2. Funkcijas atvasinājuma
jēdziena fizikālā interpretācija
x xt t xt
vvid
t t
x xt t xt
v limvvid lim lim
t 0 t 0 t t 0 t
x
x(t + t)
x
x(t)
t
t t + t
t
3. Otrās kārtas atvasinājuma
mehāniskā interpretācija
x xt Materiāla punkta taisnvirziena kustības likums
x' t vt Punkta momentānais ātrums
v vt t vt Momentānā ātruma pieaugums laika intervālā t
v
avid Materiāla punkta vidējais paātrinājums intervālā t
t
v
a lim avid lim v'i Materiāla punkta paātrinājums a
t 0 t 0 t laika momentā t
a v 't x 't 't xtt'
'
4. u v ' u'v'
u v ' ' u'v' u' 'v' '
uv' u' v uv'
uv' ' u' v uv'' u' ' v 2u' v'uv' '
nn 1 n2
uv
n n
u v nu n 1
v' u v' '... uv n
1 2
Leibnica formula
5. f x x 3
f x x x x
3
x 3x x 3xx x
3 2 2 3
y f x x f x
3x x 3xx x
2 2 3
3x x
2
Lineārais saskaitāmais pret x
3 xx x
2 3
Nelineārais saskaitāmais pret x
6. y 3 x 2 x 3 xx x
2 3
lim x lim
x 0 x 0 x
3 x x 3 xx x
2 2 3
lim lim 3x 2
x 0 x x 0 x
y f ' x x x x y
f ' x x
x
f ' x x Funkcijas pieauguma galvenais loceklis
x x Augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija
7. • Funkcijas y = f(x) pieauguma galveno un
attiecībā pret x lineāro locekli sauc par
funkcijas f(x) diferenciāli punktā x un apzīmē
ar dy jeb df(x).
dy df x f ' x x
f ' x
dy
dy f ' x dx
dx
8. Fermā teorēma
• Pieņem, ka funkcija f(x) ir definēta intervālā
(a; b) un kāda šī intervāla punktā x = c tai ir
lielākā vai mazākā vērtība. Ja punktā x = c
funkcijai f(x) eksistē atvasinājums, tad tas ir
vienāds ar nulli.
f ' c 0
9. • Pieņem, x = c max M f(c) f(c + x)
f(c + x) - f(c) 0
• Pieņem, x > 0 f c x f c
0
x
f c x f c
• Ja x 0, tad
lim f ' c f’(c) 0
x 0 x
• Ja x < 0, tad f c x f c
0
x
f c x f c
lim f ' c f’(c) 0
x 0 x
10. Lagranža teorēma
• Pieņem, ka funkcija f(x) ir nepārtraukta intervālā *a; b+ un diferencējama šī
intervāla iekšējos punktos. Tad intervālā (a; b) eksistē vismaz viens tāds
punkts c, kurā ir pareiza vienādība
f b f a
f ' c
ba
f b f a f ' c b a
11. • Taisnes vienādojums caur
diviem dotajiem
punktiem A(a; f(a)) un
B(b; f(b))
y f a xa
f b f a b a
f b f a
y f x y x a f a
ba
Funkcijas vienādojums Taisnes vienādojums
12. Starpība starp funkcijas grafika un hordas punkta ordinātām
f b f a
F x f x x a f a
ba
f b f a
F ' x f ' x
ba
f b f a
F ' c 0 f ' c
ba
0
13. Košī teorēma
• Pieņemsim, ka funkcijas f(x) un (x) ir nepārtrauktas intervālā *a; b+ un
diferencējamas šī intervāla iekšējos punktos, pie tam (x) ≠ 0. Tad
intervālā eksistē vismaz viens tāds punkts c, kurā ir spēkā vienādība
f b f a f ' c
b a ' c
14. Lopitāla kārtula
• Pieņem, ka funkcijas f(x) un (x) ir nepārtrauktas un diferencējamas
punkta a apkārtnē, izņemot varbūt pašu punktu a, pie tam minētajā
apkārtnē ir spēkā nevienādības (x) ≠ 0, ’(x) ≠ 0, un abas šīs funkcijas
tiecas uz nulli vai bezgalību, kad x a.
• Ja eksistē šo funkciju atvasinājumu attiecības robeža, kad x a, tad
eksistē funkciju attiecības robeža un abas minētās robežas ir vienādas.
f x f ' x
lim x lim ' x
xa xa
0
Attiecas uz nenoteiktībām un
0
15.
0 ; ; 1
0 0
0
b lim x x
x 0
x
ln b ln lim x lim ln x x lim x ln x
x 0 x 0 x 0
1
ln x
lim lim x lim x 0
1 1
x 0 x 0
2 x 0
x x