bb

1. Perpangkatan dan bentuk akar
{ julius wilhelm richard dedekind lahir 3
oktober 1831 wafat 12 februari 1916 ))
Materi
A. Perpangkatan
Ex :
1. Perpangkatan
52
2. Bentuk perkalian
5 x 5
3. Nilai
25
B. Menyatakan perpangkatan dalam bentuk
perkalian berulang
Ex :
1. 54
= 5 x 5 x 5 x 5
2. ( - 2 )4
= ( -2 ) x (-2 ) x ( - 2 )
3. ( - 2 )4
= ( -2 ) x (-2 ) x ( - 2 ) x ( -2 )
4. (-
2
5
)4
= ( -
2
5
) x ( -
2
5
) x ( -
2
5
) x ( -
2
5
)
5. −(
1
2
)4
= - (
1
2
𝑥
1
2
𝑥
1
2
𝑥
1
2
)
6. (0,3 )2
= ( 0,3 ) x ( 0,3 )
7. ( - 0,3 )2
= ( - 0,3 ) x (- 0,3 )
8. ( 0,3 )3
= ( 0,3 ) x ( 0,3 ) x ( 0, 3 )
9. ( - 0,3 )3
= ( - 0,3 ) x ( - 0,3 ) x (- 0, 3 )
C. Menyatakan perkalian dalam
perpangkatan
Ex :
1. ( -2 ) x (-2 ) x ( - 2 ) = ( - 2 )3
2. y x y x y x y = 𝑦3
3. ( -
2
4
) x ( -
2
4
) x ( -
2
4
) x ( -
2
4
) = (-
2
4
)4
4. - (
1
2
𝑥
1
2
𝑥
1
2
) = −(
1
2
)3
5. r x r x 2 x 2 x 2 = 𝑟2
x 23
D. Menyatakan perkalian dalam bentuk
bilangan biasa
Ex :
 54
= 5 x 5 x 5 x 5
= 625
 ( - 2 )4
= ( -2 ) x (-2 ) x ( - 2 )
= -8
 ( - 2 )4
= ( -2 ) x (-2 ) x ( - 2 ) x ( -2 )
= 16
 (-
2
5
)4
= ( -
2
5
) x ( -
2
5
) x ( -
2
5
) x ( -
2
5
)
= (
16
625
)
 −(
1
2
)4
= - (
1
2
𝑥
1
2
𝑥
1
2
𝑥
1
2
)
= - (
1
16
)
 (0,3 )2
= ( 0,3 ) x ( 0,3 )
= 0,09
 ( - 0,3 )2
= ( - 0,3 ) x (- 0,3 )
= 0,09
 ( 0,3 )3
= ( 0,3 ) x ( 0,3 ) x ( 0, 3 )
= 0,027
 ( - 0,3 )3
= ( - 0,3 ) x ( - 0,3 ) x (- 0, 3 )
= - 0,027
E. Menentukan hasil dari perpangkatan /
operasi perpangkatan
Ex :
1. 3 + 2 x 52
=
3 + 2 x 52
= 3 + 2 x 25
= 3 + 50
= 53
2. 52
: 8 + 32
=
52
: 8 + 32
= 64 : 8 + 9
= 8 + 9
= 17
3. 9 : 3 x 42
=
9 : 3 x 42
= 9 : 3 x 16
= 3 x 16
= 48
4. (
1
8
)3
x 42
+
1
2
=
(
1
8
)3
x 42
+
1
2
=
1
512
x 16 +
1
2
=
16
512
+
1
2
=
1
32
+
1
2
=
1+16
32
=
17
32

2. 5.
