Matemáticas para las ciencias y artes: Presentación de matrices

1. Presentación de matrices
M
a
t
e
m
á
t
i
c
a
s
p
a
r
a
l
a
s
c
i
e
n
c
i
a
s
y
a
r
t
e
s
A
l
u
m
n
o
:
D
u
l
c
e
M
a
r
í
a
M
a
n
z
o
M
a
t
r
i
c
u
l
a
:
xxxxxxxx
L
i
c
e
n
c
i
a
t
u
r
a
:
D
i
s
e
ñ
o
G
r
a
f
i
c
o
L
u
g
a
r
y
f
e
c
h
a
:
xxxxxxx
1
0
/
A
b
r
i
l
/
2
0
2
2

2. 1. Matrices
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de
datos (llamados elementos) ordenados en filas y
columnas, donde una fila es cada una de las
líneas horizontales de la matriz y una columna es
cada una de las líneas verticales. A una matriz con
m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-
n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la
matriz.
¿Para que se utilizan?
para describir sistemas de ecuaciones lineales, y
registrar los datos que dependen de varios
parámetros, también son utilizados en el mundo
de la computación, programación y robótica

3. 1. Matrices
Matriz fila:
La que consta de una sola fila: matrices y determinantes
Matriz columna:
La que consta de una columna:
Matriz cuadrada:
La que tiene tantas filas como columnas:
Matriz rectangular:
La que tiene distinto número de filas que de columnas:
Matriz traspuesta:
La que se obtiene a partir de otra pero que tiene las
filas por columnas. Se representa con una t o T. Fíjate
bien en el ejemplo:

4. 1. Matrices
Matriz nula/matriz cero:
La que todos sus elementos son iguales a cero:
La matriz opuesta a otra es la que obtiene al cambiar
de signo a cada uno de sus elementos. Por supuesto,
su nombre aparecerá con el signo opuesto:
Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada, es igual a
su traspuesta. Si se cambia las filas de la matriz H
por columnas obtienes su traspuesta HT.
Matriz antisimétrica:
Se trata de una matriz cuadrada que es igual a la
opuesta de la traspuesta.Todos los elementos de la
diagonal principal han de ser iguales a cero.
Matriz escalonada:
Se dice que una matriz es escalonada cuando al
principio de una fila hay un cero más que en la fila
anterior:

5. 1. Matrices
Matriz diagonal:
Es la que todos sus elementos, excepto los que
componen su diagonal principal son nulos o ceros:
Matriz identidad:
Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los
que componen su diagonal principal que han de ser
iguales a 1:
Matriz identidad:
Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los
que componen su diagonal principal que han de ser
iguales a 1:
Matriz triangular superior:
Es la que todos los elementos por debajo de la
diagonal principal son nulos:
Matriz triangular inferior:
Es la que todos los elementos por encima de la
diagonal principal son nulos:

6. 2. Notación y dimensiones de matrices
La notación común para las matrices utiliza una letra negrita para la
matriz, e identifica sus elementos en términos de filas y columnas de
la matriz. Los elementos normalmente se especifican por subíndices
arc con el subíndice de fila (r) primero.
Una notación abreviada para las matrices es
Dimensiones de una matriz
Las dimensiones de una matriz son el número de renglones por el
número de columnas. Si una matriz tiene a renglones y b columnas, es
una matriz a × b . Por ejemplo, la primer matriz mostrada a
continuación es una matriz 2 × 2; la segunda es una matriz 1 × 4; y la
tercera es una matriz 3 × 3.

