Circunferencia y circulos

Prof. Guillermo Corbacho C.
gcorbach@uc.cl

Notas del Autor

El presente trabajo, junto con compilar y deducir parte de los contenidos -ya existentes por
lo demás, desde la antigua Grecia- presenta en su amplia mayoría ejercicios elaborados
personalmente. Algunos de los cuales se pueden hallar -con alguna variación numérica,
dentro de los textos indicados en la bibliografía.
Como el estudiante puede sospechar, la dificultad para todo profesor no está en la
elaboración mental de los mismos, sino más bien en el tiempo invertido para llegar a la
elaboración de un trabajo digital al cual podremos consultar. Y sumando en tal dirección,
espero sea un aporte para alumnos, profesores y en cierta medida, para quienes se preparan
en alguna prueba de admisión universitaria.

Es así como hoy me toca poder invitarlos a los temas o contenidos de Circunferencias y
Círculos. Figuras y formas que desde de la antigüedad han inspirado interpretaciones o
significados cercanos a la belleza o a la perfección más allá de la geometría. El tenerlas
presente me han reportado y reportan mucho disfrute personal, cada vez que me hallo con
ellas. Espero que a uds. también, desde la perspectiva de sus contenidos y variados
ejercicios.

Guillermo Corbacho Castro.
Profesor de Matemáticas y Física y Licenciado en Educación.
Titulado y graduado de la Pontificia Universidad Católica de Chile.

Parinacota, Quilicura, 2k09 1

gcorbach@uc.cl

ÍNDICE
A
Ángulos en la circunferencia......................... 3 Listado Nº 3 Ejercicios (Resueltos)
Ángulo del centro ............................................ 3 Segmentos proporcionales.............................. 43
Ángulo inscrito .............................................. 3 Listado Nº 4 Ejercicios (Propuestos)
Ángulo semi inscrito ........................................ 5 Segmentos proporcionales.............................. 46
Ángulo exterior a una circunferencia Listado Nº 5 Ejercicios de Recapitulación:
formado por dos secantes............................... 10 Ángulos en la circunferencia y Segmentos
con uno de sus lados como tangente .............. 10 proporcionales ................................................ 47
Ángulo interior a una circunferencia ............. 10 Listado Nº 6 Ejercicios de Recapitulación Nº 2:
Áreas y perímetros....................................... 59 Ángulos en la circunferencia y segmentos
Algo podremos inducir. ................................. 61 proporcionales ................................................ 49
Áreas y Perímetros combinados con: Listado Nº 1 de Ejercicios (Resueltos)
propiedades de ángulos en la circunferencia.. 82 Segmentos Circulares ..................................... 73
triángulos ....................................................... 97 Listado Nº 2 de Ejercicios (Resueltos)
Área de un triángulo rectángulo..................... 98 Flor de Ejercicios en Segmentos Circulares ... 76
Área de un triángulo en función de la altura .. 98 Listado Nº 3 de Ejercicios (Resueltos)
Área de un ∆ circunscrito.............................. 99 Áreas y Perímetros sobre un fondo cuadrado. 78
Área de un ∆ inscrito .................................... 99 Listado Nº 4 de Ejercicios (Resueltos)
Áreas y Perímetros ......................................... 84
C Listado Nº 5 de Ejercicios (Propuestos)
Cuadrilátero inscrito en una circunferencia ... 10 Áreas y Perímetros ......................................... 94
Cuerda que pasa por el centro dimidiando ⊥ . 24 Lúnula .......................................................... 100
Cuerdas congruentes ...................................... 32 Listado Nº 6 de Ejercicios (Resueltos)
Cuadrilátero Circunscrito.Suma de lados....... 33 Áreas y Perímetros: Circunferencias
Control de Ángulos en la circunferencia y combinadas con triángulos ........................... 103
Segmentos proporcionales Fila Atenea..... 51 Listado Nº 7 de Ejercicios (Propuestos)
Control de Ángulos en la circunferencia y Áreas y Perímetros combinados con teorema de
Segmentos proporcionales Fila Apolo ...... 54 Pitágoras ....................................................... 108
Control de Ángulos en la circunferencia y Listado Nº 8 de Ejercicios (Propuestos).
Segmentos proporcionales Fila Afrodita... 57 Áreas y Perímetros ....................................... 117
Control de Ángulos en la circunferencia y P
Segmentos proporcionales Fila Ares......... 58
Corona Circular.............................................. 63 Potencia de un punto P ................................... 23
Considere la utilidad de simplificar ............... 67 Perímetro de la circunferencia........................ 59
Circunferencias y Círculos en fondo cuadrado Perímetros de bases AB en triángulos AOB
....................................................................... 78 Segmentos Circulares ..................................... 72
Cuadratura del área 101 Puntos notables en el triángulo....................... 98
E R
Elementos de la circunferencia ........................ 3 Relaciones de Áreas en ∆s OAB de ángulos del
Ejercicios de Aplicación del teorema particular centro, suplementarios entre sí ....................... 71
de Pitágoras en Métrica en la circunferencia . 34 S
Ejercicios Resueltos y Propuestos. Nivel básico.
Áreas y Perímetros....................................... 110 Segmentos Proporcionales ........................... 23
Sector Circular................................................ 65
G Segmento circular........................................... 68
Guía de Autoaprendizaje. Áreas y Perímetros T
..................................................................... 110
Trapecio Isósceles inscrito ............................. 10
L Teorema de las Cuerdas ................................. 23
Listado Nº 1 Ejercicios (Resueltos) Teorema de las Secantes................................. 30
Ángulos inscritos, del centro y semi inscritos.. 6 Teorema de la secante con la tangente ........... 32
Listado Nº 2 Ejercicios (Propuestos) Teorema de la tangente con la tangente ......... 32
Cuadriláteros Inscritos, ángulos interiores y Teorema de Ptolomeo..................................... 33
exteriores a la circunferencia ......................... 11 Teorema Particular de Pitágoras..................... 33
Listado Nº 3 Ejercicios (Propuestos) Trapecio Circular............................................ 64
Ángulos en la circunferencia ......................... 18 Tabla de áreas de ∆s OAB
Listado Nº 4 Ejercicios (Propuestos) (segmentos circulares).................................... 70
Ángulos en la circunferencia ......................... 21 Tabla de perímetros de bases de ∆s OAB
Listado Nº 1 Ejercicios (Propuestos) (segmentos circulares).................................... 72
Segmentos proporcionales ............................. 26 Teorema de Pitágoras (Repaso)
Listado Nº 2 Ejercicios (Propuestos) Números Pitagóricos ...................................... 97
Segmentos proporcionales ............................. 35
Listado Nº 2 (Alternativo) BIBLIOGRAFIA.......................................... 118
Segmentos proporcionales ............................. 39


