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Wissensrepr¨sentation
           a
Prof. Dr. Nebel, Dr. W¨lfl
                      o                                    Universit¨t Freiburg
                                                                     a
M. Helmert, M. Ragni                                     Institut f¨r Informatik
                                                                   u
WS 2005/2006

                    ¨
                    Ubungsblatt 9 — L¨sungen
                                     o
Aufgabe 9.1 (Realisierung)
Betrachten Sie die Beispiel-TBox und -ABox aus der Vorlesung (Kapitel 11,
Folie 3) und die zugeh¨rige Klassifikationshierarchie (Kapitel 11, Folie 18). Die
                       o
Realisierung (Folie 23) eines Objektes a in der ABox besteht aus den am meisten
spezialisierten Konzepten C der TBox, f¨r die a : C gilt.
                                          u

 (a) Bestimmen Sie die Realisierung von DIANA, ELIZABETH, CHARLES, EDWARD,
     ANDREW und WILLIAM (nur Ergebnisse, keine Beweise).
     L¨sung:
      o

        • DIANA: Mother-without-daughter
        • ELIZABETH: Mother-with-many-children
        • CHARLES: Man
        • EDWARD: Man
        • ANDREW: Man
        • WILLIAM: Male

     Anmerkung: Aus der ABox geht zwar hervor, dass CHARLES ein Kind hat,
     nicht aber, dass dieses menschlich ist. Daher k¨nnen wir nicht folgern, dass
                                                    o
     er ein Vater ist. Somit folgt auch nicht, dass ELIZABETH eine Großmutter
     ist.

 (b) Um die Realisierung eines Objektes algorithmisch zu bestimmen, muss
     eine Menge von Aussagen der Art a : C folgt aus der Wissensbasis“ und
                                        ”
      a : C folgt nicht aus der Wissensbasis“ bewiesen werden. Geben Sie eine
     ”
     minimale Menge solcher Aussagen an, mit denen Ihr Ergebnis aus Teil (a)
     bewiesen werden k¨nnte. (Sie d¨rfen dabei die Klassifikationshierarchie als
                         o          u
     bereits bewiesen ansehen.)
     L¨sung:
      o
     Wir schreiben T , A |= a : C um zu notieren, dass aus der Wissensbasis
     (TBox und ABox) die Aussage a : C folgt und T , A |= a : C um zu
     notieren, dass sie nicht folgt. Dann m¨ssten wir beweisen:
                                           u

        • F¨r a = DIANA:
           u
          T , A |= a : Mother-without-daughter,
          T , A |= a : Mother-with-many-children,
          T , A |= a : Grandmother,
          T , A |= a : Male


                                       1
• F¨r a = ELIZABETH:
           u
          T , A |= a : Mother-with-many-children,
          T , A |= a : Mother-without-daughter,
          T , A |= a : Grandmother,
          T , A |= a : Male
        • F¨r a ∈ {CHARLES, EDWARD, ANDREW}:
           u
          T , A |= a : Man,
          T , A |= a : Female,
          T , A |= a : Parent
        • F¨r a = WILLIAM:
           u
          T , A |= a : Male,
          T , A |= a : Female,
          T , A |= a : Living Entity

Aufgabe 9.2 (Beschreibungslogik ALC)
Ein Fleischfresser ist ein Lebewesen, das andere Lebewesen isst. Ein Vegetarier
ist ein Lebewesen, das keine anderen Lebewesen isst. Ein Meta-Vegetarier ist
ein Lebewesen, das keine Fleischfresser isst.
 (a) Geben Sie eine TBox in der Beschreibungslogik ALC an, die die drei Kon-
     zepte Carnivore, Vegetarian und MetaVegetarian definiert. Normalisie-
     ren und entfalten Sie die TBox und ubersetzen Sie sie in Negationsnor-
                                         ¨
     malform (falls n¨tig).
                     o
     L¨sung:
      o
     Die Konzepte sind wie folgt definiert:
                                 .
                       Carnivore = Being        ∃eats.Being
                                 .
                      Vegetarian = Being        ¬∃eats.Being
                                 .
                  MetaVegetarian = Being        ¬∃eats.Carnivore

