6. La media aritmetica La media aritmetica semplice M di n valori è il rapporto fra la loro somma e il loro numero n:

7. La media aritmetica ponderata Quando ciascuna modalità si presenta con una certa frequenza o peso, è più vantaggioso calcolare la media aritmetica considerando le frequenze (assolute o relative): in tal caso si parla di media aritmetica ponderata perché ogni valore entra nella media con il suo peso , cioè la sua frequenza. La media aritmetica ponderata M di n valori è:

8. Calcolo della media ponderata

9. Attenzione! Non sempre il calcolo della media aritmetica rappresenta in modo significativo l’insieme dei valori a cui si riferisce. Per esempio, assegnati i valori:

11. La MODA Moda di un fenomeno è la modalità con frequenza più elevata. Mo = 6

12. La MEDIANA Mediana : è il valore divisorio in quanto bipartisce la successione dei dati in due gruppi ugualmente numerosi; è il valore che taglia in due parti uguali la distribuzione dei dati ordinati, cioè il termine preceduto e seguito dallo stesso numero di dati.

13. Mediana Me di n valori ordinati in modo non decrescente è: Esempio: dati i valori ordinati: 1, 2, 2, 3 , 4, 5, 6 Me = 3 i valori sono 7 la mediana è il termine che occupa il 4° posto  (7+1)/2=4

14. Avendo a disposizione la distribuzione di frequenza (Frequenze cumulate) la mediana corrisponde al valore con frequenza del 50%, cioè quel valore che ha il 50% dei casi prima e il 50% dopo. Dalla tabella Me = 6

15. Asimmetria - simmetria

16. I Quartili Il concetto di mediana si può facilmente generalizzare ottenendo altri valori divisori fra i quali i più usati sono i quartili . Tali indici di posizione si fondano sempre sul concetto di divisione della distribuzione. I Quartili dividono la serie ordinata in quattro parti contenendo ciascuna lo stesso numero di dati. x 1 Q 1 Q 2 = Me Q 3 Q 4 = x n

17. Primo quartile : si trova esattamente sul valore 7, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 25,0% Secondo quartile : si trova esattamente sul valore 13, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 50,0%. Coincide sempre con la mediana Terzo quartile : si trova all’incirca sul valore 21, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 79,2% (75,0%) Quarto quartile : si trova sempre sull’ultimo valore, in questo caso è 29, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 100%

18. La variabilità Il calcolo della media ci permette di sintetizzare una quantità di dati, ma dall’altro riduce l’informazione racchiudendo tanti valori in un solo ‘dato’, rende simili situazioni che proprio simili non sono. Per ridurre la perdita di informazioni, si ricorre allo studio della variabilità del fenomeno.

19. Variabilità è la tendenza di un fenomeno ad assumere modalità diverse fra loro. La variabilità può essere rappresentata graficamente mediante il diagramma di dispersione .

21. Campo di variazione o range R di un insieme di valori osservati è la differenza fra il valore massimo e il valore minimo: R= x max - x min

22. Attenzione tale indice presenta due grossi difetti: 1) dipende esclusivamente dai valori massimo e minimo registrati, senza considerare i valori intermedi; 2) su di esso influisce pesantemente la presenza anche di un solo valore anomalo. Altri indici di variabilità, più raffinati, si possono trovare utilizzando un altro criterio,cioè la variabilità rispetto a un centro che può essere la media.

23. La varianza La varianza è la media aritmetica degli scarti dalla media al quadrato,  2 ( sigma quadrato ).

24. Scarto quadratico medio Lo scarto quadratico medio (sqm)  o deviazione standard è la radice quadrata (positiva) della varianza.

25. Normalizzazione La normalizzazione è un’operazione statistica che permette di mettere a confronto distribuzioni diverse. Avendo due prove il cui punteggio grezzo massimo raggiungibile dagli studenti è diverso, 30 nella prima prova e 45 nella seconda prova, non permette di confrontare i risultati ottenuti. Per superare questo inconveniente ricorro alla normalizzazione. Essa si basa su una proporzione: (Punti studente) : (p.ti totali) = (P.ti studente normalizzati) : 100

26. Per A1 1^p 25 : 30 = x : 100 x = 25/30*100 = 83,3 2^p 40 : 45 = x : 100 x = 40/45*100 = 88,9 Normalizzazione

27. Control Charts

28. Diagrammi di Pareto

30. Istogrammi

32. Diagrammi temporali

34. Diagrammi di correlazione

38. Flow chart Input Within Spec? Process Output adjust Yes Nxo

40. Diagrammi causa/effetto