gcorbach@uc.cl

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
I. Elementos de la circunferencia:
O es centro de la ⊗;
OT , OQ y OB son radios de la ⊗;
AB cuerda de la ⊗;
QT diámetro de la ⊗;
L1 y L 2 son rectas secantes a la ⊗;
L3 es tangente a la ⊗;
α es ángulo interior de la ⊗;
δ es ángulo exterior a la ⊗;

II. Propiedades
1. El ángulo del centro mide el doble que el ángulo inscrito.
O bien; el ángulo inscrito mide la mitad que el ángulo del centro.

Ejemplos: Para hallar el valor incógnito, usar la primera representación de la
propiedad indicada será suficiente: “el ángulo del centro mide el doble que su
ángulo inscrito”.

Solución: Solución: Solución:
126º = 2α /• 1 α = 2 • 52º 60º = 2α /• 1
2 2
= 104º
63º = α 30º = α

2. El ángulo del centro mide lo mismo que el arco de circunferencia que subtiende.
Tal como se ilustra en la figura.

AB = α = AOB

Ejemplos:

α = AB = 122º α = 115º AB = 80º


3. Los ángulos inscritos que subtienden el O bien, el ángulo del centro mide el
mismo ángulo del centro -o arco de doble que todos los ángulos inscritos
circunferencia, son iguales entre sí y que subtienden el mismo arco que el,
miden la mitad que el ángulo del cuya medida de este último, es
centro –así como del arco que también el doble que ellos.
subtiende.

