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Das Dokument skizziert das Modellwahlverfahren für Proxy-Modelle im Zusammenhang mit Solvency II, das 2009 beschlossen wurde und einen funktionalen Zusammenhang zwischen dem Present Value of Future Profits (PVFP) und Risikofaktoren beschreibt. Es behandelt die quantitativen Anforderungen des Solvency II-Rahmenwerks, die Bewertung von Versicherungsgesellschaften sowie verschiedene Modellwahlmethoden wie Backward Elimination und Forward Selection. Die Ziele der Modellwahl sind die Erklärung gegebener Datensätze und die bestmögliche Vorhersage zukünftiger Beobachtungen.

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Modellwahlverfahren für Proxy-Modelle im Kontext von Solvency II Benjamin Reichenwallner FB Mathematik, Universität Salzburg 12. November 2014 Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 1 / 31
Einleitung Einleitung All models are wrong, but some are useful. Box, George E. P.: Science and Statistics Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 2 / 31
Einleitung Einleitung Solvency II im April 2009 beschlossen. Funktionaler Zusammenhang zwischen dem Present Value of Future Prots (PVFP) und bestimmten Risikofaktoren. Warum PVFP? 1 Solvenzkapitalerfordernis kann daraus abgeleitet werden 2 Bewertung eines Versicherungsunternehmens (Embedded Value) Vergleich von Modellwahlmethoden anhand eines realistischen Datensatzes. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 3 / 31
Einleitung Einleitung Solvency II im April 2009 beschlossen. Funktionaler Zusammenhang zwischen dem Present Value of Future Prots (PVFP) und bestimmten Risikofaktoren. Warum PVFP? 1 Solvenzkapitalerfordernis kann daraus abgeleitet werden 2 Bewertung eines Versicherungsunternehmens (Embedded Value) Vergleich von Modellwahlmethoden anhand eines realistischen Datensatzes. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 3 / 31
Einleitung Einleitung Solvency II im April 2009 beschlossen. Funktionaler Zusammenhang zwischen dem Present Value of Future Prots (PVFP) und bestimmten Risikofaktoren. Warum PVFP? 1 Solvenzkapitalerfordernis kann daraus abgeleitet werden 2 Bewertung eines Versicherungsunternehmens (Embedded Value) Vergleich von Modellwahlmethoden anhand eines realistischen Datensatzes. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 3 / 31
Einleitung Einleitung Solvency II im April 2009 beschlossen. Funktionaler Zusammenhang zwischen dem Present Value of Future Prots (PVFP) und bestimmten Risikofaktoren. Warum PVFP? 1 Solvenzkapitalerfordernis kann daraus abgeleitet werden 2 Bewertung eines Versicherungsunternehmens (Embedded Value) Vergleich von Modellwahlmethoden anhand eines realistischen Datensatzes. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 3 / 31
Einleitung Einleitung Solvency II im April 2009 beschlossen. Funktionaler Zusammenhang zwischen dem Present Value of Future Prots (PVFP) und bestimmten Risikofaktoren. Warum PVFP? 1 Solvenzkapitalerfordernis kann daraus abgeleitet werden 2 Bewertung eines Versicherungsunternehmens (Embedded Value) Vergleich von Modellwahlmethoden anhand eines realistischen Datensatzes. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 3 / 31
Einleitung Einleitung Solvency II im April 2009 beschlossen. Funktionaler Zusammenhang zwischen dem Present Value of Future Prots (PVFP) und bestimmten Risikofaktoren. Warum PVFP? 1 Solvenzkapitalerfordernis kann daraus abgeleitet werden 2 Bewertung eines Versicherungsunternehmens (Embedded Value) Vergleich von Modellwahlmethoden anhand eines realistischen Datensatzes. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 3 / 31
Einleitung Gliederung 1 Solvency II Quantitative Anforderungen Risiken 2 Modellwahl Lineare Modelle Modellwahlmethoden 3 Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Ergebnisse der Methoden 4 Fazit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 4 / 31
Solvency II Gliederung 1 Solvency II Quantitative Anforderungen Risiken 2 Modellwahl Lineare Modelle Modellwahlmethoden 3 Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Ergebnisse der Methoden 4 Fazit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 5 / 31
Solvency II Solvency II Solvency II Säule I Säule II Säule III Quantitative Anforderungen Qualitative Anforderungen Anforderungen an Oenlegung Eigenkapital- vorschriften Deckungs- vorschriften versicherungs- technische Rückstellungen Interne Kontrolle Risiko- management Aufsichtliche Überprüfung Schaung von Transparenz Förderung der Marktdisziplin Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 6 / 31
