009_EExame_Trigonometria.pdf

matA12
trigonometria
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Exercícios de exames e provas oficiais
1. Seja a um número real.
Considere a função f, de domínio , definida por   sin
f x a x
 .
Seja r a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa
2
3

.
Sabe-se que a inclinação da reta r é igual a
6

radianos.
Determine o valor de a.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2015
2. Seja f a função, de domínio , definida por    
2
3sin
f x x
 .
Qual das expressões seguintes define a função "
f , segunda derivada de f?
(A)    
6sin 2 cos
x x (B)    
6sin cos 2
x x
(C)  
6cos 2x (D)  
6sin 2x
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2015
3. Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica exercida por
uma mola.
A figura abaixo esquematiza esta situação. Nesta figura, os pontos O e A são pontos fixos. O
ponto P representa o centro do cubo e desloca-se sobre a semirreta OA .
Admita que não existe qualquer resistência ao movimento.
Sabe-se que a distância, em metros, do ponto P ao ponto O é dada por
 
1
1 sin
2 6
d t


 
  
 
 
A variável t designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi
iniciada a contagem do tempo  
 
0,
t  
Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora.
3.1. No instante em que se iniciou a contagem do tempo, o ponto P coincidia com o ponto A.
Durante os primeiros três segundos do movimento, o ponto P passou pelo ponto A mais do
que uma vez.
Determine os instantes, diferentes do inicial, em que tal aconteceu.
Apresente os valores exatos das soluções, em segundos.

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3.2. Justifique, recorrendo ao teorema de Bolzano, que houve, pelo menos, um instante, entre
os três segundos e os quatro segundos após o início da contagem do tempo, em que a
distância do ponto P ao ponto O foi igual a 1,1 metros.
4. Na figura, está representado o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
 o ponto A pertence ao primeiro quadrante e à
circunferência;
 o ponto B pertence ao eixo Ox;
 o ponto C tem coordenadas  
1,0 ;
 o ponto D pertence à semirreta OA ;
 os segmentos de reta [AB] e [DC] são paralelos
ao eixo Oy.
Seja  a amplitude do ângulo COD 0,
2


 
 

 
 
 
 
.
Qual das expressões seguintes dá a área do quadrilátero [ABCD], representado a sombreado,
em função de  ?
(A)
 
sin 2
tan
2 2


 (B)
 
sin 2
tan
2 4



(C)
 
sin 2
tan
4

  (D)
 
sin 2
tan
2

 
5. Sejam f e g as funções, de domínio , definidas, respetivamente, por
   
1 cos 3
f x x
  e    
sin 3
g x x

Seja a um número real pertencente ao intervalo ,
3 2
 
 
 
 
.
Considere as retas r e s tais que:
 a reta r é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a;
 a reta s é tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa
6
a

 .
Sabe-se que as retas r e s são perpendiculares.
Mostre que  
1
sin 3
3
a   .

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6. Na figura abaixo, estão representada, num referencial o.n. xOy, a circunferência de centro O
e a reta r.
Sabe-se que:
 os pontos A e B pertencem à circunferência;
 o ponto B tem coordenadas  
0,1 ;
 a reta r é tangente à circunferência no ponto B;
 o ponto C é o ponto de interseção da reta r com a semirreta OA ;
  é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB , com 0,
2


 
 
 
.
Qual das expressões seguintes representa, em função de  , a área da região a sombreado?
(A)
sin
2
 

(B)
tan
2
 

(C)
tan
2

(D)
2

7. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio  
,e
 , definida por
   
2
2
2
sin 2
2
6
x
xe se x
f x x
k se x e
x x

 

  
  

 

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k, de modo que a
função f seja contínua em 2
x  .

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8. Considere, para um certo número real k, a função f, contínua em ,
4 2
 
 
 
 
, definida por
 
cos
4 2
2
3
2
x
se x
x
f x
k se x
 



 



 

 


Qual é o valor de k?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4
9. Na figura, estão representados uma circunferência de
centro O e raio 2 e os pontos P, Q, R e S.
Sabe-se que:
 os pontos P, Q, R e S pertencem à circunferência;
 [PR] é um diâmetro da circunferência;
 PQ PS

  é a amplitude, em radianos, do ângulo QPR;
 0,
2


 
 
 
;
  
A  é a área do quadrilátero [PQRS], em função de  .
Para um certo número real  , com 0,
2


 
 
 
, tem-se que 2 2
tg  .
Determine o valor exato de  
A  , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a
calculadora.
Comece por mostrar que   16sin cos
A   
 .

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10. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, uma circunferência de centro O e raio
1.
Sabe-se que:
 o ponto A tem coordenadas  
1,0 ;
 os pontos B e C têm a mesma abcissa;
 o ponto C tem ordenada zero;
 o ponto D tem coordenadas  
3,0
 ;
  é amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com ,
2

 
 
 
 
.
Qual das expressões seguintes representa, um função de  , a área do triângulo  
BCD ?
(A)  
1
3 sin cos
2
 
  (B)  
1
3 sin cos
2
 
 
(C)  
1
3 cos sin
2
 
 (D)  
1
3 cos sin
2
 

11. Seja f uma função cuja derivada '
f , de domínio , é dada por    
' sin 2
f x x x
  .
11.1. Determine o valor de
 
2
2
lim
2
x
f x f
x




 
  
 

.
11.2. Estude o gráfico da função f, quanto ao sentido das concavidades e quanto à existência de
pontos de inflexão em ,
2 4
 
 

 
 
, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a
calculadora.
Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade
voltada para cima, o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada
para baixo e, caso existam, as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função f.

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12. Considere a função f, de domínio  
0, , definida por   ln cos 1
f x x x
   .
Sabe-se que:
 A é um ponto do gráfico de f.
 a reta tangente ao gráfico de f, no ponto A, tem inclinação
4

radianos.
Determine a abcissa do ponto A, recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta de:
 equacionar o problema;
 reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de
visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
 indicar a abcissa do ponto A com arredondamento às centésimas.
13. Na figura, estão representados a circunferência de centro no ponto C e de raio 1, a semirreta
CB , a reta AD e o triângulo [ACE].
Sabe-se que:
 os pontos D e E pertencem à semirreta CB ;
 a reta AD é perpendicular à semirreta CB ;
 o ponto A desloca-se sobre a circunferência, e os pontos D e E acompanham esse
movimento de modo que 6
DE  ;
 x é a amplitude, em radianos, do ângulo ACB;
 0,
2
x

 
 
 
.
13.1. Mostre que a área do triângulo [ACE] é dada, em função de x, por
   
1
3sin sin 2
4
f x x x
  .

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13.2. Mostre, sem resolver a equação, que   2
f x  tem, pelo menos, uma solução em , .
6 4
 
 
 
 
14. Considere a função f, de domínio , definida por
   
3
2 1
1 sin 1
1
1
x
xe x se x
f x x x
se x
x

  

    




Recorrendo a métodos analíticos e sem utilizar a calculadora, averigue se a função f é
continua em 1
x  .
15. Na figura, estão representados, num referencial o.n.
xOy, o triângulo [OAB] e a reta r.
Sabe-se que:
 a reta r é definida por 3
x   ;
 o ponto A pertence à reta r e tem ordenada
positiva;
 o ponto B é simétrico do ponto A em relação ao
eixo Ox;
  é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo
lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo
lado extremidade é a semirreta OA ;
 ;
2

 
 
 
 
;
 a função P, de domínio ;
2


 
 
 
, é definida por
 
6
6tan
cos
P x x
x
   .
15.1. Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é
dado, em função de  , por  
P  .
15.2. Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função P no ponto de abcissa
5
6

,
sem utilizar a calculadora.

