formelsammlung-zusammenfassung-grundlagen-der-fahrzeugtechnik.pdf

by IfF
Grundlagen der Fahrzeugtechnik
Formelsammlung*
*) ohne Anspruch auf Vollständigkeit
Heruntergeladen durch Atef Naz (atefnazer2015@gmail.com)
lOMoARcPSD|490333

by IfF
1. Längsdynamik
2. Querdynamik
3. Vertikaldynamik
2
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Parameter
FzV,stat [N]: statische Achslast an der Vorderachse
FzH,stat [N]: statische Achslast an der Hinterachse
ΔFz,dyn [N]: dynamische Achslaständerung
g [m/s²]: Erdbeschleunigung
G [N]: Gewichtskraft des Fahrzeugs
h [m]: Schwerpunkthöhe
HU [kWh/l]: unterer Heizwert des Kraftstoffs
i = iG iAG [-]: Übersetzung des gesamten Triebstrangs
iAG [-]: Achsgetriebeübersetzung
iAWD [-]: Allradübersetzung
iB [-]: Bremskraftverhältnis
iG [-]: Getriebeübersetzung
JRad [kgm²]: Massenträgheitsmomente mit Raddrehzahl
JG [kgm²]: Massenträgheitsmomente mit
Getriebeausgangsdrehzahl
JMot [kgm²]: Massenträgheitsmomente mit Motordrehzahl
Jr [kgm²]: auf Radebene reduziertes Massenträgheits-
moment von Antrieb und Fahrwerk
l [m]: Radstand
s [m]: zurückgelegte Strecke
lV [m]: Schwerpunktrücklage
lH [m]: Schwerpunktvorlage
m [kg]: Masse des Fahrzeugs
mr [kg]: reduzierte „translatorische“ Masse in Folge der
Massenträgheitsmomente in Antrieb und
Fahrwerk
A [m²]: Querspantfläche
B [l]: Kraftstoffverbrauch
FBremse,V [N]: Bremskraft an der Vorderachse
FBremse,H [N]: Bremskraft an der Hinterachse
cW [-]: Luftwiderstandskoeffizient
e [m]: Hebelarm der rollenden Reibung
EBat [Ws]: Energieinhalt der Batterie
ERad [Ws]: Energiebedarf am Rad
fR [-]: Rollwiderstandskoeffizient
fRV [-]: Rollwiderstandskoeffizient an der Vorderachse
fRH [-]: Rollwiderstandskoeffizient an der Hinterachse
FLz [N]: Luftauftriebskraft
FB [N]: Beschleunigungswiderstand
FL [N]: Luftwiderstand
FR [N]: Roll- und Reibwiderstand
FRV [N]: Roll- und Reibwiderstand an der Vorderachse
FRH [N]: Roll- und Reibwiderstand an der Hinterachse
FRoll [N] Rollwiderstand
FRoll,V/H [N] Rollwiderstand an der Vorder-/Hinterachse
FReib,V/H [N]: Reibwiderstand (an der Vorder-/Hinterachse)
FSt [N]: Steigungswiderstand
Fx [N]: Umfangskraft
FxV [N]: Umfangskraft an der Vorderachse
FxH [N]: Umfangskraft an der Hinterachse
Fz [N]: Radlast
FzV [N]: Achslast an der Vorderachse
FzH [N]: Achslast an der Hinterachse
3
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Parameter
u [-] Steigungs- und Beschleunigungsfaktor
v [m/s]: Fahrgeschwindigkeit
[m/s]: Fahrgeschwindigkeit
[m/s²]: Beschleunigung (Verzögerung)
z [-]: Abbremsung
zmax [-]: maximale Abbremsung des Fahrzeugs
zgrenz [-]: Grenzabbremsung
Z [N]: Zugkraft
ZV [N]: Zugkraft an der Vorderachse
ZH [N]: Zugkraft an der Hinterachse
ε [°]: Steigungswinkel
ηG [-]: Wirkungsgrad des Getriebes
ηAG [-]: Wirkungsgrad des Achsgetriebes
ηVKM [-]: Wirkungsgrad des Verbrennungsmotors
ηEM [-]: Wirkungsgrad des Elektromotors
ηLE[-]: Wirkungsgrad der Leistungselektronik
η = ηGηAG [-]: Wirkungsgrad des Triebstrangs (nach Motor)
ηAntrieb [-]: Wirkungsgrad des gesamten Antriebstrangs
λ [-]: Drehmassenzuschlagsfaktor
λ* [-]: Drehmassenzuschlagsfaktor in Verbindung mit
der Achslast
µ [-]: Kraftschlussbeanspruchung
µV [-]: Kraftschlussbeanspruchung an der Vorderachse
µH [-]: Kraftschlussbeanspruchung an der Hinterachse
µh [-]: Haftbeiwert
µg [-]: Gleitbeiwert
ρ [kg/m³]: Luftdichte
mrV [kg]: reduzierte „translatorische“ Masse in Folge der
Fahrwerk an der Vorderachse
mrH [kg]: reduzierte „translatorische“ Masse in Folge der
Fahrwerk an der Hinterachse
M1 [Nm]: Motormoment (vor Kupplung)
M2 [Nm]: Getriebeeingangsmoment (nach Kupplung)
M3 [Nm]: Getriebeausgangsmoment (vor Achsgetriebe)
MRad [Nm]: Radmoment (nach Achsgetriebe)
n1 [1/min]: Motordrehzahl (vor Kupplung)
n2 [1/min]: Getriebeeingangsdrehzahl (nach Kupplung)
n3 [1/min]: Getriebeausgangsdrehzahl (vor Achsgetriebe)
nRad [1/min]: Raddrehzahl (nach Achsgetriebe)
p [%] : Steigung
P1 [W]: Motorleistung (vor Kupplung)
P2 [W]: Getriebeeingangsleistung (nach Kupplung)
P3 [W]: Getriebeausgangsleistung (vor Achsgetriebe)
PB: [W] Beschleunigungswiderstandsleistung
PL: [W] Luftwiderstandsleistung
PR: [W] Roll- und Reibwiderstandsleistung
PSt [W] Steigungswiderstandsleistung
PRad [W]: Radleistung (nach Achsgetriebe)
r [m]: Abrollradius
S [-]: Schlupf
Sopt [-]: optimaler Schlupf bei dem µ = µh gilt
T [-]: Gütegrad der Bremsanlage
x