Solvency II Quantitative Anforderungen Säule I: Quantitative Anforderungen (1) Zwei Stufen: Solvency Capital Requirement (SCR) Kapital, das es mit Sicherheit von 99,5 % einem Versicherungsunternehmen ermöglicht, unvorhergesehene Verluste aufzufangen und das nächste Jahr zu überleben. Ruinwahrscheinlichkeit von 0, 5%. Minimum Capital Requirement (MCR) Absolutes Minimum an Kapital, das für die Fortsetzung der Geschäftstätigkeit notwendig ist. Ruinwahrscheinlichkeit von 15%. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 7 / 31
Solvency II Quantitative Anforderungen Säule I: Quantitative Anforderungen (1) Zwei Stufen: Solvency Capital Requirement (SCR) Kapital, das es mit Sicherheit von 99,5 % einem Versicherungsunternehmen ermöglicht, unvorhergesehene Verluste aufzufangen und das nächste Jahr zu überleben. Ruinwahrscheinlichkeit von 0, 5%. Minimum Capital Requirement (MCR) Absolutes Minimum an Kapital, das für die Fortsetzung der Geschäftstätigkeit notwendig ist. Ruinwahrscheinlichkeit von 15%. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 7 / 31
Solvency II Quantitative Anforderungen Säule I: Quantitative Anforderungen (2) Solvency II RL, Artikel 100 Die Solvenzkapitalanforderung wird entweder gemäÿ der in Unterabschnitt 2 erläuterten Standardformel oder unter Verwendung eines in Unterabschnitt 3 erläuterten internen Modells berechnet. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 8 / 31
Solvency II Quantitative Anforderungen Säule I: Quantitative Anforderungen (3) Eingrie der Aufsicht möglich Maÿ- nahmen durch Aufsicht Insolvenz MCR SCR (internes Modell) SCR (Standardmodell) notwendiges Solvenzkapital Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 9 / 31
Solvency II Risiken Risiken (1) Solvency II RL, Artikel 121 (4) Das interne Modell deckt alle wesentlichen Risiken ab, denen die Versicherungs- und Rückversicherungsunternehmen ausgesetzt sind. Die internen Modelle decken zumindest die in Artikel 101 Absatz 4 genannten Risiken ab. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 10 / 31
Solvency II Risiken Risiken (2) Solvency II RL, Artikel 101 (4) a) nichtlebensversicherungstechnisches Risiko; b) lebensversicherungstechnisches Risiko; c) krankenversicherungstechnisches Risiko; d) Marktrisiko; e) Kreditrisiko; f) operationelles Risiko. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 11 / 31
Solvency II Risiken Risiken (3) Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 12 / 31
Solvency II Risiken Risiken (4) Solvency II RL, Artikel 101 (5) In Bezug auf Diversikationseekte können die Versicherungs- und Rückversicherungsunternehmen in ihrem internen Modell den Abhängigkeiten innerhalb der Risikokategorien sowie zwischen den Risikokategorien Rechnung tragen, sofern sich die Aufsichtsbehörden vergewissert haben, dass das System für die Messung der Diversikationseekte angemessen ist. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 13 / 31
Solvency II Risiken Interaktionen (Beispiel) Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 14 / 31
Modellwahl Gliederung 1 Solvency II Quantitative Anforderungen Risiken 2 Modellwahl Lineare Modelle Modellwahlmethoden 3 Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Ergebnisse der Methoden 4 Fazit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 15 / 31
Modellwahl Lineare Modelle Lineare Modelle Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1. n Beobachtungen: y1 x11 x12 · · · x1,p−1 y2 x21 x22 · · · x2,p−1 . . . . . . . . . . . . . . . yn xn1 xn2 · · · xn,p−1 Zusammenhang: Y = f (X1, X2, . . . , Xp−1) + . Lineares Modell mit Parametern β0, . . . , βp−1: Y = β0 + β1X1 + β2X2 + · · · + βp−1Xp−1 + . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 16 / 31
Modellwahl Lineare Modelle Lineare Modelle Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1. n Beobachtungen: y1 x11 x12 · · · x1,p−1 y2 x21 x22 · · · x2,p−1 . . . . . . . . . . . . . . . yn xn1 xn2 · · · xn,p−1 Zusammenhang: Y = f (X1, X2, . . . , Xp−1) + . Lineares Modell mit Parametern β0, . . . , βp−1: Y = β0 + β1X1 + β2X2 + · · · + βp−1Xp−1 + . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 16 / 31
Modellwahl Lineare Modelle Lineare Modelle Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1. n Beobachtungen: y1 x11 x12 · · · x1,p−1 y2 x21 x22 · · · x2,p−1 . . . . . . . . . . . . . . . yn xn1 xn2 · · · xn,p−1 Zusammenhang: Y = f (X1, X2, . . . , Xp−1) + . Lineares Modell mit Parametern β0, . . . , βp−1: Y = β0 + β1X1 + β2X2 + · · · + βp−1Xp−1 + . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 16 / 31
Modellwahl Lineare Modelle Lineare Modelle Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1. n Beobachtungen: y1 x11 x12 · · · x1,p−1 y2 x21 x22 · · · x2,p−1 . . . . . . . . . . . . . . . yn xn1 xn2 · · · xn,p−1 Zusammenhang: Y = f (X1, X2, . . . , Xp−1) + . Lineares Modell mit Parametern β0, . . . , βp−1: Y = β0 + β1X1 + β2X2 + · · · + βp−1Xp−1 + . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 16 / 31
