A viabilidade da constr. do conhecimento III

PROBLEMAS COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS
1. Foram convocados para a prirneira f888 d8 trein8lnento da seleção brasileira de
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com 99 figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo?

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PROBLEMAS COM NÚMEROS FRACtONÁRtOS
1. Foram convocados para a primeira fase de treinamento da seleção brasileira de
2/5 dos jogadores, continuando os' restantes em treinamento. Nessas condições,
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PROBLEMAS COM NÚMEROS FRAC10NÁR10S
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ANEXO 4
Alguns sistemas de numeração antigos

Para determinar a posição de uma estrela
no firmamento, mediam o seu ângulo de ele-
vação. Para isso,criaram um instrumento cha-
mado sextante (relativo à sexta parte da cir-
cunferência).
Para eles, era fácil construir o sextante
porque já sabiam dividir a circunferência em
seis partes iguais.
Ilustração de sextante
reproduzida em livro escrito
pelo astrônomo Tycho Brahe
e publicado em 1598.
Dividindo a circunferência
em 6 partes iguais ...
... obtém-se um ângulo de 60'.
Assim criou-se o ângulo de 60°. Daí, a origem da base sessenta.
•
Dedos, falanges e a base sessenta
Uma outra hipótese, formulada pelo próprio Georges Ifrah,é a de que
a base sessenta originou-se de práticas de povos mais antigos, uns usando
a base cinco e outros, a base doze. No encontro dessas culturas, ter-se-ia
origina.do a base sessenta.
A base cinco pode ser explicada pelos cinco dedos que temos em
cada mão. A base doze, como vimos, tem também uma explicação
aiatôrnica: lembra-se do processo d-:: contagem em que o dedo polegar
aoonta, uma a uma, as doze falanges dos outros quatro dedos?

Agora mesmo falávamos da esquisitice do zero. Mas, além dessa, há
outra: a base sessenta. Você não acha muito estranho os mesopotâmicos
terem usado essa base?
Para a base dez, há uma explicação natural:temos dez dedos nas mãos.
Até para a base vinte, há uma boa explicação: temos vinte dedos se in-
cluirmos os dedos dos pés. Mas, e a base sessenta?
Georges Ifrah, um professor marroquino, dedicou boa parte de sua
vida pesquisando a história dos números. Em sua obra, História universal
dos algarismos, ele afirma que a existência da base sessenta é um mistério,
uma vez que, até hoje, não se encontrou uma explicação plenamente
aceitável para sua origem.
Ifrah apresenta várias hipóteses. Algumas têm a ver com a Matemática,
outras, com a Astronomia e há ainda as de origem mística.Vamos apre-
sentar duas delas.
Astronomia e a base sessenta
Os povos antigos, entre os quais os babilônios, desenvolveram muito a
Astronomia, a contagem do tempo, a organização do calendário. Associ-
ando o movimento dos astros à circunferência e tendo percebido que o
ano tem 360 dias, aproximadamente, passaram a dividir a circunferência
em 360· partes iguais.Usavam essa divisão para medir ângulos, que eram
muito úteis nos seus estudos de Astronomia.
Essa é a origem do transferidor que, ainda hoje, usamos para medir
ângulos.
o ângulo de 900
corresponde a -L
da circunferência. 4
~...,."
o ângulo de 1200
corresponde a -L
da circunferência. 3

Sentiu falta do zero?
o sistema numérico da Mesopotâmia apresenta alguns inconvenien-
tes. Observe estes números:
m3
r TI60 + 2 = 62
IT Y2 x 60 + 1 = 121
Os três números representados são diferentes, embora todos sejam
escritos com os mesmos sinais. O que muda é a distância entre os sinais.
Se uma pessoa escrevesse esses números apressadamente, sem cuidado
com os espaços, certamente causaria confusão.
Há ainda outra dificuldade.Veja estes exemplos:
4ffi59
,r tTI ym
61 62 .63
E agora? Como seria a representação do sessenta? Assim ~~~ ou
assimY?
Se fosse assim Y ~ele seria confundido com o um. Se fosse ~~~ '
então sessenta e um deveria ser assim ~ Ye não desta forma: Y y.
Talvez você tenha pensado em escrever o sessenta assim:YO .
Uma boa idéia! Mas os povos da Mesopotâmia ainda não tinham in-
ventado um símbolo que representasse o nada Somente na fase final
daquela civilização é que eles começaram a pensar num símbolo para o
zero. Antes disso, por alguns séculos, a apresentação do sessenta e de
alguns outros números causou muita confusão.
Não é esquisito que o zero, um símbolo para o nada, faça tanta falta?
a

