Πρότυπο Πειραματικό Δημοτικό Σχολείο Σερρών, http://www.peirserron.gr

1. Πρακτικά Συνεδρίου, 27 – 28 Απριλίου 2013
1ο
Πανελλήνιο Συνέδριο ΠΠΣ Α/θμιας και Β/θμιας Εκπ/σης
«Δραστηριότητες με νοερούς υπολογισμούς - Παιδαγωγικές
και Διδακτικές προεκτάσεις»
Ι. Κωδωνάς
Πρότυπο Πειραματικό Δ. Σ. Σερρών «Κων. Καραμανλής», gkwdwnas@sch.gr
Περίληψη
Οι νοεροί υπολογισμοί είναι ένα από τα τρία εργαλεία, τα οποία χρησιμοποιούν συνήθως οι άνθρωποι, όταν
θέλουν να επιλύσουν καθημερινά προβλήματα (τα άλλα δύο εργαλεία είναι οι αριθμομηχανές-κομπιουτεράκια
και το χαρτί με το μολύβι). Οι νοεροί υπολογισμοί είναι η διαδικασία του υπολογισμού με ακρίβεια ενός
αριθμητικού αποτελέσματος χωρίς τη βοήθεια κάποιου εξωτερικού μέσου υπολογισμού ή γραφής. Έρευνες
έχουν δείξει ότι ο δάσκαλος θα πρέπει να οδηγεί τα παιδιά σε διδακτικές καταστάσεις που θα προέρχονται από
την καθημερινή τους ζωή, να γνωρίζει τις προϋπάρχουσες γνώσεις, τις ικανότητες και τα ενδιαφέροντα των
παιδιών και να παρέχει «ευελιξία» στις στρατηγικές που θα ακολουθούν τα παιδιά στην επίλυση των
προβλημάτων – πράξεων. Η πειραματική διδασκαλία, πραγματοποιήθηκε με την προτροπή και εποπτεία του
καθηγητή κ. Λεμονίδη και εφαρμόστηκε στο Πρότυπο Πειραματικό Δ. Σ. Σερρών «Κωνσταντίνος
Καραμανλής» και το δείγμα αποτέλεσαν οι 18 μαθητές της Α΄2 τάξης. Ο στόχος της διδασκαλίας ήταν να
οδηγήσει τους μαθητές προοδευτικά από τις στρατηγικές υπολογισμού με αντικείμενα προς στρατηγικές πιο
αφηρημένες, τις νοερές στρατηγικές. Βασικό εποπτικό υλικό-εργαλείο ήταν το δίχρωμο κομπολόι το οποίο
αποτελούνταν από 20 χάντρες (ανά 5 ήταν διαφορετικού χρώματος). Ιδιαίτερη βαρύτητα δόθηκε στην Κενή
Αριθμητική Γραμμή που αποτέλεσε ένα χρήσιμο εργαλείο για τη μάθηση των νοερών στρατηγικών στην
πρόσθεση και αφαίρεση. Ο δάσκαλος κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας ζητούσε από τους μαθητές να
εξηγήσουν τον τρόπο με τον οποίο υπολόγιζαν το αποτέλεσμα (μεταγνωστική διαδικασία). Συμπερασματικά, η
κατάκτηση των μαθηματικών εννοιών μέσω της χρήσης των στρατηγικών των νοερών υπολογισμών απόκτησε
ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τους μαθητές.
Λέξεις κλειδιά: κομπολόι, κενή αριθμητική γραμμή.
1. Εισαγωγή
Τα μαθηματικά και ο τρόπος διδασκαλίας τους αποτέλεσαν και αποτελούν θέμα συζήτησης των
σύγχρονων επιστημόνων. Οι σύγχρονες αντιλήψεις σχετικά με τη διδασκαλία και τη μάθηση των
Μαθηματικών θεωρούν τα Μαθηματικά όχι μόνο ως αποτέλεσμα, αλλά και ως δραστηριότητα μέσω
της οποίας παράγεται το αποτέλεσμα αυτό. Με αυτή την έννοια τα Μαθηματικά δεν αποτελούν μόνο
ένα σύστημα γνώσεων, αλλά και μια διαδικασία σύλληψης, οργάνωσης και τεκμηρίωσης αυτών των
γνώσεων. Η εξάσκηση στους νοερούς υπολογισμούς, ως δραστηριότητα μέσα στην τάξη, ανήκει σε
αυτού του είδους τις διαδικασίες, συμβάλλοντας στο μέγιστο στην πραγμάτωση των στόχων που
θέτει η σύγχρονη διδακτική των Μαθηματικών (Λυγούρας, Γ., 2006). Δημιουργούνται ερωτήματα,
όπως: Γιατί τα παιδιά πρέπει να διδάσκονται τους νοερούς υπολογισμούς και τις στρατηγικές τους;
Πώς οι νοεροί υπολογισμοί πρέπει να διδάσκονται στο σχολείο; Μέσω των νοερών υπολογισμών
ενθαρρύνεται το ενδιαφέρον, αναπτύσσεται η δημιουργικότητα και η εφευρετικότητα των παιδιών;
Έτσι, ξεκίνησε μια πειραματική παρέμβαση στην Α΄2 τάξη του Πρότυπου Πειραματικού Δημοτικού
Σχολείου Σερρών «Κων. Καραμανλής» με τη βοήθεια και την προτροπή του καθηγητή κ. Λεμονίδη.
