AEP19. Presentaciones: Cap. 5. Valor esperado

Francisco Sandoval
fasandoval@utpl.edu.ec
https://sites.google.com/view/fasandovaln
2019
Análisis Estadístico y
Probabilístico

AGENDA
CAP. 5: Valor Esperado
2

Agenda
CAP. 5: Valor Esperado
• Valor esperado de una función de v.a.r.
• Valor esperado de una función de vec. a.
• Valor esperado de vectores y matrices.
• Valor esperado condicional
• Funciones características
3

Objetivos
• Caracterización del valor esperado para v.a.r.,
vec.a. y condicional.
• Definir la función característica.
4

VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE
VARIABLE ALEATORIA REAL
5

Valor esperado de función de v.a.r.
Demostración:
𝐸 𝑦 = න
−∞
∞
𝑌 𝑝 𝑦 𝑌 𝑑𝑌
= න
−∞
∞
𝑌 න
−∞
∞
𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋𝑑𝑌
= න
−∞
∞
𝑌 න
−∞
∞
𝑝 𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋𝑑𝑌
Definición 1: Teorema Fundamental del Valor Esperado
Si 𝑦 = 𝑔(𝑥), entonces
න
−∞
∞
𝑌 𝑝 𝑦 𝑌 𝑑𝑌 = න
−∞
∞
𝑔 𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
6

• Dado 𝑥 = 𝑋, 𝑦 pasa a ser una variable
aleatoria discreta que puede asumir un único
valor 𝑔(𝑥).
𝐸 𝑦 = ‫׬‬−∞
∞
𝑝 𝑥 𝑋 ‫׬‬−∞
∞
𝑌 𝛿 𝑌 − 𝑔 𝑋 𝑑𝑌 𝑑𝑋
• Considerando la propiedad de la función
impulso
𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝑥 = න
−∞
∞
𝑔 𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
7

• A partir de la definición 1, es posible llegar a
la definición de cantidades específicas bastante
importantes en la teoría de v.a.
• Conceptos como media, varianza y valor
medio cuadrático son fácilmente definidos a
través de una elección adecuada de la función
𝑔.
8

Introducción a media, varianza y desviación estándar
(determinístico)
http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar.html
• Desviación estándar (𝜎): mide cuánto se separan los datos, es la raíz cuadrada de
la varianza.
• Varianza (𝜎2
): Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.
Pasos para cálculo de varianza:
1. Calcula la media (el promedio de los números)
2. Por cada número restar la media y elevar el resultado al cuadrado.
3. Calcular la media de esas diferencias al cuadrado.
9

Media
Definición 2: Media
La media 𝑚 𝑥 de una v.a. 𝑥 es definida a través de la definición 1,
tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥. Es decir:
𝑚 𝑥 = 𝐸[𝑥] = න
−∞
∞
𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
Ejemplos: Calcular la media de v.a. específicas muy prácticas:
• media de una v.a. uniforme
• medía de una v.a. gaussiana
• media de una v.a. discreta
10

Ejemplo: Media de v.a. uniforme
𝑚 𝑥 = න
𝑎
𝑏
𝑋
1
𝑏 − 𝑎
𝑑𝑋 =
𝑎 + 𝑏
2
donde 𝑎 y 𝑏 son parámetros de la función densidad de probabilidad uniforme.
fdp
11

Ejemplo: Media de v.a. gaussiana
𝑚 𝑥 = න
−∞
∞
𝑋
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
𝑋−𝑚 2
2𝜎2
𝑑𝑋
efectuando un cambio de variable 𝑋 − 𝑚 = 𝛼 en la integral, se obtiene
𝑚 𝑥 = 𝑚 න
−∞
∞
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
𝛼2
2𝜎2
𝑑𝛼 + න
−∞
∞
𝛼
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
𝛼2
2𝜎2
𝑑𝛼
La primera integral es una integral de una función densidad de probabilidad gaussiana a
lo largo de ℝ, siendo por tanto igual a 1.
La segunda integral es nula porque se trata de la integral de una función impar
(producto de una función impar por una función par) a lo largo de un intervalo simétrico
en relación al origen.
Por tanto:
𝑚 𝑥 = 𝑚
donde 𝑚 es uno de los parámetros de la función densidad e probabilidad gaussiana.
12