AgO'-2 é mais fácil perceber o que queremos dizer com nurneraçào de
base sessenta. Vamos comparar com a numeração egípcia:
• na numeração egípcia, n ~O O significaum grupo de dez mais três:
• na numeração mesopotâmica, y 'T'rY significaum grupo de sessenta
mais três.
Repare que o símbolo da esquerda, separado dos outros três, vale
sessenta.
--~-----,
Descubra que números estão escritos abaixo, no sistema de nu-
meração mesopotâmico:
Decifrou os números? Não fique pensando que é perda de tempo
saber um pouco acerca da base sessenta. É verdade que o sistema de
numeração dos povos da Mesopotâmia desapareceu há muito tempo,
mas restáram vestígios dele, por exemplo, na contagem do tempo. Como
você sabe, sessenta segundos compõem um minuto, e sessenta minutos
compõem uma hora. Essa contagem em grupos de sessenta é herança da
antiga numer-ação de base sessenta.
Assim, a escrita I:30,que você vê nos
relógios digitais ou nos do forno de mi-
croondas, não significa I30 minutos nem
1.30 hora. l-Jote que I:30 significa 90
minutos ou 1.5 hora. Isso porque o I
antes dos dois-pontos corresponde a 60
minutos

Escrita mesopotâmica Em nosso sistema
"? ~ 1 9
W -«W 2 18
m {~ 3 27
~ ~ 4 36
W ~W 5 45
ffi -41~V 6 54
~
yyyy 7 63
W V 4,TI
8 72
~
Y 4..«1
9 81
<{ Y «<{« 10 90
Notou que há algo estranho nos quatro últimos resultados, que
correspondem a 63, 72, 81 e 90? Por exemplo, para o 63 esperávamos
esse registro ~ m,mas o que se vê é 1m.Você pode imagi-
nar uma explicação para isso?
.Acontece que eles usavam um sistema de numeração de base sessen-
ta. o que parece muito esquisito. Veja o significado dos últimos resultados
da tabuada do nove:
60+34---
r
~- 1
:yr::~ :I I •I 'J r I
i - - -, .•.- -- - - - - ~
63
60 + 21
~l- :;- -~A-?:
I I'~"I I I I
...• __ ~ J _.. _ _ __ ~
81
60 + 12
11'--: :.-<---w· --:I I I I
! I I I
....( __ --c .• _•• J...
72
60 + 30
• - - 1 t- -.
:7:: /'/Á :
1,11~1
: I I I
- - - ~ .•. . - - - - """1-
90

,-
Nas escavações arqueológicas, realizadas na
região onde foram edificadas as cidades
da Mesopotâmia, encontraram-se
milhares de placas de barro
que continham inscrições.
Usando um bastonete, os
escribas da Mesopotâmia
escreveram sobre essas
placas quando o barro ainda
estava mole. Depois, elas foram
cozidas no forno para endurecer. Exercfcio de matemática de cerca
de 1700 a.C.
Com base nessas placas, foi possível decifrar o sistema de numeração
mesopotâmico. O sinal r indica I e o sinal -« ,IO. Veja a escrita de alguns
números:
TIl 17 -<T3 5 11
~W « ~
18 20 40
Parece com o sistema egípcio, não é?
Parece, mas somente no início.Uma das placas de argila encontradas
nas escavações continha os resultados da tabuada do nove. Vamos mos-
trar Ui. desenho dessa placa e você vai lei" urna surpresa. Examine com
atenção:

Observe que em vez de escrever lOcam dez risquinhos, os egípcios
escreviam desta maneira:
Isso significa que um símbolo nvalia por dez símbolos D. Da mes-
ma forma, dez símbolos n eram substituídos por um ~ e assim por
diante.
Notou que, na escrita dos números, os egípcios formavam grupos de
dez do mesmo modo que fazemos hoje? Em nosso sistema de numera-
ção, dez unidades formam a dezena: dez dezenas formam a centena e
assim por diante, como ocorre também no sistema egípcio.
Isso quer dizer que o sistema egípcio era decimal como o nosso, ou,
em outras palavras, era um sistema de base dez.
É interessante fazer uma adição usando nossa escrita dos números e,
depois, a dos egípciosVeja como é feita com nossos algarismos:
1
37
+25
62
O pequeno I sobre o 3 indica a troca de dez unidades por uma deze-
na, é o chamado "vai um".Algumas crianças pequenas têm dificuldade em
entender esse procedimento, pois não compreendem essa troca. No en-
tantó, no sistema egípcio, a conta ficaria mais fácil para elas porque podem
"ver" a troca de dez unidades pela dezena. Observe:
ó1úll ú1 "UOU
: UOO I,
I O '
+ fJ) lí1 ~Ooo~
DÓ)/