Το Θεωρητικό μέρος αυτής της πειραματικής παρέμβασης αναφέρεται στο τι είναι νοεροί
υπολογισμοί, στη σημασία των νοερών υπολογισμών, στις στρατηγικές των νοερών υπολογισμών και
στη διδασκαλία αυτών. Η έρευνα κινήθηκε σε δύο επίπεδα: Διερευνήθηκε πρώτον η διδασκαλία και η
παρέμβαση στην τάξη σχετικά με την κενή αριθμητική γραμμή και τη χρήση της στους αριθμούς και
κατά δεύτερον η διδασκαλία και η παρέμβαση στην τάξη σχετικά με την κενή αριθμητική γραμμή και
τη χρήση της στις πράξεις. Η εργασία ολοκληρώνεται με τα εμπειρικά συμπεράσματα της έρευνας.

2. 1ο Συνέδριο Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων Α/θμιας και Β/θμιας Εκπ/σης
Πρακτικά Συνεδρίου, 27 – 28 Απριλίου 20132
2. 2.ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ
2.1.Τι είναι νοεροί υπολογισμοί
Η νοερή αρίθμηση εστιάζει τη λειτουργία της στην παραγωγή γρήγορων και σωστών λύσεων. Στη
διδακτική πράξη, στο καθημερινό μάθημα των μαθηματικών, ο/η δάσκαλος/α πρέπει να δίνει έμφαση
όχι μόνο στην ορθότητα των απαντήσεων των μαθητών σε νοερά προβλήματα, αλλά κυρίως στις
νοερές διαδικασίες(στρατηγικές), που χρησιμοποιούνται από τους μαθητές για την εύρεση των
απαντήσεων. Από τα παραπάνω καταλαβαίνουμε ότι: «Νοερός υπολογισμός είναι ο υπολογισμός που
πραγματοποιείται νοερά και με τη χρήση στρατηγικών. Παράγει μια ακριβή απάντηση.
Πραγματοποιείται συνήθως χωρίς τη χρήση εξωτερικών μέσων όπως χαρτί και μολύβι, αν και μπορεί
να χρησιμοποιείται το χαρτί και το μολύβι, για «σύντομες σημειώσεις» που υποστηρίζουν τη μνήμη
(Λεμονίδης, 2013).
2.2.Γιατί είναι σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί;
Οι βασικοί λόγοι για τους οποίους είναι σημαντικοί και πρέπει να διδάσκονται οι νοεροί υπολογισμοί
είναι οι εξής:
Α. Η χρησιμότητα και η εφαρμογή τους στην πράξη: Χρησιμοποιούνται πολύ στην καθημερινή ζωή
και μάλιστα περισσότερο από τους γραπτούς υπολογισμούς.
Β. Η συμβολή τους σε άλλες μαθηματικές έννοιες: Η εξάσκηση με αυτούς δημιουργεί καλύτερη και
βαθύτερη κατανόηση της αίσθησης του αριθμού. Βοηθούν στην κατανόηση και την ανάπτυξη των
γραπτών μεθόδων υπολογισμού. Αποτελούν την βάση για να αναπτυχθούν οι ικανότητες των κατ’
εκτίμηση υπολογισμών. Η νοερή εργασία αναπτύσσει ικανότητες για τη λύση προβλημάτων.
Γ. Η συμβολή τους σε γνωστικές ικανότητες: Με τους νοερούς υπολογισμούς εξασκείται η ικανότητα
αναπαράστασης και χρήσης αφηρημένων εννοιών στη βραχύχρονη μνήμη, ασκείται επίσης και η
ικανότητα της ευελιξίας. Ασκείται, τέλος και η μεταγνωστική ικανότητα των μαθητών, όταν αυτοί
παρουσιάζουν τους τρόπους με τους οποίους υπολόγισαν (Λεμονίδης, 2013).
2.3.Οι στρατηγικές πρόσθεσης και αφαίρεσης με αριθμούς μέχρι το 20
Οι περισσότερες έρευνες που πραγματοποιήθηκαν για να προσδιορίσουν τις διαδικασίες ή
στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά στις προσθέσεις και αφαιρέσεις μονοψήφιων αριθμών
συμφωνούν ότι οι στρατηγικές αυτές αναπτύσσονται σύμφωνα με τα παρακάτω τρία επίπεδα:
1ο επίπεδο. Στρατηγικές με υλικά ή αισθητοποίησης των αριθμών. Σε αυτό το πρώτο επίπεδο τα
παιδιά έχουν ανάγκη από την αισθητοποίηση των αριθμών, για να πραγματοποιήσουν τις πράξεις.
Χρησιμοποιούν, δηλαδή αντικείμενα ή τα δάκτυλά τους, για να κατασκευάσουν ένα άμεσο μοντέλο
της πράξης της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης που τους δίνεται. Για παράδειγμα, στην πρόσθεση 2+3,
το παιδί βγάζει και μετράει ένα προς ένα δύο δάχτυλα, στη συνέχεια βγάζει και μετράει άλλα τρία
δάχτυλα και στο τέλος μετράει, ένα προς ένα, από την αρχή όλα τα δάχτυλα που έβγαλε για να βρει
το αποτέλεσμα. Αυτή τη στρατηγική την ονομάζουμε απαρίθμηση όλων ή επαναρίθμηση. Τις
στρατηγικές σε αυτό το επίπεδο τις ονομάζουμε στρατηγικές με υλικά και διαχωρίσουμε εκείνες κατά
τις οποίες τα παιδιά χρησιμοποιούν τα δάκτυλά τους (Δάκτυλα) από εκείνες που χρησιμοποιούν
αντικείμενα (Αντικείμενα), για να μοντελοποιήσουν την πράξη. Οι στρατηγικές αυτές είναι οι πρώτες
που χρησιμοποιούν τα παιδιά για να εκτελούν προσθέσεις ή αφαιρέσεις και τις συναντούμε στο
νηπιαγωγείο και τις πρώτες τάξεις του δημοτικού.
