Modelagem matemática uma prática no

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RHYCARDO DE PAULA
MODELAGEM MATEMÁTICA UMA PRÁTICA NO
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
Monografia apresentada como requisito parcial
para a obtenção do grau de Especialista em
Matemática: dimensões teórico - metodológicas
Orientadora: Prol" Ms. Marlene Perez
Universidade Estadual de Ponta Grossa.
PONTA GROSSA
2003

RHYCARDO DE PAULA
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MODELAGEM MATEMÁTICA UMA PRÁTICA NO
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
Monografia apresentada como requisito parcial
para a obtenção do grau de Especialista em
Matemática: dimensões teórico - metodológicas
Orientadora: Prof' Ms. Marlene Perez
Universidade Estadual de Ponta Grossa.
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PONTA GROSSA
2003

"Modelar uma estátua e dar-lhe vida é belo.
Modelar uma inteligência e dar-lhe verdade é sublime.
Só a sabedoria divina poderia substituir com
vasta e igual clareza todas as vacilantes imaginações
da sabedoria. Pitágoras, Epicuro, Sócrates, Platão são
raios de luz; Cristo é o dia.
A verdade é alimento como o trigo.
Os velhos têm necessidade de afeto como o sol ".
VICTOR HUGO
li

AGRADECIMENTOS
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Aos familiares pelo incentivo, compreensão e apoio em todos os momentos;
Ao chefe do Departamento de Engenharia Civil, professor Luis Antônio Krelling e
coordenador professor Lúcio Marcos de Geus pela disponibilidade de espaço, equipamentos e
materiais complementares.
Em especial ao professor Vivente C. Campiteli pelo auxílio e conhecimento dedicado e ao
--funcionário Paulo, do Laboratório de Materiais de Construção.
Aos acadêmicos do primeiro ano do curso de Engenharia Civil d universidade Estadual de
Ponta Grossa pela participação e enriquecimento dos trabalhos
A professora Marlene Perez, pela amizade, compreensão, empenho e serenidade na orientação
realizada.
11

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SUMÁRIO
RESUMO v
INTRODUÇÃO 01
CAPÍTULO I - A ENGENHARIA E O ENSINO APRENDIZAGEM NO CURSO
SUPERIOR 04
1.1 BREVE HISTÓRICO DA ENGENHARIA. 06
1.2 BREVE HISTÓRICO DO CURSO DE ENGENHARIA NO BRASIL. 08
1.3 BREVE HISTÓRICO DO CURSO DE ENGENHARIA EM PONTA GROSSA. l O
CAPÍTULo fi - MODELAGEM MATEMÁTICA E SUAS UTILIDADES 15
2.1 APLICAÇÕES DA MODELAGEM COMO INSTRUMENTO NAS CIÊNCIAS 15
2.2 MODELO MATEMÁ TICO 17
2.3 MODELAGEM MATEMÁ TICA 22
CAPÍTULo m - APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DA MODELAGEM
MATEMÁTICA 36
CONSIDERAÇÕES FINAIS 71
ANEXOS 73
REFERÊNCIAS BffiLIOGRÁFICAS 82
IV

RESUMO
Na condição ainda de acadêmico do curso de Engenharia Civil..fr:::versas com outros,
possibilitaram constatar que o curso necessita de uma prática e até uma reformulação
metodológica no ensino de matemática que possa contribuiy levando o acadêmico a
desenvolver a capacidade de interpretar e analisar as situações que se deparará no decorrer da
sua vida acadêmica e na futura vida profissional. A resolução de problemas em quase todos os
níveis do ensino e até mesmo no ensino superior aborda as características do ensino
tradicional, professor detentor de todo conhecimento conduz a aprendizagem dando maior
importância à linguagem do simbolismo, o exagero de exercícios, considerando a repetição e
resultados exatos essenciais, deixando para segundo plano as discussões. Considerando o
conteúdo principal fator que determina o problema a ser estudado. As aulas de matemática se
tomam cansativas e desestimulant , deixando de lado a busca do conhecimento, o processo de
pesquisa e a verdade sobre a utilização dos conteúdos. A partir daí esta monografia vem
através de urna prática desenvolvida com os acadêmicos do primeiro ano do curso de
Engenharia Civil da Universidade Estadual de Ponta Grossa com o propósito de aumentar o
interesse do acadêmico de Engenharia Civil pela matemática nos anos iniciais, utilizando a
Modelagem Matemática como alternativa metodológica. O Capítulo I é destinado a parte
histórica Engenharia e reflexões sobre o ensino aprendizagem no curso superior. No Capítulo
II direciona o estudo para o Modelo Matemático, Modelagem temática e também a
importância dos modelos desenvolvidos pelos computadores melhorando a qualidade de vida.
Já no Capítulo Ill é o momento da prática, discussão e comparação dos dados e modelos
elaborados pelos acadêmicos, após a modelagem.
palavras- chave: modelagem matemática; modelo; ensino aprendizagem.
v

/
INTRODUÇÃO
r:
A incorporação do aluno à universidade lhe proporciona novas responsabilidades,
saindo da condição de adolescente para o de adulto. É um período delicado que merece
cuidado especial, pois muitas vezes o vestibulando é de algum modo influenciado pelos
familiares e não tem idéia dos conteúdos que estudará e ainda menos a sua aplicabilidade na
vida profissional. Essa falha vem do ensino médio, pois tem o papel de orientar os alunos,
mostrando as várias possibilidades e áreas de estudo e trabalho para o futuro.
Nesse período de ensino poder-se-ia estabelecer novas vias de acesso ao
conhecimento. Saindo do ensino formal, levando o aluno a situações práticas formalizando
conscientemente o conteúdo trabalhado. A partir daí as diferenças individuais de cada aluno
seriam avaliadas, proporcionando um direcionamento de suas tendências para áreas
especificas do ensino técnico ou superior. Infelizmente o jovem vem acostumado com as
fórmulas e definições decoradas e não compreendidos e acaba por ingressar na universidade.
A universidade é o local onde a pesquisa e compreensões dos conceitos devem ser
trabalhadas. A pesquisa de maneira geral, não apenas em nível de iniciação cientifica e pós-
graduação, mas sim a pesquisa diária, acadêmica, na busca do porque de cada conteúdo que
lhe é transmitido.
O momento é específico para o posicionamento e coordenação do professor
universitário buscando a melhora do processo ensino aprendizagem, colocando à frente toda a
sua visão e bom senso, pois sabe que as ementas são muito pesadas, principalmente com
relação a grande quantidade de conteúdo especifico que exigem do aluno, evitando
comentários do porque e para que destes conteúdos. Levando a desmotivação e desorientação
quanto a sua posição no esquema acadêmico e futuras disciplinas, além de atribuições futuras
como profissional.
Devido a isso, o presente estudo tem como tema central uma proposta metodológica
para o ensino da matemática, resgatando o interesse do acadêmico através de uma prática
valorizando a interdisciplinaridade no curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual de
Ponta Grossa, apoiado na essência do método da Modelagem Matemática, analisando suas
origens nas aplicações de matemática .
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2
A pesquisa realizada é de cunho qualitativo com apoio em materiais bibliográficos e
um estudo de caso que tem por objetivos:
- orientar o acadêmico no esquema universitário quanto às futuras disciplinas e
atribuições como profissional na engenharia civil;
- dinamizar o estudo da matemática no curso de Engenharia Civil através da
Metodologia da Modelagem Matemática;
Com esta pesquisa, pretende-se um amadurecimento pedagógico, bem como a busca
de uma metodologia de ensino alternativa para o trabalho com a Matemática no Curso
Superior, que possa contribuir para a formação do acadêmico no Curso de Engenharia Civil.
Buscando possibilidades e reflexões sobre as condições do ensino universitário a nível local.
A partir de interrogações: Como está sendo trabalhada a matemática nos anos iniciais dos
cursos superiores? Precisa-se de uma inter ligação entre as disciplinas? O que deveria ser feito
para melhorar? A modelagem seria a metodologia mais indicada para essas situações?
Para tanto, procedeu-se a um levantamento e estudo de publicações existentes,
relacionadas com o tema, como: livros, revistas e artigos na internet. A pesquisa bibliográfica
fez-se necessária para a estruturação teórica e construção de modelos matemáticos.
Foram elaborados questionários com a finalidade de melhor conhecer os alunos do 10
ano do Curso de Engenharia Civil da UEPG a fim de aplicar a prática de Modelagem
Matemática, para posterior analise dos modelos elaborados.
Percorremos o seguinte caminho metodológico:
- levantamento do histórico da trajetória do Curso de Engenharia Civil, principalmente
como se constituiu o curso em Ponta Grossa e como se formou o quadro de
professores, que deu forma ao primeiro capítulo do trabalho.
estudo das publicações sobre Modelos e Modelagem Matemática que oportunizou
e deu sustentação teórica ao desenvolvimento do trabalho, o que constitui o
segundo capítulo.
realização de questionário no início para estabelecer um diálogo com os
acadêmicos(futuros engenheiros), sobre as áreas de atuação, expectativas futuras
quanto ao mercado de trabalho e no final do trabalho servindo como material
didático no encaminhamento das atividades.

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3
Procurou-se, nesse contato, induzir a escolha do tema a ser trabalhado e para tanto nos
apoiamos em BURAK (1998, p.32) "o professor é apenas mediador, cuja principal finalidade
é despertar o conhecimento que o aluno possui".
O relato da experiência realizada encontra-se no terceiro capítulo.
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CAPÍTULO I - A ENGENHARIA E O ENSINO APRENDIZAGEM NO CURSO
SUPERIOR
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O ensino superior é sem dúvida muito importante para o crescimento em nível pessoal
e principalmente no fortalecimento de um coletivo forte e participativo, na troca de
informações e idéias construtivas. O tempo do aluno passivo e do professor como o único
detentor de todo o conhecimento não pode mais existir. Não há mais espaço para
conhecimentos prontos e acabados e ao professor cabe o papel de mediador do processo de
ensino e aprendizagem. Assim, o ensino superior, está num processo lento de transformação
já que a maioria dos professores do ensino superior não possui uma formação pedagógica.
Mesmo na licenciatura os cursos possuem poucas disciplinas didático pedagógicas. Os
professores "muito preocupados com o domínio de conteúdo, nem sempre conseguem dar
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conta dos aspectos pedagógicos de seu trabalho", diz BERB~2001, p.07). I ~ -J J 'v. /J
Mesmo os docentes que procuram o aperfeiçoamento através do curso de pós-
graduação, se não optam pela área da educação, não terão uma formação pedagógica.
---------.)O elevado índice de reprovação, principalmente na área de cálculo nas engenharias, se
dá por vários motivos, um dos quais é pela falta de visão dos professores sobre o processo de
ensino e aprendizagem. É fundamental que os professores do ensino superior, tenham uma
formação pedagógica, embora a grande maioria seja formada de engenheiros.
Outro motivo é a avaliação da aprendizagem que é um instante pedagógico "delicado",
pois não envolve apenas a avaliação do acadêmico, mas também o processo de consciência
individual e preparação do professor, que deve sempre buscar o crescimento humano e
profissional do acadêmico. Não deixando escapar a visão a médio e longo prazo, das
conseqüências avaliativas
... é o momento em que nós professores julgamos, é o momento em que podemos definir a
vida acadêmica do aluno. Com nossas atitudes, podemos ter um comportamento que revela
nosso respeito, nosso compromisso ético com a aprendizagem e o crescimento dos alunos, ou
ao contrário, podemos ler comportamentos que revelam arbitrariedades, abusos de poder, uso
de punições, injustiças, protecionismos, falta de consideração e de respeito, que resultam em
prejuízos dos alunos. VASCONCELLOS (2001, p.173). ("