Modellwahl Lineare Modelle Leitfragen Welches Modell erklärt einen gegebenen Datensatz? Welches Modell liefert die beste Vorhersage für zukünftige Beobachtungen aus demselben Prozess, der den gegebenen Datensatz erzeugt hat? Dabei soll das Modell so einfach wie möglich sein. Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1: 2 p mögliche Modelle. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 17 / 31
Modellwahl Lineare Modelle Leitfragen Welches Modell erklärt einen gegebenen Datensatz? Welches Modell liefert die beste Vorhersage für zukünftige Beobachtungen aus demselben Prozess, der den gegebenen Datensatz erzeugt hat? Dabei soll das Modell so einfach wie möglich sein. Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1: 2 p mögliche Modelle. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 17 / 31
Modellwahl Lineare Modelle Leitfragen Welches Modell erklärt einen gegebenen Datensatz? Welches Modell liefert die beste Vorhersage für zukünftige Beobachtungen aus demselben Prozess, der den gegebenen Datensatz erzeugt hat? Dabei soll das Modell so einfach wie möglich sein. Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1: 2 p mögliche Modelle. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 17 / 31
Modellwahl Lineare Modelle Leitfragen Welches Modell erklärt einen gegebenen Datensatz? Welches Modell liefert die beste Vorhersage für zukünftige Beobachtungen aus demselben Prozess, der den gegebenen Datensatz erzeugt hat? Dabei soll das Modell so einfach wie möglich sein. Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1: 2 p mögliche Modelle. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 17 / 31
Modellwahl Lineare Modelle Leitfragen Welches Modell erklärt einen gegebenen Datensatz? Welches Modell liefert die beste Vorhersage für zukünftige Beobachtungen aus demselben Prozess, der den gegebenen Datensatz erzeugt hat? Dabei soll das Modell so einfach wie möglich sein. Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1: 2 p mögliche Modelle. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 17 / 31
Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlmethoden Backward Elimination: Beginne mit dem kompletten Modell und lösche in jedem Schritt die Variable, deren Entfernung das Modell am meisten verbessert. Forward Selection: Beginne mit dem leeren Modell und füge in jedem Schritt die Variable hinzu, die das Modell am meisten verbessert. Stepwise Regression: Kombination aus Forward Selection und Backward Elimination. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 18 / 31
Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlmethoden Backward Elimination: Beginne mit dem kompletten Modell und lösche in jedem Schritt die Variable, deren Entfernung das Modell am meisten verbessert. Forward Selection: Beginne mit dem leeren Modell und füge in jedem Schritt die Variable hinzu, die das Modell am meisten verbessert. Stepwise Regression: Kombination aus Forward Selection und Backward Elimination. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 18 / 31
Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlmethoden Backward Elimination: Beginne mit dem kompletten Modell und lösche in jedem Schritt die Variable, deren Entfernung das Modell am meisten verbessert. Forward Selection: Beginne mit dem leeren Modell und füge in jedem Schritt die Variable hinzu, die das Modell am meisten verbessert. Stepwise Regression: Kombination aus Forward Selection und Backward Elimination. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 18 / 31
Modellwahl Modellwahlmethoden Vergleich von Modellen Testbasierte und kriterienbasierte Methoden Testen von Hypothesen mittels F-Test: H0 : βi = 0, d.h. Xi hat keinen signikanten Einuss auf die Zielvariable H1 : βi = 0, d.h. Xi hat einen signikanten Einuss auf die Zielvariable Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 19 / 31
Modellwahl Modellwahlmethoden Vergleich von Modellen Testbasierte und kriterienbasierte Methoden Testen von Hypothesen mittels F-Test: H0 : βi = 0, d.h. Xi hat keinen signikanten Einuss auf die Zielvariable H1 : βi = 0, d.h. Xi hat einen signikanten Einuss auf die Zielvariable Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 19 / 31
Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (1) Informationskriterien: Akaike Information Criterion (AIC): AIC = n log RSS n + 2p mit RSS = n i=1 (yi − yi )2 (Residual Sum of Squares). Bayes Information Criterion (BIC): BIC = n log RSS n + p log(n). Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 20 / 31
Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (1) Informationskriterien: Akaike Information Criterion (AIC): AIC = n log RSS n + 2p mit RSS = n i=1 (yi − yi )2 (Residual Sum of Squares). Bayes Information Criterion (BIC): BIC = n log RSS n + p log(n). Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 20 / 31
Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (2) Bestimmtheitsmaÿ: R 2 = 1 − n i=1 (yi − yi )2 n i=1 yi − Y 2 = 1 − RSS TSS . Korrigiertes Bestimmtheitsmaÿ: R 2 a = 1 − RSS /(n − p) TSS /(n − 1) . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 21 / 31
Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (2) Bestimmtheitsmaÿ: R 2 = 1 − n i=1 (yi − yi )2 n i=1 yi − Y 2 = 1 − RSS TSS . Korrigiertes Bestimmtheitsmaÿ: R 2 a = 1 − RSS /(n − p) TSS /(n − 1) . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 21 / 31
Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (3) Mallows' Cp: Cp = RSS σ2 + 2p − n. Ziel ist ein Modell mit kleinem p und mit Cp ≤ p. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 22 / 31
Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (3) Mallows' Cp: Cp = RSS σ2 + 2p − n. Ziel ist ein Modell mit kleinem p und mit Cp ≤ p. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 22 / 31
Anwendungsbeispiel Gliederung 1 Solvency II Quantitative Anforderungen Risiken 2 Modellwahl Lineare Modelle Modellwahlmethoden 3 Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Ergebnisse der Methoden 4 Fazit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 23 / 31
Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Funktionaler Zusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Funktionaler Zusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Funktionaler Zusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Funktionaler Zusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Funktionaler Zusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Funktionaler Zusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
Anwendungsbeispiel Ergebnisse der Methoden Vergleich der Ergebnisse Methode Güte (R2) Anzahl Variablen Leeres Modell 0 0 Komplettes Modell 0.8920 461 F-Test 5% Forward 0.8803 28 Backward 0.8796 25 Stepwise 0.8803 27 F-Test 1% Forward 0.8790 21 Backward 0.8784 21 Stepwise 1 0.8788 20 Stepwise 2 0.8790 20 AIC Forward 0.8810 37 Backward 0.8798 29 BIC Forward 0.8787 19 Backward 0.8784 20 Cp Forward 0.8844 141 Backward 0.8862 219 R2 a Forward 0.8898 336 Backward 0.8919 441 Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 25 / 31
Anwendungsbeispiel Ergebnisse der Methoden Vergleich der Ergebnisse (2) Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 26 / 31
Fazit Gliederung 1 Solvency II Quantitative Anforderungen Risiken 2 Modellwahl Lineare Modelle Modellwahlmethoden 3 Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Ergebnisse der Methoden 4 Fazit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 27 / 31
Fazit Fazit Berechnung des PVFP in Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
Fazit Fazit Berechnung des PVFP in Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
Fazit Fazit Berechnung des PVFP in Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
Fazit Fazit Berechnung des PVFP in Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
Fazit Fazit Berechnung des PVFP in Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
Fazit Fazit Berechnung des PVFP in Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
Fazit Fazit (2) All models are wrong, but some are useful. [...] Since all models are wrong the scientist cannot obtain a correct one by excessive elaboration. [...] he should seek an economical description of natural phenomena. [...] Since all models are wrong the scientist must be alert to what is importantly wrong. Box, George E. P.: Science and Statistics Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 29 / 31
Fazit Kontakt Benjamin Reichenwallner Fachbereich Mathematik Universität Salzburg Tel.: +43/662/8044-5308 Mail: benjamin.reichenwallner2@sbg.ac.at Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 30 / 31
Fazit Literatur (Auszug) Akaike, Hirotugu: Information Theory and an Extension of the Maximum Likelihood Principle. In: Second International Symposium on Information Theory (Tsahkadsor, 1971). Budapest: Akadémiai Kiadó, 1973, S. 267281. Box, George E.P.: Science and Statistics. In: J. Amer. Statist. Assoc. 71 (1976), Nr. 356, S. 791-799. Europäisches Parlament und Rat: Solvency II Richtlinie 2009/138/EG. (2009). Faraway, Julian J.: Linear Models with R. Chapman Hall/CRC, 2005. Hörig, Mario; Leitschkis, Michael: Solvency II Proxy Modelling via Least Squares Monte Carlo. (2012) Geisser, Seymour; Eddy, William F.: A Predictive Approach to Model Selection. In: J. Amer. Statist. Assoc. 74 (1979), Nr. 365, S. 153160. Mallows, Colin L.: Some Comments on Cp. In: Technometrics 15 (1973), Nr. 4, S. 661675. Sen, Ashish; Srivastava, Muni: Regression Analysis. New York : Springer-Verlag, 1994. Stapleton, James H.: Linear Statistical Models. New York : John Wiley Sons Inc., 1995. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 31 / 31

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  • 4.
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    Einleitung Einleitung Solvency II imApril 2009 beschlossen. Funktionaler Zusammenhang zwischen dem Present Value of Future Prots (PVFP) und bestimmten Risikofaktoren. Warum PVFP? 1 Solvenzkapitalerfordernis kann daraus abgeleitet werden 2 Bewertung eines Versicherungsunternehmens (Embedded Value) Vergleich von Modellwahlmethoden anhand eines realistischen Datensatzes. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 3 / 31
  • 6.
    Einleitung Einleitung Solvency II imApril 2009 beschlossen. Funktionaler Zusammenhang zwischen dem Present Value of Future Prots (PVFP) und bestimmten Risikofaktoren. Warum PVFP? 1 Solvenzkapitalerfordernis kann daraus abgeleitet werden 2 Bewertung eines Versicherungsunternehmens (Embedded Value) Vergleich von Modellwahlmethoden anhand eines realistischen Datensatzes. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 3 / 31
  • 7.
    Einleitung Einleitung Solvency II imApril 2009 beschlossen. Funktionaler Zusammenhang zwischen dem Present Value of Future Prots (PVFP) und bestimmten Risikofaktoren. Warum PVFP? 1 Solvenzkapitalerfordernis kann daraus abgeleitet werden 2 Bewertung eines Versicherungsunternehmens (Embedded Value) Vergleich von Modellwahlmethoden anhand eines realistischen Datensatzes. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 3 / 31
  • 8.
    Einleitung Einleitung Solvency II imApril 2009 beschlossen. Funktionaler Zusammenhang zwischen dem Present Value of Future Prots (PVFP) und bestimmten Risikofaktoren. Warum PVFP? 1 Solvenzkapitalerfordernis kann daraus abgeleitet werden 2 Bewertung eines Versicherungsunternehmens (Embedded Value) Vergleich von Modellwahlmethoden anhand eines realistischen Datensatzes. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 3 / 31
  • 9.
    Einleitung Gliederung 1 Solvency II QuantitativeAnforderungen Risiken 2 Modellwahl Lineare Modelle Modellwahlmethoden 3 Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Ergebnisse der Methoden 4 Fazit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 4 / 31
  • 10.
    Solvency II Gliederung 1 SolvencyII Quantitative Anforderungen Risiken 2 Modellwahl Lineare Modelle Modellwahlmethoden 3 Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Ergebnisse der Methoden 4 Fazit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 5 / 31
  • 11.
    Solvency II Solvency II SolvencyII Säule I Säule II Säule III Quantitative Anforderungen Qualitative Anforderungen Anforderungen an Oenlegung Eigenkapital- vorschriften Deckungs- vorschriften versicherungs- technische Rückstellungen Interne Kontrolle Risiko- management Aufsichtliche Überprüfung Schaung von Transparenz Förderung der Marktdisziplin Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 6 / 31
  • 12.
    Solvency II QuantitativeAnforderungen Säule I: Quantitative Anforderungen (1) Zwei Stufen: Solvency Capital Requirement (SCR) Kapital, das es mit Sicherheit von 99,5 % einem Versicherungsunternehmen ermöglicht, unvorhergesehene Verluste aufzufangen und das nächste Jahr zu überleben. Ruinwahrscheinlichkeit von 0, 5%. Minimum Capital Requirement (MCR) Absolutes Minimum an Kapital, das für die Fortsetzung der Geschäftstätigkeit notwendig ist. Ruinwahrscheinlichkeit von 15%. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 7 / 31
  • 13.
    Solvency II QuantitativeAnforderungen Säule I: Quantitative Anforderungen (1) Zwei Stufen: Solvency Capital Requirement (SCR) Kapital, das es mit Sicherheit von 99,5 % einem Versicherungsunternehmen ermöglicht, unvorhergesehene Verluste aufzufangen und das nächste Jahr zu überleben. Ruinwahrscheinlichkeit von 0, 5%. Minimum Capital Requirement (MCR) Absolutes Minimum an Kapital, das für die Fortsetzung der Geschäftstätigkeit notwendig ist. Ruinwahrscheinlichkeit von 15%. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 7 / 31
  • 14.
    Solvency II QuantitativeAnforderungen Säule I: Quantitative Anforderungen (2) Solvency II RL, Artikel 100 Die Solvenzkapitalanforderung wird entweder gemäÿ der in Unterabschnitt 2 erläuterten Standardformel oder unter Verwendung eines in Unterabschnitt 3 erläuterten internen Modells berechnet. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 8 / 31
  • 15.
    Solvency II QuantitativeAnforderungen Säule I: Quantitative Anforderungen (3) Eingrie der Aufsicht möglich Maÿ- nahmen durch Aufsicht Insolvenz MCR SCR (internes Modell) SCR (Standardmodell) notwendiges Solvenzkapital Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 9 / 31
  • 16.
