2.  Vienādojumus, kas satur nezināmo funkciju y
= y(x), sauc par funkcionālvienādojumiem.
 Par diferenciālvienādojumu sauc tādu
funkcionālvienādojumu, kas satur nezināmās
funkcijas atvasinājumus vai diferenciāļus.
dy
f x
dx
y F x C

3.  Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma
vispārīgais veids ir
F x, y , y 0
 Tā normālforma ir
dy
f x, y jeb y f x, y
dx

4.  Otrāskārtas diferenciālvienādojuma
vispārīgais veids ir
F x, y , y , y 0
 Tā normālforma ir
y f x, y, y

5.  Diferenciālvienādojuma ietilpstošā
nezināmās funkcijas augstākā atvasinājuma
kārtu sauc par diferenciālvienādojuma kārtu.
N-tās kārtas diferenciālvienādojuma
vispārīgais veids ir
n
F x, y, y , y ,..., y 0
 Tā normālforma ir
n n 1
y f x, y, y , y ,..., y

7.  Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma
vispārīgais veids ir
 x – arguments
F x, y , y 0
 y – meklējamā funkcija
 y’ – meklējamās funkcijas atvasinājums
 Tā normālforma ir
dy
f x, y jeb y f x, y
dx

8.  Diferenciālvienādojumu var pārveidot
diferenciālā formā
P x, y dx Q x, y dy 0
x
y xdx ydy
y
2 2
dy x x y C
dx y

9.  Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma
atrisinājums – jebkura funkcija y = (x), kuru
līdz ar tās atvasinājumu ievietojot dotajā
vienādojumā, iegūst identitāti.
 Diferenciālvienādojuma atrisināšana –
diferenciālvienādojuma integrēšana.

10.  Ja vienādojuma y’ = f(x, y) labās puses
funkcija f(x, y) un tās parciālais atrisinājums
f’y(x, y) ir nepārtrauktas funkcijas kādā Oxy
plaknes apgabalā D, tad, lai kāds būtu šī
apgabala punkts (x0; y0), eksistē viens vienīgs
atrisinājums y = (x), kas apmierina
nosacījumu y0 = (x0).
 Sākuma nosacījums y(x0) = y0.
 y = (x,C) – diferenciālvienādojuma
vispārīgais atrisinājums apgabalā D.

11. Definīcija
Uzdevumu
dx dy
f (t , x ) f ( x, y )
dt dx
x (t 0 ) x 0 y ( x0 ) y0
sauc par Košī jeb sākuma vērtību problēmu.
Katras Košī problēmas atrisinājumu ar noteiktu konstantes C
vērtību sauc par vienādojuma partikulāro atrisinājumu
Visu vienādojuma partikulāro atrisinājumu saimi sauc par
šī vienādojuma vispārīgo atrisinājumu.

12. Piemēri
y 1 y ( x) x C
2
y 2x y ( x) x C
1
y y ( x) ln x C, t 0
x
y y y ( x) ?

13. Definīcija
Līniju, kuras punktos y’=c, sauc par vienādojuma izoklīnu.
Vienādojuma (1.2) izoklīnas var atrast no vienādojuma
f(x, y)=c
f(x, y)=k

14. y
x xdx ydy
y
dy x x 2
y 2
C
dx y
x
 Izoklīnas ir taisnes k
y
 Integrāllīnijas ir koncentriskas līnijas

16. 1 y2
dy y 0
f1 x f 2 y 1 x
dx 2
dy 1 y
dy dx
f1 x dx 1 x
f2 y dy dx
2
1 y 1 x
dy
f1 x dx C arcsin y 2 1 x C
f2 y
y sin 2 1 x C

17.  Pirmāskārtas diferenciālvienādojumu
y’=f(x,y) sauc par homogēnu attiecībā pret
mainīgajiem, ja šo vienādojumu var
pārveidot
y’ = (y/x)
x3 2 y3
y 2
3 xy

18. x3 2 y 3 Substitūcija
y x3 x3 y
3xy 2 z y xz
x
x3 ar funkciju
3
y z zx
1 2
x
y 2 dy dz
y z x
3 dx dx
x

19. 3
xz
1 2 xdz 1 2z 3
dz x z
z x 2 dx 3z 2
dx xz
3
x
xdz 1 2 z 3 3z 3
dx 3z 2
dz 1 2z3
z x
dx 3z 2 xdz 1 5z 3
2
dx 3z

20. 3
x 1 5z 1
dx 3 z 2 dz
2
dx 3 z dz
3
x 1 5z
2
3z dz
ln x 3
C d 1 5z 3 15 z 2 dz
1 5z

