Epidemic Spreading

Inhaltsverzeichnis Einleitung Epidemien Gerüchte
Spreading Processes
Patrick Michl
Universität Heidelberg, Fakultät für Mathematik und Informatik
Seminar ”Complex Networks”, am 01. Juli 2010
Patrick Michl Spreading Processes

Einleitung
Spreading Processes umfassen Vorgänge in Netzwerken, bei denen
sich von wenigen Knoten (Seeds) ausgehend bestimmte Zustände
bzw. Informationen verteilen. Die Modellierung erfolgt dabei
mittels zeitdiskreter dynamischer Systeme.
Defintion: Dynamisches System
Ein dynamisches System bezeichnet das Modell eines
zeitabhängigen Prozesses, dessen Verlauf nur vom Anfangszustand,
aber nicht vom Anfangszeitpunkt abhängt

1 Einleitung
2 Epidemien
Modellierung
Homogeneous Mixing
Unkorrelierte Netzwerke
Korrelierte Netzwerke
3 Ger¨uchte
Modellierung
Homogeneous Mixing

Zur Analyse von Epidemien werden unter anderem das SIR-Modell
und das SIS-Modell verwendet.

SIR-Modell

SIR-Modell
Susceptible

SIR-Modell
Susceptible Infected

SIR-Modell
Susceptible Infected Removed

Definition: SIR-Modell
Die Knoten eines Netzwerkes teilen sich in drei Klassen: S, I und
R. Benachbarte Knoten i und j vollziehen bei jedem Zeitschritt mit
den Wahrscheinlichkeiten λ und µ folgende Zustandsänderungen:
1 S(i) + I(j)
λ
−→ I(i) + I(j) (Infektion)
2 I(i)
µ
−→ R(i) (Aussschluss)
Die betrachteten Größen sind die Anteile der Klassen an der
Gesamt-Population: s(t), ρ(t) und r(t)

Deﬁnition: SIR-Modell
Die Knoten eines Netzwerkes teilen sich in drei Klassen: S, I und
R. Benachbarte Knoten i und j vollziehen bei jedem Zeitschritt mit
1 S(i) + I(j)
λ
2 I(i)
µ
−→ R(i) (Aussschluss)
Gesamt-Population: s(t), ρ(t) und r(t)
Anwendung
Modellierung von unheilbaren Krankheiten, bzw. wenn nach einer
Infektion stets Immunisierung eintritt z.B. zur Gewinnung von
r∞ = lim
t→∞
r(t)

SIS-Modell

SIS-Modell
Susceptible

SIS-Modell
Susceptible Infected

SIS-Modell
Susceptible Infected Susceptible
Puh!

Deﬁnition: SIS-Modell
Die Knoten eines Netzwerkes teilen sich in zwei Klassen: S, I.
Benachbarte Knoten i und j vollziehen bei jedem Zeitschritt mit
1 S(i) + I(j)
λ
2 I(i)
µ
−→ S(i) (Heilung)
Gesamt-Population: s(t) und ρ(t)

Deﬁnition: SIS-Modell
Die Knoten eines Netzwerkes teilen sich in zwei Klassen: S, I.
Benachbarte Knoten i und j vollziehen bei jedem Zeitschritt mit
1 S(i) + I(j)
λ
2 I(i)
µ
−→ S(i) (Heilung)
Gesamt-Population: s(t) und ρ(t)
Anwendung
Modellierung von heilbaren Krankheiten z.B. zur Absch¨atzung der
Dauer der Epidemie: Also ein tmax, so dass gilt lim
t→tmax
ρ(t) = 0

Zur Bestimmung von r∞ und tmax reicht es jeweils das
Verh¨altnis σ = λ
µ zu betrachten.