Ejemplo: Media de v.a. gaussiana
Aclaraciones:
• Una función 𝑓(𝑥) es par en el intervalo [𝑎, −𝑎] si 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥
• una función 𝑓(𝑥) será impar en el intervalo 𝑎, 𝑏 si 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥).
13

Varianza (𝜎𝑥
2) y desviación estándar (𝜎)
• La raíz cuadrada 𝜎𝑥
2
de la varianza de una v.a. 𝑥 se
denomina desviación estándar de la v.a.
• La varianza (o desviación estándar) es un
parámetro asociado a la dispersión de la v.a. en
torno de su media.
Definición 3: Varianza
La varianza 𝜎2
de una v.a. 𝑥, es definida a través de la definición 1,
tomando 𝑔 𝑥 = 𝑋 − 𝑚 𝑥
2
. Es decir:
𝜎𝑥
2 = 𝐸[ 𝑥 − 𝑚 𝑥
2] = න
−∞
∞
𝑋 − 𝑚 𝑥
2 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
14

Varianza (𝜎𝑥
2) y desviación estándar (𝜎)
Ejemplos: Calcular la varianza de v.a. específicas:
• varianza de una v.a. uniforme
• varianza de una v.a. gaussiana
• varianza de una v.a. discreta
15

Valor cuadrático medio
• El concepto de valor cuadrático medio es importante y
bastante utilizado en:
– problemas de optimización y estimación de parámetros.
– cuantizadores (optimizar los niveles de cuantización a
través del criterio del mínimo error cuadrático)
Definición 4: Valor cuadrático medio
El valor cuadrático medio 𝐸 𝑥2
de una v.a. 𝑥, es definida a través
de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥2
. Es decir:
𝐸[𝑥2] = න
−∞
∞
𝑥2 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
16

Valor cuadrático medio
Ejemplos: Calcular el valor cuadrático medio de v.a. específicas:
• valor cuadrático medio de una v.a. uniforme
• valor cuadrático medio de una v.a. gaussiana
17

VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE
VECTOR ALEATORIO
18

Valor esperado de función de vector aleatorio
• El concepto de valor esperado de una variable
aleatoria 𝑦, es examinado en una situación más
general en que 𝑦 es función de varias variables
aleatorias, o sea
𝑦 = 𝑔(𝒙)
Definición 5: Teorema Fundamental del Valor Esperado (Caso
General )
Si 𝑦 = 𝑔(𝒙), entonces
𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝒙 = න
−∞
∞
න
−∞
∞
… න
−∞
∞
𝑔 𝒙 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿
19

Propiedad 1:
El valor esperado de una constante 𝑎 (que equivale a una v.a. que asume un
único valor 𝑎 es igual a la propia constante, o sea,
𝐸 𝑎 = 𝑎
Propiedad 2:
El valor esperado es un operador lineal, o sea,
𝐸 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 𝑥𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 𝐸[𝑥𝑖]
donde {𝑥𝑖} son v.a. y {𝑎𝑖} son constantes reales.
Propiedad 3:
El módulo del valor esperado de una variable aleatoria es menor o igual al
valor esperado del módulo de la v.a., o sea,
𝐸[𝑥] ≤ 𝐸 ][ 𝑥
20

Propiedad 4:
El operador valor esperado preserva el orden, en el sentido de que si dos v.a. 𝑥
y 𝑦 son tales que
𝑥 𝜔 ≥ 𝑦 𝜔 , ∀ 𝜔 ∈ Ω
entonces
𝐸 𝑥 ≥ 𝐸[𝑦]
Propiedad 5:
En el caso de 𝑛 v.a. estadísticamente independientes 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛, se tiene
para cualquier conjunto de funciones {𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔 𝑛},
𝐸 ෑ
𝑖=1
𝑛
𝑔𝑖(𝑥𝑖) = ෑ
𝑖=1
𝑛
𝐸[𝑔𝑖(𝑥𝑖)]
21

• A partir del resultado general del Teorema
Fundamental delValor Esperado, es posible
llegar a la definición de algunas cantidades
específicas ampliamente utilizadas en la teoría
de v.a.
22

