AACIMP 2011 Summer School. Operational Research Stream. Lecture by Vasyl Gorbachuk.

1. Економіка стимулів
1. Простий приклад двосторонньої торгівлі з
несприятливим відбором
Припустимо, в одного продавця єдиного товару є один
потенційний покупець. Якщо продавець (сторона 1) є оптовим
(типу W (wholesale)), то його цінність (value) V1 (W ) товару рівна
40 [UAH]; якщо продавець є роздрібним (типу R (retail)), то його
цінність V1 ( R) товару рівна 0. Коли покупець (сторона 2) є типу
W, то його цінність V2 (W ) товару рівна 10; Коли покупець є типу
R, то його цінність V2 ( R) товару рівна 50. Значення цінності
товару є приватною інформацією, але кожна сторона знає, що
інша сторона є типу W чи R з незалежною імовірністю 50 %.
Загалом кожна сторона торгівлі може мати континуум типів
[Myerson, Satterthwaite; Myerson 1991, 2007].
Сторона 1 продає товар, а сторона 2 купує його, якщо
(сподівана) ціна (price) P товару задовольняє нерівності
V1 ≤ P ≤ V2 . (1)
Посередник допомагає сторонам 1 і 2 домовитися про
торгівлю, яка має 4 ситуації:
2
W R
W 0: V1 (W ) = 40 > 10 = V2 (W ) 1: V1 (W ) = 40 < 50 = V2 ( R)
1
R 1: V1 ( R) = 0 < 10 = V2 (W ) 1: V1 ( R) = 0 < 50 = V2 ( R)
Таким чином, товар можна продати і купити в усіх ситуаціях,
крім ситуації (W, W), коли обидві сторони є типу W. У ситуації
(W, W) нерівність (1) має ймовірність 0, а у будь-якій іншій
ситуації нерівність (1) може мати (максимальну) ймовірність 1.

2. Якщо посередник рекомендує ціну товару за простим
правилом
V1 + V2
P= , (2)
2
то ціна купівлі-продажу товару може мати такі значення:
V1 (W ) + V2 ( R ) 40 + 50
P (W , R ) = = = 45 ,
2 2
V ( R) + V2 ( R) 0 + 50
P ( R, R ) = 1 = = 25 ,
2 2
V ( R ) + V2 (W ) 0 + 10
P ( R, W ) = 1 = =5.
2 2
Оскільки кожна сторона знає, що інша сторона є типу W чи R
з незалежною імовірністю 50 %, то кожна ситуація відбувається
з імовірністю 25 %, а товар продається і купується з імовірністю
75 %.
Якщо сторона 1 є типу R і повідомляє, що вона є типу R, то її
сподіваний виграш (expected gain) становить
EG1 ( RR) = 0.5 × [ P ( R, W ) − V1 ( R )] + 0.5 × [ P ( R, R) − V1 ( R )] =
= 0.5 × (25 − 0) + 0.5 × (5 − 0) = 15 ; (3)
якщо сторона 1 є типу R і повідомляє, що вона є типу W, то її
сподіваний виграш перевищує її сподіваний виграш EG1 ( R) :
EG1 ( R W ) = 0.5 × [ P (W , R ) − V1 ( R)] = 0.5 × (45 − 0) = 22.5 . (4)
Іншими словами, правило (2) створює стимул для нейтральної
до ризику сторони 1 повідомляти невірну інформацію.
Тому посередник може ввести параметр y до плану (2) так,
що
P (W , R ) = V2 ( R ) − y = 50 − y ,
V1 ( R) + V2 ( R) 0 + 50
P ( R, R ) = = = 25 ,
2 2
P ( R, W ) = y .
Оскільки тоді у ситуації (R, W) нерівність (1) може мати місце з
умовною ймовірністю q ∈ [0,1] , то за симетрії у ситуації (W, R)
нерівність (1) теж може мати місце з ймовірністю q :