µ zu betrachten.
Besonderes Interesse gilt dabei den Prognosen eines Modelles
bei verschiedenen Populationsgrößen. Bei einer unendlichen
Population lassen sich Phasenübergänge bestimmen.
SIR-Modell: σc,SIR SIS-Modell: σc,SIS
r(∞) = 0 für σ > σc,SIR tmax = ∞ für σ > σc,SIS
r(∞) = 0 für σ < σc,SIR tmax = ∞ für σ < σc,SIS

µ zu betrachten.
Besonderes Interesse gilt dabei den Prognosen eines Modelles
bei verschiedenen Populationsgrößen. Bei einer unendlichen
Population lassen sich Phasenübergänge bestimmen.
SIR-Modell: σc,SIR SIS-Modell: σc,SIS
r(∞) = 0 für σ > σc,SIR tmax = ∞ für σ > σc,SIS
r(∞) = 0 für σ < σc,SIR tmax = ∞ für σ < σc,SIS
Der Wert σc,SIR (σc,SIS) gibt bei gegebenem σ somit an, ob
eine räumlich (zeitlich) beschränkte Ausbreitung der Epidemie
wahrscheinlich ist. Trotz der unterschiedlichen Modellierung
und Interpretation zeigt sich bei gleichen Netzwerk, das gilt:
σc,SIR = σc,SIS

Daher reicht es bei unterschiedlichen Netzwerken jeweils nur ein
Modell zu betrachten ...

Daher reicht es bei unterschiedlichen Netzwerken jeweils nur ein
Modell zu betrachten ... wir w¨ahlen hierf¨ur das SIR-Modell

Homogeneous Mixing Hypothese
Bei der Annahme einer stets homogenen Vermischung der
Population werden bei jedem Zeitschritt zu einem erkrankten
Individuum jeweils k zuf¨allige gesunde Kontakte ausgew¨ahlt.
Ansatz
Damit ergibt sich folgender Ansatz:
ds(t)
dt
= −λkρ(t)s(t) (1)
dr(t)
dt
= µρ(t) (2)
dρ(t)
dt
= λkρ(t)s(t) − µρ(t) (3)

Lösung
Zur Lösung verwenden wir folgende Anfangsbedingungen:
s(0) ≈ 1, ρ(0) ≈ 0, r(0) = 0.
Durch Teilen der Gleichung 1 durch 2, sowie anschließende
Integration mit den Anfangsbedingungen erhalten wir:
s(t) = e−λkr(t)
Mit de Bedingung s(∞) + ρ(∞) + r∞ = 1, sowie ρ(∞) = 0
folgt die implizite Gleichung:
r∞ = 1 − e−σkr∞
Diese Gleichung hat immer die triviale Lösung r∞ = 0

Lösung
Eine Nicht-triviale Lösung erhalten wir nach dem Satz der
impliziten Funktion genau dann, wenn gilt:
d
dr∞
e−σkr∞
+ r∞ − 1 > 0
Dies ist aber äquivalent zu der Bedingung: σ > 1
k
Somit folgt: σc = 1
k
Interpretation
Der ermittelte Wert ist eng mit der sogenannten Reproduktionsrate
R0 verwand, welche angibt wie viele gesunde Personen eine kranke
Person infiziert. Dabei gilt R0 = λ
µk = σk. Der Erwartung
entsprechend ist bei der Annahme einer homogenen Vermischung
der Population R0 genau dann 1, wenn σ gleich σc ist.

Unkorrelierte Netzwerke
Einen strukturierteren Ansatz zur Modellierung von Epidemien
ermöglicht die Einbeziehung von statistischen
Kontaktinformationen in Form eines Wahscheinlichkeitsmaßes für
die Anzahl der Kanten: P[k].
Bei unkorellierten Netzwerken gilt für die zwei aufeinander folgende
Kanten(Grade) k und k : P[k|k ] = P[k]P[k ].