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16. Seja f a função, de domínio  
0 , definida por  
 
sin x
f x
x

 .
Considere a sucessão de números reais  
n
x tal que
1
n
x
n
 .
Qual é o valor de  
lim n
f x ?
(A) 1
 (B) 0 (C) 1 (D) 
17. Considere a função g, de domínio ,0
2

 

 
 
, definida por    
sin 2 cos
g x x x
  .
Seja a um número real do domínio de g.
A reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a é paralela à reta de equação
1
2
x
y   .
Determine o valor de a, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
18. Considere a função f, de domínio , definida por
 
3
1
4
sin
se 0
1 1
1 se 0
1
se 0
k
x
x
x
x
f x e x
e
x
x




 


  



 


com k 
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto à
existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

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19. Na figura, está representado o quadrado [ABCD].
Sabe-se que:
 4
AB  ;

;
AB AH BE BF CF
CG DG DH
    
  
 x é amplitude, em radianos, do ângulo EAB;
 0,
4
x

 
 
 
.
19.1. Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por    
16 1 tan
a x x
  .
19.2. Mostre que existe um valor de x compreendido entre
12

e
5

para o qual a área da região
sombreada é 5.
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a
arredondamentos, use duas casas decimais.
20. Na figura, está representado um trapézio retângulo [ABCD].
Sabe-se que:
 1
BC  ;
 1
CD 
  é a amplitude, em radianos, do ângulo
ADC;
 ,
2

 
 
 
 
.
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
20.1. Mostre que o perímetro do trapézio [ABCD] é dado, em função de  , por
 
1 cos
3
sin
P




  .
20.2. Para um certo número real  , tem-se que tan 8
   , com
2

 
  .
Determine o valor exato de  
'
P  .
Comece por mostrar que   2
1 cos
'
sin
P




 .

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21. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:
 o segmento de reta [AC] tem comprimento
4;
 o ponto B é o ponto médio de [AC];
 o segmento de reta [BD] é perpendicular a
[AC];
 o arco de circunferência CD tem centro
em B.
Admita que o ponto P se desloca ao longo do arco CD, nunca coincidindo com C nem com
D, e que o ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [AB] de tal forma que [PQ] é
sempre perpendicular a [BC].
Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo CBP e seja  
A x
a área do triângulo [APQ].
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
21.1. Mostre que    
2sin sin 2
A x x x
  , 0,
2
x

 
 

 
 
 
 
.
21.2. Mostre que existe um valor de x para o qual a área do triângulo [APQ] é máxima.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 24-05-2012
22. Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy, uma circunferência e o triângulo
[OAB].
Sabe-se que:
 O é a origem do referencial;
 a circunferência tem centro no ponto O e raio 1;
 A é o ponto de coordenadas  
1,0
 ;
 B pertence à circunferência e tem ordenada
negativa;
 O ângulo AOB tem amplitude igual a
2
3

radianos.
Qual é a área do triângulo [OAB]?
(A)
3
4
(B)
1
2
(C)
1
4
(D) 3

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23. De duas funções f e g sabe-se que:
 f tem domínio e é definida por    
4sin 5
f x x

  ;
 g tem domínio
2
,
3 3
 
 
 
 
 
e '
g , primeira derivada de g, tem domínio
2
,
3 3
 
 
 
 
 
e
é definida por   2
' log
6
g x x

 
  
 
 
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
23.1. Calcule o valor de
 
0
sin
lim
x
x
f x 
 
.
23.2. Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência
de pontos de inflexão no intervalo
2
,
3 3
 
 
 
 
 
.
Resolva o item seguinte recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
23.3. Seja h a função, de domínio
2
,
3 3
 
 
 
 
 
, definida por      
h x f x g x
  .
O ponto A pertence ao gráfico da função h.
Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função h no ponto A é paralela ao eixo Ox.
Determine a abcissa do ponto A.
Na sua resposta, deve:
 equacionar o problema;
 reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de
visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
 indicar a abcissa do ponto com arredondamento às décimas.
24. Para um certo número real positivo, k, a função g definida em por
 
 
sin
0
3
ln 0
x
se x
g x x
k x se x



 
  

é continua.
(A) 3
e (B) 3
e (C)
3
e
(D) 3e

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25. Qual é o valor de 2
2
0
1
lim sin
2
x
x
x

 
 
 
 
 
 
?
(A) 4 (B) 0 (C)
1
4
(D)
1
2
26. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f, de
domínio , definida por    
4cos 2
f x x
 .
Sabe-se que:
 os vértices A e D do trapézio [ABC] pertencem ao eixo Ox;
 o vértice B do trapézio [ABCD] pertence ao eixo Oy;
 o vértice D do trapézio [ABCD] tem abcissa
6

 ;
 os pontos A e C pertencem ao gráfico de f;
 a reta CD é paralela ao eixo Oy.
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
26.1. Determine o valor exato da área do trapézio [ABCD].
26.2. Seja '
f a primeira derivada da função f, e seja ''
f a segunda derivada da função f.
Mostre que          
 
' '' 4 3cos 2 2sin 2
f x f x f x x x
     , para qualquer número real
x.

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27. Seja f a função, de domínio 
, definida por
 
 
sin 1
2 se 0 1
2 se 1
x
x
x
f x ex e
xe x x

 
  

  
  

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, averigue se a função f é contínua em 1.
x 
28. Na figura abaixo, está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 1.
Sabe-se que:
 o ponto A pertence à circunferência;
 os pontos O, A e B são colineares;
 o ponto A está entre o ponto O e o ponto B;
 o ponto P desloca-se ao longo da semirreta AB , nunca coincidindo com o ponto A;
 d é a distância do ponto A ao ponto P;
 para cada posição do ponto P, o ponto Q é um ponto da circunferência tal que a reta PQ
é tangente à circunferência;
 x é a amplitude, em radianos, do ângulo OPQ 0,
2
x

 
 

 
 
 
 
.
Seja f a função, de domínio 0,
2

 
 
 
, definida por  
1 sin
sin
x
f x
x

 .
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
28.1. Mostre que  
d f x
 .
28.2. Considere a seguinte afirmação: “Quanto maior é o valor de x, menor é o valor de d.”
Averigue a veracidade desta afirmação, começando por estudar a função f quanto à
monotonia.