x

4
lOMoARcPSD|490333

by IfF
5
Gleichung der Fahrwiderstandslinie, Zugkraftgleichung
K
B
St
L
R
F
F
F
F
F
Z +
+
+
+
=
p
G
tan
G
sin
G
FSt ⋅
=
ε
⋅
≈
ε
⋅
=
in der Regel vorgegeben
H
,
ib
Re
V
,
ib
Re
ib
Re F
F
F +
=
*): für kleine Steigungen
**)
*)
**): Annahmen: , , d.h. ohne Auf- oder Abtriebskraft
R
RH
RV f
f
f =
= G
F
F zH
zV =
+
JM iG iAG
JG JAG
AG
G
2
AG
M
2
AG
G
r J
J
i
J
)
i
i
(
J +
⋅
+
⋅
⋅
=
2
ds
r
r
r
J
m =
m
m
1
m
)
m
m
(
1
m
)]
m
m
(
m
[ r
rH
rV
rH
rV
+
=
+
+
=
+
+
=
λ
x
)]
m
m
(
m
[
F rH
rV
B

⋅
+
+
=
m
)
1
(
m
m
:
m
m
r
r
⋅
−
λ
=
⋅
λ
=
+
r
m
zH
RH
H
,
Roll
zV
RV
V
,
Roll
H
,
Roll
V
,
Roll
Roll
F
f
F
,
F
f
F
F
F
F
⋅
=
⋅
=
+
=
2
x
L v
2
A
c
F ⋅
ρ
⋅
⋅
=
H
,
ib
Re
V
,
ib
Re
H
,
Roll
V
,
Roll
R F
F
F
F
F +
+
+
=
w
L
x c
)
0
(
c =
°
=
τ
x
m
FB

⋅
⋅
λ
=
⇒
x
m
F rV
VA
,
T

⋅
=
x
m
F rH
HA
,
T

⋅
=
ε
lOMoARcPSD|490333

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Zugkraft und Leistung am Rad
6
x
m
)
F
F
(
F
G
Z
Z RH
RV
Lx
sin
H
V

⋅
⋅
λ
+
+
+
+
=
+
Z St
F L
F R
F B
F
x
m
F
G
f
v
2
A
c
p
G
Z ib
Re
R
2
W

⋅
⋅
λ
+
+
⋅
+
⋅
ρ
⋅
⋅
+
⋅
=
v
x
m
v
2
A
c
v
F
v
G
f
v
p
G
v
Z
P 3
W
ib
Re
R
Rad ⋅
⋅
⋅
λ
+
⋅
ρ
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=

St
P L
P
R
P B
P
unter Vernachlässigung von FK Heruntergeladen durch Atef Naz (atefnazer2015@gmail.com)
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Radumfangskräfte
Frontantrieb: (ZH = 0 , ZV ≠ 0)
Heckantrieb: (ZV = 0 , ZH ≠ 0)
Allradantrieb: (ZV , ZH ≠ 0)
mit der Allradübersetzung iAWD
7
Fz
Fx
Z
Z
FT,A
FT,AFR
FR
rstat
φ
FAchse,z
FAchse,x
( ) ( ) ( )
VA
,
T
V
,
R
AWD
Aufbau
HA
,
T
H
,
R
AWD
xV F
F
i
F
F
F
i
1
F +
⋅
−
+
+
⋅
−
=
( ) ( ) ( )
HA
,
T
H
,
R
AWD
Aufbau
VA
,
T
V
,
R
AWD
xH F
F
i
1
F
F
F
i
F +
⋅
−
−
+
+
⋅
=
( )
VA
,
T
V
,
R
xV F
F
F +
−
=
VA
,
T
V
,
R
Aufbau
xH F
F
F
F +
+
=
HA
,
T
H
,
R
Aufbau
xV F
F
F
F +
+
=
( )
HA
,
T
H
,
R
xH F
F
F +
−
=
H
V
H
H
AWD
Z
Z
Z
Z
Z
i
+
=
=
Z
i
Z AWD
H ⋅
=
⇒
( ) Z
i
1
Z AWD
V ⋅
−
=
⇒
K
St
Aufbau
,
T
L
Aufbau F
F
F
F
F +
+
+
=
lOMoARcPSD|490333

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Rad- bzw. Achslasten
8
Annahme: kleine Steigungen und λ* = 1, ∆FzR = 0, FLz = 0
Achslasten FzV , FzH an der Vorder- und Hinterachse
Fz,stat,0 = statische Radnormalkraft
ΔFz,stat = statische Radlaständerung
ΔFz,dyn = dynamische Radlaständerung
FL,z,V =Radlast durch Luftkraft
(Auf- oder Abtrieb)
ΔFz,Roll =Radlaständerung durch
Rollwiderstand
Roll
,
z
V
,
z
,
L
dyn
,
z
stat
,
z
0
,
stat
,
V
,
z
V
,
z F
F
F
F
F
F ∆
−
−
∆
−
∆
−
=
Roll
,
z
M
,
z
,
L
dyn
,
z
stat
,
z
0
,
stat
,
H
,
z
H
,
z F
F
F
F
F
F ∆
+
−
∆
+
∆
+
=
+
+
⋅
=
g
x
p
l
h
l
l
G
F V
H
,
z

+
−
⋅
=
g
x
p
l
h
l
l
G
F H
V
,
z

⋅
−
⋅
= u
l
h
l
l
G H
⋅
+
⋅
= u
l
h
l
l
G V
lOMoARcPSD|490333

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Kraftschlussbeanspruchung, ideale Allradübersetzung
Kraftschlußbeanspruchung µV , µH an der Vorder- und Hinterachse
zH
xH
H
zV
xV
V
F
F
,
F
F
=
µ
=
µ
Ansatz für die ideale Allradübersetzung iAWD
zH
zV
xH
xV
zH
xH
zV
xV
H
V
F
F
F
F
.
bzw
F
F
F
F
=
=
⇒
µ
=
µ
9
Kraftschlussbeanspruchung:
Fx
x y
z
Fz
Fx µ
µ
Fz
Fy
Fy
Fxy
Bei reiner Längsdynamik:
(Fy = 0)
z
2
y
2
x
z
xy
F
F
F
F
F +
=
=
µ
z
x
F
F
=
µ
lOMoARcPSD|490333

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Rad
n
~ iAG , ηAG
r
2π
⋅
=
=
60
n
v
x Rad

M1
n1
G
i
G
η
M1
n1
M2
n2
3
M
3
n
r
/
η
i
M
Z 1 ⋅
⋅
=
r
M
Z Rad
=
Rad
M
AG
G η
⋅
η
=
η
Schlupf = 0:
r
Z
Motor
Getriebe
Kupplung Achsgetriebe
Rad
Zusammenhang von Drehmoment, Drehzahl, Leistung im Antriebstrang
10
AG
G i
i
i ⋅
=
Drehzahlen:
G
2
G
1
3 i
/
n
i
/
n
n =
=
i
/
n
)
i
i
/(
n
i
/
n
n 1
AG
G
1
AG
3
Rad =
⋅
=
=
Drehmomente:
2
1 M
M =
G
G
2
G
G
1
3 i
M
i
M
M η
⋅
⋅
=
η
⋅
⋅
=
η
⋅
⋅
=
η
⋅
⋅
η
⋅
⋅
=
η
⋅
⋅
= i
M
i
i
M
i
M
M 1
AG
AG
G
G
1
AG
AG
3
Rad
Leistungen:
2
1 P
P =
G
2
G
1
3 P
P
P η
⋅
=
η
⋅
=
v
Z
P
P
P
P 1
AG
G
1
AG
3
Rad ⋅
=
η
⋅
=
η
⋅
η
⋅
=
η
⋅
=
Gleichungen ohne Kupplungsschlupf angegeben
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Kraftstoffverbrauch (VKM), Energieverbrauch (EM)
U
Antrieb
x
0
U
Antrieb
T
0
U
AG
G
VKM
Rad
H
dx
Z
L
1
H
dt
v
Z
L
1
H
E
L
1
]
m
[
L
]
l
[
B
⋅
η
⋅
⋅
=
⋅
η
⋅
⋅
⋅
=
⋅
η
⋅
η
⋅
η
⋅
=
∫
∫
U
Antrieb H
Z
]
m
[
L
]
l
[
B
⋅
η
=
⇒
Für Z = konst. gilt:
VKM:
EM:
Antrieb
Rad
Batterie ]
Ws
[
E
L
1
]
m
[
L
]
Ws
[
E
η
⋅
=
AG
G
VKM
Antrieb η
⋅
η
⋅
η
=
η
AG
G
EM
Batterie
Antrieb η
⋅
η
⋅
η
⋅
η
=
η
VKM
EM
Getriebe
Triebstrang
Rad
Energiespeicher
Tank/Batterie
ηAntrieb
Wandlungs- und
Übertragungsverluste
ET
11
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Bremsung
⋅
−
⋅
=
⋅
+
⋅
=
z
l
h
l
l
G
F
z
l
h
l
l
G
F
V
zH
H
zV
Einfaches Modell zur Abbremsung
Achslasten *)
G
z
F
F
F
F
i H
,
Bremse
H
,
Bremse
V
,
Bremse
H
,
Bremse
B
⋅
=
+
=
Mit fester Bremskraftverteilung
(iB = konst.)
=
+
⋅
=
+
G
F
F
:
z
G
z
F
F
:
x
zH
zV
H
,
Bremse
V
,
Bremse
⋅
⋅
=
⋅
⋅
−
=
G
z
i
F
G
z
)
i
1
(
F
B
H
,
Bremse
B
V
,
Bremse
*): sigt
vernachläs
F
,
F Lz
R
∆
+
-
12
FBremse,H
z ∙ G
G
ΔFz,dyn
ΔFz,dyn
FzV,stat
FzH,stat
z
x
h
l
FzV
FzH
FBremse,V
lV lH
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Abbremsungen, Gütegrad
Grenz-Abbremsung zgrenz
h
grenz
z µ
=
Maximal-Abbremsung zmax
1
z
z =
Ermittlung mit Hilfe des Ansatzes:
2
z
z =
}
z
,
z
min{
z 2
1
max =
für den Fall, dass VA blockiert
für den Fall, dass HA blockiert
Abbremsung z1, wenn VA blockiert
aus Bremskraftverteilung
aus Kraftschlussbeanspruchung
⋅
+
⋅
=
⋅
µ
=
⋅
⋅
−
=
1
H
zV
zV
h
V
,
Bremse
1
B
V
,
Bremse
z
l
h
l
l
G
F
F
F
G
z
)
i
1
(
F
l
h
)
i
1
(
l
l
z
h
B
H
h
1
⋅
µ
−
−
⋅
µ
=
Abbremsung z2, wenn HA blockiert
l
h
i
l
l
z
h
B
V
h
2
⋅
µ
+
⋅
µ
=
Radlast an VA / HA
Gütegrad T
h
max
grenz
max z
z
z
T
µ
=
=
g
/
x
z