Ejemplos:

Recordatorios:
En ejercicios de esta unidad, aparecen en ocasiones triángulos inscritos (adentro) de
una circunferencia. Por lo tanto es pertinente recordar de los triángulos que:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180º.
Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a
el.

α + β + γ = 180º
α +γ =δ

Dos ángulos adyacentes suplementarios suman 180º. En la figura
anterior: β + δ = 180º

En una circunferencia debemos tener que:
Toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, es diámetro de ella –la
dimidia en dos partes iguales-.

Todo triángulo dentro de una circunferencia que tengas
dos lados coincidentes con un radio, es isósceles. Y los
ángulos interiores -del mismo triángulo-, opuestos a
dichos lados, son de igual medida entre sí.
En la circunferencia de la izquierda, r designa su radio.
AB es una cuerda que pasa por su centro, por lo tanto es
también un diámetro.

El triángulo AOC es isósceles, pues AO = OC = r .
Y sus ángulos interiores, -opuestos a dichos lados- y de igual medida entre sí,
están indicados por α.



Ejemplos:

Observe que en las primeras figuras hemos indicado también el ángulo del centro.
El cuál tiene siempre la misma orientación que su respectivo ángulo inscrito. Así,
en la primera figura un ángulo inscrito de 35º se abre hacia la derecha, por lo tanto
su respectivo ángulo del centro –que mide el doble, 70º-, también se abre hacia la
derecha. Hacia donde se halla el arco respectivo.
En la segunda figura, un ángulo inscrito se abre hacia la izquierda y su respectivo
ángulo del centro también.
Pero no siempre hemos indicado el ángulo del centro y su arco. Las dos últimas
figuras se concentran únicamente en lo que estamos indicando al inicial este punto:
que si dos lados del triángulo coinciden con los radios, entonces es un triángulo
isósceles. Esto significa que por tener dos lados de igual medida, los ángulos
opuestos a dichos lados -llamados ángulos basales-, también tienen igual medida al
interior del mismo triángulo.

Otro punto que destacar relativo a ángulos al interior de una circunferencia es
que, un ángulo completo es aquel que subtiende un arco que coincide con la
propia circunferencia y que por lo tanto, mide 360º.

4. Debido a lo anterior, un ángulo del centro que subtiende un arco de media
circunferencia, mide 180º. Y si dicho ángulo del centro tiene un ángulo inscrito,
este mide, por lo visto anteriormente, su mitad, es decir, 90º.

5. Un ángulo semi inscrito -en la figura de la derecha marcado
con rojo, tiene como uno de sus lados una cuerda de la
circunferencia y por otro, un segmento externo y tangente,
comparte la misma propiedad que un ángulo inscrito. Es decir,
mide la mitad que el ángulo del centro y lo mismo que el
ángulo inscrito con los cuales subtienda el mismo arco. Tal
como lo ilustra la figura.

Ejemplos: Lo usual es que no nos encontremos con los arcos y ángulos resaltados o
diferenciados como arriba (es el caso de la última de las siguientes figuras.)



Ángulos en la Circunferencia
Listado Nº1: Ejercicios (Resueltos)
Ángulos inscritos, del centro y semi inscritos.
Ejercicios: En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda.

1. AB es diámetro de la ⊗ . γ = ? 2. α = ? 3. α = ?

Solución:
Solución:
γ es un inscrito y mide la mitad Solución:
Los ángulos inscritos y del centro
que el del centro con el cual α es un del centro y por lo
subtienden el mismo arco BC .
subtiende el mismo arco AB de ⊗. tanto, mide el doble que el
En tales casos, el ángulo del
180º inscrito que subtiende el mismo
Es decir, γ = = 90º arco de ⊗ que el.
inscrito mide SIEMPRE la mitad
2 que el del centro.
α = 2•50º = 100º
120º
α= = 60º
2
4. AB = α = ? 5. α = ? 6. AB = α = ?

Todo arco de ⊗ SIEMPRE mide lo α es un ángulo inscrito, por lo Ahora α es un arco y al igual que
mismo que el del centro que lo tanto, mide la mitad que el arco un ángulo del centro, mide el
subtiende. Por lo tanto: que subtiende: doble que el ángulo inscrito:
AB = 160º O bien: α = 152º 110º α = 2•40º = 80º .
α= = 55º
2
7. α = ?, β = ?, δ =? 8. El triángulo ABC es 9. Se tiene un nonágono regular
equilátero. α = ?, β = ? (polígono de nueve lados
congruentes) inscrito en la ⊗.
δ = ?, α = ?, ϕ = ?