2ο επίπεδο. Στρατηγικές αρίθμησης. Στο επίπεδο αυτό τα παιδιά, για να υπολογίσουν τις προσθέσεις
και αφαιρέσεις, χρησιμοποιούν την ακολουθία των αριθμών (αριθμογραμμή) σε αντίθεση με το
προηγούμενο επίπεδο, κατά το οποίο απαριθμούσαν μόνο αντικείμενα. Γι’ αυτόν τον λόγο τις
στρατηγικές αυτές τις ονομάζουμε στρατηγικές αρίθμησης. Για παράδειγμα, στην πρόσθεση 2+5, τα
παιδιά μπορεί να αριθμήσουν ένα προς ένα τόσα βήματα όσα δείχνουν οι αριθμοί της πράξης
ξεκινώντας από τον πρώτο αριθμό 1, 2, … 3, 4, 5, 6, 7 (Αρίθμηση από τον πρώτο όρο).
3ο επίπεδο. Στρατηγικές ανάκλησης ή κατασκευαστικές στρατηγικές. Στο επίπεδο αυτό τα παιδιά
ανακαλούν από τη μνήμη τους γνωστά αριθμητικά γεγονότα και τα επεξεργάζονται νοερά, για να
υπολογίσουν κάποια άλλα. Για παράδειγμα, την πρόσθεση 5+6, κάποια παιδιά μπορεί να την
υπολογίσουν ως εξής: 5+5+1=11, ανακαλώντας δηλαδή από την μνήμη τους τα γνωστά αριθμητικά

3. 1ο Συνέδριο Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων Α/θμιας και Β/θμιας Εκπ/σης
Πρακτικά Συνεδρίου, 27 – 28 Απριλίου 2013 3
γεγονότα: 6=5+1 και 5+5=10. Στο επίπεδο αυτό διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις στρατηγικών:
Στρατηγικές άμεσης ανάκλησης, κατά τις οποίες το παιδί σε μια πράξη, για παράδειγμα 3+3, γνωρίζει
το αποτέλεσμα απέξω. Γνωρίζει, δηλαδή, την πράξη και το αποτέλεσμά της και την ανακαλεί αμέσως
από τη μνήμη μακράς διάρκειας. Έχουμε, επίσης, τις κατασκευαστικές στρατηγικές ή παραγωγής
πράξεων, κατά τις οποίες το παιδί, για να βρει το αποτέλεσμα μιας πράξης, ανακαλεί από τη μνήμη
του γνωστά αριθμητικά γεγονότα και με αυτά κατασκευάζει την απάντηση. Ο διαχωρισμός αυτός των
τριών επιπέδων δεν είναι απόλυτος. Μπορεί να υπάρχουν στρατηγικές που συνδυάζουν συμπεριφορές
από δύο διαφορετικά επίπεδα, για παράδειγμα, διαδικασίες υπολογισμού με δάκτυλα, κατά τις οποίες
το παιδί υπολογίζει το αποτέλεσμα (3ο επίπεδο), αλλά το επιβεβαιώνει χρησιμοποιώντας τα δάχτυλά
του(2οεπίπεδο) (Λεμονίδης, 2013).
2.4.Η διδασκαλία των νοερών υπολογισμών
Η διδασκαλία των νοερών υπολογισμών θεωρείται ένα από τα βασικά αντικείμενα των σύγχρονων
σπουδών. Επομένως, θα πρέπει να διερευνηθεί ο τρόπος που πραγματοποιείται η διδασκαλία και η
μάθηση των νοερών υπολογισμών. Στη βιβλιογραφία διακρίνονται δύο προσεγγίσεις σχετικά με τη
διδασκαλία των νοερών υπολογισμών. Η πρώτη υποστηρίζει ότι δεν πρέπει να διδάσκονται άμεσα οι
στρατηγικές των νοερών υπολογισμών και η διδασκαλία πρέπει να επικεντρώνεται περισσότερο στις
άτυπες στρατηγικές των μαθητών, που ανακαλύπτουν μόνοι τους ή χρησιμοποιούν για να λύσουν
υπολογιστικά προβλήματα. Η δεύτερη θεωρεί ότι κάποιες ειδικές στρατηγικές πρέπει να είναι
αντικείμενο διδασκαλίας (Λεμονίδης, 2013).
Εμείς πιστεύουμε ότι μπορούμε να έχουμε μια επιλεκτική λογική σε σχέση με τις θεωρίες, δηλαδή
δεν πρέπει να τις ακολουθούμε πιστά σε όλες τις καταστάσεις, αλλά να τις συνδυάζουμε και να τις
προσαρμόζουμε ανάλογα με τις εκάστοτε συνθήκες (Λεμονίδης, 2013).
3.ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ
Η πειραματική παρέμβαση, πραγματοποιήθηκε με την προτροπή και εποπτεία του καθηγητή κ.
Λεμονίδη και εφαρμόστηκε στο Πρότυπο Πειραματικό Δ. Σ. Σερρών «Κωνσταντίνος Καραμανλής».