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29. Seja f a função, de domínio  
0,3 , definida por    
ln sin 2
f x x x x
  .
O ponto A pertence ao gráfico da função f.
Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto A tem declive 3.
Determine a abcissa do ponto A.
Na resolução deste item deve:
 traduzir o problema por uma equação;
 resolver graficamente essa equação, recorrendo à calculadora;
 indicar o valor pedido arredondado às centésimas.
Deve reproduzir e identificar o gráfico, ou os gráficos, que tiver necessidade de visualizar na
calculadora, incluindo o referencial, e deve assinalar, no(s) gráfico(s), o(s) ponto(s)
relevante(s).
30. Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.
As figuras representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas.
Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.
Sabe-se que:
 o ponto O é o centro da esfera;
 a esfera tem 6 metros de diâmetro;
 a amplitude  , em radianos, do arco AB é igual à amplitude do ângulo ao centro AOB
correspondente.
A altura AC , em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de  , por
h, de domínio  
0, .
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
30.1. Mostre que    
3 3cos
h  
  , para qualquer  
0,
 
 .
30.2. Resolva a condição    
3, 0,
h   
  .
Interprete o resultado obtido no contexto da situação apresentada.

matA12
trigonometria
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,1
 , definida por
   
se 0
sin 2
se 0 2
x
ax b e x
f x x x
x
x

   

  
 


com ,
a b
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine o valor de b, de modo que f seja
contínua em 0
x  .
32. Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy, uma circunferência e o triângulo
[OAB].
Sabe-se que:
 a circunferência tem diâmetro [OA];
2,0 ;
 o vértice O do triângulo [OAB] coincide com a origem do referencial;
 o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência superior.
Para cada posição do ponto B, seja  a amplitude do ângulo AOB, com 0,
2


 
 
 
.
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
32.1. Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de  , por
   
2 1 cos sin
h   
  
32.2. Determine o valor de  para o qual o perímetro do triângulo [OAB] é máximo.

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33. Na figura, está representado um triângulo retângulo
[ABC], cujos catetos, [AB] e [BC], medem 5 unidades.
Considere que um ponto P se desloca sobre o cateto [BC],
nunca coincidindo com B nem com C.
Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em
radianos, do ângulo BAP 0, .
4
x

 
 

 
 
 
 
Seja f a função que, a cada valor de x, faz corresponder o
perímetro do triângulo [APC].
Resolva os dois primeiros itens, usando exclusivamente métodos analíticos.
5
5tan 50 5
cos
f x x
x
    .
33.2. Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa
6

.
Determine o declive da reta r.
33.3. Existe um valor de x para o qual o perímetro do triângulo [APC] é igual a 16.
Determine esse valor, arredondado às centésimas, recorrendo às capacidades gráficas da
calculadora.
Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a
resolução do problema.
34. Seja f a função, de domínio 0,
2

 
 
 
, definida por    
sin 2 cos
f x x x
 .
34.1. Determine, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, a equação reduzida da reta
tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa 0.
34.2. No domínio indicado, determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora,
um valor, aproximado às décimas, da área do triângulo [ABC], em que:
 A é o ponto do gráfico da função f cuja ordenada é máxima;
 B e C são os pontos de interseção do gráfico da função f com a reta de equação 0,3.
y 
Reproduza, na folha de respostas, o gráfico, ou gráficos, visualizado(s) na calculadora,
devidamente identificado(s), incluindo o referencial.
Desenhe o triângulo [ABC], assinalando os pontos que representam os seus vértices.
Nota: Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize duas casa
decimais.

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35. Para um certo número real positivo k, é continua a função f, de domínio , definida por
 
 
 
2
log 0
sin 2
0
k x se x
f x x
se x
x
  

 



(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
36. Na figura, está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio
igual a 1.
Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência.
Qual das expressões seguintes representa, em função de x, a área da parte sombreada?
(A)  
sin 2x
  (B)  
sin 2
2
x

 (C)  
2sin 2x
  (D)
 
sin 2
4
x
 
37. Sejam a, b, c e d as funções reais de variável real definidas por:
  3 ln
a x x
    x
b x e

  10sin
c x x
   2 tan
d x x
 
Considere qua o domínio de cada uma das quatro funções é o conjunto dos números reais
para os quais tem significado a expressão que a define.
Qual é a função cujo gráfico tem mais do que uma assíntota?
(A) A função a (B) A função b
(C) a função c (D) A função d

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38. Na figura ao lado estão representados:
 uma circunferência de centro O e raio 1;
 dois pontos, A e B, sobre a circunferência, tais
que [AB] é um diâmetro;
 uma semirreta OA ;
 um segmento de reta [PQ]
Considere que:
 o ponto P, partindo de A, se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa,
no sentido indicado pelas setas da figura.
 o ponto Q se desloca sobre a semirreta OA , acompanhando o movimento do ponto P,
de tal forma que se tem sempre 3
PQ  .
Para cada posição do ponto P, seja x a
amplitude, em radianos, do ângulo
orientado que tem por lado origem a
semirreta OA e por lado extremidade a
semirreta OP (ver figura ao lado).
Seja d a função que, a cada valor de x
pertence a  
0,2 , associa a distância,
 
d x , do ponto Q ao ponto O.
38.1. Considere as seguintes afirmações sobre a função d e sobre a sua derivada '
g (a função d
tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio).
I.    
0 2
d d 

II.    
0,2 , ' 0
x d x

  
Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das
afirmações e verdadeira, ou falsa.
Nota: neste item, não defina analiticamente a função d; a sua composição deve apoiar-se na forma
como esta função foi apresentada (para cada valor de x, tem-se que  
d x é a distância do ponto Q
ao ponto O).
38.2. Defina analiticamente a função d no intervalo 0,
2

 
 
 
(isto é, determine uma expressa que
dê o valor de  
d x , para cada x pertencente a este intervalo).
Sugestão: trace a altura do triângulo [OPQ] relativa ao vértice P, designe por R o ponto de
interseção desta altura com a semirreta OA , e tenha em conta que OQ OR RQ
  .

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39. Considera a função g, de domínio , definida por    
2 sin 4
g x x
  .
Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a
arredondamentos, use duas casas decimais.
39.1. Determine  
' 0
g , recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto.
39.2. Estude a monotonia da função g, no intervalo 0,
2

 
 
 
, indicando o valor dos extremos
relativos, caso existam, e os intervalos de monotonia.
40. Seja f a função de domínio  
,

  , definida por
   
4 1
2
0
3sin
0
x
e se x
f x x
se x
x

 
 

 
  


Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eixos
coordenados, escrevendo as suas equações, caso existam.
41. Na figura está representado o círculo
trigonométrico.
Tal como a figura sugere, O é a origem do
referencial, Q pertence à circunferência, P é o ponto
de coordenadas  
1,0 e R é o ponto de coordenadas
 
1,0
 .
A amplitude, em radianos, do ângulo POQ é
5
7

.
Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área
do triângulo [OQR]?
(A) 0,39 (B) 0,42 (C) 0,46 (D) 0,49
42. Seja  
: 0,2
f   a função definida por   3 2cos
f x x
  .
Indique o valor de x o qual  
f x é máximo.
(A) 0 (B)
2

(C)  (D)
3
2


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43. Considere a função g, definida no intervalo  
1,7 por  
sin ln
x x
g x
x


(ln designa logaritmo na base e)
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico da função g e
reproduza-o na sua folha de prova.
Com base nesse gráfico e utilizando as ferramentas adequadas da sua calculadora, resolva o
seguinte problema:
“Seja '
g a função derivada de g. O conjunto da inequação  
' 0
g x  é um intervalo aberto
 
,
a b . Determine os valores de a e de b. Apresente os resultados arredondados às
centésimas.”
Justifique a sua resposta.
44. Na figura seguinte está representada uma artéria principal do corpo humano, cuja seção é um
círculo com raio R, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio
r.
A seção da artéria principal tem área A e a ramificação tem área a.
Seja 0,
2


 
 
 
a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz com a sua
ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros).
Sabe-se que cos
a A 

Admitindo que o modelo descrito se adequa com exatidão à situação real, determine  no
caso em que os raios referidos verificam a relação 4
2
R r
 .