     Alle Konzepte sind bereits normalisiert, die ersten beiden Konzepte sind
     bereits entfaltet. Wir entfalten das dritte Konzept:
                           .
                 Carnivore = Being         ∃eats.Being
                           .
                Vegetarian = Being         ¬∃eats.Being
                           .
            MetaVegetarian = Being         ¬∃eats.(Being   ∃eats.Being)

     Das erste Konzept ist bereits in Negationsnormalform, die anderen beiden
     noch nicht. Wir stellen die Normalform her:
                          .
                Carnivore = Being          ∃eats.Being
                          .
               Vegetarian = Being          ∀eats.¬Being
                          .
           MetaVegetarian = Being          ∀eats.(¬Being   ∀eats.¬Being)

 (b) F¨hren Sie die folgenden Aussagen (bezogen auf die TBox in Teil (a))
      u
     auf Erf¨llbarkeitsaussagen zur¨ck und beweisen oder widerlegen Sie sie
             u                     u
     mithilfe des Tableau-Algorithmus f¨r ALC:
                                       u

                                       2
• Vegetarian    MetaVegetarian
 L¨sung:
  o
 Im Folgenden k¨rzen wir das Konzept Being mit B und die Rolle
                 u
 eats mit e ab.
 Die Aussage ist genau dann wahr, wenn das Konzept Vegetarian
 ¬MetaVegetarian in der gegebenen TBox unerf¨llbar ist. Entfaltet
                                              u
 ergibt sich das Konzept (B ∀e.¬B) ¬(B ∀e.(¬B ∀e.¬B)), in
 Negationsnormalform also (B ∀e.¬B) (¬B ∃e.(B ∃e.B)).
 Der Tableau-Algorithmus ergibt:

                x : (B   ∀e.¬B)      (¬B      ∃e.(B    ∃e.B))

                             x:B       ∀e.¬B

                         x : ¬B     ∃e.(B     ∃e.B)

                                    x:B

                                  x : ∀e.¬B

                    x : ¬B              x : ∃e.(B      ∃e.B)

                                                xey

                                            y:B       ∃e.B

                                                y : ¬B

                                               y:B

 Das Constraint-System ist nicht erf¨llbar, die Aussage Vegetarian
                                    u
 MetaVegetarian ist also wahr.

• MetaVegetarian     Vegetarian
 L¨sung:
  o
 Die Aussage gilt genau dann, wenn MetaVegetarian ¬Vegetarian
 in der gegebenen TBox unerf¨llbar ist. Entfaltet ergibt sich das Kon-
                            u
 zept (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) ¬(B ∀e.¬B), in Negationsnormalform
 also (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) (¬B ∃e.B).
 Der Tableau-Algorithmus ergibt:




                             3
x : (B     ∀e.(¬B       ∀e.¬B))       (¬B     ∃e.B)

                         x:B      ∀e.(¬B       ∀e.¬B)

                                 x : ¬B     ∃e.B

                                      x:B

                          x : ∀e.(¬B        ∀e.¬B)

                        x : ¬B                 x : ∃e.B

                                                xey

                                                y:B

                                          y : ¬B    ∀e.¬B)

                                 y : ¬B               y : ∀e.¬B
 Das Constraint-System ist erf¨llbar, die Aussage MetaVegetarian
                              u
 Vegetarian ist also falsch. Aus dem Tableau ergibt sich das Gegen-
 beispiel {x : Being, y : Being, (x, y) : eats}, f¨r das zwar gilt
                                                    u
 x : MetaVegetarian, aber nicht x : Vegetarian.