Correlación
Definición 6: Correlación 𝑟𝑥𝑦
La correlación 𝑟𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦,
considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 =
𝑥𝑦 en la ecuación de la definición 5, o sea
𝑟𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = න
−∞
∞
න
−∞
∞
𝑋𝑌 𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋 𝑑𝑌
23

Covarianza
Definición 7: Covarianza 𝑘 𝑥𝑦
La covarianza 𝑘 𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦,
considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 =
(𝑥 − 𝑚 𝑥)(𝑦 − 𝑚 𝑦) en la ecuación de la definición 5, donde 𝑚 𝑥 y
𝑚 𝑦 representan, respectivamente, las medias de las v.a. 𝑥 y 𝑦. Si
tiene en este caso,
𝑘 𝑥𝑦 = 𝐸 (𝑥 − 𝑚 𝑥)(𝑦 − 𝑚 𝑦)
= න
−∞
∞
න
−∞
∞
(𝑋 − 𝑚 𝑥)(𝑌 − 𝑚 𝑥) 𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋 𝑑𝑌
24

Correlación – covarianza
Demostración:
𝑘 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥 − 𝑚 𝑥 𝑦 − 𝑚 𝑦
= 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑦𝑚 𝑥 − 𝑥𝑚 𝑦 + 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
= 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝐸 𝑦 − 𝑚 𝑦 𝐸 𝑥 + 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
= 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
La covarianza y la correlación se encuentran relacionadas por la
ecuación:
𝑘 𝑥𝑦 = 𝑟𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
25

Correlación – covarianza
• En el caso particular de 𝑥 = 𝑦, para el cuadro
del slide anterior, establece una relación entre
la varianza y el valor medio cuadrático de una
v.a. Se tiene,
𝜎𝑥
2
= 𝐸 𝑥2
− 𝑚 𝑥
2
26

Covarianza
• La covarianza entre dos v.a. es un parámetro real
que indica, de cierta forma, la relación estadística
entre dos v.a.
• Cuanto mayor es el valor del módulo de 𝑘 𝑥𝑦 más
fuerte es la relación estadística entre 𝑥 y 𝑦.
• Para examinar cuantitativamente el
relacionamiento estadístico entre dos variables,
es más adecuado la utilización de una cantidad
normalizada, puesto que permite caracterizar la
relación estadística máxima entre dos v.a.
27

Coeficiente de Correlación
Definición 8: Coeficiente de Correlación 𝜌 𝑥𝑦
El coeficiente de correlación 𝜌 𝑥𝑦 entre dos v.a. 𝑥 y 𝑦 es definido por
𝜌 𝑥𝑦 =
𝑘 𝑥𝑦
𝜎𝑥 𝜎 𝑦
donde 𝜎𝑥 y 𝜎 𝑦 representan respectivamente las desviaciones
estándar de las variables 𝑥 y 𝑦, y 𝑘 𝑥𝑦 la covarianza entre ellas.
Se puede demostrar que
−1 ≤ 𝜌 𝑥𝑦 ≤ 1
Por ser limitado, el coeficiente de correlación es más adecuado
para indicar la relación estadística entre dos variables que la
covarianza.
28

Coeficiente de Correlación
29

v.a. descorrelacionadas
Definición 9: v.a. descorrelacionadas
Dos v.a. 𝑥 y 𝑦 son descorrelacionadas cuando
𝜌 𝑥𝑦 = 0
o equivalentemente
𝑘 𝑥𝑦 = 0
Lo que es equivalente individualmente a
𝑟𝑥𝑦 = 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
Si dos v.a. son estadísticamente independientes, también son
descorrelacionadas, puesto que
𝑟𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 = 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
El recíproco de este hecho, sin embargo, no es verdad.
30

v.a. ortogonales
Los conceptos de media, varianza, valor medio cuadrático,
covarianza y correlación, definidos hasta el momento,
constituyen casos particulares de los conceptos más
generales de momento conjunto y momento conjunto central.
Definición 10: v.a. ortogonales
Dos v.a. son ortogonales cuando
𝑟𝑥𝑦 = 0
Dos v.a. descorrelacionadas son ortogonales si y solamente si por lo
menos una de ellas tiene media nula.
31

