1) O documento apresenta regras fundamentais para calcular a derivada de funções como constante, potência, produto e quociente. 2) Inclui exemplos de aplicação das fórmulas de derivadas de soma, diferença, produto e quociente de funções. 3) Explica a regra para derivar uma função potência, com exemplos.

1. DERIVADAS FUNDAMENTAIS
Vamos estudar algumas regras que nos permitirão calcular a derivada
de uma função f(x) . A demonstração dessas regras pode ser feita com
a aplicação da definição . Vejamos algumas derivadas fundamentais:
Derivada da função constante
Se “c” é uma função constante e f(x) = c, para todo “x” real, então
f’(x) = 0
f(x) = c ⇒ f’(x) = 0
Exemplos:
f(x) = 8 ⇒ f´(x) = 0 ; f(x) = 3
1
− ⇒ f´(x) = 0 ; f(x) = 3
1
− ⇒ f´(x)= 0
Derivada da função potência
Se f(x) = xn
, com “n” ∈ R , então f’(x) = n . x n - 1
Fórmula: f(x) = xn
⇒ f’(x) = n . xn - 1
Exemplos: f(x) = x ⇒ f’(x) = 1. x1 - 1
= 1.x x0
= 1
f(x) =x7
⇒ f’(x) = 7.x7 – 1
= 7 x6
- f(x) = x- 4
⇒ f’(x) = - 4.x- 4 - 1
= -4 x- 5
⇒ f’(x) = 5
5
4
x
−
- f(x) = x 5
3
−
⇒ f’(x) = 5
3
− . x 1
5
3
−−
⇒ f’(x) = 5
3
− . x 5
8
−
⇒ f’(x) =
5
8
5
3
x
−
⇒ f’(x)
= 5 8
5
3
x
−
- f(x) = 4
x ⇒ f(x) = x 4
1
⇒ f’(x) = 4
1
. x 1
4
1
−
⇒ f’(x) = 4
1
. x 4
3
−
⇒
f’(x) =
4
3
4
1
x
⇒ f’(x) = 4 3
4
1
x
− -
- f(x) = 3
1
x
⇒ f(x) = x–3
⇒ f’(x) = -3.x–3-1
⇒ f’(x) = -3.x–4
⇒
f’(x) = 4
3
x
−
Derivada do produto de uma constante por uma potência
Se g(x) = c . f(x), com “c” igual a uma constante e f(x) derivável, então
g’(x) = c . f’(x)

2. Exemplos:
- g(x) = 5x3
⇒ g’(x) = 5.3. x
3 - 1
= 15 x
2
- f(x) =
12
3
2
x ⇒ g’(x) =
112
.12.
3
2 −
x ⇒ g’(x) = 11
8x
Propriedades Operatórias
Sejam u(x) e v(x) duas funções tais que u’(x) e v’(x) exista; então são válidas as
seguintes propriedades:
a) Derivada da soma e da diferença de funções
Se f(x) = u(x) + v(x), então f’(x) = u’(x) + v’(x)
De modo análogo tem-se que se:
Se f(x) = u(x) - v(x), então f’(x) = u’(x) - v’(x)
(F)
Donde se conclui que:
“Se as funções u(x) e v(x) são deriváveis, a derivada da soma ou da diferença
é igual à soma ou à diferença das derivadas de cada uma das funções”
Vejamos alguns exemplos:
1) Dada a função: f(x) = 3x4
+ 5 x3
- x2
+ x, calcular f’(x).
f(x) = 3x4
+ 5 x3
- x2
+ x ⇒ f’(x) = 4.3.x4-1
+3.5.x3-1
-2.x2-1
+1.x1-1
⇒ f’(x) = 12x3
+ 15x2
- 2x + x0
⇒ f’(x) = 12x3
+ 15x2
- 2x + 1

3. 2) Dada a função: f(x) = 3x-3
- 2x-5
+ x-2
, calcular f’(x).
f(x) = 3x-3
- 2x-5
+ x-2
⇒ f’(x) = -3.3.x-3-1
–(-5).2.x-5-1
+(-2).x-2-1
⇒ f’(x) = -9x-4
+ 10x-6
- 2x-3
3) Dada a função: 453
)( −
−+= ttttf , calcular f’(t)
Solução:
55 4
2
5
5
4
2
521413
45
1
3453
4
5
1
3)´(
4
5
1
3)´(
4
5
1
3)´().4(
5
1
3)´(
)´()(
5
4
1
5
1
tt
ttf
t
t
ttf
ttttfttttf
ttttfttttf
++=⇒++=
⇒++=⇒−−+=
⇒−+=⇒−+=
−−−−
−−
−−
4) Dada a função: x
xxxf
2
)()( 253
−+−= −
, calcular f’(t)
35 34
2
3
5
34
2
3
5
3
4
1
2
1
1
5
2
132
1
5
2
3
2
1
5
2
3253
2
5
23
)(
2
5
23
)(2.
5
2
3)(
.2).
2
1
(.
5
2
).3()(.2)(
2
)(
2
)()(
xxx
xf
xx
x
xfxxxxf
xxxxfxxxxf
x
xxxf
x
xxxf
++=
⇒++=⇒++=⇒
−−+−−=⇒−+−=
⇒−+−=⇒−+−=
−−
−
−−−
−−
−
−
−−
Derivada de um produto de funções
Se f(x) = u(x) . v(x), então f’(x) = u’ . v + v’ . u
De modo mais simples, podemos escrever:
y = u . v ⇒ y’ = u’ . v + v’ . u
(F)
Vejamos alguns exemplos:
- 1) Calcular a derivada de (2 + 5x).(7 – 3x)
Resolução:

4. Fazendo y = (2 + 5x).(7 – 3x) , temos :
u = (2 + 5x), logo u’ = 5
v = (7 – 3x), temos v’ = –3
Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que:
y’ = u’ . v + v’ . u ⇒ y’ = 5 . (7 – 3x) + (–3) . (2 + 5x) ⇒
y’ = 35 – 15x – 6 – 15x ⇒ y’ = –30x + 29
- 2) Calcular a derivada de f(x) = x (3x – 1).(x + 2)
Resolução:
Preparando a função, temos
f(x) = x (3x – 1).(x + 2 ⇒ f(x) = (3x2
– x).(x + 2)
Transformando, temos:
u(x) = 3x2
– x ⇒ u’(x) = 6x – 1
v(x) = x + 2 ⇒ v’(x) = 1
Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que:
y = u . v ⇒ y’ = u’ . v + v’ . u
y’ = (6x – 1).( x + 2) + 1 . (3x2
– x) ⇒ y’ = 6x2
+ 12x – x – 2 + 3x2
– x
y’ = 9 x2
+ 10x – 2
Derivada de um quociente de funções
Se )(
)(
)(
xv
xu
xf = , com v(x) ≠ 0,
então 2
)().(')().('
)('
v
xuxvxvxu
xf
−
=
De modo mais simples, podemos escrever:
v
u
y = ⇒ 2
'.'.
'
v
uvvu
y
−
= (F)
Vejamos alguns exemplos:
- 1) Dada a função
3
1
)(
2
−
+
=
x
x
xf , calcular f’(x)
Resolução:

5. Sabemos que: 2
'.'.
'
v
uvvu
y
−
=
Fazendo:
u = x2
+ 1 vem que: u’ = 2x
v = x – 3 vem que: v’ = 1
Aplicando-se a fórmula vem:
2
2
2
)3(
)1).(1()3).(2(
'
'.'.
'
−
+−−
=⇒
−
=
x
xxx
y
v
uvvu
y
⇒
−
−−−
= 2
2
)3(
13.2.2
'
x
xxxx
y
Efetuando-se as operações vem que:
96
16
'
96
162
' 2
2
2
22
+−
−−
=⇒
+−
−−−
=
xx
xx
y
xx
xxx
y
Derivada da potência de uma função
Consideremos a função f(x) = [g(x)]n
, com n ∈ R.
Então f’(x) = n.[g(x)]n – 1
. g’(x). De uma forma mais simples,
podemos escrever: y = g n
y’ = n . g n – 1
. g’
1º Exemplo: Dada a função 2)( −= xxf , calcular f’(6)
Solução:
Transformando temos: 2
1
)2(2)( −=−= xxxf
Fazendo-se g(x) = (x – 2). Obtemos g’(x) = 1
Se ⇒−=⇒−=
−
1.)2.(
2
1
)(')2()(
1
2
1
2
1
xxfxxf
22
1
)('
)2(2
1
)(')2.(
2
1
)('
2
1
2
1
−
=⇒
−
=⇒−=
−
x
xf
x
xfxxf
Daí vem que:
4
1
)6('
2.2
1
)6('
42
1
262
1
)6(' =⇒=⇒=
−
= fff

6. 2º Exemplo:
Dada a função f(x) = (2x + 1)4
, calcular f’(x)
Solução:
Fazendo-se g(x) = 2x + 1, e derivando-se, obteremos g’(x) = 2
Logo, temos:
y = g4
y’= 4 . g4 – 1
. g’
y’ = 4 . (2x + 1)4 – 1
. 2 y’ = 8 . (2x + 1)3

7. 2º Exemplo:
Dada a função f(x) = (2x + 1)4
, calcular f’(x)
Solução:
Fazendo-se g(x) = 2x + 1, e derivando-se, obteremos g’(x) = 2
Logo, temos:
y = g4
y’= 4 . g4 – 1
. g’
y’ = 4 . (2x + 1)4 – 1
. 2 y’ = 8 . (2x + 1)3