Ansatz
Der Ansatz gegenüber der homogenen Vermischung ändert sich
damit wie folgt:
dsk(t)
dt
= −λksk(t)Θ(t) (4)
drk(t)
dt
= µρk(t) (5)
dρk(t)
dt
= λksk(t)Θ(t) − µρk(t) (6)
Dabei ist Θ(t) die Wahrscheinlichkeit, eines Kontakt zu einer
infizierten Person:
Θ(t) =
1
k
k
kP[k]ρk(t) (7)

L¨osung
Zu den Gleichungen 4, 5 und 6 gilt: sk(t) + ρk(t) + rk(t) = 1
(Normierung)
Daraus folgt: r(t) = k P[k]rk(t)
Zur L¨osung verwenden wir folgende Anfangsbedingungen:
ρk(0) ≈ 0, sk(0) ≈ 1 und rk(0) = 0, ∀k.
Durch Integration der Gleichung 6 mit den
Anfangsbedingungen erhalten wir:
sk(t) = e−λkφ(t)
wobei gilt: φ(t) =
t
0 Θ(t )dt
5
= 1
k k kP[k]rk(t)

Lösung
Analog zur Lösung bei homogener Vermischung ergibt sich die
Bedingung:
1
k
k
kP[k](σk) > 1
Der linke Teil der Gleichung ist aber identisch mit σ
k2
k .
Damit folgt:
σc =
k
k2
Interpretation
Der ermittelte Wert entspricht der Erwartung, da: Eine höhere
Konnektivität k die Ausbreitung fördert und eine höhere
Fluktuation k2 die Ausbreitung hemmt.

Korrelierte Netzwerke
In korrelierten Netzwerken ist die bedingte Wahrscheinlichkeit
P[k|k ] für zwei aufeinander folgende Kanten(Grade) k und k im
Allgemeinen nicht das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeit. Zur
Modellierung wird daher eine Korrelationsmatrix C mit den
Einträgen Ci,j = iP[j|i] verwendet. Dabei kann gezeigt werden,
dass für den maximalen Eigenwert Λmax von C gilt:
σc =
1
Λmax
Interpretation
σc ist also der minimale Wert so dass ein Eigenwert Λ existiert mit
Λσc = 1 und damit r(t) auf diesem Eigenraum nicht verschwindet.

Zur Analyse von Ger¨uchten ...

Definition: DK-Modell
Das DK-Modell (nach Daley und Kendal) ordnet die Knoten eines
Netzwerkes widerum drei Klassen zu: Uninformatierte I,
Information-Verbreiter S und Genervte (bzw. Inaktive) R.
Die Dynamik ähnelt dabei dem SIR-Modell, jedoch mit einem
wesentlichen unterschied: Informations-Verbreiter werden nie
inaktiv ohne äußeres Zutun:
1 I(i) + S(j)
λ
−→ S(i) + S(j) (Information)
2 S(i) + S(j)
α
−→ R(i) + S(j) (Annihilation)
3 R(i) + R(j)
α
−→ R(i) + R(j) (Annihilation)
Die betrachteten Größen sind wieder die Anteile der Klassen an der
Gesamt-Population: i(t), s(t) und r(t)

Ansatz
di(t)
dt
= −λki(t)s(t) (8)
dr(t)
dt
= αks(t) (s(t) + r(t)) (9)
ds(t)
dt
= λki(t)s(t) − αks(t) (s(t) + r(t)) (10)

Lösung
Zur Lösung verwenden wir bei der einer Populationsgröße N
folgende Anfangsbedingungen: i(0) = (N−1)
N , s(0) = (1)
N und
r(0) = 0, sowie die Normierungsbedingung:
i(t) + s(t) + r(t) = 1
Analog zum SIR-Modell erhalten wir die Gleichung:
r∞ = 1 − e−βr∞
Dabei ist β = 1 + λ
α .
Mittels dem Satz der impliziten Funktion ergibt sich wieder
eine Bedingung für die Auflösbarkeit nach r∞: λ
α > 0

Interpretation
Würde man die Ergebnisse auf ein Epidemie-Modell übertragen
würde dies bedeuten dass für σ = λ
α folgte σc = 0! Somit wäre ein
räumlich oder zeitlich unbeschränkter Ausbruch der Epidemie in
allen Fällen möglich.
Dieses Beispiel zeigt insbesondere, wie scheinbar ähnliche Regeln
der Dynamik ein völlig unterschiedliches Verhalten des
Ausbreitungprozesses verursachen können.

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