Το δείγμα αποτέλεσαν οι 18 μαθητές της Α΄2 τάξης και εφαρμόστηκε από τον Οκτώβριο έως το
Μάρτιο του 2013.
Στην αρχή καταγράφηκαν οι γνώσεις και οι δεξιότητες των μαθητών προφορικά. Για τον σκοπό
αυτόν επιλέχθηκε το παρακάτω παιχνίδι.
Τίτλος: «ΑΡΙΘΜΟΙ»
Το παιχνίδι παίχτηκε ατομικά. Ο κάθε μαθητής/τρια εξετάστηκε και καταγράφτηκαν οι γνώσεις
του/της (στο πρωτόκολλο συνέντευξης του μαθητή). Η εξέταση έγινε προφορική στην αίθουσα
διδασκαλίας και σε απεριόριστο χρόνο, ώστε οι μαθητές να μην έχουν άγχος και να έχουν τη
δυνατότητα να σκεφτούν ελεύθερα.
Υλικά – Μέσα: Τάπες, καρτέλες με αριθμούς, κόλλα Α4-μολύβι, αυτοκινητάκια πλαστικά, μπαλάκια,
απομιμήσεις νομισμάτων των 20 και 50 λεπτών και του 1, 2 και 5 Ευρώ.
Μετά από τη διήγηση του παραμυθιού για τη χώρα των αριθμών, εξετάστηκαν κάποιες αριθμητικές
έννοιες, ικανότητες και δεξιότητες, όπως:
• Προφορική αρίθμηση
• Απαρίθμηση ή καταμέτρηση συλλογών
• Ανάγνωση αριθμητικών ψηφίων
• Γραφή ψηφίων
• Εκτέλεση της πράξης της πρόσθεσης
• Εκτέλεση της πράξης της αφαίρεσης
• Ικανότητα επίλυσης προβλημάτων πρόσθεσης ή αφαίρεσης
• Αναγνώριση των νομισμάτων του Ευρώ
Από τις απαντήσεις των παιδιών διαπιστώθηκε ότι δεν χρησιμοποιήθηκαν οι διάφορες στρατηγικές
των νοερών υπολογισμών. Ακόμη και στις περιπτώσεις που βρέθηκε με ακρίβεια ένα αριθμητικό

4. 1ο Συνέδριο Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων Α/θμιας και Β/θμιας Εκπ/σης
Πρακτικά Συνεδρίου, 27 – 28 Απριλίου 20134
αποτέλεσμα αυτό επιτυγχάνονταν με τη στρατηγική της αισθητοποίησης των αριθμών (χρήση
δακτύλων, αντικειμένων).
3.1.Διδασκαλία και παρέμβαση στην τάξη σχετικά με την κενή αριθμητική γραμμή και
τη χρήση της στους αριθμούς.
Στην αρχή παρουσιάστηκαν οι αριθμοί με διάφορες αναπαραστάσεις, ώστε τα παιδιά να περάσουν
άνετα από τη μια μορφή αναπαράστασης στην άλλη. Έτσι, χρησιμοποιήθηκαν διάφορες εικόνες, όπου
έδειχναν κάποιο αριθμό αντικείμενων και αντίστοιχα έλεγαν τον αριθμό. Έπειτα, κάθε αριθμός
παρουσιάστηκε με διάφορα αντικείμενα (αισθητοποίηση του αριθμού), όπως καπάκια από
μπουκαλάκια νερών ή αναψυκτικών που έφεραν τα παιδιά και τα τοποθετούσαν σε πλαστικά
πιατάκια. Οι μαθητές έβαζαν τόσα καπάκια στα πλαστικά πιατάκια όσα τους ζητούνταν κάθε φορά.
Αυτό το παιχνίδι το έπαιξαν και μεταξύ τους (ανά δύο ή σε ομάδες) και σχημάτισαν πιατάκια, όπως
στην επόμενη εικόνα (Εικόνα 1):
Εικόνα 1: Μαθαίνω τους αριθμούς
Στη συνέχεια, κατασκευάστηκε ένα κομπολόι (σχοινί με χάντρες). Κάθε μαθητής είχε το δικό του
κομπολόι. Αυτό αποτελούνταν από 20 χάντρες οι οποίες είναι ανά 5 διαφορετικού χρώματος
(κόκκινο- πράσινο) και είχαν τη δομή των δαχτύλων. Τα παιδιά το χρησιμοποιούσαν για να
κατανοήσουν αισθητικά τους αριθμούς, βγάζοντας κάθε φορά τόσες χάντρες όσες τους ζητιούνταν
από τον δάσκαλο ή από τα άλλα παιδιά. Το κομπολόι ήταν αυτό το εποπτικό υλικό που βοήθησε να
γίνει η μετάβαση στην διαβαθμισμένη αριθμητική γραμμή και από εκεί στην κενή αριθμητικά
γραμμή, όπως στην επόμενη εικόνα (Εικόνα 2):
Εικόνα 2: Κομπολόι
Επιπλέον, παρουσιάστηκαν στα παιδιά οι αριθμοί με τέτοιο τρόπο, ώστε να προκύπτει σαφώς ότι ο
επόμενος αριθμός δημιουργείται από τον άλλο με πρόσθεση μιας μονάδας έχοντας απώτερο σκοπό η
ενέργεια αυτή να βοηθήσει, αργότερα στη διδασκαλία της πρόσθεσης των αριθμών.