1
2
( 63
- 42
) =
1
2
( 63
- 42
) =
1
2
( 216 – 16 )
=
1
2
( 200 )
= 100
6. (
1
4
)4
x (-
1
3
)2
=
(
1
4
)4
x (-
1
3
)3
=
1
256
x (-
1
27
)
= (−
1
6912
)
7. (
1
4
)4
: (
1
3
)2
=
(
1
4
)4
: (
1
3
)2
=
1
256
:
1
9
=
1
256
x
9
1
=
9
256
8. ( 64
- 44
) : 2 =
= (1296 - 256 ) : 2
= 1040 : 2
= 520
9. 8 + 3 x (-3 )4
=
8 + 3 x 81
8 + 243
251
10.8 + 3 x (-3 )3
8 + 3 x (- 81)
8 +(- 243 )
- 235
11.Tentukan nilai dari
 𝑝𝑛
+ ( -𝑝𝑛
) untuk p bilangan bulat n
bilangan asli genap
𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏
Misal p = 3 n = 2
32
+ ( -32
) = 9 + (- 9 )
= 0
 𝑝𝑛
+ ( -𝑝𝑛
) untuk p bilangan bulat n
bilangan asli ganjil
𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏
Misal p = 3 dan n = 3
33
+ ( -33
) = 27 + ( -27 )
= 0
F. Menyatakan perpangkatan dengan basis 2
1. 256 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =28
2. 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26
3. 512 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =
29
4.
1
8
=
1
2
x
1
2
x
1
2
= 2−3
G. Menyatakan perpangkatan dengan basis 5
1. 5 = 5 = 51
2. 625 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 54
3.
1
125
=
1
5
x
1
5
x
1
5
= 5−3
H. Menyatakan perpangkatan dengan basis 10
1. 100 = 10 x 10 = 102
2. 1.000 =10 x 10 x 10 = 103
3. 10. 000 = 10 x 10 x 10 x 10 = 104
4. 100.000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105
5. 1.000.000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
= 106
6.
1
1000
=
1
10
x
1
10
x
1
10
= 10−3
I. Menentukan nilai x ( eksponen ) pada
persamaan matematika
1. 7𝑥
= 343
7𝑥
= 7 x 7 x 7 = 343 = 73
Jadi x = 3
2. 2𝑥
= 64
2𝑥
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 = 26
Jadi x = 6
3. 10𝑥
= 10.000
10𝑥
= 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 = 104
Jadi x = 4
4. 4𝑥
=
1
64
4𝑥
=
1
4
x
1
4
x
1
4
x
1
4
=
1
64
=
1
44
𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑥 = 4
5. 4
𝑚
𝑛 = √43
2
𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑚 = 3 𝑑𝑎𝑛 𝑛 2

3. J. Operasi perpangkatan soal cerita
1. Dalam sebuah penelitihan seekor
amoeba berkembang baik dengan
membelah diri sebanyak 2 kali setiap
15 menit , berapa jumlah amoeba
selama satu hari dalam suatu
pengamatan terdapat 4 ekor amoeba
Jawab :
1 hari 24 jam
1 jam = 60 menit
1 jam : 15 menit = 4
Awal ada 4 amoeba setiap hari setiap
15 menit membela 2 kali jadi satu jam
membela sebanyak 4
Maka perkalian ulangnya
4 x 24
selama satu jam