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45. Considere as funções f e g, definidas em por
  1
x
f x e 
 e   sin
g x x

Considere ainda a função h, definida em por      
' '
h x f x g x
  .
Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva os
dois itens seguintes.
45.1. Mostre que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo 0,
2

 
 
 
.
45.2. Tendo em conta a prova que fez anteriormente, justifique que existe 0,
2
a

 
 
 
tal que as
retas tangentes aos gráficos de f e g, nos pontos de abcissa a, são paralelas.
46. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco
AB, que está contido na circunferência de equação
2 2
1
x y
  .
O ponto C pertence ao eixo Ox e o segmento de reta [AC] é
perpendicular a este eixo.
 é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB.
Qual é a expressão que dá o perímetro da região sombreada,
(A) sin cos
   
   (B) sin 1 cos
   
   
(C) 1 sin cos
  
   (D) 1 sin cos
  
  
47. Como sabe, a Terra descreve uma órbita
elíptica em torno do Sol.
Na figura está representado um esquema
dessa órbita. Está assinalado o periélio, o
ponto da órbita da Terra mais próximo do Sol.
Na figura está assinalado um ângulo de
amplitude x radianos  
 
0,2
x 
 .
Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado
extremidade passa na Terra.
A distância d, em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproximadamente) dada, em
função de x, por  
149,6 1 0,0167cos
d x
  .
47.1. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, determine
a distância máxima e a distância mínima da Terra ao Sol.
Apresente os valores pedidos em milhões de quilómetros, arredondados às décimas.

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47.2. Sabe-se que x verifica a relação
2
0,0167sin
t
x x
T

  , em que:
 t é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao
instante em que atinge a posição correspondente ao ângulo x;
 T é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa (365,24 dias).
47.2.1. Mostre, para x 
 , se tem
2
T
t  .
Interprete este resultado no contexto da situação descrita.
47.2.2. Sabe-se que a última passagem da Terra pelo periélio ocorreu a uma certa hora
do dia 4 de Janeiro. Determine a distância a que a Terra se encontrava do Sol, à
mesma hora do dia 14 de Fevereiro. Apresente o resultado em milhões de
quilómetros, arredondando às décimas. Nos valores intermédios, utilize, no
mínimo, quatro casas decimais.
Nota: a resolução desta questão envolve uma equação que deve ser resolvida
graficamente, com recurso à calculadora; apresente todos os elementos recolhidos na
utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como
coordenadas relevantes de algum, ou de alguns, ponto(s).
48. Seja g a função definida em por  
5
2 cos
x
e
g x
x



.
Considere a sucessão de termo geral 2
1
n
n
u
n

 .
Indique o valor de  
lim n
n
g u

.
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

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49. Na figura está representada uma esfera suspensa de um fio com 1 metro de comprimento,
fixo no ponto O.
O centro da esfera oscila entre os pontos A e B, que são simétricos relativamente à reta
vertical r. A reta r passa pelo centro O e é perpendicular à reta OS.
No instante inicial, o centro da esfera coincide com o ponto A.
Admita que, t segundos após esse instante inicial, o centro da esfera está num ponto P tal que
a amplitude, em radianos, do ângulo SOP é dada (aproximadamente) por
   
cos 9,8
2 6
t t
 
  
Nas duas alíneas seguintes, não utilize a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos
numéricos.
49.1. Determine a distância do centro da esfera à reta OS, no instante inicial.
49.2. Determine o instante em que o centro da esfera passa pela primeira vez na reta r.
Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.
50. Considere a função f definida no intervalo  
1,2 por    
cos 1 ln
f x x x
   (ln designa
logaritmo de base e).
Para um certo valor real positivo a e para um certo valor real b, a função g, definida no
intervalo  
1,2 por    
.
g x a f x b
  , tem por contradomínio o intervalo  
4,5 .
Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora, determine os valores de a e de b,
arredondados às centésimas.
Explique como procedeu. Na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que tenha
visualizado na calculadora, bem como coordenadas relevantes de algum, ou alguns, pontos.
Sempre que, em valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve um mínimo de
três casas decimais.

matA12
trigonometria
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51. Na figura junta está representado o círculo trigonométrico.
Considere que um ponto P parte de  
1,0
A e se desloca
sobre a circunferência, dando uma volta completa, em
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
Para cada posição do ponto P, seja x, em radianos, do ângulo
orientado cujo lado origem é a semirreta OA e cujo lado
extremidade é a semirreta OP  
 
0,2 .
x 

Seja g a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área da região sombreada (região
limitada pelos segmentos de reta  
OP ,  
PA e  
AO ).
Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função g?
(A) (B)
(C) (D)
52. Seja f a função, de domínio  
0,2 ,
definida por   sin
f x x
 .
52.1. Na figura junta estão representados:
 o gráfico da função f;
 duas retas, r e s, tangentes ao gráfico
de f, nos pontos de abcissas a e b,
respetivamente.
Prove que, se 2
a b 
  , então as retas r e s são paralelas.
52.2. Sem recorrer à calculadora, estude, quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, a
função g, de domínio    
0,2
  , definida por  
 
x
g x
f x


matA12
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53. Considere a função f, de domínio , definida por   cos
f x x
 .
Qual das expressões seguintes dá a derivada de f, no ponto  ?
(A)
cos 1
lim
x
x
x
 



(B)
0
cos
lim
x
x
x



(C)
cos
lim
x
x
x
 
 
(D)
0
cos
lim
x
x
x 
 
54. Na figura está representada uma circunferência com efeito com centro no ponto O e raio 3.
Os diâmetros  
EF e  
GH são perpendiculares.
Considere que o ponto B se desloca sobre o arco FG.
Os pontos A, C e D acompanham o movimento do ponto B, de tal forma que:
 as cordas  
AB e  
CD permanecem paralelas a  
EF ;
  
AD e  
BC são sempre diâmetros da circunferência.
Os pontos I e J também acompanham o mesmo movimentos, de tal forma que são sempre os
pontos de interseção de  
GH com  
AB e  
CD , respetivamente.
Para cada posição do ponto B, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo FOB 0, .
2
x

 
 

 
 
 
 
54.1. Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por
   
18 sin .cos
A x x x x
 
Sugestão: use a decomposição sugerida na figura.

matA12
trigonometria
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54.2. Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite
resolver o seguinte problema: Qual é o valor de x para o qual a área da região sombreada
é igual a metade da área do círculo?
Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o
gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum, ou de alguns,
ponto(s). Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.
55. Na figura está representada parte do gráfico de uma função periódica.
Qual dos valores seguintes poderá ser período desta função?
(A)
9

(B)
2
9

(C)
2
3

(D)
4
3

56. Duas bolas de plástico com o mesmo raio, uma branca e outra preta, flutuam na superfície
de um líquido contido num recipiente.
Por ação de uma força exterior, o líquido perdeu o estado de repouso em que se encontrava,
tendo a distância de cada uma das bolas à base do recipiente deixado de ser constante.
Designando por  
b t e  
p t as distâncias, em
cm, dos centros das bolas (branca e preta,
respetivamente) à base do recipiente, t
segundos após o início da perturbação, admita
que se tem:
   
0,1
10 sin , 0
t
b t e t t


  
   
0,1
10 1,37 sin , 0
t
p t e t t


  
56.1. Sem recorrer à calculadora, resolva o seguinte problema:
Durante os primeiros cinco segundos após o início da perturbação (instantes 0 e 5
incluídos), houve alguns instantes em que as duas bolas estiveram a igual distância da base
do recipiente. Quantas vezes isso aconteceu?

