1. 88oo ΚΚΚΑΑΑΛΛΛΟΟΟΚΚΚΑΑΑΙΙΙΡΡΡΙΙΙΝΝΝΟΟΟ
ΜΜΜ ΑΑΑ ΘΘΘ ΗΗΗ ΜΜΜ ΑΑΑ ΤΤΤ ΙΙΙ ΚΚΚ ΟΟΟ ΣΣΣ ΧΧΧ ΟΟΟ ΛΛΛ ΕΕΕ ΙΙΙ ΟΟΟ
Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
8ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

3. ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Οι σημειώσεις που κρατάτε στα χέρια σας έχουν σκοπό την υπο-
στήριξη του διδακτικού έργου κατά τη διάρκεια του 8ου Καλοκαι-
ρινού Μαθηματικού Σχολείου που διοργανώνει η Ελληνική Μαθη-
ματική Εταιρεία τον Αύγουστο του 2014.
Αναφέρονται τόσο σε θεωρία όσο και σε ασκήσεις και
προβλήματα. Η έκτασή τους είναι πολύ μεγαλύτερη από τις ανάγκες
της διδακτικής εβδομάδας του Καλοκαιρινού Σχολείου. Ο σκοπός
μας είναι να δοθεί κίνητρο στον μαθητή που αγαπάει τα Μαθη-
ματικά να ασχοληθεί με αυτά κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους.
Πιστεύουμε ότι θα σας βοηθήσουν τόσο στα Μαθηματικά του
σχολείου, όσο και στην προσπάθειά σας για επιτυχία στους
μαθηματικούς διαγωνισμούς.
Ιούλιος 2014
Η Επιτροπή Διαγωνισμών της ΕΜΕ

5. Κατάλογος περιεχομένων
Σημειώσεις Άλγεβρας, Ν. Ζανταρίδης ....................................................... 3 - 23
Θεωρία και Προβλήματα Γεωμετρίας, Βαρβεράκης Α................................ 24 - 41
Σημειώσεις Διαιρετότητας, Αλ. Συγκελάκης .............................................. 42 - 60
Ασκήσεις Διαιρετότητας, Αλ. Συγκελάκης .................................................. 61 - 82
Σημειώσεις Συνδυαστικής, Α. Πούλος ......................................................... 83 - 91

7. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ
Περιληπτική Θεωρία
1. Σύνολα Αριθμών
• Το σύνολο των φυσικών αριθμών: Ν = {0,1, 2,3,...}
• Το σύνολο των ακεραίων αριθμών: Ζ = {...,−2,−1,0,1, 2,...}
• Το σύνολο των ρητών αριθμών: Q / , {0} α
⎧ ⎫
= ⎨ α ∈Ζ β
∈Ζ − ⎬
⎩ β
⎭
• Το σύνολο των πραγματικών αριθμών: R
• Το σύνολο των άρρητων αριθμών: Q' = R −Q
• Τα σύνολα: Ν* = Ν −{0}, Ζ* = Ζ −{0}, Q* = Q −{0}, R* −{0}
2. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών
• Έστω α ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Ονομάζουμε
δύναμη με βάση το α και εκθέτη τον ν έναν πραγματικό αριθμό τον οποίο
συμβολίζουμε με αν και ο οποίος ορίζεται ως εξής:
, 1
α αν ν
= = ⎨ ⋅⋅⋅ ⎧⎪
>
α α α α αν ν
. . . , 1
ά
ν
ν παρ γοντες
⎪⎩
14243
Αν επιπλέον είναι α ≠ 0 , τότε ορίζουμε: α 0 =1 και − ν = 1 , ∈ Ν
*
ν α ν
α
• Ιδιότητες
1. ακ ⋅α λ =ακ +λ
α
κ
2.
κ λ
λ
α
α
= −
3. ( )ακ ⋅β κ = α ⋅β κ
4.
κ κ
κ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
α α
β β
5. ( )ακ λ =ακλ
όπου α ,β πραγματικοί αριθμοί και κ ,λ ακέραιοι.
Οι παραπάνω ισότητες είναι έγκυρες με την προϋπόθεση ότι ορίζονται οι δυνάμεις
και οι πράξεις που σημειώνονται.
3

8. 3. Τετραγωνική ρίζα
• Ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού x και τη
συμβολίζουμε με x , τον μη αρνητικό αριθμό που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας
δίνει τον αριθμό x .
• Έτσι έχουμε: ( )2
x = x , για κάθε x ≥ 0 .
• Ιδιότητες:
1. x2 = x , για κάθε x∈R
2. α ⋅ β = α ⋅β , για κάθε α ,β ≥ 0
3.
α α
β β
= , για κάθε α ≥ 0 και β > 0 .
4. Αλγεβρικές παραστάσεις-Μονώνυμα-Πολυώνυμα
• Αριθμητικές παραστάσεις ονομάζονται οι παραστάσεις που περιέχουν μόνο
αριθμούς με πράξεις μεταξύ αυτών.
π.χ. Α = (−1)2 + 53 ⋅(−2)4
• Αλγεβρικές παραστάσεις ονομάζονται οι παραστάσεις που εκτός από
αριθμούς περιέχουν και μεταβλητές.
x y y z
x
π.χ. 2
2
2
5
+
Α = + ⋅
+
Αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές μιας αλγεβρικής παράστασης με
αριθμούς, τότε ο αριθμός που θα προκύψει μετά την εκτέλεση των πράξεων λέγεται
αριθμητική τιμή ή απλά τιμή της αλγεβρικής παράστασης.
• Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια όταν μεταξύ των μεταβλητών της
γίνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης - αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού και
επιπλέον οι εκθέτες των μεταβλητών είναι φυσικοί αριθμοί.
π.χ. Α = 32x2 y3 + 7y2 − 4z20
• Μια αλγεβρική παράσταση στην οποία σημειώνεται η πράξη του
πολλαπλασιασμού μεταξύ αριθμού και μιας ή περισσότερων μεταβλητών ονομάζεται
μονώνυμο.
π.χ. 13x2 y3
Ο αριθμητικός παράγοντας ενός μονωνύμου λέγεται συντελεστής του μονωνύμου.
Σε ένα μονώνυμο, το γινόμενο όλων των μεταβλητών του(μαζί με τους εκθέτες
τους) λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου.
π.χ. Ο συντελεστής του μονωνύμου −7x2 y3 είναι το −7 και το κύριο μέρος του
είναι το x2 y3
• Δύο μονώνυμα που έχουν ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια.
π.χ. Τα μονώνυμα −7x3 y2 και 13x3 y2 είναι όμοια.
• Δύο όμοια μονώνυμα που έχουν ίδιο συντελεστή λέγονται ίσα μονώνυμα.
• Δύο όμοια μονώνυμα που έχουν αντίθετους συντελεστές λέγονται αντίθετα
μονώνυμα.
• Σε ένα μονώνυμο ο εκθέτης μιας μεταβλητής του λέγεται βαθμός του μονωνύμου
ως προς τη μεταβλητή αυτή.
4

9. π.χ. Το μονώνυμο 2x3 y2 είναι τρίτου βαθμού ως προς x και δευτέρου βαθμού ως
προς y .
• Σε ένα μονώνυμο το άθροισμα των εκθετών κάποιων μεταβλητών του λέγεται
βαθμός του μονωνύμου ως προς τις μεταβλητές αυτές.
π.χ. Το μονώνυμο 14x2 y3z είναι 6ου βαθμού ως προς τις μεταβλητές x, y, z .
• Άθροισμα δύο ομοίων μονωνύμων είναι ένα όμοιο με αυτά μονώνυμο, που έχει
συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους.
• Γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει:
1) Συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους
2) Κύριο μέρος που αποτελείται από το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με
εκθέτη σε κάθε μεταβλητή το άθροισμα των εκθετών της που εμφανίζονται
στα μονώνυμα.
π.χ.1: 7x3 y4 + 3x3 y4 =10x3 y4
π.χ.2: (7x3 y4 )⋅(3x3 y5z) = 21x6 y9z
• Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με
τον αντίστροφο του διαιρέτη.
π.χ.
2 3
7 7 2
2 2
x y =
xy
xy
• Πολυώνυμο είναι ένα μονώνυμο ή άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια
μεταξύ τους.
• Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου.
• Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή του λέγεται ο μεγαλύτερος εκθέτης
που εμφανίζεται σε δύναμη της μεταβλητής αυτής σε όρο του πολυωνύμου.
• Βαθμός πολυωνύμου ως προς δύο ή περισσότερες μεταβλητές του είναι το
μεγαλύτερο άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών σε κάθε όρο του πολυωνύμου.
• Όταν ένα πολυώνυμο έχει μια μόνο μεταβλητή x , τότε το πολυώνυμο αυτό
συμβολίζεται με P(x) ή Q(x) ή A(x) , ή B(x) κ.τ.λ.
• Δύο πολυώνυμα είναι ίσα όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα. Δηλαδή όταν έχουν
τους ίδιους ακριβώς όρους.
π.χ1. Το πολυώνυμο 2x2 y + x3 y2 + xy −3x − 3 είναι
3ου βαθμού ως προς x
2ου βαθμού ως προς y
5ου βαθμού ως προς x και y
π.χ.2. Τα πολυώνυμα 3x2 − 5x + 3, −5x + 3+ 3x2 είναι ίσα.
5. Ταυτότητες
Ταυτότητα είναι μια ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες
τις τιμές των μεταβλητών αυτών.
5

10. Αξιοσημείωτες ταυτότητες.
1. (α +β )2 =α 2 + 2αβ +β 2
2. (α −β )2 =α 2 − 2αβ +β 2
3. α 2 −β 2 = (α +β )(α −β )
4. α 3 −β 3 = (α −β )(α 2 +αβ +β 2 )
5. α 3 +β 3 = (α +β )(α 2 −αβ +β 2 )
6. (α +β +γ )2 =α 2 +β 2 +γ 2 + 2αβ + 2βγ + 2γα
7. (α +β )3 =α 3 + 3α 2β + 3αβ 2 +β 3
8. (α −β )3 =α 3 − 3α 2β + 3αβ 2 −β 3
9. αν −βν = (α −β )(αν −1 +αν −2β +αν −3β 2 +...+βν −1 )
( )( )
( ) ( ) ( ) (
3 3 3 2 2 2
α + β + γ − αβγ = α + β + γ α + β + γ − αβ − βγ − γα
=
= + + ⎡⎣ − 2 + − 2
+ − )2 ⎤⎦
. 3
1
2
α β γ α β β γ γ α
10
11. (α 2 +β 2 )(x2 + y2 )− (α x +β y)2 = (α y −β x)2
(Ταυτότητα του Lagrange)
Χρήσιμη πρόταση
Αν α ,β ,γ ∈R τότε ισχύει η ισοδυναμία:
α 3 +β 3 +γ 3 = 3αβγ ⇔(α +β +γ = 0 ή α = β =γ )
6. Εξισώσεις
Α) Εξίσωση της μορφής: α x +β = 0 , όπου α ,β ∈R σταθεροί αριθμοί (ανεξάρτητοι
του x ) και ο x ο άγνωστος.
• Για την εξίσωση α x +β = 0 ισχύουν τα εξής:
1) Αν α ≠ 0 η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x β
α
= −
2) Αν α = 0 και β ≠ 0 η εξίσωση είναι αδύνατη.
3) Αν α = 0 και β = 0 η εξίσωση είναι αόριστη(κάθε αριθμός είναι λύση της)
Β) Εξίσωση της μορφής: α x2 +β x +γ = 0 : (1) όπου α ,β ,γ ∈R με α ≠ 0
• Για την επίλυση της εξίσωσης (1) σημαντικό ρόλο παίζει η παράσταση
Δ = β 2 − 4αγ η οποία λέγεται διακρίνουσα της εξίσωσης (1) και ισχύουν τα
παρακάτω:
1) Αν Δ > 0 , τότε η εξίσωση (1) έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες 1 2 x , x που
x
− ± Δ
=
β
α
δίνονται από τον τύπο: 1,2 2
2) Αν Δ = 0 , τότε η εξίσωση (1) έχει μια (διπλή) ρίζα η οποία είναι η
β
2
ρ
α
= −
3) Αν Δ < 0 , τότε η εξίσωση (1) δεν έχει πραγματική ρίζα.
6

11. 7. Ανισότητες και ανισώσεις
• Ορισμός : Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β και
γράφουμε α > β , όταν η διαφορά α −β είναι θετικός αριθμός.
Σημείωση 1η: Αν είναι α > β , τότε λέμε ακόμη ότι ο αριθμός β είναι μικρότερος του
α και γράφουμε: β <α .
Σημείωση 2η: Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι:
• Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.
• Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.
• Ισχύουν τα παρακάτω:
1. α > β ⇔α −β > 0
2. (α > 0 και β > 0)⇒α +β > 0
3. (α < 0 και β < 0)⇒α +β < 0
4. α , β : ομ ό α
σημοι ⇔ αβ
> 0 ⇔ >
0 β
α
5. α , β : ετερ ό σημοι ⇔ αβ
< 0 ⇔ <
0 β
6. α 2 ≥ 0, για κ άθε α ∈R (η ισότητα ισχύει μόνο όταν α = 0 )
7. Αν α ,β ∈R , τότε ισχύουν:
α 2 +β 2 = 0⇔(α = 0 και β = 0)
α 2 +β 2 > 0⇔(α ≠ 0 ή β ≠ 0)
8. (α > β και β >γ ) ⇒ α >γ
9. α > β ⇔ α +γ > β +γ , (γ ∈R )
10. Αν γ > 0 , τότε: α > β ⇔αγ > βγ
11. Αν γ < 0 , τότε: α > β ⇔αγ < βγ
12. (α > β και γ >δ )⇒α +γ > β +δ
13. Αν α ,β ,γ ,δ είναι θετικοί αριθμοί, τότε ισχύει η συνεπαγωγή:
(α > β και γ >δ )⇒αγ > βδ
14. Για θετικούς αριθμούς α ,β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία:
α > β ⇔α ν > β ν
15. Αν α ,β είναι ομόσημοι αριθμοί, τότε ισχύει η ισοδυναμία:
α > β ⇔ 1 <
1
α β
16. Αν α ,β είναι ετερόσημοι αριθμοί, τότε ισχύει η ισοδυναμία:
α > β ⇔ 1 >
1
α β
17. Βασικές ανισότητες:
α)α 2 +β 2 ≥ 2αβ , ∀α ,β ∈R
β) α 2 +β 2 ≥ −2αβ , ∀α ,β ∈R
γ) α 2 +β 2 +γ 2 ≥αβ +βγ +γα , ∀α ,β ,γ ∈R
7

12. δ) (α +β )2 ≥ 4αβ , ∀α ,β ∈R
ε) 2(α 2 +β 2 ) ≥ (α +β )2 , ∀α ,β ∈R
στ) α 3 +β 3 +γ 3 ≥ 3αβγ , για κ άθε α ,β ,γ ∈R, με α +β +γ ≥ 0
ζ) α +β ≥ 2 αβ , ∀α ,β ≥ 0
() ⎛ 1 1 ⎞
η) α β 4, α ,β 0
+ ⎜ + ⎟ ≥ ∀
α β
⎝ ⎠
>
⎛ ⎞
θ) (α β γ ) 1 1 1 9, α ,β ,γ 0
+ + ⎜ + + ⎟ ≥ ∀ >
α β γ
⎝ ⎠
ι) (α 2 +β 2 )(x2 + y2 ) ≥ (α x +β y)2 , ∀α ,β , x, y∈R
(α 2 +β 2 +γ 2 )(x2 + y2 + z2 ) ≥ (α x +β y +γ z)2 , ∀α ,β ,γ , x, y, z∈R
( 2 2 2 )( 2 2 2 ) ( )2
1 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ... ν ν ν ν α +α + +α β +β + +β ≥ α β +α β + +α β
(όπου: , , 1,2,..., i i α β ∈R i = ν )
ια) αν +κ +βν +κ ≥ανβ κ +ακβν , ∀α ,β ≥ 0, ∀ν ,κ ∈Ν*
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΚΕΡΑΙΟΙ & ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ - ΓΙΝΟΜΕΝΑ
1. Ν.Δ.Ο. για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο ν, ο ακέραιος αριθμός k =ν 2 +ν δεν είναι
τετράγωνο ακεραίου.
2. Ν.Δ.Ο. ο ακέραιος αριθμός k =1+1⋅ 2 +1⋅ 2⋅3+...+1⋅ 2⋅3⋅...⋅ 2009 δεν είναι
τετράγωνο ακεραίου.
3. Να βρείτε την τιμή της παράστασης
1 3 4 5 ... 25 1 1 1 ... 1
k = ⎛⎜ + + + + + ⎞⎟ −⎛⎜ + + + +
2 3 4 24 2 3 4 24
⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
4. Να βρείτε για ποιες τιμές του ακεραίου ν το κλάσμα 5
2ν +1
είναι ακέραιος.
5. Αν x, y, z∈ και ισχύει xy + yz + zx =1 ν.δ.ο. ο αριθμός
(x2 +1) ⋅ ( y2 +1) ⋅ (z2 +1) είναι τετράγωνο ρητού αριθμού.
8

13. 6. Να βρείτε για ποια τιμή του φυσικού αριθμού ν ο αριθμός α =ν 2 + 6ν + 2 είναι
τετράγωνο ακεραίου.
7. Να βρείτε για ποιες τιμές του ακεραίου ν ο αριθμός
2 5
1
ν
α
ν
−
=
+
είναι ακέραιος.
8. Σε μια σειρά γράφουμε τους αριθμούς από το 1 έως το 102. Μπροστά σε κάθε
αριθμό βάζουμε (+) ή (-) . Να εξεταστεί αν η παράσταση Α που προκύπτει μπορεί να
είναι ίση με το μηδέν.
9. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων:
1 2 3 4 5 6 ... 99 100
(4 8 12 ... 200) (2 6 10 ... 198)
Α = − + − + − + − − +
Β = + + + + − + + + +
10. Το γινόμενο 666 ακεραίων είναι ίσο με το 1. Να εξετάσετε αν το άθροισμα αυτών
των ακεραίων μπορεί να είναι ίσο με το μηδέν.
11. Να βρείτε την τιμή της παράστασης:
( 1111 + 2222 + 3333 + ... +
9999
)
( )
2
2
11 22 33 ... 99
Α =
+ + + +
12. Να βρείτε το άθροισμα:
1 1 1 ... 1
1 1 1 1
Α = ⎛ ⎜ + + + + ⎞ + ⎝ + 1 + 2 + 3 + 2004
⎟ ⎠
α α α α
1 1 1 ... 1
1 1 1 1
+ ⎛ ⎞ ⎜ + + + ⎝ + 1 + 2 + 3 + 2004
⎟ ⎠
α − α − α − α −
(ΕΜΕ, 1995)
13. Αν α ,β ,γ , x, y, z∈Z και ισχύει α +β +γ = x + y + z να δείξετε ότι ο αριθμός:
(α − x)(β − y)(γ − z) είναι άρτιος.
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. Να βρείτε σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο καθένας από τους αριθμούς
A =1530 ⋅3015 , B = 6030 ⋅3060 ,Γ =1520 ⋅ 2015
2. Να συγκριθούν οι αριθμοί
( ) ( a = 28 ⋅47 5 ,β = 85 ⋅ 47 )4
3. Να συγκριθούν οι αριθμοί
a = 551,β = 2121 − 460 − 2119
9

14. 4. Αν x ≠ 0 και α ,β ,γ ∈Ζ να δειχθεί ότι:
x x x 1
x x x
+ + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
α α γ γ γ β β β α
=
γ β α
5. Ν.Δ.Ο. ο αριθμός
30 31 32 51
11 12 13 32
8 8 8 ... 8
8 8 8 ... 8
k + + + +
=
+ + + +
είναι κύβος ακεραίου.
6. Ν.Δ.Ο. (2 +1) ⋅ (22 +1) ⋅ (24 +1) ⋅...⋅ (216 +1) = 232 −1
7. Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί α,β,γ , ώστε να ισχύει
2a2 −a + 2β 2 +β +1 + 2γ 2 −γ +2 = 385
8. Δίνεται ο αριθμός A = 292 ⋅590 ⋅341 ⋅725 . Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο Α.
9. Να συγκριθούν οι αριθμοί 3111,1714
10. Να συγκριθούν οι αριθμοί 3371 και 5247
11. Αν α ,β ,γ ∈Ν* και είναι α β γ και 2α + 2β + 2γ =1184 να βρείτε τους
α ,β ,γ .
ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
1. Να βρείτε για ποια τιμή του n∈ * ισχύει
+ =
1 + 1 + ... +
1 19
2 + 1 3 + 2 n + 1 n
2. Ν.Δ.Ο. 1 + 1 + .... +
1 3
16 + 15 15 + 14 2 +
1
=
3. Για τους ρητούς αριθμούς x,y ισχύει x + y + xy =1
Ν.Δ.Ο. ο αριθμός 2(x2 +1)( y2 +1) είναι ρητός.
4. Αν α,β,γ είναι μη μηδενικοί ρητοί και α+β+γ=0 ν.δ.ο. ο αριθμός
1 1 1
a β γ 2
+ + είναι ρητός.
2 2
5.Αν α είναι ένας φυσικός αριθμός
ν.δ.ο. ο αριθμός (a + 6) ⋅ (a + 7) ⋅ (a +8) ⋅ (a + 9) +1 είναι ακέραιος.
6. Αν α,β,γ είναι διαφορετικοί ανά δύο ρητοί αριθμοί
10

15. 1 1 1
ν.δ.ο. ο αριθμός 2 2
Α = + +
(a − β ) (β − γ ) (γ −
α )2
είναι ρητός.
7. Αν για τους ρητούς αριθμούς α,β,γ ισχύει
α +β +γ +αβγ =αβ +βγ +γα + 20092 +1 ν.δ.ο. ο αριθμός
(a −1) ⋅ (β −1) ⋅ (γ −1) είναι θετικός ακέραιος.
8. Α) Ν.Δ.Ο. 1 1 1 , 0
( 1) 1 1 κ
= −
κ + κ + κ κ + κ κ
+
Β) Να βρείτε τον θετικό ακέραιο x, ώστε να ισχύει
1 + 1 + ... + 1 =
2009
2 1 + 1 ⋅ 2 3 2 + 2 ⋅ 3 (x + 1) x + x ⋅ x +
1 2010
9. Αν a,β ,γ * και ισχύει + ∈
a
β γ
= =
a a
β + γ γ + +
β
a a
+ β + γ β +
γ
Ν.δ.ο. + 3 +
2 1
a a
2 3 4 3 5 5 3
α + β + γ + β + γ + β +
γ
=
1 1 1 2
x y z
10. Αν x, y, z∈ * και είναι x + y + z = xyz ν.δ.ο. ο αριθμός 2 2 2
+ + + είναι
ρητός.
11. Αν ν είναι θετικός ακέραιος ν.δ.ο. ο αριθμός ν 2 +ν +1 δεν είναι ακέραιος.
12. Να βρεθούν οι x, y∈R , ώστε να ισχύει:
x2 + 4x +13 + y4 −10y2 + 74 =10
13. Να βρείτε για ποιες τιμές του x∈Z ο αριθμός 3 5
1
x
x
+
+
είναι ακέραιος.
14. Αν 1≤ x ≤ 2 να δείξετε ότι: x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2
15. Α) Να δειχθεί ότι: 1. 7 − 2 10 = 5 − 2
2. 11+ 6 2 + 11− 6 2 = 6
Β) Να δειχθεί ότι: 2 + 2 + 2 + 2 2
16. Αν x, y, z,α ,β ,γ 0 και x y z
= = , να δείξετε ότι:
α β γ
α x + β y + γ z = (α +β +γ )(x + y + z)
17. Να βρεθούν οι α ,β ∈Q αν ισχύει: (α − 2β ) 3 + 3α − 6 = 0 .
11

16. 18. Να δείξετε ότι ο αριθμός x = 2 + 3 είναι άρρητος.
19. Αν x, y,ω 0 και xy + yω +ωx =1, να δείξετε ότι:
( y 2 )( 2 ) ( 2 )( x 2 ) ( x
2 )( y
2 )
1 1 1 1 1 12
+ ω + ω
+ + + +
x y
ω
2 2 2
x y
1 1 ω
1
+ +
+ + +
=
20. Να δείξετε ότι: α) 2 − 3 + 5 − 13+ 48 ∈Q
β) 1+ 3+ 5 +...+ 2011∈Q
21.Αν Α(x) = x + x + x , x ≥ 0 , να δείξετε ότι:
Α(2) + Α(12) + Α(42) + Α(72) + Α(110) 33
22. Να βρείτε για ποιες τιμές του ακέραιου x ισχύει: x + x + 5 ∈Z
23. Να δείξετε ότι ο αριθμός α = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 + 2 ⋅ 2 − 2 + 2 είναι
ακέραιος.
24. Να τραπούν σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητό παρονομαστή τα παρακάτω
κλάσματα:
1 , 1
7 2 2 3
Κ = Κ =
− +
1 , 1
( )
1 2
Κ = Κ =
3 4 10
1 + 2 + 3 + 6 3 +
1
− 5
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΜΟΝΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
1. Δίνονται τα μονώνυμα (5κ +1) ⋅ x2 ⋅ yλ +1 , (4 −κ ) ⋅ xμ −1 ⋅ y5 των μεταβλητών x,y τα
οποία είναι όμοια.
α) Να βρείτε τις τιμές των λ,μ
β) Για ποια τιμή του κ τα μονώνυμα είναι ίσα;
γ) Για ποια τιμή του κ τα μονώνυμα είναι αντίθετα;
δ) Ποιος είναι ο βαθμός των μονώνυμων ως προς x, ως προς y και ως προς x και y;
2. Δίνεται το μονώνυμο −3⋅ xv−2 ⋅ yμ +1 των μεταβλητών x,y. Για ποιες τιμές των ν,μ το
μονώνυμο είναι 2ου βαθμού ως προς x και 5ου βαθμού ως προς y;
3. Να βρείτε για ποια τιμή του θετικού ακεραίου ν η παράσταση x ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅...⋅ xν είναι
μονώνυμο βαθμού 45 (ως προς x)
12

17. 4. Δίνεται το μονώνυμο (2a −1) ⋅ xβ −1 ⋅ y3 των μεταβλητών x,y. Να βρείτε:
α) Για ποια τιμή του β το μονώνυμο είναι μηδενικού βαθμού ως προς x,
β) Την τιμή του β ώστε το μονώνυμο να είναι όμοιο με το 5⋅ x5 ⋅ y3
γ) Τις τιμές των α,β ώστε το μονώνυμο να είναι ίσο με το 5⋅ x2 ⋅ y3
δ) Την τιμή του α για την οποία το μονώνυμο είναι μηδενικό
5. Να βρεθούν τα ν,μ ώστε η παράσταση 2 2 3 7
⋅ x −μ ⋅ yν − + x ⋅ y5−ν
4
να είναι μονώνυμο.
6. Δίνεται το πολυώνυμο Q(x) = (x − a)(x −β ) + (x −β )(x −γ ) + (x −γ )(x − a )
,οπου
α,β,γ διαφορετικοι ανα δυο πραγματικοι αριθμοι.
Ν.Δ.Ο. 1) 1 + 1 + 1 =
0
Q(a) Q(β ) Q(γ )
a
Q a Q Q
β γ
β γ
2) + + =
0
( ) ( ) ( )
7. Για το πολυώνυμο P(x) ισχύει P(2x +1) = 4x2 + 6x + 3. Να βρείτε το P(x).
8. Αν για το πολυώνυμο P(x) ισχύει Ρ(0)=1 και P(P(x)) = 4x + 3, να βρείτε το Ρ(7)
9. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = (x7 + x +1)(x4 − x +1)(x2 + x −1)10
α) Να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου P(x)
β) Να βρείτε τον σταθερό όρο του πολυωνύμου P(x)
γ) Να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών του P(x)
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
1. Ν.Δ.Ο.
1) (a +β )2 + (a −β )2 = 2(a2 +β 2 )
2) (a +β )2 − (a −β )2 = 4aβ
3) (a + 2β )2 + (a + 3β )2 − 2(a + 2β )(a + 3β ) = β 2
4) (a −β )(a +β )(a2 +β 2 )(a4 +β 4 ) = a8 −β
8
5) (2a +β )3 −3(2a +β )2 (a + 2β ) + 3(2a +β )(a + 2β )2 − (a + 2β )3 = (a −β )
3
)2
6) (a +β )2 + 2γ (a +β ) +γ 2 = (a +β +γ
7) (a −1)(a +1)(a2 +1)(a4 +1)(a16 + a8 +1) = a24 −1
2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β στις παρακάτω περιπτώσεις:
α) Αν ισχύει a2 +β 2 = 2(a −β ) − 2
β) Αν ισχύει 4a2 +β 2 = 4(a −β ) −5
3. Να βρείτε την τιμή της παράστασης
2 2 911 912 911 912
912 911 912 911
A = ⎛⎜ + ⎞⎟ − ⎛⎜ −
⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
13

18. 4. Ν.Δ.Ο. ο αριθμός
α) 743 −33 είναι πολλαπλάσιο του 71
β) 59 + 1
είναι πολλαπλάσιο του 126
γ) 312 − 1
διαιρείται με τον αριθμό 80
5. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύει α+β=3 και α·β=1 να βρείτε τις τιμές
των παραστάσεων
1 1
a β 2
A = a2 +β 2 , B = a3 +β 3 , Γ = 2a2β + 2aβ 2 , 2
Δ = + ,
E a β
= +
2 2
β α
6. Α) Να υπολογίσετε το άθροισμα 1
1 1 ..... 1
1 2 2 3 ( 1)
S
ν ν
= + + +
⋅ ⋅ +
Β) Να υπολογιστεί το άθροισμα
2 2 2 2
1 2 1 3 2 ... 2010 2009
1 1 2 2 3 3 2010 2010
S − − −
= + + + +
2 4 4 4 4
+ + + +
7. Αν α,β,γ είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει
2(aβ −γ 2 ) = (α +β )(α +β − 2γ ) ν.δ.ο. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.
1 1 1 1 ... 1 1 101
⎛ − ⎞ ⋅⎛ − ⎞ ⋅ ⋅⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8. Ν.Δ.Ο. 2 2 2
2 3 100 200
9. Δίνεται η παράσταση A(x) = x2 +1 + x, x∈
α) Ν.Δ.Ο. A(x)A(-x)=1
β) Ν.Δ.Ο. οι αριθμοί
a A A A A
β A A A A
(1) (2) (3) ... (2009)
( 1) ( 2) ( 3) ... ( 2009)
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
είναι αντίστροφοι.
γ
10. Αν 22
a 0
+ β + = και αβγ=10, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
⎛⎜ γ = + ⎞⎟ (
+ β
) 2
2 2 2
A a a a
2
⎝ ⎠
(ΕΜΕ Θαλής 2006)
222223 444441 222220 222216
A ⋅ ⋅ +
11. Ν.Δ.Ο. ο αριθμός 2
= είναι ακέραιος
222222
(ΕΜΕ Αρχιμήδης 2003)
12. Να δειχθεί ότι:
i) (α 2 +β 2 )(x2 + y2 )− (α x +β y)2 = (α y −β x)2
ii) ( )( ) ( )
2 2
2 2 2 x2 y2 z2 x y z 2
2
α β α γ β γ
α +β +γ + + − α +β +γ = + +
x y x z y z
14

19. (όπου:
κ λ
= ⋅ − ⋅ )
κ ν μ λ
μ ν
(Ταυτότητα του Lagrange)
13. Αν α ,β ,γ ∈R*, α +β +γ ≠ 0 και ισχύει: 1 + 1 + 1 =
1
+ +
,
α β γ α β γ
να δείξετε ότι:
1 + 1 + 1 =
1
α 2011 β 2011 γ 2011 α 2011 + β 2011 +
γ
2011
14. Αν α ,β ,γ ∈R και (α +β +γ )3 =α 3 +β 3 +γ 3 να δείξετε ότι:
(α +β +γ )2011 =α 2011 +β 2011 +γ 2011
(Υπ. Ισχύει: (α +β +γ )3 =α 3 +β 3 +γ 3 + 3(α +β )(β +γ )(γ +α ) )
15. Αν x, y, z∈R* και xy + yz + zx = 0 να δείξετε ότι:
α) x + y, y + z, z + x∈R −{0}
β) ( )
x 2 + y 2 y 2 + z 2 z 2 +
2
+ + x = 4 x + y +
z
x + y y + z z +
x
16. Αν α ,β ,γ είναι τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει:
α β β γ γ α
0
γ α β
− − −
+ + = , να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
17. Αν α ,β ,γ είναι τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει:
− − −
α β β γ γ α
αβ βγ γα
0
+ +
1 1 1
+ + +
= , να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
⎛ ⎞
18. Αν (α β ) 1 1 4, α ,β R*
+ ⎜ + ⎟ = ∈
α β
⎝ ⎠
, να δειχθεί ότι α = β
19. Αν α ,β ∈R και α +β =1, να δείξετε ότι:
α) α 3 +β 3 + 3αβ =1
β) α 3 (β +1) −β 3 (α +1) =α −β
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ
1. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις
1)3x2 +12x 4) 2x3 − 4x2 y
2) xy2 − x2 y 5) 2x2 y − x
3) 7x2 y3 +14x3 y2 6) xy − x3
15

20. 2. Να κάνετε γινόμενο τις παρακάτω παραστάσεις
1) ax + aψ − 2aω
2) (a +β )x − (a +β ) y
3) (a −β )x − (β − a) y
4) a(x − y) − 3x + 3y
5) (3x + 2y)(a −β ) + (β − a)(x + y)
3. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις
α) x2 + xy − ax − ay δ) xy + x − y −1
β) a2 +βγ +αβ +αγ ε) xy − xω − (ω − y)2
γ) x3 + x2 − x −1 στ) aβ + 2a + 2β + 4
4. Να κάνετε γινόμενο τις παρακάτω παραστάσεις
1)9x2 − 25 4) 4x2 y4 − 9ω2
2) (x + y)2 −ω2 5) x4 −16
3)9a2β 2 −81 6) 2x8 − 2
5. Να κάνετε γινόμενο τις παρακάτω παραστάσεις
1) a3 −1 4) 2x3 −16
2) x3 − 27 5) −2x3 + 5
4
3)8x3 + 1
6) (x −1)3 − ( y −1)3
6. Να γράψετε ως τετράγωνα πολυωνύμων τις παραστάσεις
1) x2 − 6x + 9
4) 25x2 + 40x +16
2)9x2 + 6x +1 5) (x − 2)2 − 6(x − 2) + 9
3) y2 + 6y + 9 6)
3
4(x −1)2 − 4(x −1) +1
7. Να κάνετε γινόμενο τα τριώνυμα
1) x2 + 4x + 4) x2 −5x + 6
2) x2 + 7x + 6 5) x2 − x − 6
3) x2 + 2x −8 6) x2 − 3x −10
8. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις
1) x2 + 2xψ +ψ 2 − x −ψ
2) x2 − y2 − 4y − 4
3) x2 + 2xy + y2 −ω2
4) a2 −β 2 + 2βγ −γ 2
5) x5 + x4 − x −1
9. Να κάνετε γινόμενο τις παραστάσεις
α) K = x4 + x2 +1 β)Λ = x5 + x +1
10. Α) Αν a,β ,γ ∈ και α+β+γ=0 ν.δ.ο. a3 +β 3 +γ 3 = 3aβγ
3
Β) Να γίνει γινόμενο η παράσταση (2x − y)3 + (3x −1)3 + (1− 5x + y)
16

21. 11. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις
1) a2β +β 2γ +γ 2a − aβ 2 −βγ 2 −γα 2
2) a2 (β +γ ) +β 2 (γ + a) +γ 2 (a +β ) + 2aβγ
a
3) a2 (β +γ ) +β 2 (γ + a) +γ 2 (a +β ) + 3 βγ
4) a +β +γ − (aβ +βγ +γα ) + aβγ −1
5) a2 (β −γ ) +β 2 (γ − a) +γ 2 (a −β )
12. Να γίνουν γινόμενο δύο ή περισσότερων πολυωνύμων τα παρακάτω πολυώνυμα:
1. x4 + x3 + 2x2 + x +1
2. x3 + 2x2 + 2x +1
3. x4 + 2x3 + 2x2 + 2x +1
4. x4 + x2 +1
5. x10 + x8 + x6 + x4 + x2 +1
6. 4x4 +1
7. x5 + x4 +1
13. Έστω: f (x) = (x −α )( x −β ) + ( x −β )( x −γ ) + (x −γ )(x −α ), x∈R , όπου:
α ,β ,γ ∈R με α ≠ β ≠γ ≠α . Να δειχθεί ότι:
2 2 2
α β γ
α β γ
α) ( ) ( ) ( )
1
+ + =
f f f
β) f (α ) + f (β ) + f (γ ) 0
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
1. Να λυθεί η εξίσωση
x + x + x + + x =
+ + + +
... 18081
2 1 3 2 4 3 100 99
2. Να λυθεί η εξίσωση
x − x − x + x − x +
30 + 1 + 10 + 3 + 11 =
5
1980 2009 2020 2007 2021
3. Να λυθεί η εξίσωση
x + x + x + x +
1 + 2 + 3 + ... + 99 =
99
2 3 4 100
4. Να λυθεί η εξίσωση λ 2 (x − 2) = 4(x −λ ) για τις διάφορες τιμές του λ ∈
5. Να λυθεί η εξίσωση
x + x + + x =
⋅ ⋅ ⋅
... 1
1 2 2 3 99 100 100
6. Να λυθούν οι εξισώσεις
1)(2x+1)(x-2)=0
2)3(x-1)(x+2)(x-3)=0
17

22. 3) (2x +1)2 − 4(2x +1) = 0
4) (x2 − 4)(x −1) = 2(x2 −1)(x − 2)
5)3(x2 − 2x +1) = 2(x2 −1)
6) x3 − 4x = 0
7) x3 + x2 − x −1 = 0
8) x3 + 2x2 − x − 2 = 0
7. Να λυθεί η εξίσωση (x −1)4 + (2x5 − x −1)8 =
0
8. Να λυθεί η εξίσωση
2x + 4x + 6x +...+100x = (x + 3x + 5x +...+ 99x) + (1+ 3+ 5 +...+ 99)
9. Να λυθούν οι εξισώσεις
x − 8 x − 6 x − 4 − − −
1) + + = x 2001 + x 2003 +
x 2005
2000 2002 2004 7 5 3
x − x − x − x −
2) 20 + 19 + 18 + 17 =
4
2006 2007 2008 2009
10. Να λυθούν οι εξισώσεις
1) 2x2 − x −1 = 0
2) (x +1)2 + (x − 2)2 =10x + 5
( x − 1)2 − 1 −
3)
+ x 4 =− x −
1
3 5
2
0
4) (x −1)3 +10 = (x +1)3 − (x − 2)
11. Ν.Δ.Ο. η εξίσωση 2x2 + 2(λ −1)x −λ = έχει δυο λύσεις πραγματικές και άνισες
για οποιοδήποτε λ ∈
12. Να λυθεί η εξίσωση x2 + 2aβ x + a2 (β 2 −γ 2 ) = 0, α ,β ,γ ∈R
13. Να κάνετε γινόμενο τα παρακάτω τριώνυμα:
1) x2 − 4x + 3 4) 2x2 − x −1
2) x2 −5ax + 6a2 5) 4x2 − x −3
3) 3x2 − ax −3a2 6) −2x2 − x + 3
14. Να λυθούν οι εξισώσεις
x
2 1 10
1
1) 2 2 2
+
+ +
x − x + x x −
x
=
1 1 2
x 3 x 1 x 4x
2) − =
2
− − − +3
15. Να λυθεί η εξίσωση:
1 + 1 + 1 + ... +
1
x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 20 x 21 310
( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( + )( +
)
= 21
18

23. 16. Αν η εξίσωση:
(λ 2 + 4μ 2 − 6λ − 4μ +10) x = λ + 2μ ,
δεν έχει μοναδική λύση στο R , τότε να δείξετε ότι είναι αδύνατη.
17. Να λυθεί η εξίσωση:
x + x + x + x + x +
+ + = + + x
3 4 5 2 1
6 7 8 5 4 3
ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
1. Αν 2x3 και 1y2 ν.δ.ο.
α) 7 2x + 3y 12
β) −2 2x −3y 3
γ)1 x
3
y
2. Αν α,β1 ν.δ.ο.
1) (a + 2)(β + 3) 12
2) (a −1)(β −1) 0
3) aβ +1 a +β
3. Αν α,β,γ 1 ν.δ.ο. a +β +γ +αβγ 1+αβ +βγ +γα
4. Αν α,β,γ 0 ν.δ.ο.
a β
1) 2
a
β
+ ≥
⎛ ⎞
2) (a ) 1 1
+ ⎜ + ⎟ ≥
a
β
β
⎝ ⎠
4
3)
2 2
+ +
2
a a
a
β β
≥
β
+
4) a3 +β 3 ≥ aβ (a +β )
5) a 6
+ β β + γ γ +
α
+ + ≥
γ β
a
⎛ ⎞
6) (a β γ
) 1 1 1
+ + ⎜ + + ⎟ ≥
a
β γ
⎝ ⎠
9
7)
a2 β 2 β 2 γ 2 γ
2 a2 a
a a
β γ
+ + +
+ + ≥ +
β β γ γ
+ + +
+
a β
1 1
8) 2 2
+ ≥ +
a a
β β
5. Ν.Δ.Ο. α) a2 +β 2 +γ 2 ≥ aβ +βγ +γα , (a,β ,γ ∈ )
β) a2 + 2β 2 +γ 2 ≥ 2β (a +γ ), (a,β ,γ ∈ )
19

24. γ) a2 + 4β 2 ≥ 2a − 4β − 2 , (a,β ,γ ∈ )
6. α) Αν α,β0 ν.δ.ο.
a 2
≥ 2a −
β
β
β) Αν α,β,γ0 ν.δ.ο.
a2 β 2 γ
2 a
+ + ≥ + +
a
β γ
β γ
7. Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
A = a2 + 27β 2 −10aβ −8β + 8, (a,β ∈ ) . Για ποιες τιμές των α, β η παράσταση Α
γίνεται ελάχιστη;
8. Α) Ν.Δ.Ο. για κάθε x, y,ω ∈ ισχύει x2 + y2 +ω2 ≥ xy + yω +ωx
Β) Αν a,β ,γ ≥ 0 ν.δ.ο.
(2a2 +β 2 +γ 2 )(2β 2 +γ 2 + a2 )(2γ 2 + a2 +β 2 ) ≥ (a +β )2 (β +γ )2 (γ + a)2
9. Α) Ν.Δ.Ο. (a +β )2 ≥ 4aβ ,(a,β ∈
)
Β) Αν α,β,γ0 ν.δ.ο. 1 1 1 2 1 1 1
⎛ ⎞
+ + ≥ ⎜ + + ⎟ ⎝ + + +α ⎠
a β γ a β β γ γ
)
10. Α) Ν.Δ.Ο. a2 − 2a + 2 0, (a∈
Β) Ν.Δ.Ο. για κάθε a∈ ισχύει 2
+ ≥
2
1 2
2 2
a a
a a
− +
11. Αν a,β ,γ ≥1 ν.δ.ο.
α) 1+ aβ ≥α +β
β) 1
1 1 1
a
a a
β γ
+ +
β γ γ αβ βγ
+ + + + + +
≤
12. Α) Αν α,β1 ν.δ.ο. a +β aβ +1
Β) Αν α,β,γ,δ1 ν.δ.ο. a +β +γ +δ aβγδ + 3
a β
1 1
13. Α) Αν α,β0 ν.δ.ο. 2 2
+ ≥ +
a a
β β
a 2 1 1 1
+ + + ⎛ ⎞
β β γ γ α
γ β β
Β) Αν α,β,γ0 ν.δ.ο. 2 2 2
+ + ≥ ⎜ + + ⎟
a a
⎝ γ ⎠
14. Α) Ν.Δ.Ο. x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx για κάθε x, y, z∈
Β) Αν a,β ,γ ≥ 0 ν.δ.ο.
(a +β )(a +γ ) + (β +γ )(β +α ) + (γ +α )(γ +β ) ≤ 2(a +β +γ )
15. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β,γ,δ για τους οποίους ισχύει
a2 +β 2 +γ 2 +δ 2 = a(β +γ +δ )
20

25. 16. Να λυθεί το σύστημα
2
x x y
y 2
y z
z 2
z
2
5 3
7 5
+ = +
+ = +
+ = +x
17. Αν a,β ,γ ≥ 0 ν.δ.ο.
1) (a2 +β 2 − aβ )(β 2 +γ 2 −βγ )(γ 2 + a2 −γα ) ≥ a2β 2γ 2
2) (a2 + 3a +1)(β 2 + 3β +1)(γ 2 + 3γ +1) ≥125aβγ
18. Θεωρούμε τους αριθμούς A = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ 595 ⋅
597
4 6 8 598 600
2 4 6 ... 596 598
5 7 9 599 601
B = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Ν.Δ.Ο. 1)ΑΒ και
2) 1
A (ΕΜΕ Αρχιμήδης 2009)
5990
19. Αν a,β ,γ ≥ 0 και aβ + βγ + γα =1
ν.δ.ο. a(β 2 +γ 2 ) + β (γ 2 +α 2 ) + γ (α 2 +β 2 ) ≥ 2 αβγ
20. Να συγκριθούν οι αριθμοί
2009 2008
2010 2009
10 1, 10 1
10 1 10 1
A − B −
= =
− −
21. Να βρεθούν οι αριθμοί x.y∈ αν ισχύει
( x − 2009 + 49)⋅( y − 2010 + 41) = 2009
22. Αν α,β0 και αβ=1 ν.δ.ο.
1) a +β ≥ 2
2) a2 +β 2 ≥ a +β
23. Αν α,β,γ1 ν.δ.ο.
1)αβ +1 a +β
2) a 1 1 1 1 1 1
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ + − ⎟⎜ + − ⎟⎜ + − ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
β γ
a
β γ
1
24. Α) Ν.Δ.Ο. a +β ≥ 2 αβ για κάθε α ,β ≥ 0
Β) Αν α ,β ,γ ∈(0,1) και α+β+γ=1 ν.δ.ο. (1− a)(1−β )(1−γ ) ≥ 8aβγ
25. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x,y,ω για τους οποίους ισχύει
x + y +ω = 4 x −1 + 2 y − 2 + 2 z −3
A= + + + + 2, να δείξετε ότι: 99 99
1 1 1 ... 1
2 3 4 100
26. Αν 2 2 2
A
202 100
21

26. 1 1 1
n n 1 n n 1
27. α) Να δείξετε ότι: ( )
= −
+ +
1 1 1 1 1 ... 1 , *
n 2 6 12 20 1 S n
β) Έστω: ( )
= + + + + + + ∈
n n
+
N
i) Να δείξετε ότι: S 2, ∀n∈
N
* nii) Να βρείτε για ποια τιμή του n∈N* είναι: 4021
n 2011 S =
28. Να δείξετε ότι για κάθε x, y, z 0 ισχύουν:
1) x2 y + z ≥ 2x yz
2) 2 2 2
⎛ ⎞
x y z
x y z y z x z x y x y z
1 1 1 1
2
+ + ≤ ⎜ + + ⎟ + + + ⎝ ⎠
29. Να δειχθεί ότι:
( ) ( ) ( ) 5 ( ), , ,
3 3 3 6
x y z y z x z x y
x y z x y z
+ + +
+ ≤ + + ∀ ≥ 0
30. Να δειχθεί ότι:
⎛ ⎞
3xyz xy yz zx 2xyz 1 1 1 , x y z
+ + + ≥ ⎜⎜ + + ⎟⎟ ∀ , , 0
x y z
⎝ ⎠
2 2
x y x y
x y
31. Να δειχθεί ότι: + ≥ 8, ∀ , ∈ ( 1,
+∞
)
1 1
− −
32. Να δειχθεί ότι:
α β γ
+ +
2 2 2 2 2 2
1, α , β , γ
0
α + β β + γ γ +
α
33. Να δειχθεί ότι:
n n
b a n
a b
⎛⎜ + ⎞⎟ + ⎛⎜ + ⎞⎟ ≥ 2 +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1
για κάθε και * , a b R+
∈ n∈ N
34. Αν x, y, z 0 και xyz =1 να δείξετε ότι:
1 + 1 + 1 ≤
1
3 3 3 3 3 3
x + y + 1 y + z + 1 z + x +
1
35. Να δείξετε ότι για κάθε α ,β ,γ ≥ 0 ισχύει:
1.
2 2
2 2
α +β α +
≥
β
2. α 2 +β 2 + β 2 +γ 2 + γ 2 +α 2 ≥ 2 (α +β +γ )
22

27. Γενικές ασκήσεις
1. Να λυθεί το σύστημα:
( )
( )
( )
xx y
yy z
z z x
1
1
1
+ =
+ =
+ =
2. Να λυθεί το σύστημα:
( )( )
( )( )
( )( )
x x y
y y z
z z x
1 4
1 4
1 4
+ + =
+ + =
+ + =
3. Να λυθεί η εξίσωση:
x + x + x + x +
4 + 5 + ... + 98 + 99 = 3 ⋅
25
5 6 99 100
4. Αν x, y, z,w∈R και ισχύουν x + y + z + w = −4 και x4 + y4 + z4 + w4 = 4
Να βρεθούν οι x, y, z,w .
5. Να δειχθεί ότι ο αριθμός x = 5 + 3 είναι άρρητος.
6. Αν
2 x 1 5
⎛ ⎞ ⎜ + ⎟
= ⎝ x
⎠
, x∈R −{0}, να δειχθεί ότι:
2
x 1 20
⎛ 3
+ ⎞ ⎜ = ⎝ x
3
⎟
⎠
.
7. Αν 3 ( )3 ( )3 ( ) 0 , να δείξετε ότι: 2α −β −γ + 2β −γ −α + 2γ −α −β =
β γ γ α α
ή ή
α β γ
2 2
2
+ +
= = =
+β
1 1 1 ... 1 1
3 5 7 77 4
8. Να δείξετε ότι: 2 2 2 2
+ + + +
1 1 2
1 α 1 β 1 α
9. Αν α 1, β 1, να δείξετε ότι: 2 2
+ ≥
− − − β
10. Αν x, y, z∈R* και είναι 1 1 1 1
+ + = να δείξετε ότι:
x y z
x 2 + y 2 2 + 2 2 +
2
+ y z + z x = x + y + z −
3
xy yz zx
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ) ΕΚΔ.ΣΑΒΒΑΛΑΣ
2. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ (Ν.ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ-
Κ.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ), ΕΚΔ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ,2004
23

29. ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Ε. Μ. Ε.
ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 2014
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ανδρέας Βαρβεράκης
Σε αυτές τις σημειώσεις γίνεται μία επισκόπηση μερικών βασικών σημείων των γνώσεων
προηγούμενων τάξεων μερικά από τα οποία πιθανά να μην έχουν εμπεδωθεί αρκετά, καθώς
και σύντομη αναφορά στη θεωρία της ύλης της Γ΄ Γυμνασίου. Καλό θα είναι ο μαθητής να
προσπαθήσει να μελετήσει αναλυτικά όλα αυτά από τα αντίστοιχα σχολικά εγχειρίδια μαζί με
τις σχετικές αποδείξεις. Όλα αυτά αποτελούν το ελάχιστο θεωρητικό υπόβαθρο για να
μπορέσει ο μαθητής να λύσει τις αντίστοιχες ασκήσεις. Τα περισσότερα δε από αυτά θα
μελετηθούν αναλυτικότερα και σε μεγαλύτερο βάθος στη Γεωμετρία της Α΄ και της Β΄
Λυκείου.
Οι ασκήσεις που ακολουθούν περιέχουν και θέματα που έχουν τεθεί σε παλαιότερους
διαγωνισμούς καθώς και ασκήσεις στο πνεύμα αυτών των διαγωνισμών.
ΠΡΑΞΕΙΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ
Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ , σημείο Ο της ευθείας ΑΒ εξωτερικό του ευθύγραμμου
τμήματος προς το μέρος του Α και Μ το μέσο του ΑΒ.
Τότε και .
Αν το Ο είναι στο εσωτερικό του ΑΒ πλησιέστερα προς το Β, τότε και
.
ΤΡΙΓΩΝΑ
Τα τρίγωνα ταξινομούνται σε
• σκαληνά, ισοσκελή και ισόπλευρα , ως προς τις πλευρές τους.
• οξυγώνια, ορθογώνια και αμβλυγώνια, ως προς τις γωνίες τους.
Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του, ενώ οι διάμεσοι, οι
διχοτόμοι και τα ύψη του λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία: ΑΗ ύψος (κάθετη στην ΒΓ), ΑΜ
διάμεσος (Μ μέσο της ΒΓ), ΑΔ διχοτόμος (διαιρεί τη γωνία Α σε δύο ίσα μέρη).
24

30. ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:
• δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ),
• μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ),
• και τις τρεις πλευρές ίσες μία προς μία (ΠΠΠ).
Ειδικότερα δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:
• Δύο οποιεσδήποτε ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία.
• Μια πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνία αντίστοιχα, ίσες μία προς μία.
• Μία πλευρά και την απέναντι από αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία.
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ
Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο:
•Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες.
•Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος.
• Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι B = Γ, τότε θα είναι και β = γ.
• Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της βάσης ΒΓ. Αν η ΑΔ είναι διχοτόμος και διάμεσος ή
διχοτόμος και ύψος ή διάμεσος και ύψος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ
Η ευθεία ε που είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και διέρχεται από το μέσο του
λέγεται μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ
25

31. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του και
αντίστροφα, κάθε σημείο πού ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό
του.
ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ-ΑΝΑΚΛΑΣΗ
Τα σημεία Α, Β λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε όταν η ευθεία είναι μεσοκάθετος
του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας.
Δύο σχήματα Σ, Σ' λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο ή μια ευθεία ε, όταν κάθε
σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ, ως προς το Ο ή την ε και αντίστροφα.
Ανάκλαση τριγώνου
ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ
Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε
εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου.
26

32. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΚΕΝΤΡΟ
Έστω Ο σημείο του επιπέδου. Τότε για κάθε σημείο Α, υπάρχει μοναδικό σημείο Β τέτοιο,
ώστε το Ο να είναι το μέσο του ΑΒ. Πράγματι αρκεί να προεκτείνουμε το τμήμα ΑΟ και
στην ημιευθεία Οx να πάρουμε τμήμα ΟΒ = ΟΑ. Το σημείο Β λέγεται συμμετρικό του Α ως
προς Ο. Προφανώς και το Α είναι συμμετρικό του Β ως προς το Ο. Τα σημεία Α και Β
λέγονται συμμετρικά σημεία ως προς κέντρο συμμετρίας το σημείο Ο. Παρατηρούμε ότι τα
άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι συμμετρικά ως προς το μέσο του.
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ
Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους.
ΤΕΜΝΟΜΕΝΟΙ ΚΥΚΛΟΙ
Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους.
27

33. ΓΩΝΙΕΣ ΣΕ ΔΥΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΤΡΙΤΗ
Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν
i) τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες,
ii) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές.
Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι
παράλληλες.
Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη
γωνίες ίσες ή δυο εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες.
Δυο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους
παράλληλες.
ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές.
ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ
Μια γωνία xAy που η κορυφή της Α ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) και οι πλευρές της Ax, Ay
τέμνουν τον κύκλο, λέγεται εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο (Ο, ρ).
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο.
Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι
μεταξύ τους ίσες.
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου
τόξου της δηλαδή με το μισό του μέτρου της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο..
28

34. ΓΩΝΙΑ ΤΕΜΝΟΜΕΝΩΝ ΧΟΡΔΩΝ-ΤΕΜΝΟΥΣΩΝ ΚΥΚΛΟΥ
(Ημιάθροισμα τόξων) (Ημιδιαφορά
τόξων)
ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ-ΤΟΞΟΥ, ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ-ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ
Μήκος κύκλου: Μήκος τόξου:
Εμβαδόν κυκλικού δίσκου: Εμβ. κυκλ.
τομέα:
Όπου μ, α το μέτρο του τόξου σε μοίρες η ακτίνια αντίστοιχα.
Παρατήρηση: Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα, ισούται με το ημιγινόμενο του μήκους του
αντίστοιχου τόξου, επί την ακτίνα:
ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ
• Παράλληλες ευθείες, αν ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία που τις τέμνει, τότε θα
ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει.
• Λόγος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ο
θετικός αριθμός λ για τον οποίο ισχύει .
29

35. • Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ, όταν
ισχύει
• Θεώρημα Θαλή. Τρεις ή περισσότερες ευθείες, αν τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε
τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα που
ορίζονται στην άλλη:
Για δύο σημεία Δ, Ε των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντιστοίχως ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν:
Αν ΔΕ//ΒΓ, τότε και αντίστροφα. Το ίδιο ισχύει αν τα Δ, Ε βρίσκονται στις
προεκτάσεις των αντίστοιχων πλευρών.
Θ. Θαλή σε τρίγωνο
Ακόμα ισχύει: Αν ΔΕ//ΒΓ, τότε
ΟΜΟΙOΘΕΣΙΑ - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
• Ομοιόθετο ενός σημείου Α ως προς το κέντρο Ο και λόγο λ ονομάζεται το σημείο
Α΄ της ημιευθείας ΟΑ για το οποίο ισχύει ΟΑ΄ = λ·ΟΑ.
Το ομοιόθετο σημείου
• Το ομοιόθετο ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, είναι τμήμα Α΄Β’//ΑΒ.
• Τα ομοιόθετα ευθύγραμμα τμήματα που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία είναι
παράλληλα.
30

36. Το ομοιόθετο ευθυγράμμου τμήματος
• Οι ομοιόθετες γωνίες είναι ίσες και έχουν παράλληλες πλευρές.
• Το ομοιόθετο ενός πολυγώνου είναι πολύγωνο με παράλληλες πλευρές προς το
αρχικό.
• Δύο ομοιόθετα πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και παράλληλες και τις
αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.
Ομοιοθεσία πολυγώνου
Το ομοιόθετο κύκλου (Κ,ρ) ως προς κέντρο Ο και λόγο λ, είναι κύκλος (Κ΄,ρ΄) με
. Αν ΚΑ, ΚΆ΄ είναι δύο ομόλογες ακτίνες, τότε ΚΑ//ΚΆ΄.
Δύο κύκλοι είναι πάντοτε ομοιόθετα σχήματα.
Ομοιοθεσία κύκλου
• Όμοια πολύγωνα λέγονται τα πολύγωνα που το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση
του άλλου.
31

37. • Δύο πολύγωνα είναι όμοια, όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες
γωνίες τους ίσες και αντιστρόφως.
• Τα ομοιόθετα πολύγωνα είναι όμοια.
• Δύο τρίγωνα που έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι όμοια και θα έχουν
τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες.
• Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε:
- Ο λόγος των περιμέτρων τους είναι ίσος με το λόγο ομοιότητάς τους.
- Ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1. Δίνονται τα σημεία Α και Β ημιευθείας Οχ και έστω Μ το μέσο του ΑΒ. Να
αποδειχθεί ότι το ΟΜ ισούται με το ημιάθροισμα των ΟΑ και ΟΒ.
2. Αν τα σημεία Α και Β βρίσκονται σε αντικείμενες ημιευθείες Οχ και Οψ αντίστοιχα,
τότε το ΟΜ ισούται με την ημιδιαφορά των ΟΑ και ΟΒ.
3. Πάνω σε ευθεία ε δίνονται τα διαδοχικά σημεία Α, Β και Γ. Αν Μ, Ν είναι τα μέσα
ΑΓ
ΜΝ =
των ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα, να δειχθεί ότι 2
4. Έστω Α, Β, Γ και Δ διαδοχικά σημεία ευθείας ε και Κ, Λ, Μ, Ν τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ,
ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα, να δειχτεί ότι :
5. ΑΔ+ΒΓ=ΑΓ+ΒΔ
6. ΚΛ=ΜΝ και ΚΝ=ΛΜ.
7. Να βρεθεί το κλάσμα του εμβαδού του τετραγώνου του γραμμοσκιασμένου μέρους
8. Να βρεθεί το εμβαδόν του τέταρτου ορθογωνίου (δ) αν α=10m2, β=15 m2και γ=16 m2
α β
γ δ
9. Να αποδειχθεί ότι τα δύο γραμμοσκιασμένα παραλληλόγραμμα είναι ισεμβαδικά.
32

38. 10. Τρείς σφαίρες από χρυσάφι έχουν ακτίνες χ, 2χ και 3χ . Να συγκριθεί η αξία της
μεγαλύτερης, με την αξία των δύο μικρότερων μαζί. Ποιά αξία είναι μεγαλύτερη και
πόσες φορές;
11. Στην ημιευθεία ΟΕ θεωρούμε τα σημεία Α,Β και Γ ώστε (ΟΑ)=2m, (ΟΒ)=6m και
(ΟΓ)=12m. Αν Δ,Ε και Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα, να
υπολογίσετε τα (ΔΖ) και (ΕΓ). Τι παρατηρείτε;
12. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρές μήκους 21cm. Πάνω στις ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ ,ΔΑ
βρίσκονται τα σημεία Κ,Λ,Μ,Ν αντίστοιχα με ΑΚ=9 cm, ΒΛ=5 cm, ΓΜ=12 cm και
ΔΝ=13 cm. Να αποδείξετε ότι ΚΝ+ΝΛ+1ΚΛ+ΚΜ
13. Ένα τρίγωνο έχει μήκη πλευρών α=26400,, β=82300 και γ μικρότερο από το
μεγαλύτερο των άλλων δύο. Να βρεθεί το γ ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο.
14. Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ=10, cm ΓΔ=25 cm . Αν Μ είναι τυχαίο
σημείο της ΑΒ, να βρεθεί η σχέση του εμβαδού του τριγώνου ΜΓΔ με το εμβαδόν
ολόκληρου του τραπεζίου.
15. Να σχεδιαστούν 12 κύκλοι, ώστε κάθε ένας από αυτούς να εφάπτεται σε 5 ακριβώς
από τους υπόλοιπους,
16. Από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, έχει αφαιρεθεί ένας κυκλικός δίσκος. Να
φέρετε ευθεία, που να διαιρεί το εμβαδόν που απομένει σε δύο ισεμβαδικά μέρη.
17. Να χωρίσετε ένα τετράγωνο με πλευρά μήκους 4cm σε ορθογώνια
παραλληλόγραμμα, των οποίων το άθροισμα των περιμέτρων τους να είναι 25cm.
18. Το σημείο Μ1 είναι το μέσο του ΑΒ, το Μ2 είναι το μέσο του ΑΜ1 , το Μ3 είναι το
μέσο του Α Μ2 κ.ο.κ το Μ10 είναι το μέσο του ΑΜ9 . Αν ΑΒ=2113, να βρεθεί το
μήκος του ΑΜ10 .
19. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ και ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΜ, όπου Μ
βρίσκεται προς το μέρος της ΓΔ. Αν Ε είναι το μέσον της ΒΜ, να υπολογιστεί η
γωνία ΒΕΓ.
20. Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ και με βάση την ΑΒ, κατασκευάζουμε ισοσκελές
τρίγωνο ΑΒΜ με γωνίες βάσης ίσες με 150 . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΔΜ
είναι ισόπλευρο.
21. Να υπολογιστεί ο λόγος των εμβαδών των δύο παραλληλογράμμων ΑΒΓΔ και
ΔΕΓΖ..
Ε
Α Β
Δ Γ
Ζ
22. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΚΛΜΝ είναι το 1/5 του εμβαδού του
τετραγώνου ΑΒΓΔ, αν Ε,Ζ,Η,Θ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα.
33

39. Ε
Α Β
Ζ
Δ Γ
Η
Θ
Κ
Λ
Μ
Ν
23. Αν κάθε τετράγωνο έχει μία κορυφή στο κέντρο του προηγούμενου, να βρεθεί το
εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους.
24. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ καθώς και o κύκλος που περνά από τα μέσα των
τριών πλευρών του. Να αποδειχθεί ότι το τόξο του κύκλου το εξωτερικό της
υποτείνουσας, ισούται με τη διαφορά των εξωτερικών τόξων του κύκλου στις δύο
κάθετες πλευρές του.
25. Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία στο επίπεδο. Βρείτε ευθεία του επιπέδου από
την οποία τα τρία σημεία να απέχουν ίσες αποστάσεις, Πόσες τέτοιες ευθείες
υπάρχουν:
26. Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΒΓ και ΑΔ. Αν ΑΒ=ΓΔ=12 m και το εμβαδόν του
είναι Ε=120m2 , να βρείτε το ύψος του.
27. Ένα τετράγωνο διαστάσεων 4x4 είναι χωρισμένο σε 16 μοναδιαία τετράγωνα. Να
βρείτε το πλήθος των τετραγώνων που υπάρχουν στο σχήμα.
28. Να βρεθεί το πλήθος των τριγώνων που υπάρχουν στο παρακάτω σχήμα.
29. Δίνεται σκαληνό οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί σημείο Δ, τέτοιο ώστε το
τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Α,Β,Γ και Δ να έχει άξονα συμμετρίας. Πόσες
34