No curso superior, ainda e o docente o soberano ae suas allVIUdUÇ~Ç avauayv...,~. 'J"
acadêmicos, na maioria das universidades não possuem o direito de ver seus erros e quando o
têm, o processo é demorado e na maioria das vezes não possui o acesso direto da avaliação
corrigida,apenas é mostrado em anotações os detalhes das questões que errou. A questão não
é criticar a competência e consciência dos professores, mas resgatar a interação, criatividade e
principalmente a busca das habilidades intelectuais dos acadêmicos. Para isso é necessário um
ensino e uma avaliação que não o prive do exercício de pensar, já que muitas vezes lhe é
cobrada apenas a memorização e isso acaba com uma das etapas do ensino que é o exercício e
o raciocínio.
Pensamos que uma proposta para o ensino e aprendizagem da matemática na
engenharia contribuiria para minimizar os problemas apontados.
A proposta da Modelagem Matemática vem sendo representada no cenário da
Educação Matemática por aproximadamente duas décadas, porém ainda não tem presença
significativa na sala de aula real. Os Educadores Matemáticos que participam de cursos
relativos a esta temática não utilizam esta proposta pedagógica em suas salas de aulas.
Mostram-se inseguros e podem mesmo evitar envolverem-se nas tarefas dos alunos, segundo
BURAK, (1992).
Para compreender parágrafo acima há de se entender a prática docente. A ação do
professor é, em grande parte formada por suas concepções de ~atemática e ensino de
matemática, que vão se construindo ao longo dos anos, mesmo naqueles anteriores à sua.......-
CJZ... formação inicial. As concepções orientam o professor num determinado contexto escolar, com
) suas possibilidades e limitações (guias curriculares, livro didático, cultura escolar, pais,
alunos, etc). :A. partir das suas concepções, o professor reflete, e avalia seu trabalho. A
{ profundidade da reflexão dependerá, substancialmente, da história de vida e das experiências
~da professor.
Assim é possível conhecer o caminho percorrido e o ponto em que o ensino superior
se encontra, quanto às suas concepções de ensino e de avaliação matemática. Um dos maiores
"problemas" está quanto à formação de professores e a limitação dos programas de formação,
pois se trata de experiências pontuais das relações entre a concepção e o contexto escolar. Os
professores, por sua vez, podem ser desafiados em suas concepções, pois isto alteraria o
equilíbrio das relações acima apontadas. Entretanto, é possível notar que as concepções não

6
são influenciadas através do discurso, mas da prática matemática, a experiência. E é neste
contexto que se pode propor a Modelagem como desafiadora das concepções já consolidadas.
Com efeito, pode-se levantar algumas atividades possíveis na formação continuada e
colaborativa de professores em relação à Modelagem, segundo BARBOSA (1999): V
J) Desenvolvimento de tarefas de Modelagem pelos professores de modo a emergir os
aspectos importantes do método, como os pressupostos, a necessidade de fazer
aproximações, etc.
2) Estudo de modelos prontos, avaliando sua plausibilidade.
3) Estudo de casos de sala de aula nos quais Modelagem foi usada como abordagem
pedagógica, levando, assim, questões curriculares e colocando bases práticas para a
reflexão.
4) Desenvolvimento de intervenções em sala de aula, com apoio e reflexão de um grupo
colaborativo.
As experiências acima podem levar os professores a se sentirem mais seguros em
relação à modelagem. A modelagem não deve ser apenas vista em caráter científico
. (Matemática Aplicada), mas juntamente com o conhecimento prático na sala de aula. Assim o
professor de nível superior ou não, terá conhecimentos matemáticos e educacionais, aliados
para aplicar seguramente no ambiente escolar.
1.1 BREVE HISTÓRlCO DA ENGENHARlA
.:»
A Engenharia é uma atividade tão antiga quanto à própria civilização, no entanto só há
dois séculos passou a ser levada em consideração, quando se verificou que tudo que o homem
construía, instintivamente, era regido por leis matemáticas e científicas.
Na história da engenharia, nos primórdios da civilização, o homem para atravessar
pequenos cursos d'água, pisava em galhos caídos de árvores. Quando houve a necessidade de
travessias maiores, ou seja, de transpor rios mais largos, o homem teve que utilizar árvores
inteiras. Para isso, lançou mão do fogo, súnbolo do começo da civilização, empregado para
aquecer, iluminar e cozinhar alimentos. O fogo foi, então, utilizado como ferramenta; ao
queimar as árvores em sua as fez tombar até a out mar em, surgindo assim a "primeira
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7
ponte", que foi o passo inicial da aplicação da engenharia; daí em diante o homem chegou a
canoa rudimentar e mais tarde inventou a roda e eixo, descobriu a luz elétrica o rádio, a
televisão, o avião, o computador, etc. para tudo isso usou recursos da engenharia.
C? atual canal de Suez, aberto em 1869 para a ligação do Mediterrâneo ao Mar
Vermelho e que sem dúvida nenhuma é um grande marco da engenharia. Entretanto no tempo
de Seti, cerca de 1380 a.c., os egípcios já haviam construído obra semelhante, um canal
menos estreito e menos fundo, mas que permitia a passagem dos maiores navios da éPoca]
Merecem destaques as antigas obras de irrigação do vale do Nilo e também da Babilônia,
onde se encontram ruínas de represas, canais e aquedutos que terão sido executados por volta
do século VI a.c., ainda no Egito, o templo de Amon em Karnak, terminado em tomo de 980
a.c., ainda a pirâmide de Queóps século XXVII a.c. .
Outras obras famosas da engenharia: a Via Apia (312 a.Cc), construída por Claudius Caecus;)o-e RIo
aqueduto Cláudia, iniciado por Calícula ~36 a.C.) e terminado por Claudius (50a.C.), etc. (:/ di.
--- I ""'f~
Esses e muitos outros trabalhos importantes de engenharia do passado deixaram o ~
testemunho da habilidade e do conhecimento do homem em tão relevante setor de atividade.
A primeira escola dedicada a engenharia foi instalada em Paris em 1747 e
denominava-se, École des Ponts. Et Caussées. Em 1818 foi fundado em Londres o Instituto de
Engenheiros Civis, cuja finalidade era defender e prestigiar o significado da profissão. Dez
?
anos mais tarde, o instituto pleiteou uma carta régia e tanto, precisou adotar uma definição de
- --- -engenharia civil, recaindo a escolha a dos fundadores da associação, o famoso especialista em
estruturas de madeira, Thomas Tredgold, tendo o mesmo definido como; Engenharia Civil é a
arte de dirigir as grandes fontes de energia da natureza para uso e conveniência do homem,
pelo aperfeiçoamento dos meios de produção e de transporte, tanto para o comércio interno
quanto para o externo, aplicada às obras de estradas, pontes, aquedutos, canais, navegação
fluvial, docas e armazéns para facilidades de intercâmbio; às construções de portos, moldes,
quebra-mares e faróis; à navegação por meio de energia artificial para fins de comércio; à
construção e adaptação de maquinarias e a drenagem das cidades.
A engenharia civil ampliou seus horizontes a ponto mais abrangentes que àqueles Ja
bem definidos por Tredgold, através de um mundo de experiências e resultados posteriores, e
com o avanço e a modernização da civilização, e por existência do mercado tecnológico,
houve a necessidade da criação de especialistas dentro da área da engenharia civil; como
engenharia elétrica, engenharia mecânica, geologia, engenharia de minas, engenharia

8
cartográfica, engenharia agronômica, engenharia química, engenharia de produção,
engenharia mecatrônica, etc. Como se vê a engenharia está presente em todos os segmentos
da sociedade e tudo teve inicio com a engenharia civil.
Quem primeiro intitulou-se engenheiro civil foi o inglês John Smeaton (1724-1792)
que cedo se dedicou a estudos de mecânica e astronomia, depois foi fabricante de
instrumentos, muitos dos quais aperfeiçoou, e mais tarde tornou-se responsável pela abertura
de canais, trabalho de drenagens, execução de pontes e pela construção do Farol de
Eddystone, escrevendo em seguida monografias sobre alguns desses serviços.
O legado dos primeiros engenheiros chegou aos dias de hoje com os acréscimos, adaptações e
correções, e irá beneficiar o engenheiro de amanhã, que o aprimorará, para transmiti-lo às
gerações futuras.
1.2 BREVE HISTÓRICO DO CURSO DE ENGENHARIA NO BRASIL.
(
A primeira obra de vulto de engenharia no Brasil foi à cidade de Salvador iniciada em
1549 com a finalidade de tornar-se a sede do governo, trabalho confiado ao mestre português
Luis Dias, que os historiadores consideram o primeiro engenheiro nesta terra.
O ensino de engenharia no Brasil teve início em 1810, na Carta Régia em que D.João
VI, animado pelo ministro da Guerra, o Conde de Linhares, D.Rodrigo de Souza Coutinho,
criou a Academia Real Militar, no Rio de Janeiro. Somente quatro meses depois dessa carta,
já em 1811, a Academia Real Militar foi inaugurada solenemente com a sua primeira aula em
sala da chamada Casa do Trem, na ponta do Calabouço, mais tarde Arsenal de Guerra, onde
hoje funciona o Museu Histórico Nacional. Em 1822, Proclamada a Independência, a
academia passou a obedecer a um plano organizado de ensino, passando a chamar-se
Academia Imperial Militar e, depois, Escola Militar, permitindo o ingresso de civis, em fms
de 1823. Em 1839, alterou-se essa denominação para Escola Militar da Corte, ministrando
cursos para as três armas do exercito, para a engenharia militar e para o estado maior,
voltando a servir apenas aos militares. Entretanto, ante a premente necessidade da formação
de engenheiros civis, a Escola Militar sofreu uma série de reformas. Em 1858, foi baixado um
decreto dando nova organização às escolas militares e criando a Escola Central, destinada ao

ensino das matemáticas e ciências naturais e também ao das noutnnas propnas aa engeunaria
civil.
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Depois de várias reformas, em 1874 o ensino militar ficou separado do ensino civil, ao
instituir-se a tradicional Escola Politécnica do Rio de Janeiro, no Largo de São Francisco de
Paula, depois Escola Nacional de Engenharia, sendo criado três cursos: de Engenheiros Civis,
de Minas e de Artes e Manufaturas.
A segunda escola de Engenharia do Brasil foi a Escola de Minas de Ouro Preto, criada
em 1876,com o curso de Engenharia de Minas e Metalurgia e, a partir de 1885, com o curso
de Engenheiros Civis. Em 1894 foi fundada a Escola Politécnica de São Paulo; em 1896, a
Escola de Engenharia Mackenzie (São Paulo) e em 1897, as escolas de Engenharia de
Salvador e de Porto Alegre. Logo depois vieram as escolas do Recife (1905), de Belo
Horizonte (1911) e de Itajubá (1973). Antes de 1940, foram ainda fundadas as escolas de
Belém, Juiz de Fora (MG), Curitiba e a Escola Técnica do Exercito [atual Instituto Militar de
Engenharia (RJ)].
Em meados do século XIX, começaram a surgir grandes engenheiros brasileiros, que
de um modo geral, iniciaram a vida profissional ou dela aplicarem bom tempo no setor
ferroviário, devido a expansão do país. Mariano Procópio, Marcelino Ramos, André
Rebouças, os irmãos Francisco e Honório Bicalho, Pereira Passos, Paulo de Frontin, Pandiá
Calógeras, Sampaio Correia, Carlos Sampaio, Vieira Souto, Gabriel Osório de Almeida e
outros.
Em outras especializações foram surgindo novos profissionais da engenharia
brasileira, alguns nomes de destaque como: Cristiano Ottoni (estrada de ferro), Alfredo
Lisboa (portos), Francisco de Brito (saneamento), Luis Felipe Gonzaga de Campos
(geologia), J.1. Queiras Jr. (metalurgia), Luis Augusto da Silva (obras contra as secas) e
Emílio Baurngart (concreto armado) e tanto outros que recentemente se destacam no cenário
nacional da engenharia.
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1.3 BREVE HISTÓRICO DO CURSO DE ENGENHARIA EM PONTA GROSSA
*No ano de 1973, durante a gestão do Reitor de Assuntos Acadêmicos Prof. João
---Lubczyk e com a Prof' Adelaide Chamma na Chefia do Setor de Ciências Exatas e Naturais,
discutiu-se a implantação de um curso da área de Engenharia na Universidade Estadual de
Ponta Grossa. A primeira opção era pela Engenharia Cartográfica, porém, no final do
processo, decidiu-se pelo curso de Engenharia Civil.
Criado através da Resolução N° 15, de 14 de dezembro de 1973, dentro do sistema semestral
de créditos então em vigor na Universidade Estadual de Ponta Grossa, o Curso de Engenharia
Civil teve seu primeiro vestibular em janeiro de 1974, com 60 vagas, sendo as aulas iniciadas
em março do mesmo ano.
Em 1975, com a oferta de disciplinas específicas, a serem ministradas por engenheiros
civis, o ingresso desses profissionais no corpo docente do curso deu origem ao grupo que
constituiria o Departamento de Engenharia, criado no ano seguinte, pela resolução R.SC/015,
de 31 de dezembro de 1975, vinculado ao Setor de Ciências Exatas e Naturais.
A formação do Departamento de Engenharia com engenheiros e arquitetos enfrentou
as dificuldades naturais do inicio, motivadas pelo pequeno número de profissionais
capacitados e disponíveis para ingressar na carreira do magistério superior. A maioria dos
docentes contratados na época era de engenheiros que trabalhavam em Ponta Grossa.
A fim de viabilizar o funcionamento de algumas disciplinas profissionais, em 1975
foram instalados no Laboratório Boa Vista - em caráter provisório - os laboratórios de
Matérias de Construção, Mecânica dos Solos e Pavimentação, Hidráulica e Mecânica dos
Fluidos.
O credenciamento do Curso pelo Ministério da Educação, por ocasião da Formatura da
primeira turma, ocorreu em 1978, com a vistoria de um perito, o professor engenheiro Dr.
Hernani Sávio Sobral, da Universidade Federal da Bahia. Nessa ocasião, além da exigência de
que as instalações, laboratórios e biblioteca fossem adequadas às necessidades do cursofs
professores deveriam apresentar currículos comprobatórios de experiências acadêmica e
profissional ou formação em nível de pós-graduação. Na época, alguns professores da
Universidade Federal do Paraná ministravam aulas no Curso da Universidade, como
convidados.