matA12
trigonometria
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56.2. Determine a distância que vai do centro da
bola branca ao centro da bola preta, meio
segundo após o início da perturbação, sabendo
que, nesse instante, a distância entre as
respetivas projeções horizontais (na base do
recipiente) é de 2,5 cm. Apresente o resultado
em cm, arredondado às décimas.
Nota: sempre que, nos cálculos intermédio,
proceder a arredondamentos, conserve, no
mínimo, duas casas decimais.
57. Para um certo valor de k, é contínua em a função g, definida por
   
cos 0
ln 1
0
k x se x
g x x
se x
x
 


 




(ln designa logaritmo de base e)
(A) 1
 (B) 0 (C) 1 (D) 2
58. A figura representa um depósito de forma cilíndrica, que contém um certo volume de
combustível.
Admita que a função V, de domínio  
0,2 , definida por
   
80 sin
f x x x
  ,
dá o volume, em metros cúbicos, de combustível existente no depósito, em função da
amplitude x, em radianos, do arco ABC (que, como se sabe, é igual à amplitude do ângulo ao
centro correspondente, assinalado na figura acima).
58.1. Qual é a capacidade total do depósito, em metros cúbicos?
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas
decimais.

matA12
trigonometria
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58.2. Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite
resolver o seguinte problema: Qual terá de ser a amplitude, em radianos, do arco ABC,
para que existam 300 m3
de combustível no depósito?
gráfico, ou gráficos, obtido(s). Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às
décimas.
58.3. Determine, em metros cúbicos, o volume do combustível existente no
depósito, no momento em que a sua altura é
1
4
da altura máxima.
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve,
no mínimo, três casas decimais.
58.4. Admita agora que o depósito está vazio e que,
num certo instante, se começa a introduzir
combustível a uma taxa constante, até ficar cheio,
o que acontece ao fim de cinco horas.
Seja  
h t a altura do combustível no depósito, t
horas após o instante em que começa a ser
introduzido.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h?
Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, indique as razões que o levam a
rejeitar os restantes gráficos (indique três razões, uma por cada gráfico rejeitado).
(A) (B)
(C) (D)

matA12
trigonometria
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59. Na figura está representado um trapézio retângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30 unidades
de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento.
Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [AB].
Para cada posição do ponto P, seja x amplitude, em radianos, do ângulo PDA.
Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [PD] divide o trapézio em duas
figuras com a mesma área.
Qual das equações seguintes traduz este problema?
(A)
2
30 sin
100
2
x
 (B)
2
30 tan
100
2
x

(C)
30 10sin
150
4
x

 (D)
30 10tan
150
4
x


60. Considere a função f, de domínio
3
,
2 2
 
 

 
 
, definida por
  sin
f x x x
 
Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes.
60.1. Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, calcule  
' 0
f .
60.2. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência
de pontos de inflexão.
60.3. Determine os valores de x, pertencentes ao intervalo
3
,
2 2
 
 

 
 
, tais que   cos .
f x x x
 

matA12
trigonometria
30 / 52
61. A Rita está a participar num concurso de lançamentos de papagaios de papel.
No regulamento do concurso, estão as condições de
apuramento para a final, que se reproduzem a seguir.
Após um certo instante, indicado pelo júri:
 o papagaio não pode permanecer no ar
mais do que um minuto;
 o papagaio tem de permanecer, pelo
menos durante doze segundos
seguidos, a uma altura superior a dez
metros;
 o papagaio tem de ultrapassar os vinte
metros de altura.
Admita que a distância, em metros, do papagaio da Rita ao solo, t segundos após o instante
indicado pelo júri, é dada por
 
2
9,5 7sin 5cos
200 4
t t
d t
   
  
   
 
 
(os argumentos das funções seno e cosseno estão expressos em radianos).
Note-se que, a partir do instante em que o papagaio atinge o solo, a distância do papagaio ao
solo deixa de ser dada por esta expressão, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a
zero.
Deverá a Rita ser apurada para a final?
Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de
dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua
resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de
alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas).

matA12
trigonometria
31 / 52
62. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um
arco de circunferência AB, de centro na origem do
referencial.
O ponto Q move-se ao longo desse arco.
Os pontos P e R, situados sobre os eixos Ox e Oy,
respetivamente, acompanham o movimento do ponto Q,
de tal forma que o segmento de reta [PQ] é sempre
paralelo ao eixo Oy e o segmento de reta [QR] é sempre
paralelo ao eixo Ox.
Para cada posição do ponto Q, seja x a amplitude do
ângulo AOQ e seja  
h x a área da região sombreada.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h?
(A) (B)
(C) (D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003
63. Considere a expressão   2
sin
f x a b x
  .
Sempre que se atribui um valor real a a e um valor real a b, obtemos uma função de domínio
.
63.1. Nesta alínea, considere 2
a  e 5
b   .
Sabe-se que
1
tan
2
  . Sem recorrer à calculadora, calcule  
f  .

matA12
trigonometria
32 / 52
63.2. Para um certo valor de a e um certo valor de b, a função
f tem o seu gráfico parcialmente representado na figura
junta. Conforme essa figura sugere, tem.se:
 o contradomínio de f é  
3,1
 ;
 0 e  são maximizantes;

2

 e
2

são minimizantes.
Determine a e b.
64. Na figura está representado a sombreado
um polígono [ABEG].
Tem-se que:
 [ABFG] é um quadrado de lado 2;
 FD é um arco de circunferência de
centro em B; o ponto E move-se ao
longo desse arco; e consequência, o
ponto C desloca-se sobre o segmento
[BD], de tal forma que se tem sempre
   
EC BD
 ;
 x designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE 0, .
2
x

 
 

 
 
 
 
64.1. Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por
   
2 1 sin cos
A x x x
   .
Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio [ACEG].
64.2. Determine  
0
A e
2
A

 
 
 
.
Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos.
64.3. Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite
resolver o seguinte problema:
Quais são os valores de x para os quais a área do polígono [ABEG] é 4,3?
gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos.
Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às décimas.

matA12
trigonometria
33 / 52
65. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma reta r.
Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura.
Inicialmente, o ponto P encontra-se à distância de 2 unidade da reta r.
Seja  
d  a distância de P a r, após uma rotação de amplitude  .
Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo  ?
(A)   1 cos
d x
   (B)   2 sin
d x
  
(C)   1 cos
d x
   (D)   2 sin
d x
  
66. Considere as funções f e g, de domínio , definidas por
  1
1
2
3
x
f x e 
    2sin cos
g x x x
 
66.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva a equação    
f x g 
 ,
apresentando a solução na forma  
ln ke , onde k representa um número real positivo.
(ln designa logaritmo de base e)
66.2. Recorrendo à calculadora, determine as soluções inteiras da inequação    
f x g x
 , no
intervalo  
0,2 . Explique como procedeu.

matA12
trigonometria
34 / 52
67. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, o
círculo trigonométrico e um triângulo [OAB].
Os pontos A e B pertencem à circunferência.
O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox.
O ponto C é o ponto de interseção da circunferência com
o semieixo positivo Ox.
Seja  a amplitude do ângulo COA. 0,
2


 
 

 
 
 
 
.
Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OAB], em função de  ?
(A) sin .cos
  (B)
tan .cos
2
 
(C) tan .sin
  (D)
tan .sin
2
 
68. De uma função f, de domínio  
,
 
 , sabe-se que a sua derivada '
f está definida
igualmente no intervalo  
,
 
 e é dada por
 
' 2cos
f x x x
 
68.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes:
68.1.1. Determine o valor de
   
0
0
lim
x
f x f
x


68.1.2. Estude a função f quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas
dos pontos de inflexão.
68.2. O gráfico de f contém um único ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo Ox.
Recorrendo à sua calculadora, determine um valor arredondado às centésimas para a
abcissa desse ponto.
Explique como procedeu.