40. διαφορετικές λύσεις υπάρχουν: Κάνετε το ίδιο, έτσι ώστε το σχηματιζόμενο
τετράπλευρο να έχει κέντρο συμμετρίας.
30. Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ με ορθές τις γωνίες Α και Δ. Αν τα μήκη των
πλευρών ΑΒ, ΑΔ και ΓΔ είναι αριθμοί ανάλογοι προς τους αριθμούς 1,2,3 και έχουν
άθροισμα 30, να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου.
31. Αν ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο με βάσεις ΑΒ και ΓΔ, Ε είναι σημείο της ΑΔ, τέτοιο ώστε
το τρίγωνο ΕΒΓ να είναι ισόπλευρο και ΑΒ=ΒΕ, ΔΕ=ΔΓ, να υπολογιστούν οι γωνίες
του τραπεζίου.
32. Να υπολογιστούν οι γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, αν ΑΔ=ΔΓ=ΒΓ.
,
Α
Δ
Β Γ
33. Αν τα σημεία Α,Β και Γ χωρίζουν ένα κύκλο ακτίνας ρ=1cm σε τόξα ανάλογα των
αριθμών 3, 4 και 5, να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
34. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ=α και ΒΓ=β. Προεκτείνουμε τη διαγώνιο ΑΓ κατά
ίσο τμήμα ΓΕ. Να βρεθεί συναρτήσει των α και β το μήκος της ΔΕ.
35. Οι μη παράλληλες πλευρές ισοσκελούς τραπεζίου έχουν μήκος 10 μέτρα η κάθε μία,
ενώ η περίμετρος του είναι 152 μέτρα. Αν το ύψος του είναι το 1/9 της μεγάλης
βάσης και οι βάσεις του είναι ανάλογες των αριθμών 6 και 5, να υπολογίσετε το
εμβαδόν του τραπεζίου.
36. Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) ισχύει ότι, ΑΔ=ΒΓ=ΔΓ και ΑΒ=ΑΓ. Να
αποδείξετε ότι η διαγώνιος ΑΓ διχοτομεί τη γωνία Α και να υπολογιστούν οι γωνίες
του τραπεζίου.
37. Με υποτείνουσες τις απέναντι πλευρές ΒΓ και ΑΔ τετραγώνου ΑΒΓΔ
κατασκευάζουμε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ με ΔΕ=ΒΖ=α και
ΑΕ=ΓΖ=β. Να υπολογιστεί η ΕΖ συναρτήσει των α και β.
38. Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των δύο γραμμοσκιασμένων τετραγώνων.
35

41. 39. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ , ισχύει ότι Α=450 και Γ=300 , να υπολογιστεί η γωνία που
σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την πλευρά ΑΓ.
40. Αν το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο, Το τρίγωνο ΑΗΖ είναι ορθογώνιο (στο Ζ) και η ΕΖ
είναι μεσοκάθετος της ΑΗ, να υπολογιστεί η γωνία ΕΗΔ συναρτήσει της φ=ΗΖΓ.
Α Β
Ε
Ζ
Η
Δ Γ
41. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με γωνίες Α, Γ ίσες με 600. Με κέντρο τυχαίο σημείο Κ της
ΑΒ και ακτίνα ΚΔ, γράφουμε κύκλο που τέμνει τη ΒΓ στο Λ. Να αποδείξετε ότι το
τρίγωνο ΔΚΛ είναι ισόπλευρο.
42. Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και Δ τυχαίο σημείο της εξωτερικής διχοτόμου της Γ,
με ΔΑΔΒ. Αν η μεσοκάθετος της ΑΔ τέμνει τη ΒΓ στο Ε, να αποδείξετε ότι το
τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισόπλευρο.
43. Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ και Ε σημείο της ΒΓ με ΕΑΒ=150. Αν η μεσοκάθετος της
ΑΕ τέμνει τη ΓΔ στο Ζ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισόπλευρο.
44. Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και Δ τυχαίο σημείο της ΒΓ. Αν η μεσοκάθετος της
ΑΔ τέμνει την εξωτερική διχοτόμο της Γ στο Ε, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΔ
είναι ισόπλευρο.
45. Αν Ε είναι εσωτερικό σημείο τετραγώνου ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΕ να
είναι ισοσκελές με ΕΑ=ΕΒ και παρά τη βάση γωνίες ίσες με 150, να αποδείξετε ότι το
τρίγωνο ΕΓΔ είναι ισόπλευρο.
46. Εξωτερικά ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ πλευράς α, κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο
ΓΔΕ. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΕ έχει ακτίνα
ίση με α.
47. Αν Οδ1 και Οδ2 είναι οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών γωνιών ΑΟΒ και ΒΟΓ, να δειχθεί
ότι γωνία δ1Οδ2 = γωνίαΑΟΓ/2.
48. Αν ΑΜ είναι η διάμεσος ενός τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι οι κορυφές Β
και Γ ισαπέχουν από την ευθεία ΑΜ (και αντίστροφα).
49. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ και ΓΔ=ΔΑ . Να δειχθεί ότι οι
διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα.
50. Να αποδειχτεί ότι η διάμεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ χωρίζει το τρίγωνο σε δύο
ισεμβαδικά τρίγωνα.
51. Αν Δ είναι τυχαίο σημείο της διαμέσου ΑΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ, τότε (ΑΒΔ)=(ΑΓΔ).
36

42. 52. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετράπλευρου ΑΒΓΔ είναι κορυφές
παραλληλογράμμου. Αν οι διαγώνιοι του ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα, τότε να δειχθεί
ότι έχουμε ορθογώνιο, ενώ αν είναι ίσες έχουμε ρόμβο.
53. Να αποδειχθεί ότι οι διχοτόμοι των γωνιών ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ,
τεμνόμενες ανά δύο, σχηματίζουν ορθογώνιο του οποίου οι διαγώνιοι είναι
παράλληλες με τις πλευρές του ΑΒΓΔ και το κέντρο του ταυτίζεται με εκείνο του
παραλληλογράμμου.
54. Αν Μ,Ν είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΓΔ αντίστοιχα, παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ,
να δειχτεί ότι οι ΑΜ,ΓΝ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΔΒ.
55. Δίνονται δύο ευθείες ε1 και ε2, τεμνόμενες από τρίτη ευθεία ε3 σε σημεία Α και Β. Να
δειχθεί ότι τα σημεία τομής των διχοτόμων δύο εντός και επί τα αυτά γωνιών με τις
παράλληλες ευθείες και τα σημεία Α, Β είναι κορυφές ρόμβου.
56. Να βρεθεί το κλάσμα του εμβαδού του τετραγώνου του γραμμοσκιασμένου
μέρους
57. Δύο κύκλοι κέντρων Κ,Ο, τέμνονται στα Α και Β. Αν η ΚΑ τέμνει τον κύκλο Ο στο
Γ και η ΟΑ το Κ στο Δ, να δειχτεί ότι τα σημεία Κ, Ο, Β, Γ, Δ είναι ομοκυκλικά.
58. Αν ΑΒΓΔ είναι τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ), τότε:
ΑΒ+ΓΔ = ΑΔ+ΒΓ.
59. Να αποδειχθεί ότι η γωνία που σχηματίζουν η διχοτόμος δα με το ύψος υα ενός
τριγώνου ΑΒΓ ισούται με την ημιδιαφορά των γωνιών Β και Γ.
60. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ και το ίχνος ενός ύψους του,
είναι κορυφές ισοσκελούς τραπεζίου.
61. Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΔ=ΔΓ και με τη διαγώνιο ΒΔ να διχοτομεί τη γωνία
Β, Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
62. Να αποδειχτεί ότι τα συμμετρικά του ορθοκέντρου Η τριγώνου ΑΒΓ είναι σημεία του
περιγεγραμμένου του κύκλου.
63. Να αποδειχθεί ότι τα δύο γραμμοσκιασμένα παραλληλόγραμμα είναι
ισεμβαδικά.
Β΄ ΟΜΑΔΑ
1. Πόσο είναι το μήκος της συντομότερης διαδρομής από το Α στο Β και πόσες τέτοιες
υπάρχουν ακολουθώντας μόνο τις γραμμές του πλέγματος που αποτελείται από
μοναδιαία τετράγωνα; Δοκιμάστε και με πλέγμα διαστάσεων 2x4 ή 3x5.
37

43. 2. Στο παρακάτω 4x8 πλέγμα έχουμε φέρει μία διαγώνιο. Από πόσους κόμβους του
πλέγματος (κοινά σημεία οριζοντίων και καθέτων) περνά η διαγώνιος; Τι γίνεται στην
περίπτωση 5x8 ή γενικότερα για πλέγμα διαστάσεων νxμ;
3. Τρεις σφαίρες από χρυσάφι έχουν ακτίνες ρ, 2ρ και 3ρ . Να συγκριθεί η αξία
της μεγαλύτερης, με την αξία των δύο μικρότερων μαζί. Ποια αξία είναι
μεγαλύτερη και πόσες φορές;
4. Να υπολογιστούν οι γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ,(ΑΒ=ΑΓ), αν ΑΔ =
ΔΓ = ΒΓ.
5. Αν τα σημεία Α,Β και Γ χωρίζουν ένα κύκλο ακτίνας ρ=1cm σε τόξα ανάλογα
των αριθμών 3, 4 και 5, να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
6. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = α και ΒΓ = β. Προεκτείνουμε τη διαγώνιο
ΑΓ κατά ίσο τμήμα ΓΕ. Να βρεθεί συναρτήσει των α και β το μήκος της ΔΕ.
7. Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) ισχύει ότι, ΑΔ = ΒΓ = ΔΓ και
ΑΒ=ΑΓ. Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος ΑΓ διχοτομεί τη γωνία Α και να
υπολογιστούν οι γωνίες του τραπεζίου.
8. Γ ώστε (ΟΑ) = 2m, (ΟΒ) = 6m και (ΟΓ) = 12m. Αν Δ, Ε και Ζ είναι τα μέσα
των ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα, να υπολογίσετε τα (ΔΖ) και (ΕΓ). Τι
παρατηρείτε;
9. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρές μήκους 21cm. Πάνω στις ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ,
ΔΑ βρίσκονται τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν αντίστοιχα με ΑΚ = 9 cm, ΒΛ = 5 cm,
ΓΜ = 12 cm και ΔΝ = 13 cm. Να αποδείξετε ότι: ΚΝ + ΝΛ + 1 ΚΛ + ΚΜ.
10. Ένα τρίγωνο έχει μήκη πλευρών α = 26400,, β = 82300 και γ μικρότερο από το
μεγαλύτερο των άλλων δύο. Να βρεθεί το γ ώστε το τρίγωνο να είναι
ορθογώνιο.
11. Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ και ΑΒ = 10, cm ΓΔ = 25 cm. Αν Μ είναι
τυχαίο σημείο της ΑΒ, να βρεθεί η σχέση του εμβαδού του τριγώνου ΜΓΔ με
το εμβαδόν ολόκληρου του τραπεζίου.
12. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος ΑΔ ισούται με το 1/4 της υποτείνουσας
ΒΓ. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου. Η εσωτερική κοινή εφαπτομέ-
νη δύο εξωτερικά εφαπτόμενων στο Α κύκλων (Κ, ρ) και (Ο, ρ΄) τέμνει μία
κοινή τους εφαπτομένη ΒΓ στο Μ. Να δειχτεί ότι ΜΒ = ΜΓ και ότι τα τρίγωνα
ΟΜΚ και ΑΒΓ είναι ορθογώνια.
13. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ο εγγεγραμμένος του κύκλος (Ι,ρ). Αν Δ, Ε, Ζ είναι
τα σημεία επαφής του κύκλου με τις ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα, να δειχθεί ότι ΑΕ
= ΑΖ = τ-α, ΒΔ = ΒΖ = τ-β και ΓΔ = ΓΕ = τ-γ, όπου τ είναι η ημιπερίμετρος
του τριγώνου (α+β+γ=2τ).
14. Να αποδειχθεί ότι αν ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ είναι τα ύψη οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ, τότε
τα ύψη αυτά διχοτομούν τις γωνίες του τριγώνου ΔΕΖ.
15. Αν η διχοτόμος ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τον περιγεγραμμένο του κύκλο στο
Κ, να δειχθεί ότι ΚΒ = ΚΓ = ΚΙ, όπου Ι είναι το έκκεντρο του ΑΒΓ.
38