3. 2
W R
W 0: V1 (W ) ≤ V2 (W ) q : V1 (W ) ≤ 50 − y ≤ V2 ( R )
1
R q : V1 ( R) ≤ y ≤ V2 (W ) 1: V1 ( R) ≤ 25 ≤ V2 ( R)
Умова участі (participation constraint) сторони 2 у такому
плані – це нерівність
P ( R,W ) = y ≤ V2 (W ) = 10 . (5)
При цьому аналогічно до співвідношення (3)
EG1 ( R R ) = 0.5 q × [ P ( R, W ) − V1 ( R )] + 0.5 × [ P ( R, R ) − V1 ( R)] =
= 0.5 q × ( y − 0) + 0.5 × ( 25 − 0) = 0.5 q y + 12.5 ;
аналогічно до співвідношення (4)
EG1 ( R W ) = 0.5 q × [ P (W , R ) − V1 ( R )] = 0.5 q × (50 − y − 0) =
25 q − 0.5 q y ;
звідси умова інформаційного стимулу (informational incentive
constraint) для сторони 1 повідомляти вірну інформацію – це
умова
0.5 q y + 12.5 = EG1 ( R R ) ≥ EG1 ( R W ) = 25 q − 0.5 q y ,
12.5
25 q − q y ≤ 12.5 , q≤ .
25 − y
Зазначимо, що тоді в силу умови (5)
12.5 12.5 12.5 5
q≤ ≤ = = ,
25 − y 25 − 10 15 6
5
а при y = 10 , q = маємо
6
5 ( 25 − 0.5 × 10) 5 × 20 100
EG1 ( R W ) = q (25 − 0.5 y ) = = = ,
6 6 6
0.5 × 5 × 10 25 + 6 × 12.5 100
EG1 ( R R ) = + 12.5 = = = EG1 ( R W ) .
6 6 6
Даний сумісний за стимулами план (incentive compatible plan)
посередництва має такі ситуації:

4. 2
W R
W 0: V1 (W ) ≤ V2 (W ) 5
: V1 (W ) ≤ 40 ≤ V2 ( R)
6
1
R 5 1: V1 ( R) ≤ 25 ≤ V2 ( R)
: V1 (W ) ≤ 10 ≤ V2 ( R)
6
Однак при цьому плані посередник не домовляється про
взаємовигідну торгівлю з імовірністю
 5 1
(1 − q ) × 0.25 + (1 − q ) × 0.25 = (1 − q) × 0.5 = 1 −  × 0.5 = .
 6 12
що свідчить про певну ex post (класичну) неефективність
розміщення товару між сторонами торгівлі при цьому плані: ex
post, після повідомлення сторонами своїх типів, взаємовигідна
торгівля матиме місце у будь-якій ситуації, крім (W, W).
При цьому плані ex ante сподіваний виграш сторони 1
дорівнює
1  5 5  50 + 150 200 25
× 0 + (40 − 40) + (10 − 0) + (25 − 0)  = = = ,
4  6 6  4×6 24 3
ex ante сподіваному виграшу сторони 2
1  5 5  50 + 150 200 25
× 0 + (50 − 40) + (10 − 10) + (50 − 25) = = = .
4  6 6  4×6 24 3
Будь-який інший сумісний за стимулами план не дає більшого ex
ante сподіваного виграшу кожній стороні. Тому цей план
називають ex ante ефективним за стимулами (incentive
efficient) [Holmstrom, Myerson]. При цьому плані сподіваний
виграш сторони 1 типу W становить
1  5 
EG1 (W ) = × 0 + (40 − 40) = 0 ,
2  6 
а типу R –
1 5  50 + 150 50
EG1 ( R ) = ×  (10 − 0) + (25 − 0)  = = .
2 6  12 3