matA12
trigonometria
35 / 52
69. Na figura está representado um quadrado [ABCD], de lado 1.
O ponto E desloca-se sobre o lado [AB], e o ponto F desloca-se sobre o lado [AD], de tal
forma que se tem sempre AE AF
 .
Para cada posição do ponto E, seja x a amplitude do ângulo BEC ,
4 2
x
 
 
 

 
 
 
 
.
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, resolva as três alíneas seguintes:
69.1. Mostre que o perímetro do quadrado [CEAF] é dado, em função de x, por
 
2 2
2
tan sin
f x
x x
  
69.2. Calcule  
_
2
lim
x
f x


e interprete geometricamente o valor obtido.
69.3. Mostre que   2
2 2cos
'
sin
x
f x
x

 e estude a função f quanto à monotonia.
70. Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxy:
 uma circunferência de raio 1, centrada no ponto
 
0,1,1 e contida no plano yOz;
 o ponto  
0,2,1
A ;
 o ponto B, pertencente ao semieixo positivo Ox.
Considere que um ponto P, partindo de A, se desloca
sobre essa circunferência, dando uma volta completa, no
sentido indicado na figura.
Para cada posição do ponto P, seja  a amplitude, em radianos, do arco AP  
 
0,2
 
 e
seja  
d  a distância de P ao ponto B.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função d?

matA12
trigonometria
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(A) (B)
(C) (D)
,
 
 , definida por  
cos
1 cos
x
f x
x


.
Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes.
71.1. Estude a função quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.
71.2. Mostre que a função f tem um máximo e determine-o.
71.3. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma parte do gráfico da função f.
Na mesma figura está também representado um trapézio [OPQR].
O ponto O é a origem do referencial, e os pontos P e R pertencem aos eixos Ox e Oy,
respetivamente.
Os pontos P e Q pertencem ao gráfico de f.
Sabendo que o ponto R tem ordenada
1
3
, determine a área do trapézio.

matA12
trigonometria
37 / 52
72. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy:
 um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1;
 uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto
 
1,0 ;
 um ponto A pertencente a esta semirreta;
 um ângulo de amplitude  , cujo lado origem é o semieixo
positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OA .
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada,
(A)
tan
4 2
 
 (B)
2
4 tan



(C)
tan
2

  (D)
2
tan



73. Na figura está representado o gráfico da função f, de domínio  
0,2 , definida por
  2cos
f x x x
  .
A e B são pontos do gráfico cujas ordenadas são extremos relativos de f.
73.1. Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes.
73.1.1. Mostre que a ordenada do ponto A é
6 3
6
 
e que a do ponto B é
5 6 3
6
 
.

matA12
trigonometria
38 / 52
73.1.2. Qual é o contradomínio de f?
73.2. Considere a reta tangente ao gráfico de f no ponto A.
Esta reta interseta o gráfico num outro ponto C.
Recorrendo à calculadora, determine um valor aproximado para a abcissa do ponto C
(apresente o resultado arredondado às décimas).
Explique como procedeu (na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que
considerou para resolver esta questão).
74. Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular.
Sabe-se que:
 a base da pirâmide tem centro F e lado 2;
 G é o ponto médio da aresta [BC];
 x designa a amplitude do ângulo FGE.
74.1. Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função
de x, por
 
4cos 4
cos
x
A x
x

 0,
2
x

 
 

 
 
 
 
_
2
lim
x
A x


e interprete geometricamente o valor
obtido.
75. Indique o valor de
0
ln
lim
sin
x
x
x


(A)  (B) 0 (C) 1 (D) 
matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2001

matA12
trigonometria
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76. Considere a função h, de domínio , definida por
 
1
0
1
0
2
sin
0
2
x
se x
x
h x se x
x
se x
x






 






76.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes:
76.1.1. Estude a função h quanto à continuidade no ponto O.
(Deve indicar, justificando, se a função h é continua nesse ponto e, no caso de
não ser, se se verifica a continuidade à esquerda, ou à direita, nesse mesmo
ponto.)
76.1.2. Considere a função j, de domínio  
0 , definida por  
1
3
j x
x
 .
Mostre que, no intervalo  
1,1000
 , os gráficos de j e de h se intersetam em
1001 pontos.
76.2. Dos 1001 pontos referidos na alínea anterior, seja A o que tem menor abcissa positiva.
Determine as coordenadas desse ponto (apresente os valores na forma de dízima, com
aproximação às décimas).
77. Considere a função f, de domínio , definida por  
 
3sin
2
ln 4
x
x
x
f x
e



.
77.1. Sabe-se que existe  
lim
x
f x

e que o seu valor é um número inteiro.
Recorrendo à sua calculadora, conjeture-o. Explique como procedeu.
77.2. Será conclusivo, para a determinação do valor de  
lim
x
f x

, um método que se basei
exclusivamente na utilização da calculadora? Justifique a sua resposta.
78. Considere a função h, definida em por   sin
h x x
 .
Qual das seguintes equações pode definir uma reta tangente ao gráfico de h?
(A) 2
y x 
  (B) 2
y  
(C) 2 9
y x
  (D) y x


matA12
trigonometria
40 / 52
79. Considere a função f, definida em , definida por   2 cos
f x x x
  .
79.1. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que a função f tem, pelo menos um zero, no
intervalo  
0, .
79.2. Seja '
f a função derivada de f. Mostre que  
' 0,
f x x
   , e justifique que o zero de
f, cuja existência é garantida pelo enunciado da alínea anterior, é o único zero desta função.
79.3. Na figura abaixo estão representadas:
 parte do gráfico da função f;
 parte de uma reta r, cuja inclinação é de 45º, que contém o ponto  
3,0
A  e que
interseta o gráfico da função f no ponto B.
Recorrendo à sua calculadora, determine a área do triângulo [AOB], onde O designa a
origem do referencial. Apresente o resultado arredondado às unidades.
Nota: sempre que, nos valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, uma
casa decimal.
80. Um satélite S tem uma órbita elíptica em torno da Terra, tal como se representa na figura.
Tenha em atenção que os elementos nela desenhados não estão na mesma escala.
Na elipse estão assinalados dois pontos:
- o apogeu, que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra;
- o perigeu, que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra.

matA12
trigonometria
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O ângulo x, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro da Terra; o seu lado origem
passa no perigeu, o seu lado extremidade passa no satélite e a sua amplitude estão
compreendida entre 0 e 360 graus.
A distância d, em km, do satélite ao centro da Terra, é dada por
7820
1 0,07cos
d
x


.
Considere que a Terra é uma esfera de raio 6378 km.
80.1. Determine a amplitude do satélite (distância à superfície da Terra) quando este se encontra
no apogeu. Apresente o resultado em km, arredondado às unidades.
80.2. Num certo instante, o satélite está na posição indicada na
figura.
A distância do satélite ao centro da Terra é, então, de
8200 km.
Determine o valor de x, em graus, arredondado às
unidades.
81. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) lim sin 0
x
x

 (B) lim sin
x
x

 
(C) lim sin 1
x
x

 (D) Não existe lim sin
x
x

82. No ano civil de 2000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr-do-sol, no dia
de ordem n do ano, foi dado em horas, aproximadamente, por
 