Κατασκευάστηκαν καρτέλες που απεικόνιζαν τους αριθμούς μέχρι το 5 σε μορφή ζαριού, όπως στην
επόμενη εικόνα (Εικόνα 3). Έτσι, τα παιδιά έδειχναν τα αντίστοιχα δάχτυλα ανάλογα με την καρτέλα
που έβλεπαν.

5. 1ο Συνέδριο Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων Α/θμιας και Β/θμιας Εκπ/σης
Πρακτικά Συνεδρίου, 27 – 28 Απριλίου 2013 5
Εικόνα 3: Το ζάρι
Στη φάση αυτή της διδασκαλίας, παρουσιάστηκε στα παιδιά η διαβαθμισμένη αριθμητική γραμμή με
σκοπό τα παιδιά να εξασκηθούν στην προφορική αρίθμηση, να απομνημονεύσουν τη γραφή κάθε
αριθμού και να καταλάβουν ότι κάθε αριθμός δημιουργείται από τον προηγούμενο του με την
πρόσθεση μίας μονάδας. Κατασκευάστηκαν δύο διαβαθμισμένες αριθμογραμμές: η μία τοποθετήθηκε
στο πάτωμα και η άλλη αναρτήθηκε στον τοίχο πάνω από τον πίνακα για να μπορούν να τη βλέπουν
όλα τα παιδιά, όπως στην επόμενη εικόνα (Εικόνα 4):
Εικόνα 4: Η διαβαθμισμένη αριθμητική γραμμή
Ακόμα, κατασκευάστηκαν εταιρικές αριθμογραμμές για κάθε θρανίο. Αυτές οι αριθμογραμμές
επεκτεινόταν κάθε φορά ανάλογα με το μέγεθος των αριθμών που μαθαίναμε (έως το 10,50,70 και
τέλος το 100).
Στην συνέχεια έγινε η εισαγωγή της κενής αριθμητικής γραμμής με συστηματικό τρόπο, ώστε τα
παιδιά να κατακτήσουν νοερά την έννοια των αριθμών. Τα παιδιά δούλεψαν και εξασκήθηκαν στην
κενή αριθμητική γραμμή με την τοποθέτηση των αριθμών, τη συμπλήρωση της γραμμής και
ασκήσεις με άλματα προς έναν αριθμό . Η κενή αριθμητική γραμμή αποτέλεσε το εποπτικό μέσο για
να μεταβούν τα παιδιά στον κόσμο των νοερών υπολογισμών, όπως στην επόμενη εικόνα (Εικόνα 5):
Εικόνα 5: Η Κενή Αριθμητική Γραμμή

6. 1ο Συνέδριο Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων Α/θμιας και Β/θμιας Εκπ/σης
Πρακτικά Συνεδρίου, 27 – 28 Απριλίου 20136
Σημαντικές δραστηριότητες που πραγματοποιήθηκαν για τη διδασκαλία και την παρέμβαση στην
τάξη σχετικά με την κενή αριθμητική γραμμή και τη χρήση της στους αριθμούς ήταν:
• Η καθημερινή εξάσκηση των παιδιών στην ευθεία και αντίστροφη μέτρηση, ώστε να γίνουν ικανά
να αριθμούν ανά ένα αλλά και με άλματα σε μεγαλύτερους αριθμούς.
• Η αρίθμηση ανά ένα ξεκινώντας από ένα δεδομένο αριθμό. Για παράδειγμα, ξεκινούσαν από το 3
και ανέβαιναν, ξεκινούσαν από το 7 και κατέβαιναν.
• Ακόμα, η αρίθμηση με άλματα, όπου τα παιδιά ανέβαιναν ή κατέβαιναν στην αρχή ανά 1 μετά ανά
2, στη συνέχεια ανά 5 και αργότερα ανά 10. Αυτή η δραστηριότητα έγινε με σκοπό να
προετοιμαστούν για τις αριθμητικές πράξεις. Τα παιδιά πραγματοποίησαν άλματα πρώτα πάνω σε μια
φανταστική γραμμή στο πάτωμα και αργότερα πάνω σε μια φανταστική γραμμή στον πίνακα.
Έπαιξαν το παιχνίδι: «Σε ποιον αριθμό πηδώ;». Για παράδειγμα, ένας μαθητής έλεγε τον αριθμό της
αρεσκείας του καθώς και τα πηδηματάκια (πίσω- μπροστά) που πρέπει να κάνουν τα υπόλοιπα
παιδιά και αυτά εκτελούσαν την πράξη.
• Η συμπλήρωση μιας ημιτελής αριθμητικής γραμμής στην οποία τα παιδιά έπρεπε να
συμπληρώσουν τους αριθμούς που έλειπαν. Υπήρχαν κάποιοι αριθμοί και συμπλήρωναν τους
αριθμούς που έλειπαν. Το παιχνίδι «μάντεψε τον αριθμό». Ένας μαθητής σημείωνε με ένα κομμάτι
πλαστελίνης έναν αριθμό πάνω στην αριθμογραμμή του. Ένας άλλος χωρίς να βλέπει προσπαθούσε
να μαντέψει ποιος αριθμός είναι θέτοντας όσο το δυνατό λιγότερες ερωτήσεις.
• Η προφορική αρίθμηση, απαρίθμηση καθώς και η αναγνώριση αριθμών.
