный ящик с плоским дном и вертикальными стенками,
лежит в основе классической теории металлов Друде, а также
квантовой теории металлов Зоммерфельда. В этом потенциальном
ящике живут все электроны нашей системы. Если металл по-
прежнему считать для определенности построенным из
одновалентных атомов, то число электронов в нашей системе равно
N3, а концентрация электронов N0, т. е. число электронов в одном
кубическом сантиметре, будет согласно (1.3)
(1.4)
Это очень большое число. В одном кубическом сантиметре
металлического кристалла содержится приблизительно 1023 (единица
с 23 нулями!) электронов. Все эти электроны можно считать
свободными, поскольку они движутся в отсутствии какого-либо
силового поля (потенциальная энергия электрона внутри кристалла
постоянна), т. е. ведут себя, как молекулы обычного идеального газа.
Металл в рамках этой модели представляется, как некий жесткий
каркас из атомных остовов, погруженный в газ электронов.
Каждый электрон, в каждый данный момент занимает
определенное положение в пространстве, иначе говоря,
характеризуется определенной тройкой координат х, у, z и обладает
определенной скоростью v, т.е. характеризуется тремя
составляющими скорости vx ,vy, vz или, иначе выражаясь, занимает
определенное положение в пространстве скоростей, т. е. в
пространстве, в котором по осям отложены не координаты х, у, z, а
скорости vx,vy vz.
Вспомним теперь, что наши электроны— квантовые частицы.
Это приводит к тому, что каждая составляющая скорости оказывается

30. проквантованной, т. е. может принимать не любые, а лишь вполне
определенные значения:
(1.5)
Здесь h - так называемая постоянная Планка, всегда
присутствующая в формулах квантовой механики, а nx, ny, nz —
произвольные, но обязательно целые положительные или
отрицательные числа (в том числе ноль):
nx, ny, nz = 0, ± 1, ±2, ±3,… (1.6).
Числа nx, ny, nz называются квантовыми числами. Мы видим, что
скорости vx, vy, vz могут принимать не непрерывный, а дискретный ряд
значений. В результате пространство скоростей распадается на
равновеликие ячейки объемом каждая (рис. 8):
Электрон, согласно (1.5) и (1.6), в пространстве скоростей может
располагаться нигде угодно, а только в узлах решетки, изображенной
на рис. 8.
Рис. 8 квантовое пространство скоростей

31. В соответствии с (1.5) энергия электрона W также оказывается
проквантованной. Действительно, в нашей модели потенциальная
энергия электрона U постоянна во всем кристалле и, следовательно,
без нарушения общности может быть положена равной нулю, т. е.
полная энергия электрона равна его кинетической энергии:
(1.7)
Подставляя сюда (1.5), получаем
( ) (1.8)
Мы видим, что полная энергия W так же, как и три составляющих
скорости vx ,vy , vz, может принимать лишь дискретный ряд значений.
На рис. 9 изображены W и vx, vy, vz как функции квантовых чисел nx,
ny, nz. На рис. 9, а и 9, б по оси абсцисс отложены значения (nx, ny или
nz), а по оси ординат — на рис. 9, а — значения W, на рис. 9, б —
значения vx, (vy или vz соответственно).
Теперь предстоит сделать важный шаг в нашем изложении:
ввести в рассмотрение так называемый принцип Паули, которому
подчиняется коллектив электронов. Согласно этому принципу данной
тройкой квантовых чисел может обладать лишь один электрон, иначе
говоря, в каждой точке пространства скоростей может помещаться
лишь один электрон. Принцип Паули — принцип непроницаемости,
перенесенный из обычного координатного пространства в
пространство скоростей.

