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DERIVADAS FUNDAMENTAIS
Vamos estudar algumas regras que nos permitirão calcular a derivada
de uma função f(x) . A demonstr...
Exemplos:
- g(x) = 5x3
⇒ g’(x) = 5.3. x
3 - 1
= 15 x
2
- f(x) =
12
3
2
x ⇒ g’(x) =
112
.12.
3
2 −
x ⇒ g’(x) = 11
8x
Propri...
2) Dada a função: f(x) = 3x-3
- 2x-5
+ x-2
, calcular f’(x).
f(x) = 3x-3
- 2x-5
+ x-2
⇒ f’(x) = -3.3.x-3-1
–(-5).2.x-5-1
+...
Fazendo y = (2 + 5x).(7 – 3x) , temos :
u = (2 + 5x), logo u’ = 5
v = (7 – 3x), temos v’ = –3
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Sabemos que: 2
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Fazendo:
u = x2
+ 1 vem que: u’ = 2x
v = x – 3 vem que: v’ = 1
Aplicando-se a fórmula v...
2º Exemplo:
Dada a função f(x) = (2x + 1)4
, calcular f’(x)
Solução:
Fazendo-se g(x) = 2x + 1, e derivando-se, obteremos g...
2º Exemplo:
Dada a função f(x) = (2x + 1)4
, calcular f’(x)
Solução:
Fazendo-se g(x) = 2x + 1, e derivando-se, obteremos g...
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Apostila de derivadas

