The Art of Computer Programming 1.2.5 아꿈사 스터디 발표자료 (2011.01.29)

1. The Art of Computer Programming1.2.5 순열과 계승 아키텍트를 꿈꾸는 사람들cafe.naver.com/architect1 현수명 soomong.net #soomong

2. 순열 Permutation 계승 Factorial

3. Definition 순열Permutation n 객체들의 순열은 n개의 서로 다른 객체들을 한 줄로 늘어 놓는 것 서로 다른 3개의 객체 에는 총 6개의 서로 다른 순열들이 존재 (1)

4. Example 3개의 객체들 중 1개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수 3개의 객체들 중 2개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수 3개의 객체들 중 3개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수 (3)

5. Generalization n개의 객체들 중 k개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수 (2) 따라서 전체 순열의 수는 n개의 객체들 중 n개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수

6. 2개 객체들의 순열에서 ? 3개 객체들의 순열을 얻는 방법은 없을까?

7. 의 순열 의 순열 ? 방법 1Example 새로운 객체 을 가능한 자리들에 삽입!

8. 방법 1Generalization 의 각 순열 에 대해 수 을 모든 가능한 자리에 삽입!

9. 방법 2Example 이런 배열을 만든다. 이름을 객체 크기 순으로 변경

10. 방법 2Generalization 의 각 순열 에 대해 아래 방식으로 나머지 개의 순열을 얻는다. 그런 다음 순열의 요소들의 이름을 수 을 요소 크기 순으로 사용해서 바꾼다

11. Definition 계승Factorial 차례곱 1부터 n 까지의 연속된 자연수를 차례로 곱한 값 (4)

12. 처음 몇 계승들은 기억해두는것이 좋다. (5) (6)

13. 이렇게 써보자! 알고리즘이 10! 개 이상의 경우들을 판단해야만 한다면 실용적이지 못한 것이다. 알고리즘이 10! 가지를 판단해야하고 각 경우가 1msec 걸린다면 알고리즘 전체에는 약 한시간 (60.48분) 이 걸린다.

14. 여기서 떠오르는 자연스러운 의문! ? 일일히 곱하지 않고 의 값이 대략 어느정도인지 알 수 있을까? 정말 자연스럽지 않은가?

15. 의 예측 방법 1 Generalization 스털링 James Stirling (7) : 대략 같다 : 자연로그의 기수(밑) p.50

16. 의 예측 방법 1Example 스털링 James Stirling 오차 1%

17. 의 정확한 값을 소수들로 소인수 분해하는 방법 Generalization 다음과 같은 중복도를 가진 소수 는 을 나눌 수 있다 (8)

18. 소인수 분해하는 방법 Example (8) 따라서 은 로 나누어지나 로는 나누어지지 않는다.

19. 또 하나의 자연스러운 의문! ? 음이 아닌 정수 에 대해 을 정의 할 수 있다면 유리수, 심지어 실수 에 대한 계승함수도 정의 할 수 있지 않겠는가? 이 얼마나 자연스러운 의문인가?

20. Example (4) 곱하기 대신 더하기를 생각해보면 (9) (10)

21. Generalization Try… 스털링 James Stirling 비정수 에 대하여 을 일반화하기 위해서 여러가지 시도를 해 보았다. 식(7)을 무한합으로 확장했으나 안타깝게도 그 합은 어떠한 값에 대해서도 수렴하지 않았다.

22. Generalization Try… 스털링 James Stirling 이것을 발견했지만 이 음이 아닌 정수에 대해서만 유효 이 합이 의 모든 분수값들에 대해 을 정의함을 증명하지 못했다. (11) (12)

23. Generalization ! 오일러 Leonhard Euler (1729년) 같은 시기에 동일한 문제를 고민! 결국 Euler 가 적절한 일반화를 최초로 발견 (13) 단, 이 음의 정수가 아닐때 왜냐하면 이 음의 정수이면 분모가 0 이 되고 은 무한대가 되어버리기 때문에

24. Generalization ! 에르미트 C.Hermite (1900년) 지금 여러분은 즐거운 계승Factorial 의 역사시간을 함께 하고 계십니다.ㅜㅜ 스털링의 아이디어가 실제로 비정수 에 대해 을 성공적으로 정의하며 사실 오일러와 스털링의 일반화들이 동일함을 증명!

25. 계승의 표기 방법 오일러Euler 가우스Gauss 영국과 이탈리아 크랑Kramp 르장드르A.M.Legendre

26. Definition 감마함수Gamma Funtion 이 함수를 감마함수라고 부른다 감마함수는 계승의 개념을 실수와 복소수까지 확장시킨 함수이다 (wikipedia) (14) (15) 오일러 극한정의

27. 저 위에 (4,6). (3,2). (1,1). .(2,1) . X 함수 실수축 상에서의 감마함수 그래프

28. 감마함수는 복소수에서도 유효 복소수는 보통 대신 라는 글자를 사용 (16) 오일러 반사공식 가 정수가 아닌 경우 항상 성립한다

29. 복소평면 전체로 확장된 버전의 감마함수 (wikipedia)

30. 는 가 0 이나 음의 정수일때 무한이 되는 반면 는 모든 복소수 에 대해 유효한 정의를 가진다 (well-defined) (17) 복소 적분의 경로는 에서 시작해서 원점을 반시계방향으로 돌아 로 돌아온다 ㅠㅠ

31. Definition 차례거듭제곱Factorial powers 가 양의 정수일때 (18) 의 내림제곱 의 올림제곱 (19)

32. n개의 객체들 중 k개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수 (2) 결국 아래와 같음 (18)

33. 차례거듭제곱들의 관계 (20) (21) 이상 스털링에서 오늘날에 이르기까지의 계승의 흥미로운 역사 였습니다. ㅜㅜ

34. Reference Factorial http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%84%EC%8A%B9 Gamma Functionhttp://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

35. 감사합니다