α es un ángulo del centro y por lo Cada vértice del triángulo Cada vértice del polígono
tanto, mide el doble que el ángulo
inscrito que subtiende el mismo arco
equilátero divide los 360º de la equilátero divide los 360º de la ⊗
⊗ en tres arcos y ángulos del en 9 arcos y ángulos del centro
de ⊗, es decir:
centro congruentes (de igual congruentes (de igual medida).
δ = 2•42º =84º. medida). Es decir, el ángulo del centro
α y β son s inscritos que 360º mide: δ = 360º /9 = 40º.
subtienden el mismo arco que el Es decir, β = = 120º.
de 48º. Por lo tanto, miden lo mismo 3 Cada ángulo inscrito mide:
β 120º α = δ /2 = 40º /2 = 20º.
que este. Mientras, α = = = 60º. y ϕ mide cuatro veces α:
Es decir: α = β = 48º. 2 2
ϕ = 4α = 4•20º = 80º .



10. AB es diámetro . AB = α = ? 11. δ = ? 12. α = ?

Solución:
Solución: Solución:
La figura se puede completar a:
La figura se puede completar a: Por ser δ un ángulo del centro
que subtiende el mismo arco
BC que el ángulo inscrito
CAB , tenemos:
si CAB = 35º
⇒ δ = 2 CAB = 2 • 35º = 70º.

Esto debido a que se tiene
AD + DB = 180º (forman media ángulos adyacentes
circunferencia) suplementarios (que sumados
dan 180º).
De donde: AD = 180º −62º = 118º .
Y como α es un ángulo inscrito, del Y sabemos que α = BC mide
el doble que el inscrito que
arco AD que subtiende. lo subtiende:
AD 118º α = 2•54º = 108º .
α= = = 59º.
2 2
13. AC = δ = ? 14. ϕ = ?, γ = ?, δ = ? 15. BT ⊥ ⊗ . α = ?

Solución:
Un semi inscrito α mide lo
Como OA = OC = r , los s que se OB y OC son radios ⇒ sus mismo que un inscrito con el
oponen a tales lados son iguales ( s s opuestos son iguales. cual subtienda el mismo arco de
basales) y miden 37º. En este caso: ∴ϕ = 25º [ s basales en un ⊗. En este caso, el arco en
ACB = AOC = 37º . ∆ isósceles).
Y el arco α es igual al ángulo del común es AB .
Un del centro mide el doble
centro del ∆AOC. Este último se Es decir, α = ACB = 43º.
que el inscr. con el cual
puede deducir mediante la suma de subtiende el mimo arco. Así,
los s interiores en todo ∆ (iguales a δ = 50º.
180º). Y dado que en todo ∆:
Σ int.=180º. En el ∆DOC:
γ = 180º − (90+50)º = 40º

AOC = 180º −74º = 106º = δ .



16. BT ⊥ ⊗ . α = ? 17. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ? 18. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ?

Solución:
Solución: Solución: Análogo al anterior.
Un semi−inscrito (al igual que un
El triángulo AOB es isósceles, Resp.: α = 35º
inscrito) siempre mide la mitad
que el arco que subtiende. ⇒ α = OBA por ser s 19. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ?
En este caso, α es semi-inscrito basales, ( s opuestos a lados de
¿Y qué se puede concluir de los
en la ⊗ y subtiende al arco AB. igual medida, el radio r, del ∆).
ejercicios 17, 18 y 19?
Por lo tanto: Y el ángulo del centro mide
siempre el doble que el
AB 126º
α= = = 63º . semi−inscrito con el cual
2 2 subtiende el mismo arco.
Así, la figura se puede completar
a:

Solución: Ídem a los anteriores.
Resp.: α = 42º

Conclusión(es):
• El ángulo basal y el semi
Hallaremos α por la suma de los inscrito son complementarios
ángulos interiores. suman 90º.
Así, lo que falta son 60º, (que se • La tangente a la
reparten en los dos ángulos α). circunferencia es
Esto es, perpendicular a su radio en el
2α = 60º ⇒ α = 30º . punto de tangencia.
20. AC diámetro. γ = ?, α = ? 21. BA = 212º. α = ? 22. α = ?