 
81
12,2 2,64sin
183
n
f n
 
   
1,2,3,...,366
fn
(o argumento da função seno está expresso em radianos).
Por exemplo: no dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre
o nascer e o pôr-do-sol foi de  
34 10,3
f  horas.
82.1. No dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o sol nasceu às seis e meia da manhã. Em
que instante ocorreu o pôr-do-sol? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos
arredondados às unidades).
Notas:
 Recorde que, no ano 2000, o mês de fevereiro teve 29 dias;
 Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três
casas decimais.

matA12
trigonometria
42 / 52
82.2. Em alguns dias do ano, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr-do-sol é superior a 14,7
horas. Recorrendo à sua calculadora, determine em quantos dias do ano é que isso acontece.
Indique como procedeu.
83.
83.1. Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA BC
 .
Seja  a amplitude do ângulo ABC.
Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por
2
sin
2
BC

  
 
0,
 

83.2. Considere agora um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio 1.
Utilize o resultado da alínea anterior para mostrar que a área do polígono é dada por
2
sin
2
n
n
A
n

 
  
 
83.3. Determine e interprete o valor de lim n
n
A

.
84. Indique qual das expressões seguintes define uma função injetiva, de domínio .
(A) cos x (B) 2
x x
 (C) 1
x  (D) 3
x
85. Na figura está representado um
triângulo [ABC].
Tem-se que:
 x designa a amplitude do ângulo
BAC;
 a amplitude do ângulo BCA é igual
ao dobro da amplitude do ângulo
BAC;
 a altura BD é igual a 10.
Seja  
2
75 25tan
tan
x
g x
x


85.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por  
g x , para qualquer 0,
4
x

 
 
 
.

matA12
trigonometria
43 / 52
85.2. Considere o triângulo [ABC] quando
4
x

 .
Classifique-o quanto aos ângulos e quanto aos lados e prove que a sua área ainda é dada
por  
g x .
86. Na figura estão as representações
gráficas de duas funções, f e g, de
domínio  
0,2 , definidas por:
    
sin 2
f x x
 ;
  
5
cos 2
6
g x x

 
 
 
 
;
 1 2 3
, ,
P P P e 4
P são pontos de
interseção dos gráficos de f e de g;
 a abcissa de 1
P é
3

.
86.1. Mostre que são perpendiculares as retas tangentes aos gráficos de f e de g no ponto 1
P .
86.2. Determine as coordenadas de 2
P .
86.3. Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.
87. Considere a função :
f  , definida por  
2 1
1 0
sin
0
x
x e se x
f x x x
se x
x

  

  



87.1. Estude a função f quanto à continuidade.
87.2. Mostre que f admite um único máximo no intervalo  
,0
 e determine-o.
87.3. Seja r a reta de equação 1
y  .
Mostre que existem infinitos pontos de interseção da reta r com o gráfico de f.

matA12
trigonometria
44 / 52
88. Para um certo número real k, é contínua a função m definida por  
2
0
sin
0
x
e k se x
m x x
se x
x
  

 



O valor de k é
(A) 1
 (B) 0 (C) 1 (D) 2
89. Na figura
 o triângulo [ABC] é isósceles  
AB BC
 ;
 [DEFG] é um retângulo: 2
DG  e 1
DE  ;
 x designa a amplitude do ângulo BAC.
89.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada, em
função de x, por
 
1
2 tan
tan
f x x
x
   0,
2
x

 
 

 
 
 
 
Nota: pode ser-lhe útil reparar que ˆ
ˆ
BEF BAC
 .
 
2 2
cos 2
'
sin .cos
x
f x
x x
  ( '
f designa a derivada de f).
89.3. Determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ABC] é minha.
90. Considere a função f definida por    
2
sin
f x x
 .
Indique qual das expressões seguintes define '
f , função derivada de f.
(A)  
2
2 .cos
x x (B)  
2
cos x
(C)  
2 .cos 2
x x (D)  
2
cos x


matA12
trigonometria
45 / 52
91. A figura abaixo representa um canteiro de forma circular
com 5 m de raio.
O canteiro tem uma zona retangular, que se destina à
plantação de flores, e uma zona relvada, assinalada a
sombreado na figura.
Os vértices A, B, C e D do retângulo pertencem à
circunferência que limita o canteiro.
Na figura estão também assinalados:
 dois diâmetros da circunferência, [EG] e [HF], que
contém os pontos médios dos lados do retângulo;
 o centro O da circunferência;
 o ângulo BOF, de amplitude x 0,
2
x

 
 

 
 
 
 
.
91.1. Mostre que a área (em m2
) da zona relvada é dada, em função de x, por
   
25 50sin 2
g x x

 
91.2. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que existe um valor de x compreendido entre
6

e
4

para o qual a área da zona relvada é 30 m2
.
92. Duas povoações, A e B, distanciadas 8 km uma da
outra, estão a igual distância de uma fonte de
abastecimento de água, localizada em F.
Pretende-se construir uma canalização ligando a
fonte às duas povoações, como se indica na figura
abaixo. A canalização é formada por três canos:
um que vai da fonte F até um ponto P e dois que
partem de P, um para A e outro para B. O ponto P
está a igual distância de A e de B.
Tem ainda que:
 o ponto M, ponto médio de [AB], dista 4 km de F;
 x é uma amplitude de ângulo PAM 0,
4
x

 
 

 
 
 
 
.
92.1. Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é
dado por
 
8 4sin
4
cos
x
g x
x

 
(Sugestão: comece por mostrar que
4
cos
PA
x
 e que 4 tan
FP x
  )

matA12
trigonometria
46 / 52
0
g e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e
consequente comprimento.
92.3. Determine o valor de x para o qual o comprimento total da canalização é mínimo.
93. Um navio encontra-se atracado num porto.
A distância h, de um dado ponto do casco do navio ao fundo do mar, varia com a maré.
Admita que h é dada, em função do tempo x, por    
10 3cos 2
h x x
  .
A distância desse ponto do casco ao fundo do mar, no momento da maré-alta, é
(A) 4 (B) 10 (C) 13 (D) 16
94. Na figura ao lado pode observar-se parte da
representação gráfica da função f definida por
     
cos .ln 1
f x x

 
Os pontos P, Q, R e S são pontos de interseção
do gráfico da função f com o eixo das abcissas.
A abcissa do ponto P é
(A)
1
2
(B) 1 (C)
3
2
(D) 2
95. Uma roda gigante de um parque de diversões tem doze cadeiras, numeradas de 1 a 12, com
um lugar cada uma (ver figura abaixo). Seis raparigas e seis rapazes vão andar na roda
gigante e sorteiam entre si os lugares que vão ocupar.
Depois de toda a gente estar sentada nas respetivas cadeiras, a roda gigante começa a girar.
Um dos rapazes, O Manuel, ficou sentado na cadeira número 1. No instante em que a roda
gigante começa a girar, a cadeira está na posição indicada na figura.

matA12
trigonometria
47 / 52
Admita que a distância, em metro, da cadeira 1 ao solo, t segundos a roda gigante ter
começado a girar, é dada por
  7 5sin
30
d t

 
   
 
95.1. Determine a distância a que a cadeira número 1 se encontra do solo no instante em que a
roda gigante começa a girar.
95.2. Esboce o gráfico da função d, para  
0,75
t .
Assinale as coordenadas dos pontos correspondentes aos extremos da função.
Da análise do gráfico, indique quanto tempo demora o Manuel a dar uma volta completa.
95.3. Resolva a equação   9,5
d t  para  
0,75
t .
Indique, justificando, quanto tempo demora o Manuel a encontrar-se pela primeira vez a
uma distância de 9,5 metros do solo, depois da roda gigante ter começado a girar.
95.4. Indique, justificando, qual é o comprimento do raio da roda gigante.
96. Uma função real de variável real f é tal que  
0 1
f  .
Indique qual das seguintes expressões pode definir a função f.
(A)
2
1
x
x