32. Рис. 9. Квантование энергии (а), квантование трех составляющих
скорости (б).
Принцип непроницаемости запрещает занимать одну и ту же
точку пространства одновременно двум или нескольким электронам.
Поэтому принцип Паули часто называют правилом запрета. Принцип
Паули имеет очень важные последствия, с которыми мы все время
будем сталкиваться.
Здесь необходимо ввести одну поправку. Тройка квантовых
чисел не является исчерпывающей характеристикой состояния
электрона. Существует еще четвертая характеристика - так
называемый спин. Наличие спина у электрона — это такая же важная
и неотъемлемая особенность электрона, как наличие у него массы или
электрического заряда.
Наиболее наглядное представление о спине электрона мы можем
получить, если представим себе электрон в виде шарика,
вращающегося вокруг своей оси. Само слово «спин» происходит от
английского глагола to spin — вращаться. Возможно вращение как
по, так и против часовой стрелки вокруг некоторой произвольной оси.
Таким образом, возможны два значения спина. Согласно принципу

33. Паули данной тройке квантовых чисел может соответствовать не
один, а два электрона, если они обладают при этом
противоположными спинами. Иначе говоря, если учитывать наличие
спина у электрона, то в каждой разрешенной точке пространства
скоростей могут, уместиться два электрона с противоположно
направленными спинами.
Очевидно, все N0 электронов нашей системы, приходящихся на
один кубический сантиметр, должны, так или иначе, разместиться в
пространстве скоростей. От того, каково будет это размещение,
зависит полная суммарная энергия нашей системы (т. е, сумма
энергий всех электронов). Посмотрим, какое размещение
соответствует минимальной энергии, иначе говоря, температуре
абсолютного нуля. (Вспомним, что по определению абсолютным
нулем называется такая температура, при которой энергия системы
минимальна).
Рис. 10. Размещение электронов в пространстве скоростей: а)
случай температуры абсолютного нуля, б) случай температуры
отличной от абсолютного нуля.

34. Если бы не было принципа Паули, то все электроны помещались
бы в точке vx = vy = vz = 0, т. е. в начале координат пространства
скоростей. При этом все электроны покоились бы, и энергия системы
равнялась бы нулю. Это, однако, запрещается принципом Паули.
Энергия системы будет минимальной, хотя и не равной нулю, когда
электроны разместятся максимально близко к началу координат,
сообразуясь, однако, с принципом Паули, т. е. заполнят сферу,
содержащую число ячеек, равное половинного числа электронов
(каждая ячейка содержит два электрона). Поверхность этой сферы
называется поверхностью Ферми, а сама сфера называется сферой
Ферми. Такое размещение изображено на рис. 10, а, на котором v1 и v2
два любых числа из тройки чисел vx, vy, vz.
Мы видим, таким образом, что даже при температуре
абсолютного нуля движение электронов не может прекратиться. Это
результат применения к коллективу электронов правила запрета
Паули.
При повышении температуры часть электронов уходит в
пространстве скоростей за пределы сферы, изображенной на рис. 10,
а, оставляя за собой пустые (не занятые электронами) места. Мы
переходим тем самым от рис. 10, а к рис. 10,б. Таким образом,
нагревание вызывает разрыхление плотной упаковки электронов в
пространстве скоростей. Чем выше температура, тем сильнее это
разрыхление. При этом увеличивается суммарная энергия электронов.
Существенно, что в распределении электронов в пространстве
скоростей соблюдается симметрия. Иначе говоря, каждому электрону
со скоростью v может быть сопоставлен электрон со скоростью v , так
что средняя скорость всех электронов при любой температуре
остается равной нулю. Это значит, что в кристалле нет электрического
тока.