Jika satu hari = 24 jam
4 x ( 𝟐𝟒
) 𝟐𝟒
Hasilnya 4 x 𝟐𝟗𝟔
Berapa jumlah amoeba diatas mula
mula sehingga dalam 1 jam terdapat
minimal 1.000 amoeba
Jawab
1 jam = 60
Jika membela setiap 15 menit 2 kali
amobe 60 : 15 = 4 jadi 24
jadi 1 jam mula mula amoeba 1000
1000 x 𝟐𝟒
2. Tim peneliti dari dinas kesehatan suatu
daerah di indonesia timur
menelitisuatuwabah yang sedang
berkembang di desa x . tim peneliti
tersebut menemukan fakta bahwawabah
berkembang disebabkan oleh virus yang
tengah berkembang di afrika . dari hasil
penelitihan didapatkan bahwavirus
tersebut dapat berkembang dengan
cara membelah diri menjadi 3 virus
setiap setengah jam dan menyerang
sistem kekebalan tubuh berapa jumlah
virus dalam tubuh manusia setelah 6
jam
Jawab
1 jam = 2 setengah jam
6 jam = 2 x 6 jam
Setiap 1/ 2 jam virus membelah 3
Jika 1 jam membelah 3 x 3
Maka virus membelah selama 6 jam
( 3 x 3 ) x 6
32
x 6
K. Operasi perkalian dalam perpangkatan
1. Operasi perkalian perpangkatan
dijadikan operasi perkalian berulang
a. 32
x 33
= ( 3 x 3 ) x ( 3 x 3 x 3 )
b. ( -3) 2
x (− 3) 3
= ( -3 ) x ( -3 ) x( -3 ) x
( -3 ) x ( -3 )
c. 𝑦2
x 𝑦3
= ( y x y ) x ( y x y x y )
d. 4,22
x 4,23
= ( 4,2 x 4,2 ) x ( 4,2, x
4,2 x 4,2 )
e. (
1
3
)2
x (
1
3
)5
= (
1
3
x
1
3
) x (
1
3
x
1
3
x
1
3
x
1
3
x
1
3
)
f. (-
1
3
)2
x (-
1
3
)5
= (-
1
3
x -
1
3
) x (
−
1
3
x −
1
3
x -
1
3
x -
1
3
x -
1
3
)
g. 53
x 33
= ( 5 x 5 ) x ( 3 x 3 x 3 )
h. ( 32
)3
= 32
x 32
x 32
= ( 3 x 3 ) x ( 3 x 3 ) x ( 3 x 3 )
= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
i. ( 𝑠2
)4
= 𝑠2
x 𝑠2
x 𝑠2
x 𝑠2
= ( s x s ) x ( s x s ) x ( s x s ) x ( s x s )
= s x s x s x s x s x s x s x s
2. Operasi perkalian perpangkatan
dijadikan perpangkatan
a. 32
x 33
= 32+3
= 35
b. ( -3) 2
x (− 3) 3
= (− 3) 2+3
=(− 3) 5
c. 𝑦2
x 𝑦3
= 𝑦2+5
=𝑦5
d. 4,22
x 4,23
= 4,22+3
= 4,25
e. (
1
3
)2
x (
1
3
)5
= (
1
3
)2+5
= (
1
3
)7
f. (-
1
3
)2
x (-
1
3
)5
=(-
1
3
)2+5
=(-
1
3
)7
g. 53
x 33
= (5𝑥 3 ) 3
= 153
h. ( 32
)3
= 32 𝑋 3
= 36
i. ( 𝑠2
)4
= 𝑠2 𝑥 4
= 𝑠8

4. L. Pemangkatan suatu perpangkatan
1. Pemangkatan pada suatu perkalian
bilangan dijadikan bentuk perkalian
berulang
a. (2 𝑥 3)3
= (2 𝑥 3) x (2 𝑥 3) x (2 𝑥 3)
= 2 𝑥 3 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 2 𝑥 3
= (2 𝑥 2 𝑥 2) x (3 𝑥 3 𝑥 3)
b. (𝑏 𝑥 𝑐)3
= (𝑏 𝑥 𝑐) x (𝑏 𝑥 𝑐) x (𝑏 𝑥 𝑐)
= 𝑏 𝑥 𝑐 𝑥 𝑏 𝑥 𝑐 𝑥 𝑏 𝑥 𝑐
= (𝑏 𝑥 𝑏 𝑥 𝑏) x (𝑐 𝑥 𝑐 𝑥 𝑐)
c. (2 𝑥 𝑡)3
= (2 𝑥 𝑡) x (2 𝑥 𝑡) x (2 𝑥 𝑡)
= 2 𝑥 𝑡 𝑥 2 𝑥 𝑡 𝑥 2 𝑥 𝑡