−
=
Abbremsung z
13
⋅
−
⋅
=
⋅
µ
=
⋅
⋅
=
2
V
zH
zH
h
H
,
Bremse
2
B
H
,
Bremse
z
l
h
l
l
G
F
F
F
G
z
i
F
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Einflussparameter der idealen Bremskraftverteilung
0 1,0
0,2 0,4
FBremse,H/G
FBremse,V/G
0,2
0,4
0 1,0
0,2 0,4
0,2
0,4
Linie konstanter Abbremsung
Ideale BKV gesetzliche Anforderungen
0,1 0,6 0,8
1
2
1 Stabilitätskriterium: 8
,
0
z
15
,
0 ≤
≤
2 Mindest-Abbremsung (max. zulässiger Bremsweg):
0 1,0
0,2 0,4
0,2
0,4
0 1,0
0,2 0,4
0,2
0,4
0 1,0
0,2 0,4
0,2
0,4
lineare BKV
mit Druckbegrenzer
mit Druckminderer
und -begrenzer
0 1,0
0,2 0,4
0,2
0,4
T = 1
T = 0,9
T = 0,9
T = 0,8
…
…
)
2
,
0
(
85
,
0
1
,
0
z h −
µ
⋅
+
≥
8
,
0
2
,
0
für h ≤
µ
≤
1
,
0
z
2
,
0
h ≥
⇒
=
µ
61
,
0
z
8
,
0
h ≥
⇒
=
µ
z = 0,61
z = 0,8
z = 0,15
14
z = 0,1
z = konst.
FBremse,H/G
FBremse,V/G
FBremse,H/G
FBremse,V/G
FBremse,H/G
FBremse,V/G
FBremse,H/G
FBremse,V/G
FBremse,H/G
FBremse,V/G
lOMoARcPSD|490333

by IfF
1. Längsdynamik
2. Querdynamik
3. Vertikaldynamik
15
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Parameter
α [rad]: Schräglaufwinkel
αV [rad]: Schräglaufwinkel an der Vorderachse
αH [rad]: Schräglaufwinkel an der Hinterachse
αVC [rad]: erweiterter Schräglaufwinkel an der Vorderachse
β [rad]: Schwimmwinkel
cΔαc [Nm/rad]:Steuersteifigkeit
δL [rad]: Lenkradwinkel
δS [rad]: Spurhebelwinkel
δV [rad]: Radeinschlagwinkel
δV0 [rad]: Radeinschlagwinkel bei v=0 km/h
δSC[rad]: „elastischer“ Spurhebelwinkel
Δα [rad]: Schräglaufwinkeldifferenz
Δαc [rad]: erweiterte Schräglaufwinkeldifferenz
ρP [rad]: Krümmungsradius
[rad/s]: Giergeschwindigkeit
b [g]: normierte Zentrifugalbeschleunigung
cα [N/rad]: Reifenseitensteifigkeit
cαV [N/rad]: Reifenseitensteifigkeit Vorderachse
cαH [N/rad]: Reifenseitensteifigkeit Hinterachse
cαVC [N/rad]: Achsseitensteifigkeit Vorderachse
CL [Nm/rad]: Lenkungssteifigkeit
Fy [N]: Seitenkraft
FyV [N]: Seitenkraft an der Vorderachse
FyH [N]: Seitenkraft an der Hinterachse
FZF [N]: Zentrifugalkraft
G [N]: Gewichtskraft des Fahrzeugs
iL [-]: Lenkübersetzung
iS [-]: Lenkgestängeübersetzung
iG [-]: Lenkgetriebeübersetzung
nR [mm]: Reifennachlauf
nK [mm]: Konstruktiver Nachlauf
nV [mm]: Gesamtnachlauf
[m/s²]: Zentrifugalbeschleunigung
v [m/s]: Fahrzeuggeschwindigkeit
vch [m/s]: Charakteristische Fahrgeschwindigkeit
vkrit [m/s]: Kritische Fahrgeschwindigkeit
vV [m/s]: Fahrgeschwindigkeit Vorderrad
vH [m/s]: Fahrgeschwindigkeit Hinterrad
y

ψ

16
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Lenkung: Lenkübersetzung
17
S
L
L i δ
⋅
=
δ
L
S
L
i
δ
δ : Lenkradwinkel
: Spurhebelwinkel
: Lenkübersetzung
x
y z
z
y
x
L
δ
L
δ
L
y
L
y
Lenkgetriebeübersetzung:
Lenkgestängeübersetzung:
]
rad
[
]
m
[
y
i
S
L
S
δ
=
Sl
δ Sr
δ
]
m
[
y
]
rad
[
i
L
L
G
δ
=
Kinematische Lenkübersetzung:
]
rad
[
]
rad
[
i
i
i
S
L
S
G
L
δ
δ
=
⋅
=
L
L
S
i
δ
=
δ
⇒
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Lenkung: Elastizität
18
S
L
L i δ
⋅
=
δ
SC
V
S δ
+
δ
=
δ
V
L
yV
SC
n
/
C
F
=
δ R
n
K
n
V
n
V
δ
S
δ yV
F
D
L
C
V
L
H
/
yV
SC
V
n
C
F
δ
δ
: Reifenseitenkraft vorne / hinten
: Steifigkeit der Lenkung
: Gesamtnachlauf
: „elastischer“ Spurhebelwinkel
: Radeinschlagwinkel
L
δ
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Einspurmodell: Kinematik
19
S
L
L i δ
⋅
=
δ
SC
V
S δ
+
δ
=
δ
α
∆
+
δ
=
δ 0
V
V
H
V α
−
α
=
α
∆
MP0, MP
SP
x
y
ψ
v v0
αH
vH
δV δV0
vV
ρP
≈
ρP
ρP
≈
v0
αV
β
)
( H
V
V α
−
α
−
δ
β
−
α
−
δ V
V
V
V α
−
δ
HA
VA
P
ρ
β
α
α
δ
H
V
V 0 : Radeinschlagwinkel bei v ≈ 0
: Schräglaufwinkel vorne
: Schräglaufwinkel hinten
p
0
V
l
ρ
=
δ
lH
lV
H
P
H
l
α
ρ
β −
=
: Schwimmwinkel
: Krümmungsradius
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Gleichgewicht Reifen - Lenkung
20
S
L
L i δ
⋅
=
δ
SC
V
S δ
+
δ
=
δ
α
∆
+
δ
=
δ 0
V
V
H
V α
−
α
=
α
∆
H
SC
V
0
V
S
VC
α
−
δ
+
α
+
δ
=
δ
α
=
V
L
yV
SC
n
/
C
F
=
δ
V
yV
V
c
F
α
α =
VC
VC
H
/
V
c
c
α
α
α
: Reifenseitensteifigkeit vorne / hinten
: erweiterter Schräglaufwinkel
: Achsseitensteifigkeit der Vorderachse
VC
VC
c
V
L
V
yV
SC
V
n
/
C
c
F
α
+
⋅
=
δ
+
α
α
α
1
1
1

n
/
C
V
L

c
αV
V
L
V
VC n
/
C
1
c
1
c
1
+
=
⇒
α
α
Fahrbahn
V
L
V
V
L
V
VC
/n
C
c
/n
C
c
c
+
⋅
=
α
α
α
SC
V
VC δ
α
α +
=
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Erweiterter Schräglaufwinkel
21
S
L
L i δ
⋅
=
δ
SC
V
S δ
+
δ
=
δ
α
∆
+
δ
=
δ 0
V
V
H
V α
−
α
=
α
∆
H
SC
V
V
S
VC
α
−
δ
+
α
+
δ
=
δ
α
=
0
VC
VC
H
/
V
c
c
α
α
α
: Reifenseitensteifigkeit vorne / hinten
: erweiterter Schräglaufwinkel
: Achsseitensteifigkeit der Vorderachse
V
L
yV
SC
n
/
C
F
=
δ
VC
yV
VC
c
1
F
α
α ⋅
=
H
yH
H
c
1
F
α
α ⋅
=
( )
H
VC
V
S α
−
α
+
δ
=
δ 0
VC
VC
c
V
L
V
yV
SC
V
n
/
C
c
F
α
+
⋅
=
δ
+
α
α
α
1
1
1
V
yV
V
c
F
α
α =
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Steuersteifigkeit
22
S
L
L i δ
⋅
=
δ
SC
V
S δ
+
δ
=
δ
α
∆
+
δ
=
δ 0
V
V
H
V α
−
α
=
α
∆
l
lV/H : Schwerpunktrücklage / -vorlage des Fahrzeugs
: Radstand des Fahrzeugs
V
L
yV
SC
n
/
C
F
=
δ
α
=
α
c
FyV
V
H
VC
C
Δ α
α
α −
=
C
b
G
α
∆
: Gewichtskraft des Fahrzeugs
: normierte Zentrifugalbeschleunigung
VC
yV
VC
c
F
α
⋅
=
α
1
H
yH
H
c
F
α
⋅
=
α
1
H
SC
V
V
S
VC
α
−
δ
+
α
+
δ
=
δ
α
=
0
( )
C
H
VC
V
S
α
∆
α
−
α
+
δ
=
δ 0
−
⋅
⋅
=
α
α H
V
VC
H
c
l
/
l
c
l
/
l
b
G
: erweiterte Schräglaufwinkeldifferenz
VC
VC
c
V
L
V
yV
SC
V
n
/
C
c
F
α
+
⋅
=
δ
+
α
α
α
1
1
1
H
yH
VC
yV
c
1
F
c
1
F
α
α
⋅
−
⋅
=
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Steuersteifigkeit
23
S
L
L i δ
⋅
=
δ
SC
V
S δ
+
δ
=
δ
α
∆
+
δ
=
δ 0
V
V
H
V α
−
α
=
α
∆
l
lV/H
: Schwerpunktrücklage / -vorlage des Fahrzeugs
: Radstand des Fahrzeugs
H
SC
V
V
S
VC
α
−
δ
+
α
+
δ
=
δ
α
=
0
( )
C
H
VC
V
S
α
∆
α
−
α
+
δ
=
δ 0
H
α VC
α
C
α
∆
b
G
FZF ⋅
=
V
l
H
l
VC
cα
H
cα
ZF
F
yH
F yV
F
C
b
G
α
∆ : erweiterte Schräglaufwinkeldifferenz
V
L
yV
SC
n
/
C
F
=
δ
α
=
α
c
FyV
V
H
VC
C
Δ α
α
α −
=
VC
yV
VC
c
F
α
⋅
=
α
1
H
yH
H
c
F
α
⋅
=
α
1
−
⋅
⋅
=
α
α H
V
VC
H
c
l
/
l
c
l
/
l
b
G
VC
VC
c
V
L
V
yV
SC
V
n
/
C
c
F
α
+
⋅
=
δ
+
α
α
α
1
1
1
H
yH
VC
yV
c
1
F
c
1
F
α
α
⋅
−
⋅
=
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Steuersteifigkeit
24
S
L
L i δ
⋅
=
δ
SC
V
S δ
+
δ
=
δ
α
∆
+
δ
=
δ 0
V
V
H
V α
−
α
=
α
∆
V
L
yV
SC
n
/
C
F
=
δ
α
=
α
c
FyV
V
H
yH
VC
yV
H
VC
C
c
F
c
F
α
α
⋅
−
⋅
=
α
−
α
=
α
∆
1
1
VC
yV
VC
c
F
α
⋅
=
α
1
H
yH
H
c
F
α
⋅
=
α
1
H
SC
V
V
S
VC
α
−
δ
+
α
+
δ
=
δ
α
=
0
( )
C
H
VC
V
S
α
∆
α
−
α
+
δ
=
δ 0
−
⋅
⋅
=
α
α H
V
VC
H
c
l
/
l
c
l
/
l
b
G
C
c
b
G
α
∆
⋅
⋅
=
1
C
V
S
c
b
G
α
∆
⋅
+
δ
=
δ 0
C
c
b
G
α
∆
: Steuersteifigkeit
VC
VC
c
V
L
V
yV
SC
V
n
/
C
c
F
α
+
⋅
=
δ
+
α
α
α
1
1
1
VC
v
H
H
H
VC
C
Δ
c
l
-
c
l
c
c
l
c
α
α
α
α
α
⋅
⋅
⋅
⋅
=
H
VC
C α
α
Δα −
=
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Steuerverhalten
25
S
L
L i δ
⋅
=
δ
SC
V
S δ
+
δ
=
δ
α
∆
+
δ
=
δ 0
V
V
H
V α
−
α
=
α
∆
G
C
VC
α
∆
α : erweiterter Schräglaufwinkel
krit
ch
C
Δ
v
v
c
b
α
: Steuersteifigkeit
C
L
V
L
L
c
b
G
i
i
L
α
∆
δ
⋅
⋅
+
δ
⋅
=
δ
0
0
)
v
(
b krit
0
L
2 δ
⋅
0
L
δ
( )
g
ρ
/
v
b 2
⋅
=
)
v
(
b ch
L
δ
0
0
c
1
C
α
Δ