21. 3
1 d 1 5z
ln x 3
C
15 1 5 z
1 3
ln x ln 1 5 z C
15
3
1 y
ln x ln 1 5 C
15 x

22. 2 2 Substitūcija
2 xyy x y 0
y
2 2 2 2 z y xz
2x z z xz x x z 0 x
ar funkciju
2
2z z xz 1 z 0
z zx
2 2
2z 2 xzz 1 z 0
dy dz
2 z x
z 2 xzz 1 0 dx dx

23. 2 2
z 2 xzz 1 0 d z 1 dx
2
2 xzz z 2
1 z 1 x
2 xzdz 2
ln z 2 1 ln x ln C
z 1
dx C
2
z 1
2 zdz dx 2
x
2 y C
z 1 x 1
x x

24. 2x y 1 x p x a p
y
x 2y 1 y q y b q
db 2a 2 p b q 1
da a p 2b 2q 1
1
2p q 1 0 p
3
p 2q 1 0 1
q
3

25. 1 1
x x a
3 3
1 1
y y b
3 3
db 2a 2 p b q 1 1
p
da a p 2b 2q 1 3
1
q
3
1 1
2a 2 b 1
db 3 3
da 1 1
a 2b 2 1
3 3

26. db 2a b
da a 2b

27.  Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sauc
par lineāru diferenciālvienādojumu, ja
nezināmo funkciju y un tās atvasinājumu y’
šis vienādojums satur tikai pirmajā pakāpē
ax y bx y cx 0
ax y bx y cx
0
ax ax ax
y px y f x

28.  Jaf(x) = 0, tad pirmās kārtas lineāru
diferenciālvienādojumu sauc par lineāru
homogēnu vienādojumu.
y px y 0

29. dy
px y
dx
dy
p x dx ln y p x dx ln C
y
p x dx
y Ce

30. y u v
y px y f x
y u v uv
u v uv p x uv f x
v u p x u uv f x
p x dx
u pxu 0 u e

31. uv f x
f x
v
u
p x dx p x dx
u e v f xe dx C
p x dx p x dx
y uv e f xe dx C

32. x
y xy x 1e
u xu 0
2 x2
x 2
ln u u e
2
x2 2
2
x
2
x x
2
x dv e d x
v x 1e 2
x2
x
2
v e C
x2 x2 x2
x
2 2 x 2
y u v e e C e Ce

33. y px y f x yn
 Saucpar Bernulli diferenciālvienādojumu, ja
p(x) un f(x) ir nepārtrauktas argumenta x
funkcijas, bet n ir jebkurš reāls skaitlis,
izņemot 0 vai 1.
y px y f x yn
yn yn yn
y ny p x y1 n
f x

34. n 1 n 1 n
y y px y f x y z
n
z 1 n y y
n z
y y
1 n
z
pxz f x
1 n
y px y f x

35.  Vienādojumu
dU(x, y) = 0
(P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0)
 sauc par eksaktu jeb totālu
diferenciālvienādojumu ar nosacījumu, ka
jābūt spēkā
P Q
y x

36. 4 xy 15 x 2 3 y 2 dx 2 x 2 9 xy 2 dy 0
2 2 2 2
P 4 xy 15 x 3y Q 2x 9 xy
P 2 Q
4x 9 y 4x 9 y2
y x
U 4 xy 15x 2 3 y 2 dx y 2 x 2 y 5x3 3xy 3 y

37. U
Q
y
2 x 2 y 5x3 3xy 3 y y 2 x 2 9 xy 2
2 x 2 9 xy 2 y 2 x 2 9 xy 2
y 0
y C
U 2 x 2 y 5 x 3 3xy 3 C

39.  Otrāskārtas diferenciālvienādojuma
vispārīgais veids ir
F x, y , y , y 0
 Tā normālforma ir
y f x, y, y

40.  Diferenciālvienādojuma ietilpstošā
nezināmās funkcijas augstākā atvasinājuma
kārtu sauc par diferenciālvienādojuma kārtu.
N-tās kārtas diferenciālvienādojuma
vispārīgais veids ir
n
F x, y, y , y ,..., y 0
 Tā normālforma ir
n n 1
y f x, y, y , y ,..., y

41.  Ja diferenciālvienādojuma
y’’ = f(x, y, y’)
labās puses funkcija f(x, y, y’) un tās parciālie
atvasinājumi
f f
y y
ir nepārtrauktas funkcijas kādā apgabalā ,
kas satur punktu (x0; y0; y’0), tad eksistē
viens vienīgs diferenciālvienādojuma
atrisinājums, kas apmierina
y x x y0 y x x y0
0 0