Momento conjuntos
Definición 11: Momentos Conjuntos
Los momentos conjuntos de 𝑛 v.a.’s 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 son definidos
considerando
𝑔 𝒙 = 𝑥1
𝑘1
𝑥2
𝑘2
… 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
donde las potencias 𝑘1, 𝑘2. … 𝑘 𝑛 son números enteros, cada uno
de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos son
entonces dados por
𝐸 𝑥1
𝑘1
𝑥2
𝑘2
… 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
= න
−∞
∞
න
−∞
∞
… න
−∞
∞
𝑋1
𝑘1
𝑋2
𝑘2
… 𝑋 𝑛
𝑘 𝑛
𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿
La suma 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 se denomina orden del momento
conjunto.
32

Momentos conjuntos
Observe que:
• Las cantidades 𝐸[𝑥1 𝑥2 𝑥 𝑛], 𝐸[𝑥1 𝑥2
2
], 𝐸[𝑥3
3
]
constituyen todos los momentos conjuntos de
tercer orden.
• La media constituye momentos de primer
orden.
• el valor medio cuadrático y la correlación
constituyen momentos de segundo orden.
33

Momentos conjuntos centrales
Definición 12: Momentos conjuntos centrales
Los momentos conjuntos centrales de 𝑛 v.a.’s 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 son
definidos considerando
𝑔 𝒙 = 𝑥1 − 𝑚 𝑥1
𝑘1
𝑥2 − 𝑚 𝑥2
𝑘2
… 𝑥 𝑛 − 𝑚 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
donde las potencias 𝑘1, 𝑘2. … 𝑘 𝑛 son números enteros, cada uno
de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos centrales
son entonces dados por
𝐸 𝑥1 − 𝑚 𝑥1
𝑘1
𝑥2 − 𝑚 𝑥2
𝑘2
… 𝑥 𝑛 − 𝑚 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
= න
−∞
∞
න
−∞
∞
… න
−∞
∞
𝑋1 − 𝑚 𝑥1
𝑘1
𝑋2 − 𝑚 𝑥2
𝑘2
… ൫
൯
𝑋 𝑛
− 𝑚 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿
34

Momentos conjuntos centrales
Observe que
• La varianza y la covarianza constituyen ambos
momentos centrales de segundo orden.
35

VALOR ESPERADO DE VECTORES Y
MATRICES
37

Valor esperado de vectores y matrices
• El valor esperado de un vector 𝒚 es definido
como un vector de la misma dimensión, cuyas
componentes son los valores esperados de las
componentes de 𝒚.
• El valor esperado de una matriz 𝑨 es definido
como una matriz de la misma dimensión,
cuyos elementos son los valores esperados de
los elementos de 𝑨.
38

Vector media
El vector media 𝒎 𝒙 de un vector aleatorio 𝒙 =
𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑛
𝑇
es definido por
𝒎 𝒙 = 𝐸[𝒙]
esto significa que
𝒎 𝒙 =
𝐸 𝑥1
𝐸 𝑥2
⋮
𝐸[𝑥 𝑛]
=
𝑚 𝑥1
𝑚 𝑥2
⋮
𝑚 𝑥 𝑛
o sea, el vector media de un vector aleatorio 𝒙 es el
vector cuyas componentes son las medias de las
componentes de 𝒙.
39

Matriz covarianza
La matriz covarianza 𝐾𝑥 de un vector aleatorio 𝒙 =
𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑛
𝑇
es definida por
𝐾𝑥 = 𝐸 𝒙 − 𝒎 𝒙 𝒙 − 𝒎 𝒙
𝑇
𝑲 𝒙 =
𝜎𝑥1
2
𝑘 𝑥1 𝑥2
… 𝑘 𝑥1 𝑥 𝑛
𝑘 𝑥2 𝑥1
𝜎𝑥2
2 … 𝑘 𝑥2 𝑥 𝑛
⋮
𝑘 𝑥 𝑛 𝑥1
⋮
𝑘 𝑥 𝑛 𝑥2
⋱ ⋮
… 𝜎𝑥 𝑛
2
40

Media y Covarianza de Vectores aleatorios
Determinar la expresión del vector media y de la matriz covarianza
de un vector aleatorio 𝒚 definido como una función lineal de otro
vector aleatorio 𝒙, en función del vector media y de la matriz
covarianza del vector 𝒙. En este caso considere
𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃
𝐸 𝒚 = 𝐸 𝑨𝒙 + 𝒃 = 𝑨𝐸 𝒙 + 𝒃
O sea,
𝒎 𝒚 = 𝑨𝒎 𝒙 + 𝒃
Por otro lado, se tiene
𝑲 𝒚 = 𝐸 𝒚 − 𝒎 𝒚 𝒚 − 𝒎 𝒚
𝑇
= 𝐸 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎 𝒙 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎 𝒙
𝑇
o aún,
𝑲 𝒚 = 𝐸 𝑨 𝒙 − 𝒎 𝒙 𝒙 − 𝒎 𝒙
𝑇 𝑨 𝑇
finalmente,
𝑲 𝒚 = 𝑨𝑲 𝒙 𝑨 𝑇
41

Matriz covarianza
Demostración:
Propiedad 6:
Dado un vector aleatorio 𝒙, con matriz covarianza 𝑲 𝒙, es posible hacer que sus
componentes estén descorrelacionadas dos a dos, a través de una
transformación lineal.
42

Ejemplo
Considere un vector aleatorio 𝒙 con matriz convarianza
𝑲 𝒙 =
2 1
1 2
Encuentre la matriz 𝑷, que transforma el vector aleatorio 𝒙, en un
vector aleatorio 𝒚 con componentes descorrelatadas dos a dos.
43

Valor esperado condicional
Definición 11: Valor esperado condicional
El valor esperado de 𝑦, condicionado al evento 𝑀, es definido por
𝐸 𝑦 𝑀 = න
−∞
∞
𝑌 𝑝 𝑦|𝑀 𝑌 𝑑𝑌
Definición 12: Valor esperado condicional
Para el caso particular 𝑦 = 𝑔(𝑥) el valor esperado de 𝑦,
condicionado al evento 𝑀, es definido por
𝐸 𝑔(𝑥) 𝑀 = න
−∞
∞
𝑔(𝑋) 𝑝 𝑥|𝑀 𝑋 𝑑𝑋
Y en el caso de función de vector aleatorio
𝐸 𝑔(𝒙) 𝑀 = න
−∞
∞
𝑔(𝑿) 𝑝 𝒙|𝑀 𝑿 𝑑𝑿
45

Funciones Características de una variable
aleatoria real
Definición 13: Función Carácterística de v.a.r.
La función característica de una v.a. 𝑥 es definida como
𝑀 𝑥 𝑣 = 𝐸 𝑒 𝑗𝑣𝑥
o sea
𝑀 𝑥 𝑣 = න
−∞
∞
𝑒 𝑗𝑣𝑋
𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
donde 𝑀 𝑥 es una función de la v.a.r. 𝑣 y toma valores en el conjunto
de los números complejos.
47

Ejemplo: Cálculo de función característica
Calcular la función característica de:
• una v.a. uniforme
• una v.a. exponencial
• una v.a. de Poisson
• una v.a. gaussiana
48

aleatoria real
• En la determinación de funciones
características de v.a., las manipulaciones
algebraicas trabajosas pueden ser evitadas.
• Para esto, basta observar que, de no ser por
una sustitución de variables bastante simple,
𝑀 𝑥 𝑣 coincide con laTransformada de
Fourier de 𝑝 𝑥(𝑋).
49

aleatoria real
• La Transformada de Fourier de 𝑝 𝑥(𝑋) es
definida por
ℱ 𝑝 𝑥 𝑋 = න
−∞
∞
𝑝 𝑥 𝑋 𝑒−2𝜋𝑓𝑋
𝑑𝑋
se llega fácilmente a la relación
𝑀 𝑥 𝑣 = ℱ 𝑝 𝑥 𝑋 ቚ
𝑓=−
𝑣
2𝜋
50

aleatoria real
• Análogamente, conocida la función característica de
una v.a. es posible obtener la fdp utilizando la
transformada inversa de Fourier, dada por
𝑝 𝑥 𝑋 = න
−∞
∞
ℱ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑋
𝑑𝑓
se obtiene así
𝑝 𝑥 𝑋 = ℱ−1 𝑀 𝑥 𝑣 | 𝑣=−2𝜋𝑓 =
1
2𝜋
‫׬‬−∞
∞
𝑀 𝑥 𝑣 𝑒−𝑗𝑣𝑋 𝑑𝑣
donde ℱ−1 caracteriza la Transformada Inversa de
Fourier.
51

aleatoria real
Propiedad 7:
𝑀 𝑥 0 = 1
Propiedad 8:
𝑀 𝑥(𝑣) ≤ 1
Propiedad 9:
Si 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, entonces
𝑀 𝑦 𝑣 = 𝑒 𝑗𝑣𝑏 𝑀 𝑥 𝑎𝑣
52

aleatoria real
Propiedad 10:
Si {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛} son v.a. estadísticamente independientes y
𝑦 = σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
entonces
𝑀 𝑦 𝑣 = ෑ
𝑖=1
𝑛
𝑀 𝑥 𝑖
(𝑣)
Propiedad 11:
𝐸 𝑥 𝑘 = อ−𝑗 𝑘
𝑑 𝑘
𝑑𝑣 𝑘
𝑀 𝑥 𝑣
𝑣=0
53

Ejemplo: Funciones Características
Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp uniforme en el
intervalo (−1,1] . Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.
54

Ejemplo: Funciones Características
Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp de Poisson de
parámetro 𝑎. Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.
55

Teorema del Límite Central
Definición 14: Teorema del Límite Central
Sea 𝑦𝑛 una v.a. definida por
𝑦𝑛 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
donde {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛} son v.a. estadísticamente independientes,
identicamente distribuidas, todas con media 𝑚 y varianza 𝜎2
.
Entonces, la v.a. 𝑧 𝑛 que caracteriza la suma normalizada
𝑧 𝑛 =
𝑦𝑛 − 𝑚 𝑦 𝑛
𝜎 𝑦 𝑛
y tal que
lim
𝑛→∞
𝑝 𝑧 𝑛
𝑍 =
1
2𝜋
𝑒−
𝑍2
2
56

FUNCIÓN CARACTERÍSTICA DE
VECTOR ALEATORIO
57

Función Característica de Vector Aleatorio
Definición 15: Función Característica de Vector Aleatorio
La función característica de un vector aleatorio 𝒙, de dimensión 𝒏
es definida por
𝑀 𝑥 𝒗 = 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒙
o sea
𝑀𝒙 𝒗 = න
−∞
∞
න
∞
∞
… න
−∞
∞
𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒙 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿
donde 𝑀 𝑥 es una función de las 𝑛 variables {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} que
caracterizan el vector 𝒗, y toma valores en el conjunto de números
complejos.
58

Función Característica de Vector Aleatorio
Propiedad 12:
𝑀 𝒙 𝟎 = 1
Propiedad 13:
𝑀 𝒙(𝒗) ≤ 1
Propiedad 14:
Si 𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃, entonces
𝑀 𝒚 𝒗 = 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒃 𝑀 𝒙(𝑨 𝑇 𝒗)
Demostración
𝑀 𝒚 𝒗 = 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒚
= 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝑨𝒙+𝒃
= 𝑒 𝑗𝒗𝒃
𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝑨𝒙
como 𝒗 𝑇
𝑨 = 𝑨 𝑇
𝒗 𝑇
59

aleatoria real
Propiedad 15:
Si las componentes {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛} del vector aleatorio 𝒙 son estadísticamente
independientes, entonces
𝑀 𝒙 𝒗 = ෑ
𝑖=1
𝑛
𝑀 𝑥 𝑖
(𝑣𝑖)
Propiedad 16:
𝐸 𝑥1
𝑘1
𝑥2
𝑘2
… 𝑥 𝑛
𝑘 𝑛
= ቮ−𝑗 𝑘1+𝑘2+⋯+𝑘 𝑛
𝑑 𝑘1+𝑘2+⋯+𝑘 𝑛
𝛿𝑣1
𝑘1
𝛿𝑣2
𝑘2
… 𝛿𝑣 𝑛
𝑘 𝑛
𝑀 𝒙 𝒗
𝒗=𝟎
60

Ejemplo: Función Característica de vectores
aleatorios
Sea 𝒙 un aleatorio bidimensional con función característica dada por
𝑀 𝒙 𝒗 = 𝑒− 2𝑣1
2+2𝑣2
2+𝑣1 𝑣2
Se desea determinar el vector media 𝒎 𝒙 y la matriz covarianza 𝑲 𝒙 del aleatorio 𝒙.
61

Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
63

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