0
c
1
C
α
Δ

0
c
1
C
α
Δ
=
Untersteuernd
Neutralsteuernd
Übersteuernd
H
SC
V
V
S
VC
α
−
δ
+
α
+
δ
=
δ
α
=
0
( )
C
H
VC
V
S
α
∆
α
−
α
+
δ
=
δ 0
C
V
S
c
b
G
α
∆
⋅
+
δ
=
δ 0
0
Δ C
α 0
²
v
1
ch

0
Δ C =
α 0
²
v
1
ch
=
0
Δ C
α 0
²
v
1
ch

: charakteristische Geschwindigkeit
: kritische Geschwindigkeit
v = konstant
ρP
Stationäre Kreisfahrt
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Steuerverhalten: charakteristische Geschwindigkeiten
26
S
L
L i δ
⋅
=
δ
SC
V
S δ
+
δ
=
δ
α
∆
+
δ
=
δ 0
V
V
H
V α
−
α
=
α
∆
G
C
VC
α
∆
α : erweiterter Schräglaufwinkel
krit
ch
C
Δ
v
v
c
b
α
: Steuersteifigkeit
C
L
V
L
L
c
b
G
i
i
L
α
∆
δ
⋅
⋅
+
δ
⋅
=
δ
0
0
H
SC
V
V
S
VC
α
−
δ
+
α
+
δ
=
δ
α
=
0
( )
C
H
VC
V
S
α
∆
α
−
α
+
δ
=
δ 0
C
V
S
c
b
G
α
∆
⋅
+
δ
=
δ 0
: charakteristische Geschwindigkeit
: kritische Geschwindigkeit
C
V
S
c
b
G
α
∆
⋅
+
δ
=
δ 0
V0
l/
mv²
mv²
b
G
δ
ρ
=
=
⋅
⋅
+
=
(l/m)
c
v²
1
C
V0
S
Δα
δ
δ
0
δ
δ =
⋅
= S
L
L i
0
δ
δ =
⋅
+
=
(l/m)
c
v²
1
C
V0
S
Δα
(l/m)
c
v C
2
krit ⋅
−
=
⇒ Δα
L0
L 2 δ
δ ⋅
=
V0
C
V0
S
(l/m)
c
v²
1 δ
2
δ
δ ⋅
=
⋅
+
=
Δα
V0
S 2 δ
δ ⋅
=
bzw.
(l/m)
c
v C
2
ch ⋅
=
⇒ Δα
Fall1: Fall 2:
( )
V
VC
H
H
2
H
VC
2
ch
l
c
l
c
m
l
c
c
v
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
α
α
α
α
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Kreisfahrtparameter
27
S
L
L i δ
⋅
=
δ
SC
V
S δ
+
δ
=
δ
α
∆
+
δ
=
δ 0
V
V
H
V α
−
α
=
α
∆
H
SC
V
V
S
VC
α
−
δ
+
α
+
δ
=
δ
α
=
0
( )
C
H
VC
V
S
α
∆
α
−
α
+
δ
=
δ 0
C
V
S
c
b
G
α
∆
⋅
+
δ
=
δ 0
⋅
+
=
(l/m)
c
v²
1
C
V0
S
Δα
δ
δ
⋅
+
=
(l/m)
c
v²
1
i
C
V0
L
L
Δα
δ
δ
⋅
+
=
(l/m)
c
v²
1
i
C
V0
L
L
Δα
δ
δ
ρ
l/
V0 =
δ
−
⋅
=
+
⋅
= 2
krit
L
2
ch
L
L
v
v²
1
l
i
v
v²
1
l
i
ρ
ρ
δ
ψ