35. Так обстоит дело до тех пор, пока на электрон не действуют
никакие посторонние силы. Если же кристалл поместить во внешнее
электрическое поле, приложив к нему некоторую разность
потенциалов, то симметричное размещение электронов нарушится.
Теперь возникнет некоторое преимущественное направление, в
котором число занятых мест больше, чем в противоположном направ-
лении, так что средняя скорость электронов оказывается отличной от
нуля. Это значит, что в кристалле существует электрический ток.
Мы уже отмечали, что степень разрыхления электронной
упаковки в пространстве скоростей возрастает с повышением
температуры. Обычно эту степень разрыхления характеризуют некоей
функцией F(W), которую мы назовем функцией распределения по
энергиям и которую определим следующим образом. Рассмотрим в
пространстве скоростей шаровой слой радиуса v и толщины dv. Из
(1.7) вытекает:
√ (1.9)
и
(1.10)
√
Число электронов, находящихся в этом шаровом слое, т. е.
обладающих энергией, лежащей в интервале от W до W + dW,
обозначим через X(W)dW. Число же мест, доступных дли электрона
(удвоенное число ячеек в пространстве скоростей), содержащихся в
том же шаровом слое, обозначим через Y(W)dW. Отношение этих двух
чисел мы и назовем функцией распределения F(W):
(1.11)

36. Для нашего электронного газа эта функция имеет вид
(1.12)
Здесь Т — абсолютная температура, k - постоянная Больцмана,
знакомая читателю из кинетической теории газов, WF энергия,
соответствующая поверхности Ферми. Эта энергия WF называется
энергией Ферми или уровнем Ферми, а функция(1.12) — функцией
распределения Ферми, Про частицы, описываемые функцией Ферми,
говорят, что они подчиняются статистике Ферми - Дирака.
Функция (1.12) представлена на рис. 11, Тонкая ступенчатая
кривая соответствует температуре абсолютного нуля. Мы видим, что в
этом случае все ячейки в пространстве скоростей, находящиеся
внутри сферы Ферми, заполнены электронами до отказа (F=1), в то
время как всё ячейки, лежащие вне этой сферы, свободны (F=0).
Жирная плавная кривая на рис. 11 соответствует температуре
отличной от абсолютного нуля. При этом кривая F=F(W) при любой
температуре проходит через точку А (см. рис.11), для которой W=WF,
F= 1/2.
Рис. 11. Функция распределения Ферми
В заключение этого параграфа вернемся к тому, что уже
отмечалось в его начале. Квантовая теория металлов Зоммерфельда

37. имеет дело с той же моделью металла, что и классическая теория
Друде: электронный газ, запертый и потенциальном ящике с плоским
дном. Однако электронный газ Зоммерфельда отличается от
электронного газа классической теории следующими двумя чертами:
а) Каждый отдельный электрон в теории Друде подчиняется
классической механике, в то время как в теории Зоммерфельда он
рассматривается как квантовая частица, управляемая законами
квантовой механики.
б) Теория Друде при описании поведения всего коллектива
электронов в целом пользуется классической статистикой Максвелла -
Больцмана, т.е. теми же статистическими законами, которыми
описывается обычный газ, состоящий из независимых молекул. Для
теории же Зоммерфельда характерно применение к электронному газу
квантовой статистики Ферми - Дирака, т. е. статистических законов,
которым подчиняются частицы, во-первых, абсолютно
тождественные, а во-вторых, управляемые принципом Паули. Важно,
однако, заметить, и это следует подчеркнуть, что все формулы
квантовой статистики при определенных условиях (о которых речь
будет дальше) превращаются в классические формулы. Электронный
газ в этом случае называется невырожденным.
§ 3. УСПЕХИ И НЕУДАЧИ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
МЕТАЛЛОВ
Металлы, в отличие от неметаллических кристаллов, обладают
очень большой электропроводностью и очень большой
теплопроводностью. Это характерная особенность металлов.
Проводимость мы будем, как и прежде, обозначать буквой σ;
теплопроводность — буквой ϰ (греческая буква «каппа»). Эти