• MetaVegetarian        Carnivore
 L¨sung:
  o
 Die Aussage gilt genau dann, wenn MetaVegetarian ¬Carnivore in
 der gegebenen TBox unerf¨llbar ist. Entfaltet ergibt sich das Konzept
                          u
 (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) ¬(B ∃e.B), in Negationsnormalform also
 (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) (¬B ∀e.¬B).
 Der Tableau-Algorithmus ergibt:

               x : (B    ∀e.(¬B        ∀e.¬B))       (¬B    ∀e.¬B)

                          x:B         ∀e.(¬B       ∀e.¬B)

                                 x : ¬B     ∀e.¬B

                                        x:B

                            x : ∀e.(¬B         ∀e.¬B)

                        x : ¬B                 x : ∀e.¬B
 Das Constraint-System ist erf¨llbar, die Aussage MetaVegetarian
                               u
 Carnivore ist also falsch. Aus dem Tableau ergibt sich das Gegenbei-
 spiel {x : Being}, f¨r das zwar gilt x : MetaVegetarian, aber nicht
                     u
 x : Carnivore.



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  • 1. Wissensrepr¨sentation a Prof. Dr. Nebel, Dr. W¨lfl o Universit¨t Freiburg a M. Helmert, M. Ragni Institut f¨r Informatik u WS 2005/2006 ¨ Ubungsblatt 9 — L¨sungen o Aufgabe 9.1 (Realisierung) Betrachten Sie die Beispiel-TBox und -ABox aus der Vorlesung (Kapitel 11, Folie 3) und die zugeh¨rige Klassifikationshierarchie (Kapitel 11, Folie 18). Die o Realisierung (Folie 23) eines Objektes a in der ABox besteht aus den am meisten spezialisierten Konzepten C der TBox, f¨r die a : C gilt. u (a) Bestimmen Sie die Realisierung von DIANA, ELIZABETH, CHARLES, EDWARD, ANDREW und WILLIAM (nur Ergebnisse, keine Beweise). L¨sung: o • DIANA: Mother-without-daughter • ELIZABETH: Mother-with-many-children • CHARLES: Man • EDWARD: Man • ANDREW: Man • WILLIAM: Male Anmerkung: Aus der ABox geht zwar hervor, dass CHARLES ein Kind hat, nicht aber, dass dieses menschlich ist. Daher k¨nnen wir nicht folgern, dass o er ein Vater ist. Somit folgt auch nicht, dass ELIZABETH eine Großmutter ist. (b) Um die Realisierung eines Objektes algorithmisch zu bestimmen, muss eine Menge von Aussagen der Art a : C folgt aus der Wissensbasis“ und ” a : C folgt nicht aus der Wissensbasis“ bewiesen werden. Geben Sie eine ” minimale Menge solcher Aussagen an, mit denen Ihr Ergebnis aus Teil (a) bewiesen werden k¨nnte. (Sie d¨rfen dabei die Klassifikationshierarchie als o u bereits bewiesen ansehen.) L¨sung: o Wir schreiben T , A |= a : C um zu notieren, dass aus der Wissensbasis (TBox und ABox) die Aussage a : C folgt und T , A |= a : C um zu notieren, dass sie nicht folgt. Dann m¨ssten wir beweisen: u • F¨r a = DIANA: u T , A |= a : Mother-without-daughter, T , A |= a : Mother-with-many-children, T , A |= a : Grandmother, T , A |= a : Male 1