= (2 𝑥 2 𝑥 2) x (𝑡 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡)
2. Pemangkatan pada suatu perkalian
bilangan dijadikan bentuk perpangkatan
a. (2 𝑥 3)3
= 23
𝑥 33
b. (𝑏 𝑥 𝑐)3
= 𝑏3
𝑥 𝑐3
c. (2 𝑥 𝑡)3
= 23
𝑥 𝑡3
M. Perkalian dan perpangkatan
( kesimpulannya yaitu menjadi sifat
perkalian dalam perpangkatan )
a. Hasil kali dari perpangkatan dengan
basis yang sama
𝒂𝒎
x 𝒂𝒏
= 𝒂 𝒎+𝒏
contoh :
𝟑𝟐
x 𝟑𝟒
= 𝟑 𝟐+𝟒
= 𝟑𝟔
(−𝟑)𝟐
x (- 𝟑)𝟒
= (−𝟑) 𝟐+𝟒
= (−𝟑)𝟔
b. Hasil pemangkatan dari perpangkatan
dengan basis yang sama
( 𝒂𝒎
)𝒏
= 𝒂𝒎. 𝒏
Contoh : ( 𝟑𝟐
)𝟑
= 𝟑𝟐. 𝟑
= 𝟑𝟔
c. Hasil perpangkatan dari suatu perkalian
bilangan
( 𝒂𝒙 𝒃 )𝒎
= 𝒂𝒎
x 𝒃𝒎
atau ( 𝒂 . 𝒃 )𝒎
= 𝒂𝒎
. 𝒃𝒎
Contoh : ( 2 x 3 )4
= 24
x 34
d. Hasil kali dari perpangkatan dengan
basis yang tidak sama pangkat harus
sama jika tidak sama disamakan
𝒂𝒎
x 𝒃𝒎
= ( 𝒂𝒙 𝒃 )𝒎
Contoh :
24
x 34
= ( 2 x 3 )4
94
x 32
= ((92
)2
x 32
= (92
𝑥 3)2
9 x 42
= 32
x 42
= (3 x 4 )2
N. Menyederhanakan operasi perkalian pada
perpangkatan
1. Sederhanakan operasi pemangkatan
pada perpangakatn berikut ini
a. ( 4𝑦) 2
= 4y x 4y
= ( 4 x 4 ) x ( y x y )
= 16y
b. ( 𝑤𝑦) 3
= wy x wy x wy
= ( w x w x w ) x ( y x y x y )
= 𝑤3
𝑦3
c. 73
x 74
= 77
d. (
1
3
)3
x (
1
3
)5
= (
1
3
x
1
3
)8
= (
1
9
)8
e. t x 𝑡−1
= t x
1
𝑡
=
𝑡
𝑡
= 0
f. ( 32
)3
= 36
g. ( 𝑧2
)3
= 𝑧6
h. [ (
2
3
)3
]2
= (
2
3
)6
i. (−7)3
x (-7 )2
= (-7 )5
j. 4.( -2,5 )4
x .( -2,5 )3
= 4x (-2,5 )7
= -.104
k. 52
x (
2
5
)3
x (
2
5
)5
=
52
x (
2
5
)8
O. Perpangkatan pada pecahan
1. Perpangkatan pada pecahan dijadikan
perkalian berulang ulang
a. (
2
5
)3
=
2
5
x
2
5
𝑥
2
5
=
2 𝑥 2 𝑥 2
5 𝑥 5 𝑥 5
b. ( −
2
5
)3
= (−
2
5
) x (-
2
5
) 𝑥 ( −
2
5
)
= -
2 𝑥 2 𝑥 2
5 𝑥 5 𝑥 5
c. ( −
2
5
)4
= 9 −
2
5
) x (-
2
5
) 𝑥 (−
2
5
) x (−
2
5
)
=
2 𝑥 2 𝑥 2 𝑋 2
5 𝑥 5 𝑥 5 𝑋 5

5. 2. Perpangkatan pada pecahan dijadikan
bentuk pembagian pada perpangkatan
a. (
2
5
)3
=
23
53
b. ( −
2
5
)3
= -
23
53
c. ( −
2
5
)4
=
23
53
P. Pembagian pada perpangkatan
𝒂𝒎
: 𝒃𝒎
= 𝒂 𝒎−𝒏
atau
𝒂𝒎
𝒂𝒏
= 𝒂( 𝒎− 𝒏 )
1. pembagian perpangkatan dijadikan
perkalian berulang
a.
37
35 =
3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3
3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3
b.
(−3)2
(−3)3
=
(−3 ) 𝑥 (−3 ) 𝑥 (−3 )
(−3 ) 𝑥 (−3 )
c.
(−2,5)4
(−2,5)2
=
(−2,5 ) 𝑥 (−2,5 ) 𝑥 (−2,5 ) 𝑥 (−2,5 )
(−2,5 ) 𝑥 (−2,5 )
d.
(2,5)4
(2,5)2
=
(2,5 ) 𝑥 (2,5 ) 𝑥 (2,5 ) 𝑥 (2,5 )
(2,5 ) 𝑥 (2,5 )
2. pembagian pada perpangkatan
a.
37
35 = 37−5
= 32
b.
(−3 )7
(−3)5 = 37−5
= (−3)2
c.