11
o Curso de Engenharia Civil foi reconhecido pelo Decreto N° 82.190, de 29 de agosto
de 1978 - Diário Oficial da União de 30 de agosto de 1978, assim os primeiros Engenheiros
Civis formados pelo Curso estavam credenciados a receber seu diploma e com ele obter seu
registro no CREA (Conselho Regional de Engenharia e Arquitetura), podendo assim ingressar
no exercício da profissão.
Com o reconhecimento do Curso pelo MEC (Ministério de Educação e Cultura), o
Departamento de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Ponta Grossa passou a ter
assento no Conselho Regional de Engenharia, Agronomia e Arquitetura, participando dele
ininterruptamente.
Desde a sua criação em 1976, o Departamento, através de seus docentes, participa
ativamente da administração universitária, seja ocupando cargos seletivos, seja pela ocupação
de funções por convite.
Professores do Curso já ocuparam, desde então, cargos como Reitor da UEPG, Pró-
Reitor, Diretor do Setor, refeito do Campus, Chefe de Divisão, Membro dos Conselhos
Superiores, ocasião em que seus representantes têm demonstrado reconhecida competência.
Com o crescimento da Universidade Estadual de Ponta Grossa, o Campus Central,
situado na Praça Santos Andrade, mostrou-se insuficiente para alojar adequadamente os
cursos já existentes e para viabilizar a instalação de outros. A fim de solucionar o problema,
foi obtido junto a EMBRAPA (Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária), um amplo
terreno no Bairro de Uvaranas, para a construção de novo Campus.
Nessa ocasião, as aulas teóricas do Curso de Engenharia eram ministradas em salas
dos diversos blocos do Campus Central, o que trazia inúmeros inconvenientes a alunos e
professores, pelos repetidos deslocamentos de um a outro bloco. Em vista disso, o
Departamento de Engenharia Civil foi um dos primeiros a ser transferido para o Campus de
Uvaranas.
Os professores do Curso de Engenharia Civil, juntamente com os engenheiros da
Prefeitura do Campus, desenvolveram o projeto do Bloco de Engenharia em padrão
semelhantes ao do Bloco de Agronomia. O Bloco E, que abriga até hoje o Curso de
Engenharia Civil, foi construído em paredes monolíticas de solocimento, no Campus de
Uvaranas. Com essa construção, os laboratórios de Materiais de Construção, de Mecânica dos
Fluidos e Pavimentação, de Hidráulica e Mecânica dos Fluidos e o de Eletrotécnica passaram
a dispor de salas independentes, enquanto o departamento ganhou instalações mais amplas,

12
com salas de colegiado, sala de chefia, sala de reuniões, salas de professores, bem como um
anfiteatro e biblioteca própria. A transferência do Curso e do Departamento de Engenharia
Civil para o Campus efetivou-se em 1988, o que melhorou sensivelmente suas condições de
funcionamento.
Em 1999 e ainda hoje o Corpo Docente do Curso de Engenharia Civil é constituído,
em sua maioria, por engenheiros e arquitetos que ministram preferencialmente disciplinas de
sua área de atuação profissional. A qualificação desses docentes em nível de pós-graduação
teve seu início em 1978, com a realização, em convênio com a Universidade Federal do
Paraná, do Curso de Especialização em Estruturas, envolvendo vários professores do
Departamento.
Nos anos 80, muitos docentes iniciaram cursos em nível de Mestrad s e Doutoradj
esforço esse que vem se intensificando no sentido de qualificar todo o quadro. Atualmente o
Departamento conta com 04 doutores, 06 mestres, sendo 02 doutorandos, 06 mestrandos e 10
especialistas. Graças a isso, tem sido possível a oferta de cursos de pós-graduação em nível de
especialização, como é o caso do curso de Especialização em Gestão Ambiental, ofertado
desde 1998.
o Departamento participa ainda do curso de Mestrado em Saúde Pública, promovido
pela universidade, com disciplinas relativas à área de meio ambiente e saneamento básico,
bem como desenvolve ações no sentido de contribuir com a orientação de acadêmicos e oferta
de disciplinas num curso de Mestrado e Doutorado em Engenharia Civil, organizado pela
.Universidade Federal do Paraná, a partir do ano 2000. No âmbito institucional, foi decisiva a
.participação do Departamento de Engenharia Civil
~o do Curso de Engenharia de Materiais, desde a sua idealização até seu
reconhecimento pelo ME e igual importância tem sido a colaboração do Departamento no
recente processo de implantação do Curso de Engenharia de Alimentos.
A partir de 1990, o Curso de Engenharia Civil teve seu currículo alterado, passando do
regime de créditos para o regime seriado anual, conforme decisão dos Conselhos Superiores
da Universidade Estadual de Ponta Grossa. Dentro de novas sistemáticas, os acadêmicos
passaram a ter aulas em turnos alterados: a 1a, 3a
e 5a
séries predominantemente pela manhã,
e a 2a e 4a
séries, à tarde. Essa alteração permitiu aos alunos períodos livres para
desenvolverem outras atividades, inclusive estágios em empresas de engenharia, o que tem
contribuído positivamente em sua formação profissional.
-

13
Também com o objetivo de aprimorar a qualidade dos alunos, o Colegiado de Curso
incluiu, no seu currículo da 1a série, a disciplina "Introdução à Engenharia Civil", através da
qual o acadêmico toma conhecimento de como deverá ser sua atuação nas disciplinas
profissionalizantes do Curso e, mais tarde como engenheiro, nas mais diversas áreas de
atuação profissional.
Outra melhoria curricular foi a criação, na última séries do curso, de uma atividade
denominada "Trabalho de Conclusão de Curso", em que o acadêmico desenvolve um trabalho
de caráter profissional sob orientação de um docente da área de sua escolha, visando dar ao
futuro engenheiro uma experiência da realidade da profissão.
Ainda nessa linha de formação profissional, é significativa a implantação do "Estágio em
tempo integral", quando o acadêmico, durante o último semestre do curso, engaja-se em uma
empresa de engenharia, previamente cadastrada pelo Colegiado, onde atuará
profissionalmente, apresentando relatórios periódicos ao coordenador de Estágio que o
orientará nessa atividade, preparando-o assim para o exercício profissional. Todas essas
iniciativas apresentam resultados e perspectivas positivas na aprendizagem profissional e na
criação de oportunidades de emprego e projetos empresariais.
Como forma de garantir o acesso dos acadêmicos aos avanços da tecnologia, ocorreu a
consolidação do Laboratório de Informática, o que possibilitou o uso intensivo de aplicativos
da área de Engenharia Civil nas atividades curriculares, bem como o desenvolvimento de
vários cursos de extensão, além do aperfeiçoamento de alunos e docentes da Universidade.
Um embrião do futuro Laboratório de Estrutura e de Construção Civil foi implantado,
permitindo que diversos produtos, maquetes e equipamentos sejam colocados à disposição
.dos alunos no desenvolvimento das disciplinas.
Os docentes pós-graduados vêm desenvolvendo pesquisas em áreas específicas como
Hidráulica e Saneamento, Construção Civil e Estruturas, com a participação de acadêmicos
em projetos de Iniciação Científica, tanto com bolsas de estudos pelo programa PIBIC/CNPq-
UEPG, como na condição de voluntários. Os resultados desses trabalhos têm sido
apresentados em diversos eventos e publicados em revista nacionais e estrangeiras, influindo
na melhoria da qualidade do Curso e na valorização dele.
Merecem destaques também as ações extensionistas do Departamento de Engenharia
Civil, como é o caso dos convênios com a Sanepar, para a preservação de mananciais e a
formação do Eco-Museu do Saneamento, além do projeto desenvolvido por acadêmicos no

14
Distrito de Itaiacoca, na zona rural de Ponta Grossa, através do qual se procura atender às
necessidades básicas de moradia e saúde da população local. Soma-se a essas atividades a
prestação de serviços à comunidade, particularmente pelo Laboratório de Materiais de
Construção, com ensaios e serviços de tecnologia de concretos e argamassas e pelo
Laboratório de Mecânica dos Solos e de Pavimentação, na realização de estudos geotécnicos
utilizados nos projetos de pavimentação.
É também relevante a participação do Departamento no NUCLEAM - Núcleo de
Estudos em Meio Ambiente - atuando no desenvolvimento de estudos, projetos e pesquisas
em parcerias com outros departamentos da UEPG.
- Leis de Newton aplicadas aos movimentos da atmosfera. As equações aplicadas são chamadas
r
de modelos numérico~~
••--

/
16
Os modelos devem conter variáveis representando os fenômenos que acontecem na
atmosfera, os processos de formação de nuvens, chuvas, ventos e também a diferenciação
de condições dos mares, continentes, solos e vegetações. O objetivo da modelagem é alcançar
previsões cada vez mais confiáveis e de rápido acesso para a população e assim auxiliar no
planejamento dos governos, alertando e evitando possíveis catástrofes.
Em entrevista, E ,comenta a respeito da saúde pública, e a importância
da modelagem e sua aplicação na epidemologia, sendo um dos seus ramos a área da vigilância
/ sanitária. Procurando responder perguntas como: qual a cobertura vacinal necessária para o
controle das doenças imunizáveis? em que grupos de risco devem concentrar nossos
---esforços? qual a densidade de mosquitos necessários para viabilizar a transmissão da dengue?
-quais são as combinações de fatores ambientais que predispõe ao aparecimento de quadros
~
respiratórios? entre outras (2002, p.l). ~
-- ~----A interação da biologia à matemática e a ciência da computação possibilita o melhor
--- .-acompanhamento dos programas de controle de doenças infecciosas. Como exemplo tem-se a
malária, onde modelos tentam demonstrar que o uso de inseticidas, de vetores, e de vacinas
7 alisando aquele que seria o modo mais eficaz para o controle da doença.
~
O professor Y AN , do Departamento de Matemática Aplicada do Instituto e
~
matemática, Estatística e Computação Científica da UNICAMP, comenta que "devido as...•
o
capacidades preditiva e comparativa, os modelos matemáticos estão ocupando uma posição
muito importante na epidemologia contemporânea" (2002, p.4).
.:»:
Analisando a utilidade da modelagem matemática na questão da produtividade,
TAU~ diz: "O uso da matemática em administração, economia, sociologia, engenharias e
ciências são reconhecidas como necessárias. Nem por isso os profissionais dessas áreas
deixam de se valerem da experiência e da intuição profissional para analisar seus problemas"
(2002, p.l).
A matemática é sem dúvida conhecimento fundamental para o desenvolvimento do
modelo, mas não se pode dizer que é o único. Ela é precedida de elementos importantes, como
o perfeito conhecimento do problema a ser trabalhado, a maneira de operar e os passos na
evolução dos trabalhos da empresa atuante. O conhecimento profissional é essencial para
analisar os problemas e saber assim utilizar e aplicar da melhor maneira os conhecimentos
utilizando corretamente os conceitos matemáticos.