    Solvency II Risiken Risiken(1) Solvency II RL, Artikel 121 (4) Das interne Modell deckt alle wesentlichen Risiken ab, denen die Versicherungs- und Rückversicherungsunternehmen ausgesetzt sind. Die internen Modelle decken zumindest die in Artikel 101 Absatz 4 genannten Risiken ab. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 10 / 31
  • 17.
    Solvency II Risiken Risiken(2) Solvency II RL, Artikel 101 (4) a) nichtlebensversicherungstechnisches Risiko; b) lebensversicherungstechnisches Risiko; c) krankenversicherungstechnisches Risiko; d) Marktrisiko; e) Kreditrisiko; f) operationelles Risiko. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 11 / 31
  • 18.
    Solvency II Risiken Risiken(3) Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 12 / 31
  • 19.
    Solvency II Risiken Risiken(4) Solvency II RL, Artikel 101 (5) In Bezug auf Diversikationseekte können die Versicherungs- und Rückversicherungsunternehmen in ihrem internen Modell den Abhängigkeiten innerhalb der Risikokategorien sowie zwischen den Risikokategorien Rechnung tragen, sofern sich die Aufsichtsbehörden vergewissert haben, dass das System für die Messung der Diversikationseekte angemessen ist. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 13 / 31
  • 20.
    Solvency II Risiken Interaktionen(Beispiel) Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 14 / 31
  • 21.
    Modellwahl Gliederung 1 Solvency II QuantitativeAnforderungen Risiken 2 Modellwahl Lineare Modelle Modellwahlmethoden 3 Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Ergebnisse der Methoden 4 Fazit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 15 / 31
  • 22.
    Modellwahl Lineare Modelle LineareModelle Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1. n Beobachtungen: y1 x11 x12 · · · x1,p−1 y2 x21 x22 · · · x2,p−1 . . . . . . . . . . . . . . . yn xn1 xn2 · · · xn,p−1 Zusammenhang: Y = f (X1, X2, . . . , Xp−1) + . Lineares Modell mit Parametern β0, . . . , βp−1: Y = β0 + β1X1 + β2X2 + · · · + βp−1Xp−1 + . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 16 / 31
  • 23.
    Modellwahl Lineare Modelle LineareModelle Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1. n Beobachtungen: y1 x11 x12 · · · x1,p−1 y2 x21 x22 · · · x2,p−1 . . . . . . . . . . . . . . . yn xn1 xn2 · · · xn,p−1 Zusammenhang: Y = f (X1, X2, . . . , Xp−1) + . Lineares Modell mit Parametern β0, . . . , βp−1: Y = β0 + β1X1 + β2X2 + · · · + βp−1Xp−1 + . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 16 / 31
  • 24.
    Modellwahl Lineare Modelle LineareModelle Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1. n Beobachtungen: y1 x11 x12 · · · x1,p−1 y2 x21 x22 · · · x2,p−1 . . . . . . . . . . . . . . . yn xn1 xn2 · · · xn,p−1 Zusammenhang: Y = f (X1, X2, . . . , Xp−1) + . Lineares Modell mit Parametern β0, . . . , βp−1: Y = β0 + β1X1 + β2X2 + · · · + βp−1Xp−1 + . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 16 / 31
  • 25.
    Modellwahl Lineare Modelle LineareModelle Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1. n Beobachtungen: y1 x11 x12 · · · x1,p−1 y2 x21 x22 · · · x2,p−1 . . . . . . . . . . . . . . . yn xn1 xn2 · · · xn,p−1 Zusammenhang: Y = f (X1, X2, . . . , Xp−1) + . Lineares Modell mit Parametern β0, . . . , βp−1: Y = β0 + β1X1 + β2X2 + · · · + βp−1Xp−1 + . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 16 / 31
  • 26.
    Modellwahl Lineare Modelle Leitfragen WelchesModell erklärt einen gegebenen Datensatz? Welches Modell liefert die beste Vorhersage für zukünftige Beobachtungen aus demselben Prozess, der den gegebenen Datensatz erzeugt hat? Dabei soll das Modell so einfach wie möglich sein. Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1: 2 p mögliche Modelle. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 17 / 31
  • 27.
    Modellwahl Lineare Modelle Leitfragen WelchesModell erklärt einen gegebenen Datensatz? Welches Modell liefert die beste Vorhersage für zukünftige Beobachtungen aus demselben Prozess, der den gegebenen Datensatz erzeugt hat? Dabei soll das Modell so einfach wie möglich sein. Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1: 2 p mögliche Modelle. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 17 / 31
  • 28.
    Modellwahl Lineare Modelle Leitfragen WelchesModell erklärt einen gegebenen Datensatz? Welches Modell liefert die beste Vorhersage für zukünftige Beobachtungen aus demselben Prozess, der den gegebenen Datensatz erzeugt hat? Dabei soll das Modell so einfach wie möglich sein. Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1: 2 p mögliche Modelle. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 17 / 31
  • 29.