44. 16. Να δειχθεί ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών τυχαίου κυρτού ν-γώνου,
ισούται με 3600.
17. Να δειχθεί, ότι η διχοτόμος ΑΔ σκαληνού τριγώνου ΑΒΓ και τα ύψη ΒΕ και
ΓΖ, τέμνονται σε σημεία που είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου.
18. Αν ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο με βάσεις ΑΒ = α και ΓΔ = β και ΜΝ είναι παράλληλη προς
τις βάσεις που περνά από το σημείο τομής των διαγωνίων, να βρεθεί το μήκος της ΜΝ
(Μ, Ν σημεία των ΑΔ, ΒΓ).
19. Αν ΑΒΓΔΕ είναι διαδοχικές κορυφές κανονικού 9-γώνου, τότε να δειχθεί ότι
ΑΒ + ΒΔ = ΑΕ.
20. Να σχεδιαστούν 12 κύκλοι, ώστε κάθε ένας από αυτούς να εφάπτεται σε 5
ακριβώς από τους υπόλοιπους,
21. Από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, έχει αφαιρεθεί ένας κυκλικός δίσκος.
Να φέρετε ευθεία, που να διαιρεί το εμβαδόν που απομένει σε δύο ισεμβαδικά
μέρη.
22. Να χωρίσετε ένα τετράγωνο με πλευρά μήκους 4cm σε ορθογώνια
παραλληλόγραμμα, των οποίων το άθροισμα των περιμέτρων τους να είναι
25cm.
23. Το σημείο Μ1 είναι το μέσο του ΑΒ, το Μ2 είναι το μέσο του ΑΜ1 , το Μ3
211 ⋅3
είναι το μέσο του Α Μ2 κ.ο.κ το Μ10 είναι το μέσο του ΑΜ9. Αν ΑΒ= , να
βρεθεί το μήκος του ΑΜ10.
24. Να υπολογιστεί ο λόγος των εμβαδών των δύο παραλληλογράμμων ΑΒΓΔ και
ΔΕΓΖ.
Ε
Α Β
Δ Γ
Ζ
25. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΚΛΜΝ είναι το 1/5 του
εμβαδού του τετραγώνου ΑΒΓΔ, αν Ε, Ζ, Η, Θ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ,
ΔΑ αντίστοιχα.
Ε
Α Β
Ζ
Δ Γ
Η
Θ
Κ
Λ
Μ
Ν
26. Να βρεθεί το εμβαδόν του τέταρτου ορθογωνίου (δ) αν α = 10m2, β = 15 m2
και γ = 16 m2
α β
γ δ
39

45. 27. Προεκτείνουμε προς το Α, τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ορθογωνίου
τριγώνου κατά τμήματα ΑΔ = ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι ο
φορέας του ύψους προς την ΒΓ, διχοτομεί την ΕΔ.
28. Δύο δοχεία Α και Β περιέχουν την ίδια ποσότητα νερού. Με την βοήθεια ενός
δοχείου σχήματος ανεστραμμένου κώνου, γεμίζοντας το μέχρι πάνω,
μεταφέρουμε νερό από το Α στο Β. Στην συνέχεια, επιστρέφουμε νερό από το
Β στο Α, γεμίζοντας τον κώνο δύο φορές, μία κατά τα 3/4 και μία κατά τα 4/5
του ύψους του. Ποιο από τα δύο δοχεία περιέχει τώρα περισσότερο νερό;
29. Αν για τα διαδοχικά σημεία Α, Μ, Β, Ν, Γ ευθείας ε ισχύουν: 5
ΜΒ = ΑΒ ,
6
ΒΝ = ΒΓ και 2
5
9
ΑΒ = ΒΓ , να βρεθεί ο λόγος ΜΝ/ΑΓ.
3
30. Στα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΒΓ ευθείας ε, παίρνουμε
αντίστοιχα τα σημεία Μ και Ν, τέτοια ώστε 4
ΜΒ = ΑΒ και 2
5
ΒΝ = ΒΓ . Αν
5
ΑΓ
ΜΝ = , να βρεθεί ο λόγος ΑΒ/ΒΓ.
2
31. Σε μία ευθεία ε, παίρνουμε τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και
ΓΔ. Αν το μήκος ΑΒ είναι το 99% του ΑΓ και το ΓΔ το 98% του ΒΔ, να βρεθεί
ο λόγος ΒΔ/ΑΓ.
32. Αν το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΔΓΕ είναι ισόπλευρα, να
δειχθεί ότι τα σημεία Β, Ζ, Ε είναι συνευθειακά.
Ε
Δ Γ
Ζ
Α Β
33. Αν Δ είναι το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ΑΒΓ, Ε το
αντιδιαμετρικό του και Ζ το σημείο τομής της ΑΕ με τη ΒΓ, τότε να δειχτεί ότι ΒΔ =
ΕΓ.
34. Να αποδειχτεί ότι το ορθόκεντρο Η, το βαρύκεντρο G και το περίκεντρο Ο τριγώνου
ΑΒΓ είναι συνευθειακά , καθώς επίσης και ότι ΗG=2GΟ (ευθεία Euler).
35. Δίνεται ευθεία ε και δύο σημεία Α,Β προς το ίδιο μέρος της. Να βρεθεί σημείο
Μ της ε, ώστε το άθροισμα ΜΑ+ΜΒ να είναι ελάχιστο.
36. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ και ευθεία ε που περνά από το Α. Αν για τα σημεία Μ
και Ν της ε (διαφορετικά του Α) ισχύει ΒΜ = ΔΝ = ΑΒ, τότε να δειχθεί ότι
ΓΜ = ΓΝ.
37. Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 900 και ΑΒ = ΑΔ + ΒΓ. Αν Μ
είναι το μέσο της ΓΔ, να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΜ είναι ορθογώνιο και
ισοσκελές.
40

46. 38. Να αποδειχτεί ότι τα συμμετρικά σημεία τυχαίου σημείου Ο εσωτερικού σε
τετράπλευρο ΑΒΓΔ, ως προς τα μέσα των πλευρών του, είναι κορυφές
παραλληλογράμμου.
39. Να δειχθεί ότι η ευθεία που ορίζεται από το σημείο τομής των διαγωνίων ενός
τραπεζίου και το σημείο τομής των μη παραλλήλων πλευρών του, περνά από
τα μέσα των παράλληλων πλευρών του.
40. Αν ΑΔ=10 και ΒΓ=2 να βρεθεί το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου σχήματος
ΑΒΔΓΑ.
41. Να δειχθεί ότι το άθροισμα των μηκών των τόξων των μικρών κύκλων ισούται με το
μήκος του μεγάλου κύκλου.
42. Οι μη παράλληλες πλευρές ισοσκελούς τραπεζίου έχουν μήκος 10 μέτρα η
κάθε μία, ενώ η περίμετρος του είναι152 μέτρα. Αν το ύψος του είναι το 1/9
της μεγάλης βάσης και οι βάσεις του είναι ανάλογες των αριθμών 6 και 5, να
υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου.
43. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α, εγγράφουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΕΖ με το Ε
στην ΒΓ και το Ζ στην ΓΔ. Να υπολογιστεί η πλευρά του ισοπλεύρου
τριγώνου.
41

47. 8o Kalokairinì Majhμatikì sqoleÐo E.M.E.
Leptokaruˆ PierÐac 2014
Diairetìthta
G' GuμnasÐou
Alèxandroc G. Sugkelˆkhc
ags@math.uoc.gr
IoÔlioc 2014
42

48. 8o Kalokairino Majhμatikì Sqoleio E.M.E., Leptokarua Pieriac 2014
PROLOGOS
To parìn ˆrjro eÐnai μÐa sugkèntrwsh kˆpoiwn asik¸n protˆsewn kai para-
deigμˆtwn apì th

49. ewrÐa thc Diairetìthtac kai twn (graμμik¸n kurÐwc) isotiμi¸n.
Se kaμÐa perÐptwsh den epikaleÐtai o suggrafèac tou ˆrjrou thn prwtotupÐa twn
perieqoμènwn, ta opoÐa rÐskontai sta iblÐa thc ibliografÐac pou paratÐjetai
sto tèloc tou parìntoc, sth sullog μajhμatik¸n diagwnisμ¸n tou grˆfontoc kai
se arketˆ iblÐa stoiqei¸douc JewrÐac Arijμ¸n. Parˆ taÔta, katabl jhke idiaÐ-
terh prospˆjeia ¸ste h parousÐash thc Ôlhc na eÐnai diabajμisμènh kai ìla ta
perieqìμena na perièqoun ask seic pou endiafèroun μikroÔc allˆ kai μegˆlouc
μajhtèc μe endiafèron gia ta μajhμatikˆ kai sugkekriμèna touc MajhμatikoÔc
DiagwnisμoÔc. Me μegˆlh qarˆ

50. a deqt¸ sto email μou ags@math.uoc.gr, tic
upodeÐxeic sac, kaj¸c epÐshc kai ta sqìlia - kritikèc sac. Monadikìc upeÔjunoc
gia ta grafìμena, eÐnai o suggrafèac pou èkane thn epilog twn protˆsewn kai
twn ask sewn apì ta iblÐa thc ibliografÐac. Telei¸nontac,

51. a jela na eu-
qarist sw ton Kajhght tou PanepisthμÐou Kr thc ko Miqˆlh Lˆμprou gia thn
polÔtiμh suμbol tou stic diorj¸seic tou parìntoc.
Alèxandroc G. Sugkelˆkhc
IoÔlioc 2014
Alexandroc G. Sugkelakhc 43

52. Diairetothta
SUMBOLISMOI
ajb : «O a diaireÐ ton b» dhlad upˆrqei k 2 Z, tètoioc ¸ste b = k a.
pkka : «To pk eÐnai h μegalÔterh dÔnaμh tou p pou diaireÐ to a.» Dhlad to pk
diaireÐ akrib¸c to a (ara pkja en¸ pk+16 j a).
a6 j b : «O a den diaireÐ ton b ».
min fa1; : : : ; ang : O μikrìteroc μetaxÔ twn arijμ¸n a1; : : : an.
max fa1; : : : ; ang : O μegalÔteroc μetaxÔ twn arijμ¸n a1; : : : an.
(a1; : : : ; an) : O M.K.D. twn arijμ¸n a1; : : : an.
[a1; : : : ; an] : To E.K.P. twn arijμ¸n a1; : : : an.
n! : Diabˆzetai «n paragontikì» kai orÐzetai na eÐnai n! = 1 2 n n 2 kai
0!=1, 1!=1.
Z : To sÔnolo twn akerai¸n arijμ¸n f: : : ;2;1; 0; 1; 2; : : :g.
N : To sÔnolo twn usik¸n arijμ¸n f0; 1; 2; 3 : : :g.
9 : O uparxiakìc posodeÐkthc. Diabˆzetai «Upˆrqei
» (toulˆqiston èna).
jaj : «Apìluth tiμ tou arijμoÔ a» dhlad jaj =
a; ean a 0
a; ean a 0
44

53. 8o Kalokairino Majhμatikì Sqoleio E.M.E., Leptokarua Pieriac 2014 1 Diairetìthta
1 Diairetìthta
1.1 EukleÐdeia DiaÐresh
EÐnai gnwstì apì thn eukleÐdeia diaÐresh ìti ean èqouμe dÔo usikoÔc arijμoÔc
(Diairetèoc) kai (diairèthc) μe 6= 0 tìte upˆrqoun μonadikoÐ akèraioi
(phlÐko) kai (upìloipo) tètoioi ¸ste na isqÔei
= + ; 0
To parapˆnw Je¸rhμa isqÔei kai genikìtera gia opoiousd pote
akèraiouc kai

54. .
Je¸rhμa 1.1 Ean kai

55. akèraioi μe

56. 6= 0, tìte upˆrqoun μonadikoÐ akèraioi
kai tètoioi, ¸ste
=

57. + ; 0 j

58. j:
Parˆdeigμa 1.1 Ean = 231 kai

59. = 26 tìte apì th diaÐresh tou 231 μe to 26
èqouμe 231 = 8 26 + 23 epoμènwc
231 = 8 26 23
= 8 26 26 + 26 23
= 9 26 + 3
kai 0 3 26 dhlad to phlÐko thc diaÐreshc tou 231 μe to 26 eÐnai 9 kai to
upìloipo eÐnai 3.
'Askhsh: Me ton Ðdio trìpo na ektelèsete tic diairèseic tou 231 μe to 26 kai
tou 231 μe to 26.
2
Parat rhsh: 'Opwc gÐnetai antilhptì apì ta parapˆnw, ìtan o diairèthc thc
eukleÐdeiac diaÐreshc eÐnai o n tìte ta dunatˆ upìloipa thc diaÐreshc opoioud -
pote arijμoÔ μe to n eÐnai 0; 1; : : : ; n 1. 'Ara kˆje arijμìc eÐnai thc μorf c
k n; k n + 1; : : : ; k n + (n 1). Eidikˆ ìtan n = 2 tìte ta dunatˆ upìloipa
eÐnai 0; 1. Eˆn = 0 tìte o = 2k lègetai ˆrtioc, en¸ ean = 1 tìte o = 2k+1
lègetai perittìc.
Parˆdeigμa 1.2 Ean o a eÐnai akèraioc tìte kai o A =
a(a2 + 2)
3
eÐnai akèraioc.
Apìdeixh:
Epeid ta dunatˆ upìloipa tou a μe to 3 eÐnai 0,1,2, o akèraioc a èqei μÐa apì
tic μorfèc a = 3k a = 3k + 1 a = 3k + 2, k 2 Z.
• Ean a = 3k tìte A = 3k[(3k2)+2]
3 = k(9k2 + 2) 2 Z.
Alexandroc G. Sugkelakhc 45