/
v
=
ρ 2
ch
L
2
ch
L
L v²/v
1
v
l
i
1
v²/v
1
v
l
i
1
−
⋅
⋅
=
+
⋅
⋅
=
δ
ψ

(neutral steuernd)
v
∞
→
δ
ψ
↑
L

l
i
1
L ⋅ l
i
1
2
1
L ⋅
⋅
vch
0
v
1
2
ch
=
0
v
1
2
ch

0
v
1
2
ch

(übersteuernd)
(untersteuernd)
vkrit
L
δ
ψ

instabil
ψ
: Giergeschwindigkeit
lOMoARcPSD|490333

by IfF
1. Längsdynamik
2. Querdynamik
3. Vertikaldynamik
28
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Parameter
a: Antwortfunktion, vertikale Beschleunigung [m/s2]
: Bewertete Beschleunigung [m/s2]
Aos : oszilierender Weg [m]
B: Bewertungsfunktion [-]
c1, c2 ,c3, c: Steifigkeit [N/m]
: Verlustfaktor [-]
d1, d2 ,d3, d: Dämpfungsbeiwert [Ns/m]
D1, D2, D: Dämpfungsmaß [-]
f1, f2 ,f3 ,f: Frequenz [Hz]
Fc1, Fc2, Fc: Federkraft [N]
Fd2, Fd: Dämpferkraft [N]
Fz: Radlast [N]
Fos: oszilierende Kraft [N]
Fx, Fy Längs- und Querkraft am Reifen [N]
Gx,y: komplexe Übertragungsfunktion von x zu y
| Gx,y |: Betragsfunktion, Amplitudenvergrößerungs-
funktion von x zu y
h Anregungsfunktion, Unebenheitsfunktion [m]
Anregungsamplitude, Unebenheitsamplitude [m]
L Wellenlänge [m]
m1,m2 ,m3 ,mg, m: Masse [kg]
Q Amplitudenfunktion[m]
s Relativweg[m]
T: Periodendauer [s], Messdauer [s]
u Übertragungsfunktion
v Geschwindigkeit [m/s]
z1, z2 , z3 , z : Weg in vertikaler Richtung[m]
d
δ: Verlustwinkel [rad]
η: normierte Erregerfrequenz [-]
µh: Haftbeiwert [-]
ν1, ν2, ν3, ν: ungedämpfte Eigenkreisfrequenz [rad/s]
νd : gedämpfte Eigenkreisfrequenz [rad/s]
σx Standardabweichung der Funktion x
σ2
x Varianz der Funktion x
φ: Phasenwinkel [rad]
Ω Wegkreisfrquenz [1/m]
Φ Spektrale Dichtefunktion[ m3]
ω0, ω: Kreisfrequenz [rad/s]
ĥ
WT
a
~
29
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Massen, Steifigkeiten und Eigenfrequenzen eines
¼- Fahrzeugs
30
m1 = 35-80kg
c1
(relativ hart)
h = Fahrbahnanregung
z1
c2
(relativ weich)
m2
z2
c3
m3
z3
c1 = 200 – 300 kN/m
c2 = 25 – 35 kN/m
c3 = 4,5 – 35 kN/m Sitz-
Mensch
Aufbau
Rad
m2 = 350-600kg
m3 = 58-111kg
2,5 f3 5,0 Hz
0,7 f2 2,0 Hz
8,0 f1 15,0 Hz
m1
m1
m2+m3
c1
d2
c2
h
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Übergang von Zwei-Massen- zu Einmassenschwinger
31
h
m1
c1
d2
c2
d2
c2
c1
m1
h
FZ
d2
c2
h
FZ
m2 in Ruhe c1 → ∞
m2
m2
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Parameter eines einfachen Einmassenschwingers (1)
32
• Grundparameter
m [kg] = Masse
c [N/m] = Steifigkeitsbeiwert
d [Ns/m] = Dämpfungsbeiwert
[rad/s] = Anregungskreisfrequenz
• Kennparameter
o ungedämpfte und gedämpfte Eigenkreisfrequenzen, Eigenfrequenzen
o normierte Anregungsfrequenz
o Dämpfungsmaß
ω
[rad/s] =
ν ,
m
/
c [rad/s] =
d
ν 2
2
σ
−
ν
[Hz] =
f ,
2
/ π
ν =
d
f π
ν 2
/
d
[-] =
η ω [rad/s] / [rad/s]
ν
D [-] =
ν
σ
=
ν
m
2
d
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Parameter eines einfachen Einmassenschwingers (2)
33
o Abklingskonstante
o Verlustfaktor
m
2
d
=
σ
η
=
ω
⋅
= D
2
c
d
d
η
=
⋅
ν
⋅
ν
ω
⋅
⇒
ν
ω
⋅
=
⋅
ω
⋅
=
D
2
m
d
m
d
m
m
c
d
d 2
=2D
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Beispiele zu Einmassenschwinger (1)
34
)
t
sin(
ẑ
z ϕ
+
ω
=
t
sin
ĥ
h ω
=
o Bewegungsgleichung
o Amplitudengang
o Phasengang für (z/h)
h
h
d
z
z
d
z
h
h
2D
z
z
2D
z
ch
h
d
z
c
z
d
z
m
2
2
2
2
2
2
ν
+
ω
ν
⋅
=
ν
+
ω
ν
⋅
+
ν
+
ν
=
ν
+
ν
+
+
=
+
+

2
2
2
2
2
Z
2
2
2
2
2
2
2
Z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d
)
-
(1
d
1
c
ĥ
F̂
,
4D
)
-
(1
D
4
1
c
ĥ
F̂
d
)
-
(1
d
1
ĥ
ẑ
,
4D
)
-
(1
D
4
1
ĥ
ẑ
+
η
+
⋅
η
=
η
+
η
η
+
⋅
η
=
+
η
+
=
η
+
η
η
+
=
2
2
2
2
2
2
3
d
)
1
(
d
arctan
,
D
4
)
1
(
D
2
arctan
+
η
−
η
−
=
ϕ
η
+
η
−
η
−
=
ϕ
d
m
c
z
h
FZ
lOMoARcPSD|490333

by IfF
35
)
t
sin(
ẑ
z ϕ
+
ω
=
t
sin
ĥ
h ω
=
o Amplitudengang
( )
h
m
c
z
z
d
z
h
m
c
z
z
D
2
z
h
c
z
c
c
z
d
z
m
1
2
2
1
2
1
2
1
=
ν
+
ω
ν
⋅
+
=
ν
+
ν
+
=
⋅
+
+
+

2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
Z
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
Z
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
d
)
-
(1
d
c
c
c
c
ĥ
F̂
,
4D
)
-
(1
D
4
c
c
c
c
ĥ
F̂
d
)
-
(1
c
/
c
1
1
ĥ
ẑ
,
4D
)
-
(1
c
/
c
1
1
ĥ
ẑ
+
η
+
+
−
η
⋅
=
η
+
η
η
+
+
−
η
⋅
=
+
η
+
=
η
+
η
+
=
2
2
1
d
arctan
,
1
D
2
arctan
η
−
−
=
ϕ
η
−
η
−
=
ϕ
d
c2
c1
m
z
h
FZ
lOMoARcPSD|490333

by IfF
36
)
t
sin(
ẑ
z ϕ
+
ω
=
t
sin
ĥ
h ω
=
o Amplitudengang
h
m
z
m

=
2
Z
m
ĥ
F̂
1
ĥ
ẑ
ω
−
=
=
0
=
ϕ
z
h
m
FZ
lOMoARcPSD|490333

by IfF
37
)
t
sin(
ẑ
z ϕ
+
ω
=
t
sin
ĥ
h ω
=
o Amplitudengang
h
d
h
z
z
d
z
h
D
2
h
z
z
D
2
z
h
d
ch
cz
z
d
z
m
2
2
2
2
2
2
2