17
/J
I
Outro ramo que vem utilizando a modelagem matemática é a pesca marítima. Segundo
PETREN§.. IR., para fazer modelagem matemática e manejar estoques pesqueiros afetados
pela sobrepesca são importantes considerar os dados de captura e esforço de pesca, ou seja
tudo o que é investido em termos de trabalho para capturar o peixe (número de barcos
operando na frota, quantidade de combustível) (1999,p.2).
As questões da captura infelizmente no Brasil têm graves problemas na coleta desses
dados, por se tratar de um sistema incerto e desorganizado de coleta. Pois quando no
desembarque é necessário tomar dados, como o comprimento e peso dos peixes capturados.
Com esses modelos alimentados pelos dados conseguidos por especialistas das várias áreas, é
possível realizar testes e melhorar cada vez mais os modelos, entendendo as interações entre
variáveis envolvidas no processo.
O modelo matemático é a essência de um trabalho, que não é criado de uma hora para
outra, existe todo um processo. Os educadores dizem que o Modelo de ensino atual não está
correto, e que é preciso melhorá-lol A partir desta frase é possível ter uma noção de Modelo.
Para chegar a este modelo educacional foi necessário um período anterior de construção que
se pode chamar de Modelagem.
2.2. MODELO MATEMÁTICO
É possível encontrar Modelos nos primeiros estudos matemáticos quando se referiam a
funções, números naturais, conjuntos e outros. Nos dias de hoje o termo Modelo Matemático
é amplamente utilizado no meio acadêmico. Do ponto de vista da pesquisa é muito importante
analisar a categoria a que pertence o modelo, entre a pesquisa qualitativa e a pesquisa
quantitativa.
----- SCHOBER, diz que o sucesso de um modelo matemático resulta da capacidade de
--representar e manipular o conhecimento qualitativo e quantitativo das variáveis envolvidas e
as formas de interação entre elas. Por isso a modelagem é um método de resolução de
problemas multidisciplinar, que exige o trabalho conjunto de engenheiros, matemáticos,
economistas, biólogos e outros (2 2, p.3).
A análise de todas as variáveis seria ideal para testar a validade do modelo? No meio
científico ocorre que muitas variáveis são propositadamente ignoradas, como estabelece

18
PARAÍBA pesquisador da Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (Embrapa)/Meio
Ambiente. O importante é que sejam utilizados nos modelos os fatores que realmente
interessam. Com esses modelos, alimentados pelos dados conseguidos por especialistas das
várias áreas, é possível realizar testes (experimentos). Os modelos são observados para ver se
há uma correspondência com a realidade. Se houver, significa que o modelo está coerente. Se
não, ele deve ser corrigido. "O modelo é algo dinâmico, simples ou complexo, tem variáveis
, •.•.....
que sempre são ignoradas", reforça ARAlBA (2002, p.2j !('dV COIJJ~a.
Desconsiderando algumas variáveis não quer dizer que o modelo está incompleto. Na
formulação de um modelo matemático é importante a escolha de variáveis ou parâmetros
relevantes para o fenômeno em estudo, obedecendo sempre a mesma linha de raciocínio pelas
variáveis escolhidas. Infelizmente alguns modelos são tão complicados de resolver
manualmente que é necessário o uso de computadores. A importância na escolha das
primeiras hipóteses é fundamental pois se não forem pelo menos razoáveis, os computadores
poderão extrair dados ou informações erradas comprometendo o modelo. Confirma-se que o
computador nada acrescenta de novo, e os fenômenos e seus modelos são dinâmicos e devem
ser bem fundamentados.
Para diversas áreas do conhecimento a palavra modelo apresenta diferentes significados.
Daí vem a importância do pesquisador estar com os objetivos do modelo bem claros, evitando
se comprometer com modelagem quando o modelo não estiver apropriado, ou quando estiver
construindo uma classe errada de modelos SODRÉ (1998, p.6). Para evitar uso incorreto são
considerados dois tipos de modelos, em função do que se espera dele:
Modelos Mecanisticos
Modelos Empíricos
O modelador mecanistico parte das hipóteses, verificando se estas variáveis são
importantes no sistema, quais delas devem ser ignoradas e como elas devem se comportar.
Em seguida o modelo deve ser descrito matematicamente e as hipóteses devem aparecer nas
equações. O experimento testará as suas hipóteses e possivelmente definirá um mecanismo ao
invés de outro. Com a comparação das hipóteses com os dados experimentados é possível
testar a exatidão dos dados algébricos e numéricos desenvolvidos. Apenas com o passar do
tempo é possível verificar que as hipóteses iniciais não eram tão boas quanto se poderia
esperar, aSSllTIocorre uma relutância em mudá-Ia prevendo novamente todo o trabalho e
tempo a ser gasto.

19
o modelador empírico parte da verificação dos dados experimentais, fazendo uma análise
dos dados e tentando fazer alguma suposição inteligente na forma de equações, que poderão
ser utilizadas como modelo matemático. Este método é de abordagem tradicional dos
cientistas ao fazer deduções sobre mecanismos de dados experimentais. Se uma excelente
resposta for obtida usando dados experimentais através da abordagem empírica ela será
valorizada para um mecanismo ou modelo que levará a resposta desejada. Um modelo
empírico redescreve como são os dados e nada diz sobre o que não está nos dados.
Na verdade não existe um espaço bem definido entre os métodos mecanisticos e
empíricos e usualmente ocorre uma mistura entre os dois nos exercícios de modelagem.
Na área da educação matemática, a preparação de uma atividade de modelagem para o
ensino fundamenta1, médio ou universitário, o educador primeiramente no papel de
pesquisador deverá investigar e trabalhar para a construção e desenvolvimento do seu modelo.
Em seguida verá a necessidade ou não de aprimorar seus conhecimentos, no que diz respeito a
sua metodologia, conteúdo e a comunicação entre o aluno e os mecanismos matemáticos que
melhor se adaptam à sua realidade. Pois BIEMBENGUT (1997, p.20) diz que "na ciência, a
noção de modelo é fundamental". Quando BARBOSA (2000, p.53), comenta da relação e
extensão da Matemática Aplicada para a Modelagem Matemática citando os escritores Cross
& Moscardini e Edward & Harnson, fica nítida a sua evolução, tendo inicio pela Matemática
aplicada e científica, cuja metodologia está baseada na restrição das variáveis, visando a
simplificação das expressões matemáticas. Quando alguns elementos da situação real chegam
a ser representados através de objetos matemáticos (gráficos, equações) predizendo ou
representando uma situação, dizemos ser um modelo matemático. Mas, segundo citação de
BARBOSA (2000, p. 54), "o modelo nunca conduz a uma resposta correta, ele é mais geral e
especulativo", resolvendo sim, uma situação que aflige o meio, sem a finalidade obscura de
encontrar o resultado em si, mas sim de levar ao aluno a entender a ferramenta matemática e a
importância de resolver o problema, não apenas matemático, mas também da sua vida diária.
A seguir algumas definições encontradas na literatura consultada, para melhor
entender o conceito de Modelo, na Educação Matemática:
Para BIEMBENGUT, um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura
traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real, denomina-
se modelo matemático (1999, p.20).

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r
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20
MATOS coloca que:
"Com um modelo procura-se descrever os elementos considerados como fundamentais na
situação, ignorando-se deliberadamente os elementos tidos como secundários. No entanto, na
medida em que um modelo matemático tende a ser uma simplificação útil daquilo que
pretendo descrever, ele simplifica alguns aspectos da realidade de forma a classificar ou
tornar mais salientes outros aspectos. É típica dos bons modelos a tendência para não haver
demasiadas simplificações mas sim para tornar salientes aspectos fundamentais da situação.
(1995, p. 01).
Segundo ~=S~-~ZL,. modelo matemático de um fenômeno, é um conjunto de
símbolos e relações matemáticas que traduzem de alguma forma, o fenômeno em
questão.(,1997, p.65). /
- I
Diz BURAK que o processo da modelagem pode ser dividido em cinco etapas, entre
elas tem-se a resolução does) problema(s), essa etapa "amplia o conceito de modelo que
também pode ser entendido como uma representação". (1998, p.32)
Afirma CARRAHER que os modelos matemáticos são instrumentos para encontrar
soluções de problemas onde o significado desempenha um papel fundamental. Os resultados
não são simplesmente números; são indicações de decisões a serem tomadas {...} (1991,
p.146).
Se forem analisados as definições e os pontos de vista sobre modelos estes, não
mudam na sua essência. Biembengut e Burak concordam que as fórmulas, tabelas, diagramas
e gráficos "podem se constituir num modelo", não de elementos matemáticos complexos, mas
sim de elementos próximos dos alunos. Quando Burak compara o modelo matemático à
"apenas uma representação" aí está a diferença entre os modeladores pedagógicos dos
modeladores profissionais. O importante não é apenas o modelo, mas todo o processo e
conteúdos matemáticos que são envolvidos na resolução do problema proposto. Na mesma
intenção BASSANEZI afirma que na tradução do fenômeno estudado as aproximações nem
sempre condizem com a realidade, pois não é o ponto principal do processo.
MAKI E THOMPSON, citados por ANASTÁCIO (1991, p.48), determinam que a
construção de modelos se dá através de várias interações entre os passos na construção do
modelo, através do aperfeiçoamento continuo até chegar a uma aceitável, com o esquema da
figura 01, em que a linha pontilhada indica a versão abreviada do processo que é:
Termos srmOUIlCUS.v rmnrenr+rear=nrrrra=se u ouero materna te
(quantidades reais e processos são substituídos por símbolos e operações
matemáticas);
4- O estudo do sistema matemático resultante pelo uso de técnicas e idéias
matemáticas;

22
5- Comparação dos resultados previstos com base no trabalho matemático e no
mundo real.
2.3 MODELAGEM MATEMÁTICA
A Modelagem Matemática tem se fixado como uma abordagem pedagógica nas
últimas décadas. No passado graças a pesquisadores com espíritos investigadores, que não se
contentavam apenas com hipóteses, utilizavam a matemática como ferramenta na exploração
e melhor compreensão do mundo. Na utilização de expressões numéricas, eliminando a
comodidade das pesquisas embasadas apenas em fatos, temos um dos primeiros defensores da
descrição quantitativa - e educativa- dos fenômenos naturais, o fisico e matemático italiano
Galileu (1564-1642). Considerado o Pai da Ciência Moderna, amparado em provas
experimentais foi capaz de quebrar antigos paradigmas. Após alguns anos se chega aos dias
de hoje, com a educação em um processo de mudanças, e amparados naqueles que com
coragem, observação e prática, mostraram a aplicação da matemática "não apenas em
números, mas sim avaliando a solução encontrada", afirma I arraher. -Sf ~ ~'
A busca de uma indústria com menos perdas, alternativas para a melhoria da saúde
pública e previsões meteoro lógicas mais precisas, se chega aos Modelos Matemáticos a partir
do processo de construção chamada de Modelagem Matemática.
Para melhor esclarecer o conceito será apresentado a seguir algumas definições
encontradas na literatura consultada:
D' AMBRÓSIO (1986" p.31), define Modelagem Matemática através do seguinte
esquema:

23
Figura 02: esquema proposta por D' AMBRÓSIO.
)
!
Informação
Individuo oEstratégia /
Realidade
Artefatos
Mentefatos
I
o individuo é parte integrante e ao mesmo tempo, observador da realidade. Sendo que
ele recebe informações sobre determinada situação e busca através da reflexão, a
representação dessa situação em grau de complexidade. Para se chegar ao modelo é
necessário que o individuo faça uma análise global da realidade na qual tem sua ação, onde
define estratégias para criar o mesmo, sendo esse processo caracterizado pela modelagem.
r A opinião e definição de D' AMBRÓSIO "um dos maiores matemáticos do mundo"
(Revista Nova Escola, agosto-1993) sobre a modelagem matemática não poderia ser deixada
sem registro. Esse professor não é o único a defender o programa denominado
Etnomatemática, pois ela não é de sua criação, mas o nome foi criado por ele e apresentado no
Congresso Internacional de Matemática da Austrália, em 1984.
A Etnomatemática estuda o presente no cotidiano dos grupos culturais, visando o
desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos que possuem. A contextualização da
matemática através das raízes culturais, se faz pela modelagem matemática, buscando as
noções conceituais e as técnicas matemáticas na resolução dos problemas,
7r
_
,.!
- -OREY (2001) comenta sobre a importância da relação e harmonia do programa
etnomatemática e da metodologia modelagem na educação matemática. A sua relação é um
fato, Q'AMB~ÓSI9 (2QO.o, .1-42), "todos estarão fazendo modelagem, cada grupo utilizando
os recursos intelectuais e materiais próprios, isto é, a sua própria etnomatemática". Os grupos
culturais utilizando a modelagem poderão compreender os sistemas matemáticos das práticas
matemáticas. Dependendo do meio cultural e principalmente na resolução de situações reais,
este sistema de resolução pode ser descrito como modelagem; as técnicas de modelagem
proporcionam a contextualização da matemática e a modelagem como uma metodologia é

24
essencial ao programa da etnomatemática , pois seus conceitos melhoram os valores da ética,
respeito e solidariedade que estão presentes nos grupos culturais.
Para BIEMBENGUT, modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de
um processo artístico, visto que, para se elaborar um modelo, além de conhecimento apurado
de matemática, o modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para
interpretar o contexto, saber discernir o conteúdo lúdico para jogar com as variáveis
envolvidas.] A matemática e a realidade são dois conjuntos distintos e a modelagem é um meio
de fazê-Ias interagir. (1997, p.20).
Figura 03: esquema proposto por Biembengut.
<
MATE~ÁTICA
'W
> IMatemática II Situação Real I
MODELAGEM
II
modelo
,vi' •.
-~igo, diz que o processo de modelação usualmente se dá
esquema lC ente na forma de um ciclo, que pode se repetir com o objetivo de melhor se
ajustar à situação que se pretende modelar. A metodologia varia de autor para autor. O autor
citado opta por trabalhar com o esquema proposto por *Kerr e Maki levando em consideração
o cenário pedagógico, desenvolvendo os processos de construção e manipulação de modelos,
procurando tornar o trabalho de modelagem adequado para a sala de aula de maneira que os
alunos utilizem algumas das idéias e dos instrumentais matemático. Kerr e Maki acrescentam
um passo intermediário entre o Modelo Real e o Modelo Matemático, representado no
esquema por Modelo para a Sala de Aula.
No caso do esquema comentado, o ciclo de modelagem consiste nos seguintes passos:
1- identificação de um problema do mundo real.
* livro de. KeIT. D. e Maki, D. Mathematical Models to Provide Applications in the Classroom. Em: ShatTOI1. s. e
Rcys, R. Applications in School Mathematics. National Council ofTeachcrs of Mathcmatics, 1979

25
2- O problema é muitas vezes modificado e simplificado com vistas a ser descrito em
termos razoavelmente precisos e sucintos. Essa descrição do problema constitui o
chamado modelo real. Trata-se de um modelo tendo em vista que uma idealização, ou
simplificação foi feita, isto é, nem todos os aspectos da construção real são
incorporados na descrição.
3- Com o objetivo de produzir um ambiente para a Aplicação da matemática na sala de
Aula, acrescenta-se uma outra etapa, "que pode ser decisiva do ponto de vista
pedagógico".
4- O modelo real é ainda mais simplificado e apresentado num contexto que seja
interessante e compreensível para os alunos, tornando viável a aplicação de alguns
conceitos e idéias matemáticas presentes na situação-problema. Chegando ao chamado
Modelo para a Sala de Aula e a sua presença relaciona-se com o fato do modelo
matemático ser construído com fins didáticos.
5- Conversão de aspectos e conceitos do mundo real em símbolos e representações
matemáticas.
6- Uso de instrumentos e técnicas matemáticas para se obter conclusões baseada na
utilização do modelo construído.
7- A validade de um modelo pode ser verificada através do confronto das conclusões
obtidas a partir do modelo com a realidade. No entanto, durante todo processo de
construção de um modelo, testes podem ser feitos para~erir a validade ou não do
modelo proposto. Identificada alguma insuficiência relevante no modelo, ou seja sua
inadequação para fornecer informações úteis acerca da realidade, o processo deve ser
retomado.
ANASTÁCIO (1991, p.35-55), descreve alguns estudos desenvolvidos por
matemáticos e educadores de outros países como: Mogen Niss (1987), McLone (1976),
Medley, Andrews e McLone, Tim O'Shea e John Berry (1982), Pinker (1981), Rubin (1982),
Oke e Bajpai (1982). Devido a sua importância será comentado algo sobre, nos parágrafos a
seguir:
MOGEN NISS citado por ANASTÁCIO (1991, p. 36) apresenta um estudo sobre a
modelagem matemática tomando como parâmetro à visão histórica. Diz que no período
anterior a 2a
Guerra Mundial desenvolveu-se a técnica de resolução de problemas,
preocupando os educadores da época, temendo a baixa compreensão do conteúdo matemático.

26
Depois da 2a Guerra começa o movimento da Matemática Moderna, sendo essa matemática
inconsistente para resolver questões do dia-a-dia proporcionando assim a diminuição da
capacidade de encontrar resultados rápidos e precisos nas questões aritméticas, no nível
secundário, levando a juventude a exigir a melhora do conteúdo e a forma de Educação
Matemática. Os graduados e pós-graduados em matemática estavam sendo direcionados a
empregos em matemática aplicada ou ensino de matemática, a partir daí foi dado maior
importância no conteúdo e forma começando a ser entendida e exigida como aplicabilidade.
Esse autor ressalta três fases na escola elementar, não sendo cronológica mais sim de
cunho estrutural:
1a fase acaba a necessidade do aluno decorar mecanicamente. Agora é exigida a compreensão
-dos conceitos matemáticos. -r C X /J / /J
2a fase se preocupa em não apenas na resolução dos proplemas, mas sim a preocupação com
atividades e estratégias para resolvê-los, No final da 2arase(!illasticicjcita Niss, "nasce o
desafio com a humanização da instrução matemática", que acaba por originar a 3a fase que
pretende encontrar a matemática na vida real dos alunos e o entendimento das respostas
matemáticas encontradas (p.37).
Os currículos do nível superior, citados pelo autor como pós-elementar, são divididas
em quatro fases. A 1a fase foi antecedida pela maior atenção à matemática aplicada, não
apenas a matemática postulada, mas sim aplicada. Com questões bem defirúdas nos
exercícios, surgindo nessa fase o termo "modelo" com o objetivo de evitar a confusão entre
modelo e a realidade. Aparecem cursos separados de "Modelos Matemáticos" e de
"Aplicações Matemáticas".
Na 2a
fase, os alunos deveriam ser capazes de manipular a ferramenta matemática em
situações do dia-a-dia, construir modelos matemáticos relativos com aquelas situações,
investigar suas propriedades e interpretá-Ias como propriedades dos objetos e relações que
pertenciam à área modelada. As situações problema são "abertas" e os alunos já não
necessitam ser apresentados aos problemas arrumados da primeira fase, mas chegar a eles
como resultado de próprios esforços. Isso tudo implicou numa mudança nos papéis
convencionais:o professor passa de conferencistas a guia; os alunos trabalham em grupos
pequenos; as aulas deixam de ser sessões fechadas e estanques e passam a existir longas
seqüências de trabalho.

27
Nessa fase, os cursos de aplicações e modelos prontos começam a apresentar
característica de serem cursos mais voltados para o processo de aplicação da matemática e de
modelagem, enfatizando o processo de construção de modelos. Os modelos resultantes da
matematização dos alunos, que de início eram conhecidos pelos professores, começam a ser
"abertos" também para os professores.
Finalmente uma fase em que há uma reversão da ordem do que vem primeiro, a
matemática ou situações de aplicação e suas necessidades - o campo de aplicação do modelo
e o problema associado vem primeiro e subseqüentemente é que a matemática é introduzida
no contexto da construção do modelo.
lOque há de novo nesta fase é a independência da matemática, que não visa apenas ser
um objeto que serve aos interesses de outras disciplinas. São feitos, nesta perspectiva, vários
experimentos que vão desde instâncias em que a abordagem foi usada dentro dos limites do
currículo tradicional até a organização de um programa inteiro de matemática construído
sobre estas bases.
Como essas fases não são cronológicas, a situação atual apresenta, nos diferentes
países, características de todas as fases, havendo um denominador comum que é a distância
entre a frente de debates e o desenvolvimento da modelagem matemática,por um lado, e o
fluxo principal do ensino por outro lado.
McLONE citado por ANAST ÁCIO define a Modelagem Matemática como, "a
representação em termos matemáticos do nosso assim chamado 'mundo real' de modo a que
se possa ganhar um entendimento mais preciso de suas propriedades significativas,
permitindo alguma forma de predição de eventos futuros" (1991, p.42). Em seguida apresenta
um diagrama sintetizando os passos de seus estudos com relação à modelagem.

28
Figura 04: csqucma proposto por McLonc.
rl SITUAÇÃO
Modelo 1P==~i Prediçã~
REAL
Consistência li
em si mesmo
J
/:
.>:
o estudo e análise dos detalhes principais, buscando as características que levem à
identificação do problema a ser trabalhado matematicamente. Depois de encontradas as
principais características, em seguida é fundamental transcrevê-Ias em linguagem matemática
documentando as relações encontradas. INa construção do modelo é necessário que seja
descrito matematicamente utilizando a experiência pessoal e conhecimentos matemáticos para
melhor representar a situação inicial. Na finalização do modelo é importante que os elementos
(variáveis) matemáticos estejam correta e claramente relacionados à situação proposta'
MEDLEY coloca em evidência a necessidade de diferenciar o processo Modelagem
Matemática, da etapa que se chama Modelo Matemático. Diz que "Modelagem consiste de
muitos passos, começando por uma confluência de idéias de diferentes tipos, terminando com
testes rigorosos, e apresentando as conclusões - seja sob forma de previsão ou de tomada de
decisão - de um modo conveniente para o uso" (1991, p.43).
Para melhor explicar a diferença entre Modelo e Modelagem, cita o diagrama de
Burghes e Botrie (1981), apresentando a modelagem num conjunto de 7 passos e o modelo
em apenas 2.passos (3 e 4, da figura 05).

29
Figura OS: eSquema proposto por Medley, de Burgbes e Botrie.
!
1-Formule o II=~~I 2-Hipóteses para o ~~~=+ll 3 - Formule o problema
modelo real. I .~Imodelo. I matemático.
a.. •••
6 -Validação do 5 -Interprete a 4 -Resolva o problema
modelo. solução. matemático.
II
7 -Use o modelo matemático para
explicar, predizer, decidir, definir.
No esquema a, o item 1 -
necessita incluir:
- geração de idéias
- seleção de idéias
- desenvolvimento de idéias onde
elas necessitam estar.
- áreas de interesse na situação.
- variáveis.
- relações entre as variáveis.
b
Esse autor preocupa-se com os problemas abertos para os quais é necessário passar
pelo processo de construção de um modelo, analisando detalhadamente as características que
a situação apresenta (passos 1 e 3 do esquema da figo05). A importância de que esta etapa do
processo e as relações iniciais entre as suas variáveis sejam bem definidas, visando à
resolução do problema de maneira menos complicada.
O importante não é apenas desenvolver o processo e chegar ao modelo, mas sim é de
fundamental importância a passagem por todos os caminhos ou etapas, encontrando no final
não apenas uma solução. Desenvolvendo o espírito critico ao encontrar as várias
possibilidades de resultados, conhecendo e sabendo manipular e discutir matematicamente.
ANDREWS e McLONE citados por ANASTÁCIO (1991, p.44) alertam da
necessidade, para aqueles que possuem a intenção de usar um modelo, de estar consciente e
preparado para manipular a ferramenta matemática, de "lá pra cá" entre o mundo em que se
vive e o mundo matemático.
O'SHEA e J.BERRY citados por ANASTÁCIO (1991, p.44) apresentam o esquema
na figura 06, propondo a modelagem como o processo de escolher características que
descrevem adequadamente um problema de origem não matemática, para chegar numa
linguagem matemática. Essa linguagem deve permitir encontrar uma (ou mais) que deve(m)
ser trazida(s) de volta para o mundo real, onde o proplema original foi proposto.