Solución:
Solución: Solución: El CBA = 124º es inscrito, por
AB y BC forman una media Por ser α un ángulo
circunferencia. semiinscrito, mide la mitad que lo tanto el arco AC que
su ángulo del centro, con el cuál subtiende hacia la derecha –está
AB + BC = 180º de más decirlo-, mide SU
subtiende la cuerda AB DOBLE.
AB + 84º = 180º
AOB AB AC = 2•124º = 248º
⇒ AB = 180º −84º = 96º α= =
2 2 Luego,
Y como un ángulo del centro mide Todo se reduce a hallar el AB y AC + CA = 360º
siempre lo mismo que el arco que dividirlo por dos. 248º + CA = 360º
subtiende: δ = 96º. AB + BA = 360º ⇒ CA = α =112º.
AB + 212º = 360º Pues α es ángulo del centro y
⇒ AB = 148º ⇒ α = 74º. subtiende al arco CA .



23. α = ? 24. β = ? 25. γ = ?
¿Qué se puede concluir de este
ejercicio y del 23 y 24? ¿Y cuál es
la diferencia con el ejercicio 22?

Solución: Resp.:
Como 105º y α son ángulos inscritos, β = 91º
sus arcos -además de completar una
circunferencia- miden el doble que 26. α = ? Resp.:
ellos. γ = 100º.

BD + DB = 360º Conclusiones:
2α + 210º = 360º Se puede concluir que:
• Los ángulos opuestos en un
⇒ 2α = 150º
cuadrilátero inscrito en una
α = 75º circunferencia suman 180º
Solución: (son suplementarios).

• La diferencia es que el
cuadrilátero del ejerc. 22
tiene uno de sus vértices en
el centro de la
circunferencia. Por ello no
satisface la conclusión
α es ángulo inscrito, por tanto anterior.
BOC 27. α = ?
α=
2
B'OC'
= ( s op. vértice)
2

=
( B'A + AC' )
2

=
(2•34º +2•40º )
¿Qué se puede concluir de este
2
ejercicio y del anterior (ejercicio
2 (34º +40º ) 26)?
=
2
Resp.:
= 74º
α = 63º

Conclusión:
Para cuadriláteros con tres
vértices en la ⊗ y el otro en el
centro de ella, uno de sus ángulos
inscritos es igual a la suma de los
otros dos ángulos inscritos.



Volviendo con puntos de contenidos,…

6. Cuadrilátero inscriptible o inscrito en 7. Trapecio Isósceles inscrito en una
una circunferencia. circunferencia.
Un cuadrilátero está inscrito en una Un trapecio es una figura de cuatro lados
circunferencia cuando todos sus vértices (cuadrilátero) con un par de lados
están en ella. opuestos paralelos y el otro par de lados
Hay que notar la opuestos no paralelos.
diferencia entre Y al igual que en un triángulo, a ángulos
circunferencia y contiguos de igual medida entre sí se
círculo. oponen también lados de igual medida
Una Circunferencia entre sí (congruentes).
es el lugar
geométrico de
todos los puntos
equidistantes o que tienen una misma Un ejemplo de ello es el siguiente
distancia respecto de otro, llamado este trapecio.
último, centro. Sin embargo, lo más común es que la
Mientras que un círculo es el espacio al mayoría de los trapecios que se dibujan
interior de la circunferencia. en la práctica, no tengan dos ángulos y
lados opuestos que sean de igual medida
El cuadrilátero ABCD de arriba está o congruentes.
inscrito en la circunferencia de centro O. Pero esto SIEMPRE ocurre si el trapecio
Y los ejercicios 23, 24 y 25 hacen dibujado está
referencia a que en un cuadrilátero inscrito en una
inscrito a una , los ángulos opuestos circunferencia.
son suplementarios -suman 180º. Un ejemplo es la
Así, en la figura del recuadro: figura de la
α + γ = 180º derecha.
y β + δ = 180º
8. Ángulo interior a una circunferencia. 9. