O documento apresenta conceitos sobre progressão aritmética e progressão geométrica, incluindo suas definições, condições de existência, termos gerais e algumas propriedades. Há também exercícios resolvidos como exemplos.
2. a1, a2, a3, ……., an
P. A.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
a2 – a1 = a3 – a2 = r
TERMO GERAL
aaaa2222 = a= a= a= a1111 + r+ r+ r+ r
01) A sequência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são
termos consecutivos de uma P.A. Então o
valor de x é:
02) Os números que exprimem o lado, a
diagonal e a área de um quadrado estão em
P.A, nessa ordem. O lado do quadrado mede:
an = a1 + (n – 1).r
VERDADEIRO OU FALSO
( ) UFSC – 2005 O vigésimo termo da
progressão aritmética (x, x +10, x2, ...) com
x < 0 é 186.
( ) UFSC – 2001 - Existem 64 múltiplos de 7
entre 50 e 500.
( ) UFSC – 2012 - Considere uma progressão
aritmética de k termos positivos, cujo primeiro
termo a é igual à razão. O produto dos k
termos desta progressão é o número P = ak . k!
V
V
V
aaaa3333 = a= a= a= a1111 ++++ 2r2r2r2r
aaaa4444 = a= a= a= a1111 ++++ 3r3r3r3r
aaaa10101010 = a= a= a= a1111 ++++ 9r9r9r9r
:
:
3. a1, a2, a3, ……., an
P. A.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
a2 – a1 = a3 – a2 = r
TERMO GERAL
a2 = aaaa1111 + r+ r+ r+ r
a3 = aaaa1111 + 2r+ 2r+ 2r+ 2r
a4 = aaaa1111 ++++ 3r3r3r3r
an = a1 + (n – 1).r
( UFRGS – 2011 ) O quociente entre o último
e o primeiro termos de uma sequência de
números é 1000. Os logaritmos decimais
dos termos dessa sequência formam uma
progressão aritmética de razão 1/2. Então, o
número de termos da sequência é
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
VERDADEIRO OU FALSO
( ) UFSC – 2012 - Considere uma progressão
aritmética (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9). Com
os termos desta progressão construímos a
matriz
A matriz A construída desta forma é inversível.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
a a a
A= a a a
a a a
F
4. a1, a2, a3, ……., an
P. A.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
a2 – a1 = a3 – a2 = r
TERMO GERAL
a2 = aaaa1111 + r+ r+ r+ r
a3 = aaaa1111 + 2r+ 2r+ 2r+ 2r
a4 = aaaa1111 ++++ 3r3r3r3r
an = a1 + (n – 1).r
3 TERMOS EM P.A
x – r; x; x + r
O perímetro de um triângulo retângulo mede
60m. Sabendo que seus lados estão em P.A., o
valor da hipotenusa, é:
VERDADEIRO OU FALSO
( ) UFSC – 2008 Os lados de um triângulo
estão em progressão aritmética de razão dois.
Se o perímetro do triângulo é de 57 cm, então
o comprimento do maior lado é 19 cm.
F
5. a1, a2, a3, ……., an
P. A.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
a2 – a1 = a3 – a2 = r
TERMO GERAL
a2 = aaaa1111 + r+ r+ r+ r
a3 = aaaa1111 + 2r+ 2r+ 2r+ 2r
a4 = aaaa1111 + 3r+ 3r+ 3r+ 3r
aaaannnn = a= a= a= a1111 + (n+ (n+ (n+ (n –––– 1).r1).r1).r1).r
SOMA DOS TERMOS
Sn = (a1 + an). n
2
01) ( UFSC ) Marque no cartão resposta a
ÚNICA proposição correta. A soma dos
múltiplos de 10, compreendidos entre 1e1995,
é
01. 198.000
02. 19.950
04. 199.000
08. 1.991.010
16. 19.900
02) ( UFRGS – 2013 ) Denominando P a soma
dos números pares de 1 a 100 e I a soma
dos números ímpares de 1 a 100, P – I é:
a) 49
b) 50
c) 51
d) 52
e) 53
6. a1, a2, a3, ……., an
P. A.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
a2 – a1 = a3 – a2 = r
TERMO GERAL
a2 = aaaa1111 + r+ r+ r+ r
a3 = aaaa1111 + 2r+ 2r+ 2r+ 2r
a4 = aaaa1111 + 3r+ 3r+ 3r+ 3r
aaaannnn = a= a= a= a1111 + (n+ (n+ (n+ (n –––– 1).r1).r1).r1).r
SOMA DOS TERMOS
Sn = (a1 + an). n
2
03) ( UFPE-09 ) Os 25 DVDs de uma coleção
estão alinhados em ordem crescente de preço.
Além disso, o preço de cada DVD, a partir do
segundo, é superior em R$ 2,00 ao preço do
DVD que o antecede. Se o DVD mais caro
custou 7 vezes o preço do mais barato, quanto
custou a coleção inteira?