𝑥7
𝑥5 = 𝑥7−5
= 𝑥2
d. (
3
3
)3
=
33
33 = 33−3
= 30
= 1
3. Menyederhanakan operasi pada
perpangkatan pada pecahan
a.
33𝑥 38
35
=
33+8
35
=
311
35
= 311−5
= 36
b.
𝑏8
𝑏5
𝑥
𝑏7
𝑏5
= 𝑏8−5
x 𝑏7−5
= 𝑏3+2
=𝑏5
c.
(−2,3 )10
(−2,3 )2 𝑥 (−2,3 )3 =
(−2,3 )10
(−2,3 )5
(−2,3 )10−5
= (−2,3 )5
d.
(
2
5
)9
(
2
5
)5
= (
2
5
)9−5
=(
2
5
)4
4. Berdasarkan data BPS tahun 2012,
jumlah penduduk pulau jawa mencapai
130 juta jiwa ( melalui proses
pembulatan ) sedangkan luas pulau jawa
1,3 x 105
𝑘𝑚2
berapa kah kepadatan
penduduk pulau jawa 2010
Diket
- Penduduk pulau jawa 130 juta jiwa =
130.000.000 = 1,3 x x 108
jiwa
- Luas pulau jawa = 1,3 x x 105
jiwa
Kepadatan penduduk =
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘
𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑟𝑒𝑎
1,3 x 108
1,3 x 105 =
1,3
1,3
x
108
105
= 1x 108−5
= 1 𝑥 103
= 1000
5.
Q.Soal soal
1. Tulislah bentuk perpangkatan
paling sederhana
 𝑤3
𝑥 𝑥4
=
 𝑦2
𝑥 2𝑦7
𝑥 ( 3𝑦)2
=
 b x 2𝑦2
x 𝑏3
x 𝑦2
 𝟑𝑚2 𝑥
( 𝑚𝑛 )2
 ( 𝑡𝑛3
)4
𝑥 4𝑡2
 ( 3𝑥2
) 𝑥 3(𝑥2
𝑦2
)3
𝑥 5𝑦4
2. Tentukan nilai dari
perpangkatan berikut
 33
𝑥 2 𝑥 37
 ( 22
𝑥 16) + 60

13
2
𝑥 (( −
1
2
)3
)4

6. 3. Nyatakanperpangkatan
berikut dalam bentuk paling
sederhana
a. 43
𝑥 26
b. ( 32
)5
𝑥 35
c. 4 𝑥 34
𝑥 5 𝑥 34
d. ( −125 )𝑥 ( −5)6
4. Nyatakan bilangan dibawah ini
dalam bentuk yang memuat
perpangkatan dengan basis 2
a. 64
b. 20
c. 100
d.
128
3
5. Tentukan nilai x yang
memenuhi persamaan berikut
ini
a. ( 3𝑥
)𝑥
= 81
b.
1
64
x 4𝑥
𝑥 2𝑥
= 64
6. Sederhanakan perpangkatan
berikut ini
𝑎.
27
𝑥 67
47
=
𝑏.
67
𝑥 33
27
=
𝑐.
106
𝑥 42
253
𝑥 83
=
𝑑.
215
92
: (
7
2
)2
𝑒
55
55
𝑥 55
𝑓.
37
𝑥 32
33
7. Sederhanakan bentuk aljabar
berikut ini
a.
(−𝑦 )7
(−𝑦)5
b.
(
1
𝑡
)7
(
1
𝑡
)3
c.
3𝑚7
𝑚3
d.
43𝑦8
12𝑦5
e.
3𝑤4
𝑤2 𝑥 5𝑤3
f.
(
1
𝑡
)7
(
1
𝑡
)3
x
(
1
𝑡
)3
(
1
𝑡
)2
8. Sederhanakan
a.
0,24 𝑥 0,22
0,25
b.
−55
(−5)2 𝑥 (−5)2
c. 12 +
47
46
d.
45
44 −
24
23 𝑥 6
e.
3 𝑥 54
53 − 15
9. Dapatkan nilai n dari
pembagian pada
oerpangkatan dibawah ini
a.
𝑠2
𝑠4 𝑥
𝑠9
𝑠3 = 𝑠𝑛
b.
36
32 = 𝑛 𝑥 9

7. R.