7. 3. Interpretación geométrica de las
matrices
Interpretacion geometrica del metodo de cramer
matriz A, cuyas columnas representaban los nuevos ejes coordenados. Al multiplicar cada una de esas columnas por un
numero y sumar entre ellas, se deberá de obtener el vector de coeficientes, denominado usualmente por b. Resolver un
sistema de ecuaciones es básicamente encontrar como encadenar una serie de vectores para llegar al punto que señala
el vector b. Estos vectores a encadenar son las columnas de A, mientras que las incógnitas (x,y,z) son la multiplicidad con
la que aparecen.
El metodo de Cramer dice que si D es el determinante de A y D1 es el determinante de haber sustituido un vector columna
ax por la columna b, entonces la incognita X vale D1/D, es decir X=D1/D.
En dos dimensiones
Representando los vectores implicados (dentro de los rectangulos) en el plano:
X e Y son las veces que han de multiplicarse los vectores de la matriz para dar el vector azul:
Utilizando el metodo de Cramer para resolver Y. Como se vio anteriormente el determinante D es el área que ocupan los
vectores verde y rojo. Mientras que el determinante D1 es el area que ocupan los vectores rojo y azul. En la siguiente
figura se representan la mitad de cada una de estas areas para simplificar.
Se ve que mientras se necesitan 2 areas D1 para llenar todo el cuadrado, hacen falta 8 areas D para llenar la misma
superficie. Siendo por tanto D1/D = 4. En general el factor entre ambas areas sera igual al numero de veces que tendra
que aparecer el vector verde (la incognita Y) para construir el vector azul (vector de coeficientes).

8. 4. Determinante de una matriz
El determinante de una matriz siempre es un número real y únicamente lo podremos
calcular para matrices cuadradas.
Los elementos en los determinantes se colocan entre dos rayas verticales y el nombre
también:
Es una simple resta de números: producto de los elementos de la diagonal principal
menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria:
Ejemplo:
Aplicaciones:
• Resolución de sistemas de ecuaciones a través de Determinantes.
• Encontrar si una matriz es invertible. Ya que si una matriz M no tiene determinante,
entonces M no es invertible.
• Saber si un conjunto de n vectores es linealmente dependiente.

9. 5. Matrices cuadradas
Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir
su dimensión es (nxn).
Aplicaciones:
La matriz cuadrada es la base de muchos otros tipos de matrices como la matriz identidad,
la matriz triangular, la matriz inversa y la matriz simétrica. Además, también es la base para
operaciones complejas como la descomposición de Cholesky o la descomposición LU,
ambas muy utilizadas en finanzas.
La utilización de matrices en econometría facilita muchos los cálculos cuando las
regresiones lineales son regresiones lineales múltiples. En estos casos, todas las variables
y coeficientes pueden expresarse en forma matricial y ayudan en la comprensión del
estudio.

10. 6. Vectores y su relación con matrices
Cuando realizamos operaciones de vectores, más que todo cuando es una combinación
de vectores, la mejor manera en que un vector tiene dicha relación, es debido a que yo
tengo mi vector 𝑥=(𝑢1,𝑢2,𝑢3....,𝑢𝑛) en 𝑅𝑛 y con ello, yo puedo usar mis vectores, como
vector renglón de la matriz renglón, supongamos:
Tengo un vector : 𝑥=(𝑢1,𝑘1,𝑐1,𝑝1), de los cuales puedo formar otros vectores de los cuales
me representan una matriz así:
Y es esto lo que hace que una matriz podamos verla renglón por renglón como un grupo
de vectores, que conforman la forma de una matriz.

11. 7. Operaciones con matrices
Las operaciones con matrices son:
La suma: La suma de matrices es una operación lineal que consiste en unificar los
elementos de dos o más matrices que coincidan en posición dentro de sus respectivas
matrices y que estas tengan el mismo orden. Ejemplo:
La resta: Operación lineal que consiste en sustraer los elementos de dos o más
matrices que coincidan en posición dentro de sus respectivas matrices y que estas
tengan el mismo orden. Ejemplo:

12. 7. Operaciones con matrices
Las operaciones con matrices son:
La división: No se pueden dividir 2 matrices pero si
una matriz por un numero excepto 0
Multiplicación: es condición indispensable que el
número de columnas de A sea igual al número de
filas de B.
Dos matrices A y B son multiplicables si el número
de columnas de A coincide con el número de filas
de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p

13. 8. Trasposición
Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por
columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.
Aplicaciones:
En econometría encontramos trasposiciones cuando expresamos las matrices en forma cuadrática.
Asimismo, la fórmula del estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) en forma matricial:

14. 9. Multiplicación por un escalar
El término multiplicación escalar se refiere al producto de un número real por una matriz. En la
multiplicación escalar, cada entrada en la matriz se multiplica por el escalar dado.
Para obtener 2A, simplemente multiplica cada elemento de la matriz por 2:

15. 10. Multiplicación de dos matrices
Para calcular una multiplicación de matrices se deben multiplicar las filas de la matriz de la izquierda por
las columnas de la matriz de la derecha.
Vamos a ver el procedimiento de cómo hacer la multiplicación de dos matrices con un ejemplo:
=

16. 11. Multiplicación de un vector y una matriz
Cuando multiplicamos una matriz por un vector, es necesario que el número de filas del vector coincida
con el número de columnas de la matriz. Si no es así, la multiplicación no está definida..
Por ejemplo:

17. 12. Vectores renglón vs vectores columna
Vector renglón de n componentes
Un vector renglón de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números escritos de la
siguiente manera:
Vector columna de n componentes
Un vector columna de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números escritos de la
siguiente manera:

18. Conclusiones
Una matriz es una tabla de números en cantidades abstractas que pueden sumarse, restarse, multiplicarse y en
ocasiones dividirse y son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento y manejo de datos.
Se puede aplicar a todos los aspectos de la vida e incluso para aprender sobre otros temas educativos y otras
carreras como arquitectura. Son utilizadas principalmente en problemas matemáticos, física, cálculos lineales,
se usan como contenedores para almacenar datos como, por ejemplo, medicamentos, sistema de aguas,
finanzas, tablas nutricionales, en el lenguaje de programación, además de ayudar en diminución de costos,
memoria física o trabajo humano.

19. Referencias
• Aulafacil.com. 2022. Curso Gratis de Matrices y Determinantes. [online] Available at:
<https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/matrices-y-determinantes-t671> [Accessed 10 April 2022].
• Varsitytutors.com. 2022. Dimensiones de una matriz. [online] Available at:
<https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/matrix-
dimensions#:~:text=Las%20dimensiones%20de%20una%20matriz,una%20matriz%203%20%C3%97%203.> [Accessed 10 April 2022].
• Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. 2022. Matrices. [online] Available at: <http://hyperphysics.phy-
astr.gsu.edu/hbasees/Math/matrix.html#:~:text=La%20notaci%C3%B3n%20com%C3%BAn%20para%20las,de%20fila%20(r)%20primero.>
[Accessed 10 April 2022].
• Azcorra, I., 2012. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ E INTERPRETACIÓN DEL METODO DE CRAMER.
[online] Ministerioteescucha.blogspot.com. Available at: <https://ministerioteescucha.blogspot.com/2012/11/interpretacion-geometrica-
del.html> [Accessed 10 April 2022].
• DELSOL, S., 2022. ▷ Determinante de una matriz ¿Qué es y cómo se obtiene?. [online] Sdelsol.com. Available at:
<https://www.sdelsol.com/glosario/determinante-de-una-
matriz/#:~:text=El%20determinante%20de%20una%20matriz%20siempre%20es%20igual%20al%20de,combinaci%C3%B3n%20lineal%20d
e%20las%20dem%C3%A1s.> [Accessed 10 April 2022].
• Paula Rodó, 06 de agosto, 2019. Matriz cuadrada. Economipedia.com
• Rendón, M., 2020. ¿Qué relación tienen los vectores con las matrices?. [online] Quora. Available at: <https://es.quora.com/Qu%C3%A9-
relaci%C3%B3n-tienen-los-vectores-con-las-matrices> [Accessed 10 April 2022].
• Diccionario de Matemáticas | Superprof. 2022. multiplicación de matrices - Diccionario de Matemáticas | Superprof. [online] Available at:
<https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/algebralineal/multiplicacion-matrices.html> [Accessed 10 April 2022].
• Khan Academy. 2022. Multiplicar matrices por escalares (artículo) | Khan Academy. [online] Available at:
<https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:matrices/x9e81a4f98389efdf:multiplying-matrices-by-
scalars/a/multiplying-matrices-by-
scalars#:~:text=El%20t%C3%A9rmino%20multiplicaci%C3%B3n%20escalar%20se,multiplica%20por%20el%20escalar%20dado.>
[Accessed 10 April 2022].
• Algebralineal.jcbmat.com. 2022. Vectores y matrices. [online] Available at: <https://www.algebralineal.jcbmat.com/id32.htm> [Accessed
10 April 2022].