5. Дещо видозмінимо ex ante ефективний за стимулами план:
2
W R
W 0: V1 (W ) ≤ V2 (W ) 5
: V1 (W ) ≤ 45 ≤ V2 ( R)
8
1
R 5 1: V1 ( R) ≤ 25 ≤ V2 ( R)
: V1 (W ) ≤ 5 ≤ V2 ( R)
8
Будь-який інший сумісний за стимулами план не обиратиметься
кожною стороною, яка вже знає власний тип і ще не знає типу
іншої сторони. Тому видозмінений план називають проміжним
ефективним за стимулами (interim incentive efficient)
[Holmstrom, Myerson]. При цьому плані сподіваний виграш
сторони 1 типу W становить
1  5  25
EG1 (W ) = × 0 + (45 − 40) = ,
2  8  16
а типу R –
1 5  25 + 200 225
EG1 ( R ) = ×  (5 − 0) + (25 − 0) = = .
2 8  16 16
Для сторін типу W найкращим є такий ефективний за
стимулами план [Myerson 1984], що узагальнює торговельний
розв’язок (bargaining solution) Неша [Nash 1950]:
2
W R
W 0: V1 (W ) ≤ V2 (W ) 1
: V1 (W ) ≤ 50 ≤ V2 ( R)
2
1
R 1 1: V1 ( R) ≤ 25 ≤ V2 ( R)
: V1 (W ) ≤ 0 ≤ V2 ( R)
2
При цьому плані сподіваний виграш сторони 1 типу W становить

6. 1  1  10
EG1 (W ) = × 0 + (50 − 40) = = 2.5 ,
2  2  4
а типу R –
1 1  50 25
EG1 ( R ) = ×  (0 − 0) + (25 − 0) = = = 12.5 .
2 2  4 2
Коли за правила (2) сторона 2 чесно повідомляє свій тип, то
сторона 1 завжди повідомляє, що вона є типу W. Коли також
сторона 1 завжди повідомляє, що вона є типу W, а сторона 2
чесно повідомляє свій тип, то такий механізм посередництва
називають звітною рівновагою (reporting equilibrium) для
сторони 1 (продавця):
2
W R
W 0: V1 (W ) ≤ V2 (W ) 1: V1 (W ) ≤ 45 ≤ V2 ( R)
1
R 0: V1 ( R) ≤ V2 (W ) 1: V1 ( R) ≤ 45 ≤ V2 ( R)
Цей план є сумісним за стимулами, бо не бере до уваги
повідомлення сторони 1 і забезпечує купівлю-продаж тоді й
лише тоді, коли сторона 2 є типу R.
Аналогічно звітною рівновагою для сторони 2 (продавця) є
план
2
W R
W 0: V1 (W ) ≤ V2 (W ) 0: V1 (W ) ≤ V2 ( R)
1
R 1: V1 ( R) ≤ 5 ≤ V2 (W ) 1: V1 ( R) ≤ 5 ≤ V2 ( R)
Тут сторона 2 завжди повідомляє, що вона є типу W, а сторона 1
чесно повідомляє свій тип.
Ще однією звітною рівновагою є такий план посередництва:

7. 2
W R
W 0: V1 (W ) ≤ V2 (W ) 0.4 : V1 (W ) ≤ 45 ≤ V2 ( R )
1
R 0.4 : V1 ( R) ≤ 5 ≤ V2 (W ) 0.64 : V1 ( R) ≤ 25 ≤ V2 ( R)
2. Ризикований проект виробництва з моральним
ризиком у менеджменті
Нехай проект виробництва потребує початкового капіталу
K = 100 , дає доход R = 240 у випадку успіху і доход 0 в інших
випадках. Якщо менеджер проекту докладає добрих (good)
зусиль, то ймовірність успіху проекту дорівнює pG = 0.5 ; якщо
менеджер докладає поганих (bad) зусиль, то ймовірність успіху
проекту дорівнює p B = 0.25 , а менеджер дістає свій приватний
виграш (benefit) B = 30 [Tirole]. Цей виграш і зусилля менеджера
не спостерігаються безпосередньо.
Коли зусилля менеджера є добрими, то проект є вигідним при
pG R > K :
120 = 0.5 × 240 > 100 . (1)
Коли зусилля менеджера є поганими, то його виграш
задовольняє умові B < K − p B R :
30 < 100 − 0.25 × 240 = 100 − 60 = 40 . (2)
Позначимо A загальну вартість усіх особистих активів (assets),
які менеджер може інвестувати у проект, причому A < K ; якщо
проект не має успіху, то менеджер втрачає ці активи. Тоді
сподіваний виграш менеджера за добрих зусиль становить
pG w + (1 − pG )(− A) ,
а за поганих зусиль –
B + p B w + (1 − p B )(− A) ,
де w – зарплата (wage) менеджера у випадку успіху проекту.
Звідси випливає обмеження морального ризику (moral hazard
constraint)
pG w + (1 − pG )(− A) ≥ B + p B w + (1 − p B )(− A) . (3)