ω
ν
⋅
+
ν
=
ν
+
ω
ν
⋅
+
ν
+
ν
=
ν
+
ν
+
+
=
+
+
2
2
2
2
2
1
2
Z
2
2
2
2
2
2
2
1
2
Z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d
)
1
(
d
1
m
m
ĥ
F̂
,
D
4
)
1
(
D
4
1
m
m
ĥ
F̂
d
)
1
(
d
1
ĥ
ẑ
,
D
4
)
1
(
D
4
1
ĥ
ẑ
+
η
−
+
⋅
ω
+
ω
=
η
+
η
−
η
+
⋅
ω
+
ω
=
+
η
−
+
=
η
+
η
−
η
+
=
d
m2
m1
c
z
h
2
2
2
2
2
2
3
d
)
1
(
d
arctan
,
D
4
)
1
(
D
2
arctan
+
η
−
η
−
=
ϕ
η
+
η
−
η
−
=
ϕ
FZ
lOMoARcPSD|490333

by IfF
38
)
t
sin(
ẑ
z ϕ
+
ω
=
o Amplitudengang
o Phasengang für (Aos/h)
m
/
Â
Â
,
)
t
(
sin
²
Â
z
z
d
z
m
/
Â
Â
,
)
t
(
sin
²
Â
z
z
D
2
z
)
t
(
sin
²
Â
z
c
z
d
z
m
os
os
2
2
os
os
2
=
ω
ω
⋅
=
ν
+
ω
ν
⋅
+
=
ω
ω
⋅
=
ν
+
ν
+
ω
ω
⋅
=
+
+

( ) ( ) 2
2
2
2
os
2
2
2
2
2
os d
1
Â
ẑ
,
D
4
1
Â
ẑ
+
η
−
η
=
η
+
η
−
η
=
2
2
1
d
arctan
,
1
D
2
arctan
η
−
−
=
ϕ
η
−
η
−
=
ϕ
)
t
(
sin
²
Â
F ω
ω
⋅
=
m
c d
z
)
t
sin(
Â
A os
os ω
=
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Funktionen und ihre Kennwerte (1)
39
• Harmonische Funktion
• Periodische Funktion
• Kennparameter einer Funktion qg(t) = q0 + q(t)
o zeitlich linearer Mittelwert
o zeitlich quadratischer Mittelwert
o Standardabweichung
( ) ω
ϕ
+
ω
⋅
+
= d
t
sin
q̂
q
)
t
(
q g
0
0
g
( ) ( ) ( ) t
ji
n
1
i
0
i
i
0
n
1
i
0
i
0
g
0
e
i
q̂
t
i
sin
i
q̂
q
)
t
(
q ω
=
=
ω
=
ϕ
+
ω
⋅
ω
+
= ∑
∑
0
g q
q =
dt
)
t
(
q
T
1
q
q 2
T
0
0
2
eff
,
g ∫
+
= T:Messdauer
dt
)
t
(
q
T
1
q 2
T
0
eff
q ∫
=
=
σ T:Messdauer
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Funktionen und ihre Kennwerte (2)
40
o Frequenzspektrum
Zeit t [s ]
[m]
ω [1/s]
i
q̂
0
ω
1⋅ 0
ω
2 ⋅ 0
ω
3 ⋅
( ) ( )
ϕ
+
ω
⋅
ω
+
= ∑
=
]
t
i
sin
i
q̂
[
q
)
t
(
q i
0
n
1
i
0
i
0
g
π
=
ω
T
2
0
ω0 = „Grundkreisfrequenz“
T= „Periodendauer“
mit
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Parameter der Wellenfahrbahn (1)
41
L [m] = Wellenlänge
[1/m] = Wegkreisfrequenz
x [m] = Weg
h[m] = Unebenheitsfunktion, [m] = Unebenheitsamplitude
v[m/s] = Geschwindigkeit
f[Hz] = Anregungsfrequenz, [rad/s] = Anregungszeitkreisfrequenz
T[s] = Periodendauer
Ω
L
2π
=
Ω[1/m]
[m]
ĥ
x
sin
ĥ
h Ω
⋅
=
ω
]
m
[
L
]
s
/
m
[
v
2
]
s
/
m
[
v
]
m
/
1
[
2
]
s
/
rad
[
]
Hz
[
f =
π
⋅
Ω
=
π
ω
=
]
s
/
m
[
v
]
m
[
L
]
Hz
[
f
1
]
s
/
rad
[
2
]
s
[
T =
=
ω
π
=
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Kennparameter zur Beurteilung Sicherheit Komfort bei
harmonischer Anregung
42
• Sicherheit
FZ [N] = Radlast
[N] = Standardabweichung der Radlast
• Komfort
t
sin
F̂
F
]
N
[
F Z
stat
,
Z
Z ω
+
=
h
m1
m2
m3
c1
d2
c2
Fz
h
m1
m2
m3
c1
d2
c2
a
F
σ
Z
F F̂
7
,
0
]
N
[ ⋅
=
σ
a[m/s2] = vertikale Beschleunigung
B[-] = Bewertungsfunktion
= Effektivwert der Beschleunigung
= Effektivwert der bewerteten Beschleunigung
t
sin
â
z
]
s
/
m
[
a 2
ω
=
=

]
s
/
m
[
a
~ 2
â
7
,
0
]
s
/
m
[
a
~ 2
⋅
=
]
s
/
m
[
a
~ 2
WT
lOMoARcPSD|490333

by IfF
Beurteilung und Kriterien der Fahrsicherheit
Fahrkomfort bei harmonischer Anregung
43
• Sicherheitskriterium
o Berechnung von bei harmonischer Anregung mit
Frequenz f
• Beurteilung des Komforts
− Klassifikation des Effektivwerts der bewerteten
Beschleunigung nach Bewertungsvorschriften
h
m1
m2
m3
c1
d2
c2
Fz
h
m1
m2
m3
c1
d2
c2
a
F
σ
)
f
(
ĥ
ĥ
F̂
7
,
0
)
f
(
F̂
7
,
0
)
f
(
Z
Z
F ⋅
⋅
=
⋅
=
σ
fahrsicher
3
1
F stat
,
z
F
⇒
≤
σ
WT
a
~
o Berechnung von bei harmonischer Anregung
mit Frequenz f
)
f
(
ĥ
ĥ
â
7
,
0
)
f
(
B
)
f
(
â
7
,
0
)
f
(
B
a
~
)
f
(
B
a
~
)
f
(
WT ⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
WT
a
~
lOMoARcPSD|490333

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