Da civilização egípcia, restaram vários monumentos com inscrições,
além de documentos em papiros. Essas fontes permitiram que os arque-
ólogos decifrassem o sistema de numeração egípcio.Você também pode
decifrá-Io. Observe estes exemplos:
onu ~~~nn uno
o fi
21 325
~~~ DOU
!nnn
~ 000 fl
UUU
409 1040
Já percebeu uma lógica nesse sistema, não é? Então, aceite este peque-
no desafio: observe a seguir os símbolos que os egípcios usavam para os
números e escreva como eles I3, 23 e 123.
10
n __ o. " _
{
------- -
~
--- ----- .--- --- ---
I
<f 1000 A flor de lótus (o lótus era uma planta sagrada no E9itO)1'
~ representava o milhar.
__ __ '··"'"--"'----0- ...•... . . ., .••• • ._
1 10000 O desenho de um dedo dobrado era o símbolo
....~ _':~ :~ag;,:~o~:p'"~om~., miL·· ·_~··-_-I
W 1000000 Uma figura humana ajoelhada, com as mãos para o alto, !
~ indicava o milhão. i
Esse sinal indicava a dezena.
Um traço vertical indicava a unidade.
100 Uma corda enrolada indicava a centena.

Na longa história da civilização chinesa, houve mais de um sistema
numérico. O mais utilizado deles tinha estes símbolos:
- 1 ..1-
." 6
+ 10
-. 2-. -t 7
ã 100-..- 3
- j 8
=f2Y 4
1000
1L 9
li 5
"10000
Esses símbolos ainda hoje são conhecidos tanto na China como no
Japão. No entanto, para fazer cálculos, todos usam o mesmo sistema de
numeração que nós.
O antigo sistema de numeração chinês tem regras interessantes. Veja
os exemplos:
oitocentos e vinte e quatro cinco mil e noventa e sete
/~ã
8 100
-- +Im2 10 4 5 1000 9 10 7
8 X 100 + 2 X 10 + 4 5 X 1000 + 9 X 10 + 7
Percebeu que é um sistema decimal e que tem semelhanças com o
nosso sistema? Compare a nossa maneira de escrever 824 com a deles.
Notou que a idéia é a mesma? A diferença é que, no nosso caso, o 100 e
o 10 ficam "escondidos". não aparecem na escrita 824.

Atenção: você não deve decorar os símbolos de nenhum dos siste-
mas numéricos antigos, pois eles já não são usados. Basta conhecer
as idéias principais dos sistemas para você entender melhor os nú-
meros e a Matemática. Por isso. para responder- às perguntas, sem-
pre que for preciso, releia as páginas anteriores para relembrar os
significados dos vários símbolos.
I. Os números seguintes estão representados no sistema egípcio.
Calcule os resultados das adições (se preciso, veja novamente o
exemplo que foi apresentado no livro). Depois, escreva essas mes-
mas adições em nosso sistema de numeração.
a)
ú'lú"ln 081
nnn 000
nn UD
i1u g I
o g
nnn o
nn
nnfi ou
nnn+ +
2. Na página 24, pedimos que você decifrasse estes números no
sistema de numeração da Mesopotâmia:
•
y«~87
~w25 141
Agora, decifre mais estes:
yyy <{V
WWY
--------------------- -- - ------

Além disso, os maias desenvolveram um sistema de numeração com-
plexo. Por essa razão, vamos mostrá-I o apenas em parte. Veja a seguir a
representação dos primeiros números:
1 6 • •• • 11 - 16- -- -
•• 2 •• 7 •• 12- - ••- 17
-••• 3 ••• 8 ••• 13-- •••
•••• 9 •••• - 18
•••• 4 14 ---5 10 - 15 ••••- 19- - -
.
E agora, percebeu o padrão? Adivinhe a continuação: qual era o símbo-
-10 para o 20? Seria este =?
Não, não era essa a maneira de representar o 20. Era desta forma:
•
~
A concha representava o zero. Agora, observe a representação de
mais alguns números depois do 20 para entender um pouco mais o
sistema:
• • • • •• • • • •••• • •• ••• •••• -• ••• •••• -- - -- -21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
•
••••---
1 x20
+ =39
19
•• 2><;20
+ =40
O
•••
•-
3 x20
+ = 66
6
5x20
+ = 100
O

Agol-a que você já conhece vários sistemas de numeração, vamos des-
tacar e comparar algumas de suas características.
As representações dos números um, dois e três
Veja como elas se parecem em todos estes sistemas:
Sistema Representação
egípcio O D~ nu
mesopotâmico I" TI YY'Y
romano
I 11 111
- -chinês
- - --maia
• •• •••
Sobre a posição dos simbolos
• No sistema egípcio, tanto faz escrever nu ou uno No primeiro ca-
so, você terá 10 + I e, no segundo. I + 10,ou seja, sempre terá I I.
• No -sisterna romano, a ordem pode fazer diferença: IV é quatro e VI é
seis.
• No sistema mesopotâmico, a posição também é fundamental. Uma
pequena mudança na posição dos símbolos transforma 62 em 121!
"Y
60 +
TI
2 = 62
Y'TY
2x60 + 1= 121
Conclusão: os sistemas mesopotâmico e romano são posicionais, ou
seja. mudando a posição dos símbolos. muda-se o número representado.
Isso não acontece no sistema egípcio.
Para você pensar: o sistema qU'2 usamos é posicional?
r

o IJrincipio aditivo
Um sistema de numeração apresenta o princípio aditivo quando o
número representado é a soma dos valores de cada símbolo. Assim:
u O
100 + 100 + 10 + 1O+ 10 + 1 +1 = 232
o sistema romano tem o princípio aditivo. Mas cuidado, ele também
tem o princípio subtrativo.
C D X X 1 V
500 - 100 + 10 + 10 + (5 - 1) = 424
A questão do zero
Por falta do zero, os egípcios eram obrigados a usar símbolos diferen-
tes para 10, 100, I000, 10000, etc. Note que nós usamos apenas os sím-
bolos I e °para todos esses números. Os mesopotâmicos também não
conheciam o zero, daí a confusão na escrita dos números, em que um
espaço entre os sinais podia mudar o seu valor.
E as contas?
Final~ente, comparando os sistemas, podemos saber se são adequa-
dos para fazer contas. No
sistema egípcio, é fácilfazer
algumas contas, mas é pre-
ciso escrever muito. Para
fazer adições, basta juntar
os símbolos e, se preciso,
fazer trocas:
+
nlln
n
nn
I
" OU '.
I U RI I
I I
~ g 11)
Uf
--,'
Dez U foram trocados por um f)).
?
;

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