(B)
ln
1
x
x 
(C) tan 3
2
x

 

 
 
(D) sin
2 x
97. Indique qual das seguintes figuras pode ser parte da representação gráfica da função definida
por  
1
sin
s x
x
 .
(A) (B)

matA12
trigonometria
48 / 52
(C) (D)
98. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revolução
como o representado na figura junta.
A base do cilindro tem centro na origem O do referencial e está
contida no plano xOy.
[BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy. O ponto
C tem coordenadas  
0, 5,0
 .
O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior do
cilindro e tem coordenadas  
4,3,0 .
A reta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz.
O ponto D pertence à reta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro.
Designando por  a amplitude, em radianos, do ângulo BOD, mostre que o volume do
cilindro é dado por   125 tan
V   
 , com 0,
2


 
 
 
.
Determine  
_
2
lim V




e interprete o resultado obtido.
99. Dos quatro ângulos seguintes, um deles tem 1 radiano de amplitude. Identifique-o.
(A) (B) (C) (D)

matA12
trigonometria
49 / 52
100. Seja s a função definida em por  
sin x se x
s x
x se x

 


 
 

Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira.
(A) s é descontínua em x 
 (B) s tem um mínimo relativo para x 

(C) s tem um máximo relativo para x 
 (D) s tem derivada em x 

101. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície
esférica de equação 2 2 2
25
x y z
   .
A superfície esférica está representada na figura junta.
 os pontos A, B e C são pontos dessa superfície;
0,4,3 ;
 o ponto B tem coordenadas  
0, 4,3
 ;
 o ponto C é um ponto de cota negativa do eixo Oz.
Calcule  
ˆ
tan ACB .
Bom trabalho!!

matA12
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Principais soluções
1.
2 3
3
a  
2. (C)
3.
3.1.
2 8
,2,
3 3
3.2.
4. (B)
5.
6. (B)
7.
11
5
k 
8. (C)
9.  
32 2
9
A  
10.(C)
11.
11.1.
4

11.2.Concavidade voltada para cima:
; ;
2 6 6 4
   
   
  
   
   
Concavidade voltada para baixo:
;
6 6
 
 

 
 
Abcissas dos pontos de inflexão:
6
x

  e
6
x


12.
13.
13.1.
13.2.
14.Não é continua em 1
x  .
15.
15.1.
15.2. 12

16.(A)
17.
6
a

 
18. 0
x  quando 0
x 

19.
19.1.
19.2.
20.
20.1.
20.2.  
3
'
2
P  
21.
21.1.
21.2.
3
x


22.(A)
23.
23.1.
1
20

23.2.Concavidade voltada para baixo em todo o
domínio
2
,
3 3
 
 
 
 
 
23.3.
24.(A)
25.(C)
26.
26.1.
7
12

26.2.
27.f é contínua em 1
x  .
28.
28.1.
28.2.Afirmação verdadeira.
29. 2,63
x 
30.
30.1.
30.2.
2

 
31. 2
b  
32.
32.1.
32.2.
4

 
33.
33.1.
33.2.
10
3

33.3. 0,24
x 
34.
34.1. 2
y x

34.2.   0,2
ABC
A 
35.(D)
36.(A)
37.(D)
38.
38.1.I é verdadeira e II é falsa.
38.2.   2
cos 9 sin
d x x x
  
39.
39.1.  
' 0 4
g 
39.2.Estritamente crescente:

matA12
trigonometria
51 / 52
3
0, ,
8 8 2
  
   

   
   
Estritamente decrescente:
3
,
8 8
 
 
 
 
Máximo relativo
3 para
8
x


Mínimo relativo
1 para
3
8
x


40.Assíntotas verticais
0
x 
Assíntota horizontal
0
y 
41.(A)
42.(C)
43. 1,36
a  ; 4,61
b 
44.
3

 
45.
45.1.
45.2.
46.(D)
47.
47.1.Distância máxima: 152,1
Distância mínima: 147,1
47.2.
47.2.1.
47.2.2. 147,1 milhões de quilómetros
48.(C)
49.
49.1.
3
2
49.2. 0,5
t 
50. 3,37
a 
0,63
b 
51.(A)
52.
52.1.
52.2.Assíntotas verticais:
x 
 ; 2
x 

53.(A)
54.
54.1.
54.2. 0,42
x 
55.(D)
56.
56.1.6 vezes
56.2.3,4 cm
57.(B)
58.
58.1.503 m3
58.2.3,4 radianos
58.3.98 m3
58.4.Gráfico B
59.(B)
60.
60.1.  
' 0 2
f 
60.2.Concavidade voltada para cima:
 
0,
3
,0 ,
2 2
 

   
 
   
   
0
x  e x 

60.3.
4
x

 e
5
4
x


61.Deve ser apurada para a final.
62.(B)
63.
63.1.   1
f  
63.2. 1
a  e 4
b  
64.
64.1.
64.2.  
0 4
A  e 4
2
A

 

 
 
64.3. 0,2
x  ou 1,4
x 
65.(A)
66.
66.1.  
ln 3e
66.2.0, 1, 4, 5 e 6
67.(A)
68.
68.1.
68.1.1.  
' 0 2
f 
68.1.2. Concavidade voltada para cima:
5
, ,
6 6
 
 
   
 
   
   
5
,
6 6
 
 
 
 
6
x

 e
5
6
x


68.2. 1,03

69.
69.1.

matA12
trigonometria
52 / 52
69.2.  
_
2
lim 4
x
f x



69.3.  
' 0
f x  , logo  
f x é crescente.
70.(B)
71.
71.1.Assíntotas verticais:
x 
  ; x 

71.2.Máximo  
1
0
2
f  .
71.3.
5
36
A


72.(A)
73.
73.1.
73.1.1.
73.1.2.
5 6 3
,2 2
6


 


 
 
73.2.3,8
74.
74.1.
74.2.  
_
2
lim
x
A x


 
75.(A)
76.
76.1.
76.1.1. A função não é contínua no ponto 0. A
função é contínua à direita de 0
76.1.2.
76.2.  
0,7;0,5
A
77.
77.1.  
lim 1
x
f x


77.2.Não é conclusivo.
78.(D)
79.
79.1.
79.2.
79.3.
80.
80.1.2031
80.2.229º
81.(D)
82.
82.1.  
84 12,336
f 
Pôr-do-sol: 18h e 50 m
82.2.38 dias.
83.
83.1.
83.2.
83.3. lim n
n
A 

 . Área do círculo.
84.(D)
85.
85.1.
85.2.Triângulo retângulo e isósceles.
86.
86.1.
86.2. 2
5 3
,
6 2
P

 
 
 
 
 
86.3.  
5
0 cos 2 sin 2
3 3
x x y x
 
 
     
 
 
87.
87.1.Continua em  
0
87.2.  
4
2 1
f
e
  
87.3.
88.(B)
89.
89.1.
89.2.
89.3.
4

90.(A)
91.
91.1.
91.2.
92.
92.1.
92.2.  
0 12
g 
92.3.
6
x


93.(C)
94.(C)
95.
95.1.  
0 7
d 
95.2.
95.3. 5
t 
95.4.2,5 m
96.(D)
97.(A)
98.  
_
2
lim V




 
99.(C)
100. (B)
101.   4
ˆ
tan
3
ACB 

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