38. величины мы определим следующим образом. Обозначим через i
электрический ток (плотность тока) в металле, пропорциональный так
называемому градиенту потенциала dV/dx; через j — плотность
теплового тока, пропорциональную, так называемому градиенту
температуры dT/dx. (Производные dV/dx и dT/dx показывают,
насколько быстро изменяются потенциал и температура
соответственно в направлении оси х.) Мы имеем
(1.13)
(1.14)
Уравнение (1.14) имеет место в случае, когда внешнего
электрического поля нет. Знак минус перед правой j частью
уравнения (1.14) означает, что поток тепла (т.е. кинетическая энергия,
переносимая электронами) направлен в сторону, противоположную
градиенту температуры. Иначе говоря, тепло переносится от более
нагретой к менее нагретой части кристалла.
Уравнение (1.13) наоборот, относится к случаю, когда металл
находится в электрическом поле и когда при этом температура во
всем кристалле одинакова, т.е. градиент температуры всюду равен
нулю (dT/dx=0). Напомним, что
(1.15)
где E - напряженность электрического поля, тогда, подставляя (1.15) в
(11.3), мы приходим к равенству (5):
представляющему (при σ, не зависящем от Е) закон Ома.

39. Коэффициенты σ и ϰ в (1.13) и (1.14) могут быть вычислены.
Результаты этих вычислений будут приведены ниже. Заметим, что
классическая и квантовая теории приводят к различным результатам,
хотя обе теории исходят из одной и той же модели.
Согласно классической и квантовой теориям электроны металла
участвуют в хаотическом тепловом движении, испытывая соударения
с атомами (точнее - с атомными остовами) решетки. Эти атомы
(остовы атомов) размещены в строгом порядке и совершают
колебания около своих положений равновесия. Чем выше
температура, тем больше амплитуда (размах) этих колебаний.
Согласно квантовой теории эти колебания не прекращаются и при
температуре абсолютного нуля.
При отсутствии внешнего электрического поля электроны между
двумя столкновениями движутся прямолинейно и равномерно. При
наличии же поля каждый электрон между столкновениями движется с
ускорением, пропорциональным напряженности, поля Е, накапливая
кинетическую энергию, которую затем при столкновении он отдает
решетке. Таково происхождение сопротивления, которое решетка
оказывает току, и таково происхождение тепла, которое выделяется
при прохождении тока.
Здесь, однако, между классической и квантовой теориями есть
существенное различие. В классической теории сопротивление
обусловлено самим фактом существования кристаллической решетки,
которая создает препятствия свободно движущимся электронам.
Согласно квантовой теории решетка сама по себе не создает
сопротивления, совершенно прозрачна для электронов, электроны ее
не замечают. Сопротивление обусловлено колебаниями решетки. Чем
выше температура, т. е. чем больше амплитуда колебаний, тем больше
сопротивление. Атомы, отклоненные от своих положений равновесия,
играют роль центров рассеяния для свободных электронов.

40. Чужеродные атомы примеси, нарушающие строгую периодичность
решетки, являются дополнительными центрами рассеяния и создают
дополнительное сопротивление.
Среднее расстояние, которое проходит электрон между двумя
последовательными столкновениями с атомами решетки, называется
средней длиной свободного пробега. Мы будем обозначать эту
величину буквой l. Эта величина убывает с увеличением температуры.
Классическая и квантовая теории приводят к следующим
выражениям для σ и ϰ. В классической теории мы имеем
(1.16a)
√
√ (1.17a)
где по-прежнему N0 — концентрация свободных электронов, е -
заряд электрона, m — его масса. Квантовая теория дает
(1.16б)
(1.17б)
В эти формулы помимо универсальных постоянных h, е, к входят
величины No и l, имеющие различные значения для различных
металлов, и требующие дополнительного определения.
Говоря об электропроводности и теплопроводности металлов,
нельзя не сказать о законе Видемана — Франца. Этот закон был
установлен экспериментально. Согласно ему отношение
теплопроводности металла к его проводимости есть величина
постоянная, одна и та же для всех металлов и возрастающая
пропорционально абсолютной температуре. Как квантовая, так и