8. Обмеження участі (partcipation constraint) менеджера у
проекті означає, що його сподіваний виграш за добрих зусиль
невід’ємний:
pG w + (1 − pG )(− A) ≥ 0 .
Звідси випливає ресурсна умова обмеженої відповідальності
(limited liability constraint)
(1 − pG ) A
w≥ ≥ −A. (4)
pG
Коли менеджер докладає добрих зусиль, то сподіваний чистий
прибуток суспільства загалом становить
V = pG ( R − w) + (1 − pG ) A − K .
Чим менша зарплата w , тим більший прибуток V , враховуючи
обмеження (3) і (4). Тому цей прибуток максимізується за
рівності
pG w + (1 − pG )(− A) = B + p B w + (1 − p B )(− A) ,
( pG − p B ) w = (1 − pG ) A + B + (1 − p B )(− A) = B + A ( p B − pG ) ,
B 30
w= −A= − A = 120 − A ,
pG − p B 0.5 − 0.25
де припускається, що
B
A≤ .
pG − p B
Тоді ліва частина обмеження (3) рівна
pG w + (1 − pG )(− A) = 0.5 × (120 − A) − (1 − 0.5) A = 60 − A ,
звідки
V = pG R − K − [ pG w − (1 − pG ) A] = 0.5 × 240 − 100 − (60 − A) =
= A − 40 ,
де вважається, що
A ≥ 40 = 0.4 K .

9. 3. Несприятливий відбір як ризикований проект
виробництва з моральним ризиком у менеджменті
Припустимо, менеджер може бути доброго чи поганого типу.
Менеджер знає свій тип, але ця інформація є приватною. Тоді pG
та p B – це умовна ймовірність успіху проекту, коли менеджер є
доброго та поганого типу відповідно. Аналогічно до умов (1), (2)
вважаємо, що
p B R < K < pG R .
Нехай α – це ймовірність того, що менеджер є доброго типу.
Якщо менеджер повідомляє, що він є типу Z , то інвестор
здійснює проект з імовірністю q Z ∈ [0,1] і сплачує менеджеру
зарплату wZ у випадку успіху проекту, Z = G , B . Коли проект не
досягає успіху, то менеджер втрачає активи A . Сподіваний
прибуток інвестора становить
V = α qG [ pG ( R − wG ) + (1 − pG ) A − K ] +
+ (1 − α) q B [ p B ( R − wB ) + (1 − p B ) A − K ] .
Обмеження участі менеджера у проекті – це нерівності
p Z wZ − (1 − p Z ) A ≥ 0 , Z = G, B .
Крім того, умови інформаційних стимулів до чесного
повідомлення менеджером свого типу – це нерівності
qG [ pG wG − (1 − pG ) A] ≥ q B [ pG wB − (1 − pG ) A] ,
q B [ p B wB − (1 − p B ) A] ≥ qG [ p B wG − (1 − p B ) A] .
Нехай для простоти A = 0 .
Якщо інвестор-монополіст максимізує по qG , q B , wG , wB свій
сподіваний прибуток V за цих обмежень, то обирає qG = 1 , q B = 0
, wG = 0 = wB .

10. Якщо інвестор працює на конкурентному ринку, то V = 0 , але
тоді qG = 1 , q B = 0 не є розв’язком.