30
Figura 06: esquema proposto por O'Shea e .loho Bcrry.
REAL MATEMÁTICO
MUNDO MUNDO
Comentam o diagrama proposto por McLone (figura 04), além do diagrama acima,
reforçando a idéia de que a Modelagem Matemática é um processo interativo em que o
estágio de validação freqüentemente leva a diferenças entre as predições baseadas no modelo
e a realidade. Desta maneira, o modelo é revisto para chegar a ser uma representação mais
próxima da realidade.
Antes de resumir o processo de modelagem em três estágios principais, Tim O'Shea e
John Berry citam ainda o "diagrama das Sete Caixas" (figura 07), divulgado pelo Curso da
Universidade Aberta em que é proposto aos alunos "preencher" cada etapa, auxiliando-os a
decidir qual o próximo passo a ser dado na construção de um modelo e sua resolução.

31
Figura 07: "diagrama Sete Caixas" proposto pela Universidade Aberta.
Especifique o proble - Construa um f--- Formule o proble -
ma real. modelo. ma matemático.
I
Compare com a rea- Interprete. Solução.
lidade. - -
I
Escreva um relatório.
Propõe três etapas que constituem o processo de Modelagem Matemática, como pode
ser observado através do exame da tabela dada, abaixo:
Figura 08: Tabela: três etapas que constituem o processo de modelagem
r:
ESTÁGIO O que acontece
fORMULAÇÃO ( 1 ) Selecione os fatores importantes que descrevem
o problema.
( 2 ) Faça hipóteses que simplifiquem.
( 3 ) Escolha variáveis para representar as características
a serem contidas no plano.
( 4 ) Relacione as variáveis através de equações, inequações
ou gráficos; através de uma estrutura matemática
SOLUÇÃO Resolva o problema matemático proposto pelo modelo.
Pode ser uma equação diferencial, ou um conjunto de
eq uações lineares.
ANASTAcro (1991, p.47) cita PINKER, definindo o processo de Modelagem
segundo as etapas:

32
1- -fonnule o problema;
2- -construa um modelo matemático que represente o sistema a ser estudado;
3- -encontre uma solução para o modelo;
4- -este o modelo e a solução obtida.
Ru~partindo da premissa de que um problema de modelagem é constituído a partir
de três componentes: "informação (sobre algum fenômeno), questões (sobre propriedades dos
fenômenos) e critérios de avaliação (para determinar a aceitabilidade das propostas às
questões)", define os seguintes estágios do processo de modelagem matemática:
1- formulação do problema;
2- representação matemática;
3- solução;
4- verificação.
Reforçando que a formulação de um modelo matemático é apenas uma parte do
complicado processo interativo de modelagem", processo esse que difere da simulação porque
esta última é apenas um processo descritivo, não orientado por um objetivo.
No período da graduação em Licenciatura em Matemática aconteceu o primeiro
contato com modelagem matemática. O grupo em que participávamos optou pelo estudo de
- ---uma quadra poliesportiva. A construção do modelo matemático (Matemática Aplicada) não
ocorreu, mas sim a construção de um modelo (maquete) utilizando modelos matemáticos
prontos na sua elaboração.
) Quando cursando Engenharia Civil presenciei nos dois primeiros anos que a maior
parte do tempo foi ocupado com disciplinas matemáticas. Percebe-se que os acadêmicos que
não estão convictos da importância do estudo da matemática para os próximos anos, acabam
por reprovar algumas vezes e desestimulados desistem de estudar e trancam o curso. Aqueles
que estudam com dedicação ou que têm mais facilidade para aprendizagem desse
conhecimento, normalmente são aprovados nas disciplinas matemáticas. Mesmo para esses, e
principalmente para aqueles, as negativas quanto à matemática são constantes. Para que serve
"esta" matemática? Estou cursando engenharia e não matemática! Mas para a "alegria" da
maioria, no terceiro ano as disciplinas práticas da engenharia começam a serem estudadas
(Materiais de construção, Hidráulica, Mecânica dos solos, Transportes e outras) e os

33
acadêmicos (nem todos) começam a perceber a importância dos conteúdos matemáticos dos
anos iniciais. A partir do terceiro ano são desenvolvidos e aplicados muitos modelos
matemáticos nas disciplinas práticas. O convívio com os modelos matemáticos aplicados e a
necessidade pessoal, de responder para os acadêmicos recém aprovados no vestibular as
mesmas perguntas que nbs fizemos, e apaziguar algumas exclamações, foram responsáveis
----pelo meu ingresso para a pós-graduação em educação com idéia voltada para uma prática
envolvendo a modelagem matemática.
A lembrança da prática sobre a modelagem no curso de licenciatura e as práticas da
modelagem na engenharia, geraram um certo conflito interior.
Que caminho seguir? A prática na licenciatura seria a única forma de modelagem ou a
modelagem vivenciada na engenharia seria a forma correta de modelagem?
x Para responder a essas questões levantaram-se algumas possibilidades sobre a
modelagem:
a) O objetivo principal da prática é convidar o aluno a explorar matematicamente
situações não-matemáticas, tendo por fim sua formação matemática. Se este processo não
resultar num modelo matemático, as atividades são também reconhecidas como modelagem
segundo Biembengut e Monteiro, citados por BARBOSA (2000, p.56). Aqui se tem a
afirmação da não necessidade do modelo matemático, para contatar a aplicação da
modelagem, sendo que quando os educadores falam de modelagem matemática, falam
também em modelo matemático.
b) Mas, se a prática se limitar em apenas conduzir os alunos até o local e solicitar
que identifiquem as figuras geométricas "Isso não é Modelagem" afirma BIEMBENGUT
(1999, p.42), pois o professor está apenas procurando afirmar conceitos geométricos.
c) BARBOSA (2000), apresenta dois exemplos que reforçam o papel da
modelagem:
- Exemplo 1 - Um grupo de alunas acompanhou o crescimento da planta"sansão do
campo" em contato com três substratos diferentes(A, B e A+B), chegando num
gráfico que representava o crescimento das mudas em função do tempo. De fato, as
alunas construíram um modelo: uma descrição do fenômeno de crescimento da planta.
Exemplo 2 - Biembengut, trabalhando com os alunos o crescimento populacional de
uma colméia, chegou numa descrição do fenômeno:
PCt) = 1OOOO.e-O,02532.l

-
34
Nos dois exemplos acima, se obtém um modelo, a representação ideal para traduzir o
fenômeno do crescimento da planta, e do crescimento populacional das abelhas.
Ficou clara a necessidade de um modelo, gráfico ou tabela visando uma "tornada de
decisão" BURAK (1998, p.33) desenvolvendo o "senso critico, a argumentação, a lógica e a
r----.::--'
adequação da solução à realidade vivida' BURAK (1998, p.61).
~
As possibilidades levantadas nos exemplos (1 e 2) contrariam as idéias colocadas nos
item (a) e (b) que definem a resolução da situação-problema da quadra poliesportiva
trabalhada na Licenciatura como Modelagem Matemática. Quando bem explorada a situação,
estaria promovendo a construção de idéias conceituais importantes, embora não trabalhasse
propriamente com um modelo matemático, como nos exemplos 1 e 2, mas evitaria a aplicação
restrita de conceitos matemáticos prontos e acabados de que fala o item(b). A situação
descrita está de acordo com a proposta de modelagem colocada por BARBOSA no item (a).
Assim BARBOSA (2001), apresenta as possíveis aplicações da modelagem em três
casos "esses casos não pretendem engessar a prática, mas, uma vez que é reflexão sobre a
prática" ( p.7):
1- Caso 1. O professor apresenta a descrição de uma situação problema, com as
informações necessárias à sua resolução e o problema formulado, cabendo aos alunos
o processo de resolução, não sendo preciso que eles procurem dados fora da sala de
aula.
2- Caso 2. O professor traz para a sala de aula um problema de outra área da realidade,
cabendo aos alunos coleta das informações necessárias para a simplificação ajustando
na resolução do problema.
3- Caso 3. A partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam e resolvem
problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e simplificação
das situações problema. Assim é o trabalho em projetos.
A tabela abaixo esquematiza a participação do professor e do aluno em cada caso.

Tabela 01: Segundo IlARIlOSA(2000) a relação professor-aluno e a modelagem
Caso I Caso 2 Caso 3
Elaboração da situação-
problema professor professor professor / aluno
Simplificação professor professor / aluno professor / aluno
Dados qualitativos e
quantitativos professor professor / aluno professor / al uno
Resolução professor / aluno professor / aluno professor / aluno
A terminologia Modelagem está sendo corriqueiramente utilizada em qualquer
atividade que envolva diferentes temas (atividades comerciais, esportes, agrícolas), não
interessa necessariamente o modelo matemático. O importante é o processo, onde o aluno é
envolvido na aplicação e consolidação dos conceitos na resolução da situação não-
matemática. Na verdade, quando se fala em Modelagem Matemática, os educadores
matemáticos associam a palavra modelagem, a exploração de situações reais, e a
simplificação em um modelo, possibilitando a reflexão sobre a situação modelada, buscando
um modelo que melhor represente o problema solucionado e nessa busca a consolidação da
aprendizagem matemática é firmada. I

CAPÍTULO ID: APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DA MODELAGEM
MATEMÁTICA
Para investigar a validade da Modelagem matemática para o ensino e aprendizagem do
conhecimento matemático, procuramos aplicar essa prática na primeira série do Curso de
engenharia Civil. O desenvolvimento das atividades referentes a essa prática deu-se em
04( quatro) encontros.
O primeiro encontro teve caráter informativo e incentivador urna vez que se procurou
.argumentar quanto à importância da participação em tal evento.
O Departamento de Engenharia apoiou a atividade e incentivou os alunos a
participarem. Ao término do evento os alunos irão receber um certificado válido para horas
.complementares do Curso.
Foram abertas as inscrições e houve 22(vinte e dois) acadêmicos interessados sendo
marcados o local, dias e horário da realização do evento.
O segundo encontro deu-se no dia 20 de maio de 2003, nas dependências do Curso de
Engenharia Civil da UEPG, e foram destinadas 02 (duas) horas para o desenvolvimento das
atividades.
Os objetivos desse encontro foram:
-identifícar o perfil dos acadêmicos, com a finalidade de auxiliar no desenvolvimento
das atividades;
- apresentar modelos com a finalidade de interação e farniliarização com o processo de
modelagem;
- escolher um tema para o desenvolvimento da prática.
No dia e horário marcado deu-se início às atividades. Em primeiro lugar foi distribuído
um questionário (ANEXO-Ol- Questionário aplicado no primeiro encontro), com o qual foi
levantado o perfil dos alunos que formaram o grupo de trabalho:
1) Quantos anos você completa no ano de 2003?
- completam 18 anos: 43%
- completam 19 anos: 32%
- completam 20 anos ou mais: 25%.