42. y 4 sin 2 x
y 2 cos 2 x C1
y sin 2 x C1 x C2

43.  Ja diferenciālvienādojums nesatur nezināmo
funkciju y un tās atvasinājumus līdz (k – 1)-
mās kārtas atvasinājumam
 F(x, y(k), y(k + 1), …, y(n)) = 0,
 Tad šī vienādojuma kārtu var pazemināt par
k vienībām, izmantojot substitūciju
 Y(k) = z
 F(x, z, z’, … z(n-k)) = 0

44. y y z
y
x y z
z dz dx
z
x z x
dz z ln z ln x ln C1
dx x

45. y C1 x
2
y C1 xdx C1 x C2
2 3
y C1 x C2 dx C1 x C2 x C3

46.  Raksturīgā vienādojuma uzrakstīšana
 Raksturīgā vienādojuma saku atrašana
 Atkarībā no atrastajām saknēm dotā
diferenciālvienādojuma vispārīgā
atrisinājuma uzrakstīšana

47. Diferenciālvie ay’’ + by’ +cy = 0
nādojums
Raksturīgais a 2 + b +c = 0
vienādojums
Raksturīgā 1 2 1 = 2 = 1, 2 = i
vienādojuma
saknes
Atrisinājuma e 1x, e 2x e x, xe x e x cos x
fundamentālsis e x sin x
tēma
Vispārīgais y = C1e 1x + y = e x (C1 + y = e x (cos x
atrisinājums C2e 2x C2x) + sin x)

48. y 4y 13 y 0
2
4 13 0
1, 2 2 3i
2x
y e C1 cos 3x C2 sin 3x

49.  Lineāra nehomogēna otrās kārtas
diferenciālvienādojuma
y ' ' a1 ( x) y ' a0 ( x) y f ( x)
vispārīgais atrisinājums ir
y y hom y*
kur y hom C1 y1 C 2 y 2
ir atbilstošā homogēnā diferenciālvienādojuma
y ' ' a1 ( x) y ' a0 ( x) y 0
atrisinājums un ir dotā nehomogēnā
diferenciālvienādojuma partikulārais
atrisinājums.

50.  Uzrakstīt atbilstošo homogēno vienādojumu un
atrod tā vispārīgo risinājumu.
 Atkarībā no labās puses funkcijas f(x) un
raksturīgā vienādojuma saknēm uzraksta
nehomogēnā vienādojuma partikulāro
atrisinājumu ar nenoteiktiem koeficientiem.
 Aprēķina nenoteiktos koeficientus tā, lai šis
atrisinājums apmierinātu doto
diferenciālvienādojumu.
 Uzraksta dotā vienādojuma vispārīgo
atrisinājumu kā homogēnā vienādojuma vispārīgā
atrisinājuma un nehomogēnā vienādojuma
partikulārā atrisinājuma summu.

51. f(x) 1,2 y*
Pn(x) 1,2 0 Qn(x)
1 = 0, 2 0 xQn(x)
Ae x
1,2 Me x
1 = , 2 Mxe x
1,2 = Mx2e x
A cos x + B sin x 1,2 i M cos x + Nsin x
1,2 = i x(M cos x + Nsin x)

52. y 2y 3y 3
Homogēnais vienādojums un tā saknes
2
2 3 0 Y C1e 3x
C2 e x
1 3 2 1
y* 3 y* 0 y* 0
3A 3
3x x
A 1 y C1e C2 e 1

53. 2
y y 3x 4
Homogēnais vienādojums un tā saknes
2
0 Y C1 C2 e x
1 0 2 1
2
y* 2
Ax Bx C x y* 3 Ax 2 Bx C
y* Ax 3 2
Bx Cx y* 6 Ax 2 B

54. 2 2
6 Ax 2B 3 Ax 2Bx C 3x 4
3A 3 A 1
6 A 2B 0 B 3
2B C 4 C 2
x 3 2
Y C1 C2 e x 3x 2x

55. y 4y 4y 2e 2 x
Homogēnais vienādojums un tā saknes
2
4 4 0 2x
Y C1 C2 x e
1, 2 2
y* Mx 2 e 2 x y* 2Mxe 2 x 2Mx 2 e 2 x
y* 2Me 2 x 4Mxe 2 x 4Mxe 2 x 4Mx 2 e 2 x

56. 2x 2x 2x 2 2x
2Me 4Mxe 4Mxe 4Mx e
2x 2 2x 2 2x 2x
2Mxe 2Mx e Mx e 2e
2x 2x
2Me 2e
M 1
2x 2 2x
Y C1 C2 x e xe