A) R$ 792,00 B) R$ 794,00 C) R$ 796,00
D) R$ 798,00 E) R$ 800,00
7. a1, a2, a3, ……., an
P. A.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
a2 – a1 = a3 – a2 = r
TERMO GERAL
a2 = aaaa1111 + r+ r+ r+ r
a3 = aaaa1111 + 2r+ 2r+ 2r+ 2r
a4 = aaaa1111 + 3r+ 3r+ 3r+ 3r
aaaannnn = a= a= a= a1111 + (n+ (n+ (n+ (n –––– 1).r1).r1).r1).r
SOMA DOS TERMOS
Sn = (a1 + an). n
2
04) ( FGV-SP ) Seja a seqüência (a1, a2, a3,., an )
tal que an = log 10n – 1, em que n ∈∈∈∈ N*. Determine
o valor de
∑=
100
1n
n
a
a) 4950
b) 4850
c) 5050
d) 4750
e) 4650
9. a1, a2, a3, ……., an
P. G.
RAZÃO DA P.G.
TERMO GERAL
a2 = aaaa1111 .... qqqq
a3 = aaaa1111 .... qqqq2222
a4 = aaaa1111 .... qqqq3333
aaaannnn = a= a= a= a1111 .... qqqq nnnn –––– 1111
3 TERMOS EM P.G.
q...
a
a
a
a
2
3
1
2
===
xqx;;
q
x
10. a1, a2, a3, ……., an
P. G.
RAZÃO DA P.G.
TERMO GERAL
a2 = aaaa1111 .... qqqq
a3 = aaaa1111 .... qqqq2222
a4 = aaaa1111 .... qqqq3333
aaaannnn = a= a= a= a1111 .... qqqq nnnn –––– 1111
3 TERMOS EM P.G.
q...
a
a
a
a
2
3
1
2
===
xqx;;
q
x
VERDADEIRO OU FALSO
( ) UFSC – 2002 - Se três números DISTINTOS
formam uma P.A., então eles não formam uma
P.G.
( ) UFSC – 2009 - Um produto que custa hoje
R$ 100,00 terá seu preço reajustado em 3% a
cada mês. Fazendo-se uma tabela do preço
deste produto, mês a mês, obtém-se uma
progressão geométrica de razão 1,03.
V
V
( UFRGS – 2011 ) Três números formam uma
progressão geométrica de razão 3. Subtraindo 8
unidades do terceiro número, obteremos uma
progressão aritmética cuja soma dos termos é:
a) 16
b) 18
c) 22
d) 24
e) 26
11. a1, a2, a3, ……., an
P. G.
RAZÃO DA P.G.
TERMO GERAL
a2 = aaaa1111 .... qqqq
a3 = aaaa1111 .... qqqq2222
a4 = aaaa1111 .... qqqq3333
aaaannnn = a= a= a= a1111 .... qqqq nnnn –––– 1111
3 TERMOS EM P.G.
q...
a
a
a
a
2
3
1
2
===
xqx;;
q
x
( UFRGS – 09 ) Os lados de um terreno
triangular têm medidas diferentes, as quais,
em certa ordem, formam uma progressão
geométrica crescente. O conjunto dos
possíveis valores da razão dessa progressão é
o intervalo:
+
−
+−++
2
15
1,e)
2
5
1,d)
2
152
1,c)
2
15
,
2
15
b)
2
15
,
2
15-
a)
12. ( UFRGS – 2013 ) Se a1, a2, ....., a100 é uma
progressão aritmética de razão r, então a
sequência a1 – a100, a2 – a99, ......, a50 – a51, é
uma progressão:
a) geométrica de razão 2r
b) geométrica de razão r
c) aritmética de razão – r
d) aritmética de razão r
e) aritmética de razão 2r
a1, a2, a3, ……., an
P. G.
RAZÃO DA P.G.
TERMO GERAL
a2 = aaaa1111 .... qqqq
a3 = aaaa1111 .... qqqq2222
a4 = aaaa1111 .... qqqq3333
aaaannnn = a= a= a= a1111 .... qqqq nnnn –––– 1111
3 TERMOS EM P.G.
q...
a
a
a
a
2
3
1
2
===
xqx;;
q
x
13. a1, a2, a3, ……., an
P. G.
RAZÃO DA P.G.
TERMO GERAL
a2 = aaaa1111 .... qqqq
a3 = aaaa1111 .... qqqq2222
a4 = aaaa1111 .... qqqq3333
aaaannnn = a= a= a= a1111 .... qqqq nnnn –––– 1111
3 TERMOS EM P.G.
q...
a
a
a
a
2
3
1
2
===
xqx;;
q
x
SOMA DOS TERMOS DA P.G.
FINITA
INFINITA1q
1).(qa
S
n
1
n
−
−
=
q-1
a
Slimite 1
=∞
14. ( UFSC - 2004 ) Sejam (an) uma progressão
geométrica e (bn) uma progressão aritmética
cuja razão é da razão da progressão
geométrica (an). Sabendo que a1 = b1 = 2 e que
a2 = b7 calcule a soma b1 + b2 + ... + b7.
10
3
Resposta: 77
15. ( UFSC ) Se a, b, c são termos consecutivos de uma P.A.
de razão 5 e (a + 2), b, (c - 1) são termos consecutivos de
uma P.G., então o valor de a + b + c é:
P. A .
a, b, c r = 5
b = a + 5
c = a + 10
P. G .
(a + 2), b, (c - 1)
5555aaaa
1
0
1
0
1
0
1
0
aaaa5555aaaa
+
−+
=
+
+
−
=
+
1
1
2
2a
b
c
a
b
(a + 5)2 = (a + 2).(a + 9)
a = 7
b = a + 5
c = a + 10
b = 12
c = 17
Portanto a + b + c = 36