Με αυτές τις δραστηριότητες η κενή αριθμητική γραμμή αποτέλεσε τη βάση πάνω στην οποία
οικοδομήθηκε η μάθηση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης μέσω των νοερών υπολογισμών. Η κενή
αριθμητική γραμμή βοήθησε, ιδιαίτερα τους μαθητές με δυσκολίες στα μαθηματικά, αφού εκτός της
οπτικής επαφής υπήρχε και η φανταστική πλευρά. Επίσης, τα υλικά που χρησιμοποιήθηκαν
(κομπολόι, δάχτυλα, καπάκια, αριθμογραμμή) βοήθησαν ώστε τα παιδιά να μην αριθμούν ένα προς
ένα αλλά να έχουν μια ολιστική θεώρηση με βάση την αθροιστική ανάλυση των αριθμών. Έτσι, τα
παιδιά κατανόησαν και έμαθαν τους αριθμούς.
3.2.Διδασκαλία και παρέμβαση στην τάξη σχετικά με την κενή αριθμητική γραμμή και
τη χρήση της στις πράξεις.
Στην αρχή, δόθηκε ιδιαίτερη σημασία στην προσθετική ανάλυση των αριθμών μέχρι το 5. Τα παιδιά
είχαν μπροστά τους 5 καπάκια από μπουκαλάκια νερού και 2 πλαστικά πιατάκια και τους ζητήθηκε
να βάλουν τα καπάκια στα πιάτα με διαφορετικούς τρόπους, όπως στην επόμενη εικόνα (Εικόνα 6):
Εικόνα 6: Προσθετική ανάλυση αριθμών
Στη συνέχεια τα παιδιά με το κομπολόι προσπάθησαν να βρουν όλους τους δυνατούς συνδυασμούς
πρόσθεσης, χρησιμοποιώντας τις χάντρες διαφορετικού χρώματος. Για παράδειγμα, 2 πράσινες και 3
κόκκινες, 1 πράσινη και 4 κόκκινες κ.τ.λ. Δηλαδή, τα παιδιά έμαθαν να χρησιμοποιούν αντικείμενα ή
τα δάχτυλά τους για να κατασκευάσουν ένα άμεσο μοντέλο της πράξης της πρόσθεσης ή της
αφαίρεσης. Μετά από αυτές τις δραστηριότητες προχωρήσαμε στη γραφή της πρόσθεσης με σύμβολα
(+ και =). Τα παιδιά παίξανε το παιχνίδι που προτείνει το βιβλίο του δασκάλου «Λογοτέχνες,
Ζωγράφοι και Μαθηματικοί». Τα παιδιά χωρίστηκαν σε τρεις ομάδες: την ομάδα των λογοτεχνών,
την ομάδα των ζωγράφων και την ομάδα των μαθηματικών. Οι λογοτέχνες για να εκφραστούν

7. 1ο Συνέδριο Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων Α/θμιας και Β/θμιας Εκπ/σης
Πρακτικά Συνεδρίου, 27 – 28 Απριλίου 2013 7
χρησιμοποιούσαν μόνο τη γλώσσα, οι ζωγράφοι μόνο τις εικόνες και οι μαθηματικοί μόνο τα
σύμβολα. Κάθε ομάδα έλεγε ένα πρόβλημα πρόσθεσης στη γλώσσα της και το μεταβίβαζε στις άλλες
που το μετέφραζαν στη δική τους γλώσσα.
Στη συνέχεια με βάση τις δυνατότητες που δόθηκαν με το κομπολόι και τα καπάκια ως οργανωμένα
υλικά, η πλειοψηφία των παιδιών προχώρησε από τις υλικές διαδικασίες στις διαδικασίες μέτρησης
με τη χρήση της διαβαθμισμένης αριθμητικής γραμμής. Τοποθετήθηκε μια αριθμογραμμή πάνω στον
πίνακα για να τη βλέπουν τα παιδιά και να τη χρησιμοποιούν όταν τους ήταν απαραίτητη. Ακόμα,
υπήρχαν αριθμογραμμές σε όλα τα θρανία για να μπορούν να δουλεύουν ατομικά ή εταιρικά πάνω σε
αυτή. Τα παιδιά αριθμούσαν πάνω στην αριθμογραμμή και το κομπολόι, ταυτόχρονα, ώστε να έχουν
την εποπτεία της ποσότητας του αριθμού, όπως στην επόμενη εικόνα (Εικόνα 7):
Εικόνα 7: Αριθμογραμμή θρανίου
Μετά την εξοικείωση των παιδιών με τη διαβαθμισμένη αριθμητική γραμμή δόθηκε η κενή
αριθμητική γραμμή. Τα παιδιά έχοντας στη φαντασία τους την αριθμητική γραμμή έκαναν όλους τους
δυνατούς συνδυασμούς και έβρισκαν όλες τις λύσεις των πράξεων και προβλημάτων. Σημαντικό
είναι να αναφέρουμε ότι δεν προτάθηκε κάποιο συγκεκριμένος τρόπος υπολογισμού αλλά τα παιδιά
ήταν ελεύθερα να επιλέξουν και να εφαρμόσουν εκείνες τις στρατηγικές που τους ταίριαζαν. Μέσα
στην τάξη παρουσιάζονταν και συζητιούνταν οι διάφοροι τρόποι υπολογισμού. Ο στόχος ήταν κάθε
παιδί να είναι ευέλικτο στους υπολογισμούς, δηλαδή να χρησιμοποιεί τη δική του στρατηγική και να
μην ακολουθεί τυποποιημένους κανόνες, που δεν καταλαβαίνει και δίνουν «ως δια μαγείας» τη
σωστή απάντηση. Ακολούθησε η προσθετική ανάλυση των αριθμών 6 έως 10 με τον ίδιο τρόπο που
περιγράψαμε παραπάνω. Τα παιδιά κατασκεύασαν σπιτάκια, σε κάθε σπιτάκι που αντιπροσώπευε κι
έναν αριθμό έλεγαν και έγραφαν όλους τους δυνατούς συνδυασμούς. Τα σπιτάκια αναρτήθηκαν στον
πίνακα ανακοινώσεων, όπως στην επόμενη εικόνα (Εικόνα 8):
Εικόνα 8: Τα σπιτάκια
Μετά την κατάκτηση της διαδικασίας της πρόσθεσης ήρθε η σειρά της αφαίρεσης με μικρό και
μεγάλο αφαιρετέο. Τα παιδιά δούλεψαν σε διάφορες καταστάσεις (υπόλοιπο-διαφορά-συμπλήρωμα).