60. 1.1 EukleÐdeia DiaÐresh Diairetothta
• Ean a = 3k + 1 tìte A = (3k+1)[(3k+1)2+2]
3 = (3k + 1)(3k2 + 2k + 1) 2 Z.
• Ean a = 3k + 2 tìte A = (3k+2)[(3k+2)2+2]
3 = (3k + 2)(3k2 + 4k + 2) 2 Z.
2
46

61. 8o Kalokairino Majhμatikì Sqoleio E.M.E., Leptokarua Pieriac 2014 1 Diairetìthta
1.2 Basikèc Idiìthtec Diairetìthtoc
Orisμìc 1.1 Lèμe ìti h diaÐresh tou a μe to b (b6= 0) eÐnai tèleia, ìtan to upì-
loipo thc diaÐres c touc eÐnai Ðso μe μhdèn. Se aut thn perÐptwsh lèμe ìti to b
diaireÐ (akrib¸c) to a ìti to a diaireÐtai (akrib¸c) apì to b akìμa ìti o a eÐnai
pollaplˆsio tou b, kai grˆfouμe bja a = o:b. 'Ara
bja () 9 k 2 Z tètoio ¸ste a = k b:
Parat rhsh: Gia na dhl¸souμe ìti o akèraioc b den diaireÐ ton akèraio a,
grˆfouμe b6 j a isodÔnaμa a6= o:b. EpÐshc ean bja tìte isodÔnaμa a = kb
gia kˆpoio k 2 Z isodÔnaμa a = (k)(b) pou shμaÐnei ìti ean o b eÐnai
diairèthc tou a, tìte kai o b eÐnai diairèthc tou a. Epoμènwc oi diairètec enìc
akeraÐou eμfanÐzontai katˆ
eÔgh antÐjetwn akeraÐwn.
Wc ˆμesec sunèpeiec tou parapˆnw orisμoÔ èqouμe tic ex c idiìthtec :
(i) aj0 gia kˆje a 2 Z,
(ii) An 0jb, tìte b = 0,
(iii) ajb , ajb , aj b , jaj j jbj
(iv) 1ja kai aja gia kˆje a 2 Z.
(v) An bja, tìte kbjka, gia kˆje k 2 Z.
Lìgw twn parapˆnw idiot twn gÐnetai anerì ìti gia th μelèth thc diairetìthtac
sto sÔnolo twn akeraÐwn, eÐnai arketì na perioristoÔμe sto sÔnolo twn

62. etik¸n
akeraÐwn.
Parakˆtw anafèrouμe (qwrÐc apìdeixh) tic asikìterec idiìthtec thc diairetì-
thtac.
Prìtash 1.1 'Estw a; b; c; d 2 Z. Tìte isqÔoun oi parakˆtw idiìthtec :
(i) Ean ajb kai bjc, tìte ajc.
(ii) Ean ajb kai cjd, tìte acjbd.
(iii) Ean ajb tìte ajb gia kˆje akèraio 2 Z.
(iv) Ean ajb kai ajc, tìte ajb + c.
(v) Ean ajb kai b6= 0, tìte jaj jbj.
(vi) Ean ajb kai bja, tìte a = b a = b (D lad jaj = jbj).
Alexandroc G. Sugkelakhc 47

63. 1.2 Basikèc Idiìthtec Diairetìthtoc Diairetothta
Parat rhsh: Apì tic idiìthtec (iii); (iv) thc parapˆnw Prìtashc prokÔptei ìti
ean ajb kai ajc, tìte ajkb + mc, gia kˆje k;m 2 Z. O akèraioc kb + mc lègetai
graμμikìc sunduasμìc twn b kai c.
Parˆdeigμa 1.3 (Basik Efarμog ) Na apodeÐxete ìti to ginìμeno n diadoqik¸n
akeraÐwn diaireÐtai apì to n.
Apìdeixh:
'Estw k; k + 1; : : : ; k + (n 1), n to pl joc diadoqikoÐ akèraioi. Jètouμe A =
k(k + 1) (k + (n 1)). Tìte, apì thn eukleÐdeia diaÐresh, upˆrqoun akèraioi
q; r tètoioi, ¸ste
k = nq + r; 0 r n 1:
An r = 0, tìte njk, ap’ ìpou njA. An r6= 0 tìte 1 n r n 1. Opìte
A = k(k + 1) (k + n r) (k + n 1)
= (nq + r) (nq + r + n r) (nq + r + n 1):
Kaj¸c nq + r + n r = n(q + 1), paÐrnouμe njA.
2
Parˆdeigμa 1.4 Na prosdiorÐsete ìlouc touc akèraiouc arijμoÔc m pou ikano-
poioÔn thn sqèsh m + 1jm2 + 1.
LÔsh:
Epeid m + 1jm + 1, ˆra lìgw thc parat rhshc thc Prìtashc 1:1 èqouμe m +
1jm2 +m+2. Kaj¸c ìμwc m2 +m+2 = m(m+1)+2 kai m+1jm(m+1), h Ðdia
parat rhsh dÐnei ìti m + 1j2 ap’ ìpou m + 1 = 1;2 dhlad m = 3;2; 0; 1.
2
Parˆdeigμa 1.5 (Diagwnisμìc «EukleÐdhc» 1995) JewroÔμe 6 diadoqikoÔc usi-
koÔc arijμoÔc. 'Estw a to ˆjroisμa twn tri¸n pr¸twn kai b to ˆjroisμa twn tri¸n
ˆllwn. EÐnai dunatìn na isqÔei ab = 19951995;
LÔsh:
To ˆjroisμa tri¸n diadoqik¸n arijμ¸n eÐnai pˆntote pollaplˆsio tou 3, diìti
an n eÐnai o μesaÐoc tìte oi arijμoÐ eÐnai oi n1; n; n+1 μe ˆjroisμa 3n. Sunep¸c
oi a; b eÐnai pollaplˆsia tou 3 ki ètsi to ab eÐnai pollaplˆsio tou 9. 'Oμwc o
arijμìc 19951995 den eÐnai pollaplˆsio tou 9 afoÔ to ˆjroisμa twn yhfÐwn tou
den diaireÐtai μe to 9.
2
Parˆdeigμa 1.6 (Diagwnisμìc «EukleÐdhc» 1995) Na exetˆsete ean upˆrqoun a-
kèraioi x; y pou ikanopoioÔn thn exÐswsh x2 + 4y = 1995.
48

64. 8o Kalokairino Majhμatikì Sqoleio E.M.E., Leptokarua Pieriac 2014 1 Diairetìthta
LÔsh:
Ean o x eÐnai perittìc dhlad x = 2k +1; k 2 Z tìte x2 = 4k(k +1)+1 dhlad
x2 =poll.4+1. An o x eÐnai ˆrtioc dhlad x = 2k; k 2 Z tìte x2 = 4k2 dhlad
x2 =poll.4.
Sunep¸c afoÔ to 4y eÐnai poll.4,

65. a èqouμe x2+4y =poll.4 eÐte x2+4y =poll.4+1
allˆ 1995=poll.4+3 ˆra h exÐswsh eÐnai adÔnath 1.
2
Parˆdeigμa 1.7 Na deÐxete ìti gia kˆje usikì arijμì n isqÔei
9j10n + 3 4n+2 + 5:
Apìdeixh:
Ja efarμìsouμe th μèjodo thc μajhμatik c epagwg c. Jètouμe
P(n) = 10n + 3 4n+2 + 5:
Gia n = 0 èqouμe P(0) = 54, pou diaireÐtai apì to 9. Upojètouμe ìti 9jP(k) dhlad
ìti 9j10k + 3 4k+2 + 5. Tìte
P(k + 1) = 10k+1 + 3 4k+3 + 5 = 10 10k + 3 4 4k+2 + 5
= 10k + 3 4k+2 + 5 + 9 10k + 9 4k+2 = P(k) + 9(10k + 4k+2):
Kaj¸c 9jP(k), h parat rhsh thc Prìtashc 1:1 dÐnei ìti 9jP(k + 1). Sunep¸c
isqÔei 9jP(n) gia kˆje n 2 N.
2
Parˆdeigμa 1.8 Na deÐxete ìti gia kˆje n 2 Z isqÔei 46 j n2 + 2.
Apìdeixh:
Ac upojèsouμe, antÐjeta, ìti upˆrqei akèraioc n tètoioc ¸ste 4jn2 + 2. Tìte
èqouμe tic ex c dÔo peript¸seic gia ton akèraio n :
• Ean n = 2k, ìpou k 2 Z, tìte n2 + 2 = 4k2 + 2. Kaj¸c 4jn2 + 2, èpetai ìti
4j4k2 + 2, dhlad 4j2, ˆtopo.
• Ean n = 2k + 1, ìpou k 2 Z, tìte n2 + 2 = (2k + 1)2 + 2 = 4k2 + 4k + 3:
Epeid ìμwc 4j4k2 + 4k, èpetai ìti 4j3, ˆtopo.
'Ara gia kˆje n 2 Z isqÔei 46 j n2 + 2.
2
1Fusikˆ μporeÐ na epilujeÐ ˆμesa μe th qr sh isotiμi¸n (gia tic opoÐec

66. a μil souμe pio
kˆtw).
Alexandroc G. Sugkelakhc 49

67. 1.3 Mègistoc Koinìc Diairèthc (M.K.D.) Diairetothta
1.3 Mègistoc Koinìc Diairèthc (M.K.D.)
Prìtash 1.2 (Arq thc kal c diˆtaxhc) 'Estw S èna μh kenì uposÔnolo tou N.
Tìte to S èqei èna μonadikì elˆqisto stoiqeÐo, dhlad , èna stoiqeÐo a 2 S tètoio,
¸ste a x, gia kˆje x 2 S.
'Estw a1; : : : ; an akèraioi arijμoÐ apì touc opoÐouc ènac toulˆqiston eÐnai6= 0.
Kˆje akèraioc pou diaireÐ kajèna apì touc a1; : : : ; an lègetai koinìc diairèthc
twn a1; : : : ; an. SuμbolÐzouμe μe S to sÔnolo twn

68. etik¸n koin¸n diairet¸n twn
a1; : : : ; an. To S eÐnai μh kenì diìti 1 2 S. An ak6= 0 kai d 2 S tìte djak kai
epoμènwc d jakj. 'Ara to sÔnolo S eÐnai peperasμèno. To μègisto stoiqeÐo tou
S eÐnai ènac

69. etikìc akèraioc pou lègetai μègistoc koinìc diairèthc (M.K.D.)
twn a1; : : : ; an kai suμbolÐzetai μe (a1; : : : ; an). Gia kˆje a 2 Z, to sÔnolo twn

70. etik¸n diairet¸n tou a suμpÐptei μe autì tou a. Epoμènwc isqÔei (a1; : : : ; an) =
(ja1j; : : : ; janj), dhlad o M.K.D. eÐnai anexˆrthtoc pros μwn. EpÐshc, kaj¸c kˆje
akèraioc eÐnai diairèthc tou 0, èqouμe (0; a1; : : : ; an) = (a1; : : : ; an). Sunep¸c
μporoÔμe na upojèsouμe ìti kanènac ek twn akeraÐwn a1; : : : ; an den eÐnai μhdèn.
An (a1; : : : ; an) = 1, tìte oi akèraioi a1; : : : ; an kaloÔntai pr¸toi μetaxÔ touc.
EpÐshc ean (ai; aj) = 1 gia kˆje i; j 2 f1; : : : ; ng μe i6= j, tìte oi akèraioi
a1; : : : ; an kaloÔntai pr¸toi μetaxÔ touc anˆ dÔo. EÐnai profanèc ìti ean oi
akèraioi a1; : : : ; an eÐnai pr¸toi μetaxÔ touc anˆ dÔo, tìte eÐnai kai pr¸toi μetaxÔ
touc. To antÐstrofì ìμwc den isqÔei en gènei.
Je¸rhμa 1.2 (L μμa Bezout) 'Estw a1; : : : ; an μh μhdenikoÐ akèraioi kai d =
(a1; : : : ; an). Tìte upˆrqoun akèraioi k1; : : : ; kn tètoioi, ¸ste
d = k1a1 + + knan:
Pìrisμa 1.1 'Estw a1; : : : ; an μh μhdenikoÐ akèraioi. O

71. etikìc akèraioc d eÐnai
o M.K.D. twn a1; : : : ; an an kai μìno an, isqÔoun ta ex c :
(i) dja1; : : : ; djan,
(ii) An eÐnai

72. etikìc akèraioc μe ja1; : : : ; jan, tìte jd.
Pìrisμa 1.2 'Estw a1; : : : ; an μh μhdenikoÐ akèraioi. An d eÐnai ènac

73. etikìc
koinìc diairèthc twn a1; : : : ; an μe d = k1a1 + + knan, ìpou k1; : : : ; kn 2 Z, tìte
d = (a1; : : : ; an).
Pìrisμa 1.3 'Estw a1; : : : ; an μh μhdenikoÐ akèraioi. Oi akèraioi a1; : : : ; an eÐnai
pr¸toi μetaxÔ touc, an kai μìno an, upˆrqoun k1; : : : ; kn 2 Z tètoioi ¸ste 1 =
k1a1 + + knan.
50