Das Dokument beschreibt Prim's Algorithmus zur Bestimmung des minimalen Spannbaums (MST) in einem vollständigen Graphen anhand einer Matrixdarstellung. Es werden Schritte zur Auswahl von Knoten und zum Ermitteln der minimalen Gewichte zwischen den Knoten detailliert dargestellt. Beispieldaten in Matrixform verdeutlichen die Anwendung des Algorithmus.

1. Using Prim’s Algorithm to find MST
Using Matrix

2. Complete Graph Minimum Spanning Tree
– Matrix Form
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
Prim’s Algorithm: Find the Minimum
Spanning Tree T:
Step 1: Select any node to be the first of T
Step 2: Circle the new node of T in the top
row and cross out the row corresponding
to this new node.
Step 3: Find the smallest weight left in the
columns of the nodes of T. Circle the weight.
Then choose the node whose weight is the
minimum to join T. (if several, choose any)
Step 4: Repeat steps 2 and 3 until T contains
every node.

3. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

4. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

5. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

6. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

7. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

8. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

9. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

10. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

11. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
Two minimum edges, choose one!

12. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
Two minimum edges, choose one!

13. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

14. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

15. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

16. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

17. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

18. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

19. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

20. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

21. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

22. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

23. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

24. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

25. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

26. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

27. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

28. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

29. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

30. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

31. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

32. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

33. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

34. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

35. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

36. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

37. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

38. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

39. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

40. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

41. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

42. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

43. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

44. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0

45. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
1
2 3
2 1
3
5
3
4
2
5 6
4
4
10
A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0