  • 2. • F¨r a = ELIZABETH: u T , A |= a : Mother-with-many-children, T , A |= a : Mother-without-daughter, T , A |= a : Grandmother, T , A |= a : Male • F¨r a ∈ {CHARLES, EDWARD, ANDREW}: u T , A |= a : Man, T , A |= a : Female, T , A |= a : Parent • F¨r a = WILLIAM: u T , A |= a : Male, T , A |= a : Female, T , A |= a : Living Entity Aufgabe 9.2 (Beschreibungslogik ALC) Ein Fleischfresser ist ein Lebewesen, das andere Lebewesen isst. Ein Vegetarier ist ein Lebewesen, das keine anderen Lebewesen isst. Ein Meta-Vegetarier ist ein Lebewesen, das keine Fleischfresser isst. (a) Geben Sie eine TBox in der Beschreibungslogik ALC an, die die drei Kon- zepte Carnivore, Vegetarian und MetaVegetarian definiert. Normalisie- ren und entfalten Sie die TBox und ubersetzen Sie sie in Negationsnor- ¨ malform (falls n¨tig). o L¨sung: o Die Konzepte sind wie folgt definiert: . Carnivore = Being ∃eats.Being . Vegetarian = Being ¬∃eats.Being . MetaVegetarian = Being ¬∃eats.Carnivore Alle Konzepte sind bereits normalisiert, die ersten beiden Konzepte sind bereits entfaltet. Wir entfalten das dritte Konzept: . Carnivore = Being ∃eats.Being . Vegetarian = Being ¬∃eats.Being . MetaVegetarian = Being ¬∃eats.(Being ∃eats.Being) Das erste Konzept ist bereits in Negationsnormalform, die anderen beiden noch nicht. Wir stellen die Normalform her: . Carnivore = Being ∃eats.Being . Vegetarian = Being ∀eats.¬Being . MetaVegetarian = Being ∀eats.(¬Being ∀eats.¬Being) (b) F¨hren Sie die folgenden Aussagen (bezogen auf die TBox in Teil (a)) u auf Erf¨llbarkeitsaussagen zur¨ck und beweisen oder widerlegen Sie sie u u mithilfe des Tableau-Algorithmus f¨r ALC: u 2
  • 3. • Vegetarian MetaVegetarian L¨sung: o Im Folgenden k¨rzen wir das Konzept Being mit B und die Rolle u eats mit e ab. Die Aussage ist genau dann wahr, wenn das Konzept Vegetarian ¬MetaVegetarian in der gegebenen TBox unerf¨llbar ist. Entfaltet u ergibt sich das Konzept (B ∀e.¬B) ¬(B ∀e.(¬B ∀e.¬B)), in Negationsnormalform also (B ∀e.¬B) (¬B ∃e.(B ∃e.B)). Der Tableau-Algorithmus ergibt: x : (B ∀e.¬B) (¬B ∃e.(B ∃e.B)) x:B ∀e.¬B x : ¬B ∃e.(B ∃e.B) x:B x : ∀e.¬B x : ¬B x : ∃e.(B ∃e.B) xey y:B ∃e.B y : ¬B y:B Das Constraint-System ist nicht erf¨llbar, die Aussage Vegetarian u MetaVegetarian ist also wahr. • MetaVegetarian Vegetarian L¨sung: o Die Aussage gilt genau dann, wenn MetaVegetarian ¬Vegetarian in der gegebenen TBox unerf¨llbar ist. Entfaltet ergibt sich das Kon- u zept (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) ¬(B ∀e.¬B), in Negationsnormalform also (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) (¬B ∃e.B). Der Tableau-Algorithmus ergibt: 3
  • 4. x : (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) (¬B ∃e.B) x:B ∀e.(¬B ∀e.¬B) x : ¬B ∃e.B x:B x : ∀e.(¬B ∀e.¬B) x : ¬B x : ∃e.B xey y:B y : ¬B ∀e.¬B) y : ¬B y : ∀e.¬B Das Constraint-System ist erf¨llbar, die Aussage MetaVegetarian u Vegetarian ist also falsch. Aus dem Tableau ergibt sich das Gegen- beispiel {x : Being, y : Being, (x, y) : eats}, f¨r das zwar gilt u x : MetaVegetarian, aber nicht x : Vegetarian. • MetaVegetarian Carnivore L¨sung: o Die Aussage gilt genau dann, wenn MetaVegetarian ¬Carnivore in der gegebenen TBox unerf¨llbar ist. Entfaltet ergibt sich das Konzept u (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) ¬(B ∃e.B), in Negationsnormalform also (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) (¬B ∀e.¬B). Der Tableau-Algorithmus ergibt: x : (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) (¬B ∀e.¬B) x:B ∀e.(¬B ∀e.¬B) x : ¬B ∀e.¬B x:B x : ∀e.(¬B ∀e.¬B) x : ¬B x : ∀e.¬B Das Constraint-System ist erf¨llbar, die Aussage MetaVegetarian u Carnivore ist also falsch. Aus dem Tableau ergibt sich das Gegenbei- spiel {x : Being}, f¨r das zwar gilt x : MetaVegetarian, aber nicht u x : Carnivore. 4