    Modellwahl Lineare Modelle Leitfragen WelchesModell erklärt einen gegebenen Datensatz? Welches Modell liefert die beste Vorhersage für zukünftige Beobachtungen aus demselben Prozess, der den gegebenen Datensatz erzeugt hat? Dabei soll das Modell so einfach wie möglich sein. Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1: 2 p mögliche Modelle. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 17 / 31
  • 30.
    Modellwahl Lineare Modelle Leitfragen WelchesModell erklärt einen gegebenen Datensatz? Welches Modell liefert die beste Vorhersage für zukünftige Beobachtungen aus demselben Prozess, der den gegebenen Datensatz erzeugt hat? Dabei soll das Modell so einfach wie möglich sein. Zielvariable Y , erklärende Variablen X1, X2, . . . , Xp−1: 2 p mögliche Modelle. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 17 / 31
  • 31.
    Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlmethoden Backward Elimination:Beginne mit dem kompletten Modell und lösche in jedem Schritt die Variable, deren Entfernung das Modell am meisten verbessert. Forward Selection: Beginne mit dem leeren Modell und füge in jedem Schritt die Variable hinzu, die das Modell am meisten verbessert. Stepwise Regression: Kombination aus Forward Selection und Backward Elimination. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 18 / 31
  • 32.
    Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlmethoden Backward Elimination:Beginne mit dem kompletten Modell und lösche in jedem Schritt die Variable, deren Entfernung das Modell am meisten verbessert. Forward Selection: Beginne mit dem leeren Modell und füge in jedem Schritt die Variable hinzu, die das Modell am meisten verbessert. Stepwise Regression: Kombination aus Forward Selection und Backward Elimination. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 18 / 31
  • 33.
    Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlmethoden Backward Elimination:Beginne mit dem kompletten Modell und lösche in jedem Schritt die Variable, deren Entfernung das Modell am meisten verbessert. Forward Selection: Beginne mit dem leeren Modell und füge in jedem Schritt die Variable hinzu, die das Modell am meisten verbessert. Stepwise Regression: Kombination aus Forward Selection und Backward Elimination. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 18 / 31
  • 34.
    Modellwahl Modellwahlmethoden Vergleich vonModellen Testbasierte und kriterienbasierte Methoden Testen von Hypothesen mittels F-Test: H0 : βi = 0, d.h. Xi hat keinen signikanten Einuss auf die Zielvariable H1 : βi = 0, d.h. Xi hat einen signikanten Einuss auf die Zielvariable Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 19 / 31
  • 35.
    Modellwahl Modellwahlmethoden Vergleich vonModellen Testbasierte und kriterienbasierte Methoden Testen von Hypothesen mittels F-Test: H0 : βi = 0, d.h. Xi hat keinen signikanten Einuss auf die Zielvariable H1 : βi = 0, d.h. Xi hat einen signikanten Einuss auf die Zielvariable Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 19 / 31
  • 36.
    Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (1) Informationskriterien: AkaikeInformation Criterion (AIC): AIC = n log RSS n + 2p mit RSS = n i=1 (yi − yi )2 (Residual Sum of Squares). Bayes Information Criterion (BIC): BIC = n log RSS n + p log(n). Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 20 / 31
  • 37.
    Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (1) Informationskriterien: AkaikeInformation Criterion (AIC): AIC = n log RSS n + 2p mit RSS = n i=1 (yi − yi )2 (Residual Sum of Squares). Bayes Information Criterion (BIC): BIC = n log RSS n + p log(n). Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 20 / 31
  • 38.
    Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (2) Bestimmtheitsmaÿ: R 2= 1 − n i=1 (yi − yi )2 n i=1 yi − Y 2 = 1 − RSS TSS . Korrigiertes Bestimmtheitsmaÿ: R 2 a = 1 − RSS /(n − p) TSS /(n − 1) . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 21 / 31
  • 39.
    Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (2) Bestimmtheitsmaÿ: R 2= 1 − n i=1 (yi − yi )2 n i=1 yi − Y 2 = 1 − RSS TSS . Korrigiertes Bestimmtheitsmaÿ: R 2 a = 1 − RSS /(n − p) TSS /(n − 1) . Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 21 / 31
  • 40.
    Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (3) Mallows'Cp: Cp = RSS σ2 + 2p − n. Ziel ist ein Modell mit kleinem p und mit Cp ≤ p. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 22 / 31
  • 41.
    Modellwahl Modellwahlmethoden Modellwahlkriterien (3) Mallows'Cp: Cp = RSS σ2 + 2p − n. Ziel ist ein Modell mit kleinem p und mit Cp ≤ p. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 22 / 31
  • 42.
    Anwendungsbeispiel Gliederung 1 Solvency II QuantitativeAnforderungen Risiken 2 Modellwahl Lineare Modelle Modellwahlmethoden 3 Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Ergebnisse der Methoden 4 Fazit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 23 / 31
  • 43.
    Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang FunktionalerZusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
  • 44.
    Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang FunktionalerZusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
  • 45.
    Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang FunktionalerZusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
  • 46.
    Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang FunktionalerZusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
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    Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang FunktionalerZusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
  • 48.
    Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang FunktionalerZusammenhang Datensatz mit 5 000 Beobachtungen zur Verfügung gestellt von Milliman GmbH (Düsseldorf) 5 Risikotreiber ri : 1 Zinsniveau 2 Aktienperformance 3 Stornorate 4 Langlebigkeit 5 Sterblichkeit Gesucht: PVFP = f (r1, r2, r3, r4, r5) + . inklusive Interaktionen Konkret: 461 Variablen der Form ri1 1 ri2 2 ri3 i3 ri4 4 ri5 5 mit i1, . . . , i5 ≥ 0 und i1 + · · · + i5 ≤ 6. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 24 / 31
  • 49.
    Anwendungsbeispiel Ergebnisse derMethoden Vergleich der Ergebnisse Methode Güte (R2) Anzahl Variablen Leeres Modell 0 0 Komplettes Modell 0.8920 461 F-Test 5% Forward 0.8803 28 Backward 0.8796 25 Stepwise 0.8803 27 F-Test 1% Forward 0.8790 21 Backward 0.8784 21 Stepwise 1 0.8788 20 Stepwise 2 0.8790 20 AIC Forward 0.8810 37 Backward 0.8798 29 BIC Forward 0.8787 19 Backward 0.8784 20 Cp Forward 0.8844 141 Backward 0.8862 219 R2 a Forward 0.8898 336 Backward 0.8919 441 Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 25 / 31
  • 50.
    Anwendungsbeispiel Ergebnisse derMethoden Vergleich der Ergebnisse (2) Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 26 / 31
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    Fazit Gliederung 1 Solvency II QuantitativeAnforderungen Risiken 2 Modellwahl Lineare Modelle Modellwahlmethoden 3 Anwendungsbeispiel Funktionaler Zusammenhang Ergebnisse der Methoden 4 Fazit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 27 / 31
  • 52.
    Fazit Fazit Berechnung des PVFPin Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
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    Fazit Fazit Berechnung des PVFPin Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
  • 54.
    Fazit Fazit Berechnung des PVFPin Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
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    Fazit Fazit Berechnung des PVFPin Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
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    Fazit Fazit Berechnung des PVFPin Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
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    Fazit Fazit Berechnung des PVFPin Abhängigkeit von der Risikosituation Big Data Viele Möglichkeiten für Modellwahl: Drei verschiedene Vorgangsweisen: Forward, Backward, Stepwise Selection Zwei verschiedene Typen: testbasiert und kriterienbasiert Vielfalt an möglichen Kriterien Trade-o zwischen Passung und Einfachheit Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 28 / 31
  • 58.
    Fazit Fazit (2) All modelsare wrong, but some are useful. [...] Since all models are wrong the scientist cannot obtain a correct one by excessive elaboration. [...] he should seek an economical description of natural phenomena. [...] Since all models are wrong the scientist must be alert to what is importantly wrong. Box, George E. P.: Science and Statistics Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 29 / 31
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    Fazit Kontakt Benjamin Reichenwallner Fachbereich Mathematik UniversitätSalzburg Tel.: +43/662/8044-5308 Mail: benjamin.reichenwallner2@sbg.ac.at Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 30 / 31
  • 60.
    Fazit Literatur (Auszug) Akaike, Hirotugu:Information Theory and an Extension of the Maximum Likelihood Principle. In: Second International Symposium on Information Theory (Tsahkadsor, 1971). Budapest: Akadémiai Kiadó, 1973, S. 267281. Box, George E.P.: Science and Statistics. In: J. Amer. Statist. Assoc. 71 (1976), Nr. 356, S. 791-799. Europäisches Parlament und Rat: Solvency II Richtlinie 2009/138/EG. (2009). Faraway, Julian J.: Linear Models with R. Chapman Hall/CRC, 2005. Hörig, Mario; Leitschkis, Michael: Solvency II Proxy Modelling via Least Squares Monte Carlo. (2012) Geisser, Seymour; Eddy, William F.: A Predictive Approach to Model Selection. In: J. Amer. Statist. Assoc. 74 (1979), Nr. 365, S. 153160. Mallows, Colin L.: Some Comments on Cp. In: Technometrics 15 (1973), Nr. 4, S. 661675. Sen, Ashish; Srivastava, Muni: Regression Analysis. New York : Springer-Verlag, 1994. Stapleton, James H.: Linear Statistical Models. New York : John Wiley Sons Inc., 1995. Benjamin Reichenwallner Modellwahlverfahren 12. November 2014 31 / 31