Εδώ ακολουθήθηκε η ίδια πορεία διδασκαλίας, δηλαδή στην αρχή με κάποιο εποπτικό υλικό, στη
συνέχεια με τη χρήση της διαβαθμισμένης αριθμητικής γραμμής και τέλος με τη χρήση της κενής
αριθμογραμμής. Τα παιδιά έφτασαν στο επίπεδο να ανακαλούν από τη μνήμη τους γνωστά

8. 1ο Συνέδριο Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων Α/θμιας και Β/θμιας Εκπ/σης
Πρακτικά Συνεδρίου, 27 – 28 Απριλίου 20138
αριθμητικά γεγονότα και να τα επεξεργάζονται νοερά, για να υπολογίσουν κάποια άλλα. Για
παράδειγμα, 5-3=2 γνωρίζοντας ότι 3+2=5 ή 2+3=5.
Η κενή αριθμητική γραμμή χρησιμοποιήθηκε και στη διάκριση των διψήφιων αριθμών σε δεκάδες
και μονάδες. Για δραστηριότητα χρησιμοποιήθηκε χαρτί του μέτρου, μαρκαδόροι διαφόρων
χρωμάτων και σπίρτα. Τα παιδιά χωρίστηκαν σε ομάδες, σε κάθε ομάδα δόθηκε κάποιος διψήφιος
αριθμός σπίρτων και τα μέτρησαν. Έπειτα, τα παιδιά ομαδοποίησαν τα σπίρτα σε δεκάδες και
μονάδες. Αφού διάλεξαν το χρώμα του μαρκαδόρου, σηκώνονταν στον πίνακα που είχε κολληθεί το
χαρτί του μέτρου. Εκεί έλεγαν πρώτα προφορικά τον αριθμό των σπίρτων, έγραφαν τον αριθμό, αλλά
και τις μονάδες και τις δεκάδες που αποτελούνταν αυτός ο αριθμός, αντίστοιχα. Ταυτόχρονα
κολλούσαν τα σπίρτα όπως τα είχαν ομαδοποιήσει, όπως την επόμενη εικόνα (Εικόνα 9):
Εικόνα 9: Διάκριση διψήφιων αριθμών
Έπειτα δόθηκαν οι αριθμογραμμές στις οποίες ήταν σημειωμένες μόνο οι δεκάδες(10,20…), όπως την
επόμενη εικόνα (Εικόνα 10):
Εικόνα 10: Αριθμογραμμές με σημειωμένες μόνο τις δεκάδες
Στο τέλος πέρασαν στην κενή αριθμητική γραμμή. Εκεί τα παιδιά παρίσταναν ένα βήμα ως δεκάδα
και τα πηδηματάκια ως μονάδες. Για παράδειγμα, τον αριθμό 23 τον παρίσταναν με ένα βήμα και
τρία πηδηματάκια.
Δυσκολία υπήρξε στην εκτέλεση πράξεων με υπέρβαση της δεκάδας, γιατί τα παιδιά έπρεπε να
χειριστούν ταυτόχρονα τρεις πράξεις. Για παράδειγμα στην πρόσθεση 9+4 οι πράξεις ήταν οι εξής: α)
ανάλυση του προσθετέου 4 σε άθροισμα δύο όρων 1+3, β) πρόσθεση του μεγάλου προσθετέου με
έναν αριθμό ώστε να έχουμε άθροισμα 10 (9+1=10) και αφαίρεση από τον δεύτερο προσθετέο,
ταυτόχρονα και γ) πρόσθεση στον αριθμό 10 του δεύτερου όρου (10+3=13). Έχοντας ως εποπτικό
μέσο τα κομπολόγια, τέθηκε το εξής πρόβλημα: «Η Μαρία έχει 9 κούκλες και η Ειρήνη της έδωσε
ακόμα 4. Πόσες κούκλες έχει η Μαρία;». Στα παιδιά δόθηκε αρκετός χρόνος. Στη συνέχεια, εξήγησαν
τον τρόπο με τον οποίο βρήκαν το αποτέλεσμα και ανακοίνωσαν, παρουσίασαν και συζήτησαν τις
διάφορες στρατηγικές που χρησιμοποίησαν.
Τα εποπτικά μέσα που χρησιμοποίησαν τα παιδιά, για τη λύση του προβλήματος, ήταν τα κομπολόγια
και τα δάχτυλά τους, με σκοπό την αισθητοποίηση των αριθμών για την πραγματοποίηση της πράξης.

9. 1ο Συνέδριο Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων Α/θμιας και Β/θμιας Εκπ/σης
Πρακτικά Συνεδρίου, 27 – 28 Απριλίου 2013 9
Στην αρχή σχημάτισαν τον αριθμό 9 με τις κόκκινες χάντρες. Έπειτα συμπλήρωσαν τόσες χάντρες
ώστε να συμπληρώσουν το 10, δηλαδή 1 χάντρα και στο τέλος πήραν τόσες πράσινες χάντρες όσες
απέμειναν από το δεύτερο προσθετέο, αφού αφαίρεσαν αυτά που πήραν για το συμπλήρωμα του 10
(4-1=3, 10+3=13). Στη συνέχεια, με τη βοήθεια του κομπολογιού πέρασαν στη χρήση της
διαβαθμισμένης αριθμογραμμής όπου τα παιδιά χρησιμοποιούσαν το κομπολόι και την
αριθμογραμμή, ταυτόχρονα. Η διαβαθμισμένη αριθμογραμμή αντικαταστάθηκε με την κενή
αριθμογραμμή, μέχρις ότου τα παιδιά έμαθαν να σχηματίζουν μια νοερή αναπαράσταση της
διαδικασίας αυτής. Ακολουθώντας αυτή τη διαδικασία τα παιδιά έγιναν ικανά, ώστε να εργάζονται
νοερά και χωρίς κανένα εποπτικό μέσο στην επίλυση πράξεων πάνω από τη δεκάδα. Παρακάτω
βλέπουμε την κενή αριθμογραμμή του τοίχου που χρησιμοποιήθηκε για να κατακτήσουν τα παιδιά τις
στρατηγικές των νοερών υπολογισμών, όπως την επόμενη εικόνα (Εικόνα 11):
Εικόνα 11: Κενή αριθμητική Γραμμή τοίχου
Η αξιολόγηση πραγματοποιήθηκε σε τρία στάδια: την αρχική, όπου μέσα από τη συζήτηση και τον
προβληματισμό έγιναν κατανοητές οι προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών, τη διαμορφωτική, η
οποία γινόταν κατά τη διάρκεια της παρουσίασης των καινούριων εννοιών και την τελική
αξιολόγηση, η οποία γινόταν με φύλλα εργασίας σε κάθε ενότητα, αλλά και όταν κρινόταν αναγκαίο.
Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι η παρέμβαση ήταν επιτυχής αφού τα παιδιά:
• ανέπτυξαν διάφορες στρατηγικές των νοερών υπολογισμών για την επίλυση προβλημάτων
• κατάκτησαν την αίσθηση του αριθμού και κατανόησαν τη σημασία του
• απόκτησαν ευέλικτη στάση ακούγοντας και εφαρμόζοντας άλλες στρατηγικές υπολογισμού
• καλλιέργησαν γρηγορότερα τις γραπτές μεθόδους υπολογισμού
• εξάσκησαν την ικανότητα αναπαράστασης και χρήσης αφηρημένων εννοιών στη βραχυχρόνια
μνήμη
• καλλιέργησαν τη μεταγνωστική τους ικανότητα
• ανέπτυξαν την κριτική τους ικανότητα, αφήνοντάς τα ελεύθερα να επιλέξουν τη σωστή-
ευκολότερη στρατηγική υπολογισμών κατά τη γνώμη τους
• ανέπτυξαν τις ικανότητες των κατ’ εκτίμηση υπολογισμών και
• «ακόνισαν» το μυαλό τους για το πώς να αντιμετωπίζουν προβλήματα στην καθημερινή τους ζωή
Σε όλα τα παραπάνω ο δάσκαλος είχε το ρόλο του καθοδηγητή και εμψυχωτή, δεν ήταν
παρουσιαστής του περιεχομένου, που απλά μετέδιδε γνώσεις στα παιδιά και στη συνέχεια εξέταζε τι
έμαθαν. Στο επίκεντρο της διδασκαλίας ήταν πάντα ο μαθητής και όλη η τάξη αποτελούσε ένα
σύνολο και μια ομάδα.
Βιβλιογραφία
Λεμονίδης, Χ. (2013). Μαθηματικά της φύσης και της ζωής-νοεροί υπολογισμοί-Λογαριάζω με το
τσιμίδι μ’. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις ΖΥΓΟΣ.
Λεμονίδης, Χ. (2005).Μια νέα πρόταση διδασκαλίας των Μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του
δημοτικού σχολείου. Αθήνα: Εκδόσεις ΠΑΤΑΚΗ.
Λεμονίδης, Χ., Θεοδώρου Α., Καψάλης, Α., Πνευματικός, Δ., (2007).Μαθηματικά Α΄ Δημοτικού-
Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής-Βιβλίο Δασκάλου, Αθήνα: Ο.Ε.Δ.Β.

10. 1ο Συνέδριο Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων Α/θμιας και Β/θμιας Εκπ/σης
Πρακτικά Συνεδρίου, 27 – 28 Απριλίου 201310
Λυγούρας, Γ. (2006). Διπλωματική εργασία «Η επίδοση των μαθητών της Γ΄ Δημοτικού στους
νοερούς υπολογισμούς και το κοινωνικό τους υπόβαθρο». Ανακτήθηκε 22/4/2013 , από τη
διεύθυνση http://mathslife.eled.uowm.gr/sites/default/files/usersfiles/ligou.pdf