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Apostila de derivadas

  1. 1. DERIVADAS FUNDAMENTAIS Vamos estudar algumas regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função f(x) . A demonstração dessas regras pode ser feita com a aplicação da definição . Vejamos algumas derivadas fundamentais: Derivada da função constante Se “c” é uma função constante e f(x) = c, para todo “x” real, então f’(x) = 0 f(x) = c ⇒ f’(x) = 0 Exemplos: f(x) = 8 ⇒ f´(x) = 0 ; f(x) = 3 1 − ⇒ f´(x) = 0 ; f(x) = 3 1 − ⇒ f´(x)= 0 Derivada da função potência Se f(x) = xn , com “n” ∈ R , então f’(x) = n . x n - 1 Fórmula: f(x) = xn ⇒ f’(x) = n . xn - 1 Exemplos: f(x) = x ⇒ f’(x) = 1. x1 - 1 = 1.x x0 = 1 f(x) =x7 ⇒ f’(x) = 7.x7 – 1 = 7 x6 - f(x) = x- 4 ⇒ f’(x) = - 4.x- 4 - 1 = -4 x- 5 ⇒ f’(x) = 5 5 4 x − - f(x) = x 5 3 − ⇒ f’(x) = 5 3 − . x 1 5 3 −− ⇒ f’(x) = 5 3 − . x 5 8 − ⇒ f’(x) = 5 8 5 3 x − ⇒ f’(x) = 5 8 5 3 x − - f(x) = 4 x ⇒ f(x) = x 4 1 ⇒ f’(x) = 4 1 . x 1 4 1 − ⇒ f’(x) = 4 1 . x 4 3 − ⇒ f’(x) = 4 3 4 1 x ⇒ f’(x) = 4 3 4 1 x − - - f(x) = 3 1 x ⇒ f(x) = x–3 ⇒ f’(x) = -3.x–3-1 ⇒ f’(x) = -3.x–4 ⇒ f’(x) = 4 3 x − Derivada do produto de uma constante por uma potência Se g(x) = c . f(x), com “c” igual a uma constante e f(x) derivável, então g’(x) = c . f’(x)
  2. 2. Exemplos: - g(x) = 5x3 ⇒ g’(x) = 5.3. x 3 - 1 = 15 x 2 - f(x) = 12 3 2 x ⇒ g’(x) = 112 .12. 3 2 − x ⇒ g’(x) = 11 8x Propriedades Operatórias Sejam u(x) e v(x) duas funções tais que u’(x) e v’(x) exista; então são válidas as seguintes propriedades: a) Derivada da soma e da diferença de funções Se f(x) = u(x) + v(x), então f’(x) = u’(x) + v’(x) De modo análogo tem-se que se: Se f(x) = u(x) - v(x), então f’(x) = u’(x) - v’(x) (F) Donde se conclui que: “Se as funções u(x) e v(x) são deriváveis, a derivada da soma ou da diferença é igual à soma ou à diferença das derivadas de cada uma das funções” Vejamos alguns exemplos: 1) Dada a função: f(x) = 3x4 + 5 x3 - x2 + x, calcular f’(x). f(x) = 3x4 + 5 x3 - x2 + x ⇒ f’(x) = 4.3.x4-1 +3.5.x3-1 -2.x2-1 +1.x1-1 ⇒ f’(x) = 12x3 + 15x2 - 2x + x0 ⇒ f’(x) = 12x3 + 15x2 - 2x + 1
  3. 3. 2) Dada a função: f(x) = 3x-3 - 2x-5 + x-2 , calcular f’(x). f(x) = 3x-3 - 2x-5 + x-2 ⇒ f’(x) = -3.3.x-3-1 –(-5).2.x-5-1 +(-2).x-2-1 ⇒ f’(x) = -9x-4 + 10x-6 - 2x-3 3) Dada a função: 453 )( − −+= ttttf , calcular f’(t) Solução: 55 4 2 5 5 4 2 521413 45 1 3453 4 5 1 3)´( 4 5 1 3)´( 4 5 1 3)´().4( 5 1 3)´( )´()( 5 4 1 5 1 tt ttf t t ttf ttttfttttf ttttfttttf ++=⇒++= ⇒++=⇒−−+= ⇒−+=⇒−+= −−−− −− −− 4) Dada a função: x xxxf 2 )()( 253 −+−= − , calcular f’(t) 35 34 2 3 5 34 2 3 5 3 4 1 2 1 1 5 2 132 1 5 2 3 2 1 5 2 3253 2 5 23 )( 2 5 23 )(2. 5 2 3)( .2). 2 1 (. 5 2 ).3()(.2)( 2 )( 2 )()( xxx xf xx x xfxxxxf xxxxfxxxxf x xxxf x xxxf ++= ⇒++=⇒++=⇒ −−+−−=⇒−+−= ⇒−+−=⇒−+−= −− − −−− −− − − −− Derivada de um produto de funções Se f(x) = u(x) . v(x), então f’(x) = u’ . v + v’ . u De modo mais simples, podemos escrever: y = u . v ⇒ y’ = u’ . v + v’ . u (F) Vejamos alguns exemplos: - 1) Calcular a derivada de (2 + 5x).(7 – 3x) Resolução:
  4. 4. Fazendo y = (2 + 5x).(7 – 3x) , temos : u = (2 + 5x), logo u’ = 5 v = (7 – 3x), temos v’ = –3 Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que: y’ = u’ . v + v’ . u ⇒ y’ = 5 . (7 – 3x) + (–3) . (2 + 5x) ⇒ y’ = 35 – 15x – 6 – 15x ⇒ y’ = –30x + 29 - 2) Calcular a derivada de f(x) = x (3x – 1).(x + 2) Resolução: Preparando a função, temos f(x) = x (3x – 1).(x + 2 ⇒ f(x) = (3x2 – x).(x + 2) Transformando, temos: u(x) = 3x2 – x ⇒ u’(x) = 6x – 1 v(x) = x + 2 ⇒ v’(x) = 1 Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que: y = u . v ⇒ y’ = u’ . v + v’ . u y’ = (6x – 1).( x + 2) + 1 . (3x2 – x) ⇒ y’ = 6x2 + 12x – x – 2 + 3x2 – x y’ = 9 x2 + 10x – 2 Derivada de um quociente de funções Se )( )( )( xv xu xf = , com v(x) ≠ 0, então 2 )().(')().(' )(' v xuxvxvxu xf − = De modo mais simples, podemos escrever: v u y = ⇒ 2 '.'. ' v uvvu y − = (F) Vejamos alguns exemplos: - 1) Dada a função 3 1 )( 2 − + = x x xf , calcular f’(x) Resolução:
  5. 5. Sabemos que: 2 '.'. ' v uvvu y − = Fazendo: u = x2 + 1 vem que: u’ = 2x v = x – 3 vem que: v’ = 1 Aplicando-se a fórmula vem: 2 2 2 )3( )1).(1()3).(2( ' '.'. ' − +−− =⇒ − = x xxx y v uvvu y ⇒ − −−− = 2 2 )3( 13.2.2 ' x xxxx y Efetuando-se as operações vem que: 96 16 ' 96 162 ' 2 2 2 22 +− −− =⇒ +− −−− = xx xx y xx xxx y Derivada da potência de uma função Consideremos a função f(x) = [g(x)]n , com n ∈ R. Então f’(x) = n.[g(x)]n – 1 . g’(x). De uma forma mais simples, podemos escrever: y = g n y’ = n . g n – 1 . g’ 1º Exemplo: Dada a função 2)( −= xxf , calcular f’(6) Solução: Transformando temos: 2 1 )2(2)( −=−= xxxf Fazendo-se g(x) = (x – 2). Obtemos g’(x) = 1 Se ⇒−=⇒−= − 1.)2.( 2 1 )(')2()( 1 2 1 2 1 xxfxxf 22 1 )(' )2(2 1 )(')2.( 2 1 )(' 2 1 2 1 − =⇒ − =⇒−= − x xf x xfxxf Daí vem que: 4 1 )6(' 2.2 1 )6(' 42 1 262 1 )6(' =⇒=⇒= − = fff
  6. 6. 2º Exemplo: Dada a função f(x) = (2x + 1)4 , calcular f’(x) Solução: Fazendo-se g(x) = 2x + 1, e derivando-se, obteremos g’(x) = 2 Logo, temos: y = g4 y’= 4 . g4 – 1 . g’ y’ = 4 . (2x + 1)4 – 1 . 2 y’ = 8 . (2x + 1)3
  7. 7. 2º Exemplo: Dada a função f(x) = (2x + 1)4 , calcular f’(x) Solução: Fazendo-se g(x) = 2x + 1, e derivando-se, obteremos g’(x) = 2 Logo, temos: y = g4 y’= 4 . g4 – 1 . g’ y’ = 4 . (2x + 1)4 – 1 . 2 y’ = 8 . (2x + 1)3

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