37
2) No período do ensino médio você estudou a maior parte do tempo, em escola pública ou
particular? Fez curso pré-vestibular?
Os acadêmicos que completam os estudos em escola particular fizeram algum tipo de
curso pré-vestibular e aqueles que estudaram em escola pública assistiram algum tipo de pré-
vestibular.
- escola particular:
- escola pública:
66%
34%
3) Foi aprovado no primeiro vestibular? Caso a resposta seja negativa, para qual curso prestou
nas tentativas anteriores?
Nem todos os acadêmicos foram aprovados no pnmeiro vestibular em tentativas
anteriores, alguns nessas tentativas prestaram vestibular para engenharia, outros por motivo de
indecisão (falta de personalidade, mercado de trabalho instável, influência familiar ou amigos,
status social, entre outros) "atiravam para todos os lados" procurando descobrir "do que
gostavam" .
-aprovados no primeiro vestibular: 43%.
-não aprovados no primeiro, mas optaram por engenharia em anteriores: 29%.
-não aprovados no primeiro, e prestaram para outros cursos: 28%.
4) Qual a razão que o levou a optar pelo Curso de Engenharia Civil:
a) afinidade d) não sei.
b) por influência dos seus pais, tios, amigos. e)outras _
c) as duas alternativas anteriores
Essa pergunta teve por finalidade avaliar a razão pela qual escolheram prestar vestibular
para Engenharia Civil e o nível de influência externa recebida.
-possui afinidade pelo curso: 60%
-receberam influência única dos pais, parentes e amigos: 3%
-receberam influência parcial dos pais e por vontade própria: 20%
-simplesmente não sabem porque optaram pela engenharia: 8%
-possuem outras razões, de cunho profissional: 9%.
Resumindo as porcentagens acima temos:

/
38
/ G60% : possuem afinidade pessoal pelo curso escolhido
) 0% : foram de alguma forma influenciados.
5) Qual a área da engenharia que você possui maior afinidade?
a) construção civil b) saneamento
c) estruturas e fundações d) transportes
e) hidráulica f) projetos
g) mecânica dos solos g) outra, _
h) ainda não sei, pois comecei os estudos há pouco tempo.
Esta pergunta foi criada visando a escolha do Tema. Depois de respondido o questionário,
numa certa oportunidade em um intervalo essas porcentagens foram calculadas e no momento
correto foi apresentada aos acadêmicos, servindo de um material importante no
direcionamento da escolha do tema. Essa pergunta poderia não ser utilizada, caso a
porcentagem de afinidade pela Construção Civil atingisse valores irrisórios.
-não possui, ainda, afinidade por uma área de engenharia: 43%
-possui afinidade pela Construção Civil: 20%
-possui afinidade pela elaboração de projetos: 14%
-possuem afinidade por outras áreas da engenharia: 23%
6) Quais são suas expectativas quanto a metodologia de ensino das disciplinas matemáticas no
curso de Engenharia?
a) a mesma aplicada no ensino médio.
b) a mesma aplicada nos cursos pré-vestibular.
c)uma metodologia relacionando o conteúdo à futura vida profissional
d) nenhuma expectativa diferenciada da tradicional, pois o modo ensinar matemática é
sempre a mesma.
ejoutra _

Procurou-se levantar qUalS expectanvas o t:SLUUé:lmç pv""", • ..,'-'v.~ ~~ __ .
ensinada no decorrer dos anos letivos. E felizmente após muitos anos de ensino tradicional,
salvo alguma exceção, ainda existe forte disposição em participar de uma metodologia
direcionada à futura vida profissional.
-metodologia direcionada a futura vida profissional: 92%
-não possuem expectativas diferentes sobre o ensino da matemática: 8%.
7) Qual a influência do excesso d' água na mistura do concreto?
Esta é a única pergunta técnica, avaliando o grau de conhecimento sobre a situação
problema que seria apresentada. Algumas das respostas:
-Não sei.
-Deixa o concreto menos "firme".
-Fica menos resistente. Suporta menos peso.
-Muita água deixa o concreto mole, mais fraco, menos resistente.
-O concreto terá sua estrutura comprometida, quebrará facilmente.
-Eu acho que quanto mais água na mistura, mais tempo demorará o concreto para curar.
-Compromete a qualidade do concreto.
-Umidade.Má aderência. Baixa qualidade.
-Concreto com baixa resistência, futuras rachaduras.
Totalizando: - não sei: 55%.
- escreveu algum tipo de resposta: 45%.
Como os acadêmicos não possuíam conhecimento sobre modelos, foi utilizado o
artigo: Átomos de Bohr, ratos de laboratório e Gisele Bündchen: O que é que eles têm
em comum? De Roberto J. M. Covolan e Li Li Min (ANEXO: 02-Transparências: utilizadas
no primeiro encontro).
A exploração do artigo oportunizou, de maneira descontraída, a diferenciação entre
dois tipos de modelo científico: os teóricos e os experimentais.
Em seguida apresentamos os dois modelos:

40
MODELO 01
(Unb/CESPE-SEEDIPR-2003) As funções são modelos matemáticos importantes e
freqüentemente descrevem uma lei fisica. Como exemplo, considere que uma bola é atirada
verticalmente para cima, no instante t = 0, com uma velocidade de 200 cm/s. Nesta situação, a
velocidade da bola, em cm/s, corno função do tempo é dada por v(t) = 200-96t. Assim, é
correto afirmar que a altura máxima atingida pela bola ocorre:
a) Menos de 2 s após o seu lançamento.
b) Entre 2 s e 2,5 s após o seu lançamento.
c) Entre 2,6 s e 3 s após o seu lançamento.
d) Entre 3,1 se 3,5 s após o seu lançamento.
e) Mais de 3,5 s após o seu lançamento.
Esse problema teve a finalidade de mostrar a importância dos modelos já
equacionados, que são utilizados na maioria das vezes sem analise, pois geralmente
confiamos na sua precisão. Trata-se da equação da velocidade, modelo matemático utilizado
na Física. Observa-se que no próprio enunciado do problema são tecidos comentários sobre a
importância da lei fisica.
Levando-se a questão que, só se chega à formulação de uma lei fisica quando esta é
analisada e testada por meio de métodos científicos apropriados.
Foi analisada a situação em que quando se lança um corpo verticalmente para cima, no
momento em que o corpo é lançado existe uma velocidade inicial (Vo) e quando atinge a
altura máxima a velocidade é nula (V=O).
De posse dessa informação foi possível substituir esse valor na equação e encontrar um
resultado. Nesse caso temos a resolução de um problema, não se trata de modelagem.
MODELO 02
(ProfU.José RF.Maciel) Uma prefeitura que dispõe de uma verba que pode ser destinada à
construção de casas populares ou a pavimentação de ruas. Se optar por investir em casas
populares, poderá construir 300 casas, se optar por investir em pavimentação de ruas, a verba
é suficiente para a pavimentação de apenas 150 km. Mas a verba pode ser destinada a outros
planos. Fazendo uma pesquisa de preços junto a empreiteiras, chegou-se aos seguintes planos:

Tabela 02: Dados coletados nas empreiteiras (Km x Casas populares)
Kmderuas Casas populares
O 300
20 290
60 240
90 180
105 140
135 50
150 O
De posse da situação e com a tabela de dados (que também se pode chamar de um
modelo "organizado") solicitou-se um modelo matemático que melhor represente a situação.
Primeiramente foram posicionados os pontos entre os eixos cartesianos e traçada as
possíveis curvas que melhor se adaptariam aos dados fornecidos pela empreiteira.
Os acadêmicos estavam muito passivos, então foi preciso estimulá-los para participar,
sem restrições, pois neste momento eles eram engenheiros em busca da melhor resolução na
situação proposta. O gráfico foi construído no quadro de giz (Gráfico-O1), interrogando a
curva que melhor se adaptaria a situação?

a) Gráfico com os pontos posicionados e segmentos de retas correspondentes:
MODELO 2 - Prefeitura
Pontos e segmentos de reta
>-
350 1 P1 "
o
><
'(jj 300 "-
li! 250 -
e! 200.!!!
::s 150Q.
o
100Q.
li!
50lU
li!
lU
OU
O 20 60 90 105 135 150
Km de ruas ( eixo x )
Gráfico 01: pontos e segmentos de retas posicionados
42
b) Qual a função que melhor descreve os pontos?
Seria uma função descrita por uma curva: exponencial, reta ou parabólica?
Nesse momento surgiram discussões, tentando encontrar a curva que melhor
representaria os pontos dados. Entre as várias opiniões, a dúvida ficou entre a reta e parábola.
Prevendo a maior prática e manipulação matemática, foi proposta a análise da melhor
reta não apenas em uma situação, mas sim tomando como referencia a análise de: um ponto
em cada extremidade, dois pontos centrais e três pontos. E para a parábola a análise de três
pontos, um de cada extremidade e um central. Obs: A resolução por três pontos, para a reta,
não foi desenvolvida em aula, mas ficou como uma proposta complementar para a atividade.
No final, após a formulação dos quatro modelos, analisar e visualizar o melhor,
montando uma tabela comparativa e se for de interesse construir os gráficos de cada uma das
quatro situações.

b.I_ Se a reta representasse a melhor situação:
Ajuste linear - Reta - Função do 1° grau
350
300 t:'-.li)
$ 250+-------r_~~~ __----_4------_+------~----~
à 200T---~~~~~~~~~~~~~~~~~_r.~~~
o
c.. 150 +---':---+-~""'--:'~--'-~----+---''''''';='''''''''"',..,.t---::.-~---+-----''.---,,-:
li)
eu
li)
eu
U
100+-----~~--~~~----~~--~~~--+_----~,
50 +-------+-------..,-j-----_4---"----+----~~"'-::---~
O+---~~r_-=~~~~--~~~~_+_~~~~~~~
O 20 60 90 105 135
Km de ruas
Gráfico 02: Função do 10
grau
b.I.I) Um ponto de cada extremidade:
Equação do IO
grau: y = a.x + b
-dado os pontos:
PI(0,300) e P7(I50,0)
-considerando-se o sistema linear:
{
a.(o) +b = 300
a.(I50)+b=0
cuja solução é
a=-2
b=300
43
150
curva:
Os alunos resolveram o sistema acima com facilidade, chegando a função que representa a
I y = -2x +300 I
/

44
b.1.2) Dois pontos centrais:
P3(60,240) e P5(105, 140)
{
a.( 60) +b = 240
a.(105)+b =140
multiplicando por (-1) a primeira equação:
{
a.(-60)-b = -240
a.(105) +b = 140
somando a primeira equação com a segunda:
45.a = -100
a =-100/
/45
a--20/
- /9 cuja solução é:
a --20/
- /9
b -1120/
- /3
a função que representa a curva:
b.l.3) Três pontos:
P3(60,240), P4(90, 180) e P5( lO5,l40)

45
{
a.( 60) +b = 240
a.(90)+b=180
a.(105) +b = 140
(
60
90
105
:~:~J1 140
cuja solução é
a=-2
b=360
a função que representa a curva é:
y = -2.x+360
b.2_ Se a parábola representasse a melhor situação:
20 60 90
Km de ruas
105 135 150
Ajuste polinomial - Parábola - Função do 2° grau
350
I/) 300
e~ 250 ~~..--.-"-""-':':;'~~~""i't-":;:;""'~-;"-+'-.;...,......,~~+"~~;--+-~:;;"'-'~
~ 200 +_------+_------~--~ __ ±-------+_--~--+_-------:
o
~ 150 ~~----+---_=--~------+-~~__~~------+_----~
I/)
m 100 +_~~~+-~~~~~~~+r~~~+_~~~+_~~---;
~ 50 +_-::--~--+_'----".,....,.:::.."'c_+_--'-"-~--+_"'__;_-;-:--""--+_--.....".._____'__'l:~Ii;o---'---'__'!
o +_--~--+_~~--+_--~~+-~~--+_--~--+_--~=-
o
Gráfico 03: Função do r grau
b.2.1) Três pontos escolhidos:
A resolução do sistema linear é mais fácil para os alunos, pois são muitos trabalhados
no ensino médio. Na resolução do sistema envolvendo a função do 2° grau os alunos ficaram
com dúvidas. Alguns alunos resolveram através da regra de Cramer. Optei em resolver no
quadro de giz por Escalonamento, pois poucos alunos lembravam, ou tiveram, a resolução por
esse método no Ensino Médio. Desta forma, substituindo os três pontos escolhidos.
Pl(0,300), P4(90,180) e P7(150,0).
Na equação y= a.r+b.x + c, chegou-se ao sistema abaixo:

46
{
a.(150)2 +b.150+c = O
a.(90)2 + b.90 + c = 180
a.(0)2 + b.O+ c = 300
cuja solução é:
a=-~O
b=- tj
c=300
a função que representa a curva é:
c) montar uma tabela comparando os dados reais e os valores com as funções obtidas:
Tabela 03: Comparação entre os dados reais e funções (modelos) obtidas.
Funções de 10
grau Função do
~de ruas
Casas dois pontos dois pontos três pontos r grau.
Populares extremos centrais Três pontos
(x) dados reais) y = - 2x+300 y = - 20/9x+1120/3 y= - 2x+360 y = - 1I90x -1/3x+300
O 300 300 373,3 360,0 300,0
20 290 260 328,9 320,0 288,9
60 240 180 240,0 240,0 240,0
90 180 120 173,3 180,0 180,0
105 140 90 140,0 150,0 142,5
135 50 30 73,3 90,0 52,5
150 O O 40,0 60,0 0,0
Pode-se notar na Tabela 03, que o modelo mais adequado seria o da função do 20
grau.
Mesmo adotando três pontos para a função do 10
grau o modelo não atingiu aproximações
precisas. Ao concluir este modelo, explicou-se aos alunos que na maioria das vezes quando se
tem uma tabela de dados o caminho para se obter a equação que represente a curva, seria
repassar os dados para um gráfico. As funções podem ser utilizadas para fazer previsões

47
muito próximas da realidade e a confiabilidade que estes modelos fornecem facilitam a vida
do engenheiro, ao tomar decisões importantes.
Esse contato propiciou a aplicação de modelos prontos através dos valores (pontos) já
definidos em tabela. O exercício com dois modelos serviu de preparação para o próximo
encontro, pois o grupo de trabalho irá coletar os dados e desenvolver os seus próprios
modelos matemáticos.
A presente prática veio se ajustar ao Caso 1, de modelagem, defendido por BARBOSA e
citado neste trabalho na Tabela 01, do Capítulo II, em que apenas os alunos participam do
processo de resolução, não sendo preciso que procurem dados fora da sala de aula.
Dando seqüência ao trabalho, levantaram-se algumas áreas de atuação do engenheiro
civil, tais como:
- Construção civil: projeto e construção de imóveis
- Estruturas e Fundações: projeto e construção de barragens, canais, instalações
hidráulicas para produção de energia elétrica, sistemas de irrigação e drenagem.
- Mecânica dos Solos: estudo da atmosfera, do solo e subsolo do local de uma obra.
- Saneamento: projeto e execução de obras de saneamento básico.
- Transportes: projeto, construção e manutenção de obras como ferrovias, rodovias e
aeroportos.
Nesse momento desperto - e o
discussão levava às disciplinas que no
enquanto futuros profissionais.
Entre as áreas de atuação levantadas tanto no questionário (20% de aceitações), quanto
------
interesse do grupo de trabalho' foi despertado pois a
-....--L---
decorrer do Curso darão suporte para suas atuações
na discussão na sala de aula, a que mais se destacou foi a de construção civil.
Aproveitando a oportunidade lançou-se o seguinte questionamento:
- Que material é mais utilizado na construção de edifícios?
Nesse momento a discussão tomou conta do grupo que levantou vários materiais e
também chegaram a algumas conclusões:
madeira: não é utilizada normalmente para construções de grande porte, em edifícios.
aço: embora venha sendo mit difundido entre os países de primeiro mundo ainda não
é viável no nosso País, devido ao elevado custo do material.

48
Concreto: concluíram que este material é o mais utilizado.
Então, levantaram-se os seguintes questionamentos:
Quais os elementos ou materiais que constituem o concreto?
Qual a finalidade de cada elemento ou material?
Controlar a quantidade dos materiais que constituem o concreto é importante?
A escolha do tema "Concreto" justificou-se por ser um elemento de vasta aplicação na
construção, sendo um ponto que normalmente desperta a curiosidade dos acadêmicos,
futuros engenheíros, oportunizando também a possibilidade de um aprofundamento no
desenvolvimento de modelos matemáticos buscando a interdisciplinaridade entre uma
situação prática no Laboratório de Materiais de Construção vindo a oportunizar a
formalização de conteúdos matemáticos vistos nas disciplinas das séries iniciais do curso.
Foi solicitado ao grupo de trabalho, a investigação em revistas técnicas, normas, livros
e também junto a outros acadêmicos de séries mais avançadas, das questões levantadas, para o
próximo encontro.
Assim a pesquisa exploratória foi iniciada com a coleta de dados de ordem técnica e
curiosidades sobre o assunto. "O fato de tomar contato com outras 'realidades', procurar
captar suas particularidades e as suas generalidades são aspectos positivos na formação de um
aluno mais crítico, e capaz de fazer uma leitura mais clara de uma situação"(~
p.32). QVA) -;J
Terceiro encontro
O terceiro encontro deu-se no Laboratório de Materiais de Construção. Os 22
acadêmicos ficaram distribuídos nas quatro bancadas do laboratório (ANEXO 03- Fotos do
grupo de estudo, no laboratório). Para esse encontro dedicaram-se 4 horas.
Concluindo a pesquisa exploratória os acadêmicos trouxeram alguns artigos e capítulos
de livros sobre o concreto, entre eles:
- Artigo: A durabilidade em questão, de M.Collepardi, tradução de André Andrade.
Revista - Téchne de janeiro/fevereiro - 1999. n° 38
- Artigo: Assim Caminha a Corrosão, de Enio P. Figueiredo - Revista - Téchne de
maio/junho- 1994. nOlO

- L1V<V. r.LJ 11'•.Uvvl, .LJIC1UIVU. '--UII~n~lU ue ~lInt!nlU rUnlanO, oe L- eo. edrtora ULUHU,
Porto Alegre: 1975.
- Livro: MEHTA, P.K. Concreto Estrutura Propriedades e Materiais. Capítulo 11.
Avanços em Tecnologia do Concreto. 1985, p. 384.
Com a leitura dos artigos apareceram muitas dúvidas, pois quase todo assunto
pesquisado era novidade. As respostas quanto às dúvidas eram controladas e direcionadas
evitando prolongar as discussões em assuntos que para o momento não seriam importantes.
Os pontos principais levantados e analisados foram às quantidades dos materiais:
Como seriam controlados os materiais na obra?
Os materiais em excesso ou falta causariam algum comprometimento na qualidade do
concreto?
As possíveis causas do comprometimento da qualidade do concreto, seriam:
a qualidade dos materiais utilizados na confecção do concreto;
inexperiência e/ou falta de treinamento dos pedreiros, o excesso de confiança na
prática e falta o conhecimento técnico apropriado.
Na maioria das vezes nem tudo o que aparenta ser melhor ou mais fácil na prática, é o
melhor para atingir o aproveitamento das propriedades dos materiais.
A necessidade diária do engenheiro em fiscalizar a qualidade do concreto preparado na
obra e também do concreto quando de empresas especializadas (concreteiras) com a mistura
pronta.
Amparado, segundo as normas técnicas, o concreto deve ser testado no momento da
concretagem para verificar a relação água / materiais secos, e moldado em corpos de prova
para avaliar a real resistência do concreto oferecido pela empresa. Se mais tarde comprovada
a baixa qualidade do concreto, as responsabilidades éticas e penais, serão do engenheiro
receptor.
Chegou-se então à problemática principal:
O controle dos materiais na obra como cimento, areia e brita são de certa forma fáceis.
Mas o controle do volume de água fica muito dificil, pois a água é um material relativamente
de baixo custo e de fácil acesso em obra. Nesse momento ocorrem os problemas quanto a
finalidade da água na mistura do concreto. A faíta de água não pode ser considerada, pois

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assim a mistura se tornaria muito seca como uma "farofa". Mas os excessos de água sim
podem ser analisados. Não apenas uma quantia, mas sim várias situações de exagero de água.
Verificou-se na análise da questão 7 do questionário inicial, algumas
respostas(hipóteses), quanto à questão do excesso da água no concreto:
-Não sei.
-Deixa o concreto menos "firme".
-Fica menos resistente. Suporta menos peso.
-Muita água deixa o concreto mole, mais fraco, menos resistente.
-O concreto terá sua estrutura comprometida, quebrará facilmente.
-Eu acho que quanto mais água na mistura, mais tempo demorará o concreto para curar.
-Compromete a qualidade do concreto.
-Umidade. Má aderência. Baixa qualidade.
-Concreto com baixa resistência, futuras rachaduras.
Porcentagens das respostas:
-escreveu algum tipo de resposta, como as anteriores: 45%.
-Não sei: 55%.
As hipóteses acima foram respondidas antes da pesquisa exploratória, sendo que essa
teve a finalidade de ampliar o conhecimento dos alunos com relação aos diversos elementos
envolvidos na elaboração do concreto (levantamento dos problemas). O grande problema
questionado pelos acadêmicos seria a quantidade de água no concreto, pois se sabe em
princípio que excesso causa problemas. Mas não se sabe em quais proporções esse acréscimo
comprometeria a qualidade do concreto. Visando a ordenação dos fatos foi elaborada uma
situação problema, com alguns dados técnicos necessários para a sua resolução. Sendo que
algumas hipóteses iniciais serão mais tarde analisadas e comparadas com os modelos
matemáticos que melhor representarão a realidade na resolução do problema (quarto
encontro).
Concluindo a situação problema tem-se o seguinte texto:

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-Dados do concreto:
Cimento: CPV - AR!
Areia: Rio Iguaçu
Brita: n° 1
-Massa Específica(ME):
MEc'IMENTO= 3,10 g / crrr'
MEARE1A = 2,604 g / cm3
MEpEDRA = 3,00 g / cm3
r
A seguir colocou-se:
Digamos que somos engenheiros e está sob nossa responsabilidade determinada obra.
Os materiais utilizados na obra são de boa procedência e atendem todas as especificações de
norma. O traço (proporção em volume ou massa) a ser utilizado será:
1: a: p: x (cimento: areia: brita : água)
1 : 2,115 : 2,654 : 0,45
já estudado e definido pela equipe técnica. Devido a problemas em algumas peças
anteriormente concretadas você decide observar o serviço do operário.
O operário está preparando a mistura, liga a betoneira e começa a misturar os materiais
adicionados (brita, água, areia e cimento). Em certo momento adiciona mais uma quantia de
água, em seguida mais uma, mais uma e mais uma ainda!(ver no segundo parágrafo abaixo, as
quatro situações). Você se aproxima do operário e interroga-o do porque adicionar essa
quantia de água a mais? O operário dentro do seu "conhecimento" responde que o concreto
estava seco, e assim ficaria dificil e pesado trabalhar.
E agora? Como o engenheiro deve proceder?
Obs: A Norma Brasileira (NBR 12655) para o concreto estabelece a moldagem de corpos de
prova do concreto ainda fresco, para a seguida verificação da sua resistência, quando
endurecidos, em ensaios de resistência a compressão. Essa prática é desenvolvida
normalmente na vida diária do engenheiro de obra (realidade), a moldagem e análise da
resistência do concreto preparado. Despertando o interesse do acadêmico para a presente
prática, embora que no terceiro ano do Curso de Engenharia essa prática é semelhantemente
desenvolvida (alterando não apenas a água, como a presente prática, mas também o cimento,
areia e pedra).

A moldagem terá como base os seguintes traços (proporções) de concreto, mantendo a mesma
quantidade de cimento, areia (a) e pedra(p) e variando apenas a água(x):
- Primeira situação (concreto em proporções ideais).
x, = 0,45 1 : 2,115 : 2,654 : 0,45 (traço 1)
- Segunda situação.
xz= 0,50 1: 2,115 : 2,654 : 0,50 (traço 2)
- Terceira situação.
X3 = 0,55 1 : 2,115 : 2,654 : 0,55 (traço 3)
- Quarta situação.
X4 = 0,60 1: 2,115: 2,654: 0,60 (traço 4)
Moldagem dos corpos de prova
Cada grupo recebeu um molde metálico cilíndrico (Figura 1). Para a moldagem dos
corpos (Figura 2) de prova (modelos experimentais) foi necessário determinar:
as dimensões e volume de molde cilíndrico;
o volume total de concreto para o traço dado;
a massa de cimento para os quatro corpos de prova;
as quantidades de água a serem acrescentadas a mais (que seria a diferença entre os
traços 0,50-0,45=0,05,,- vezes a massa de cimento).
v
Figura 1: Molde metálico Figura 2: Corpo de prova de concreto

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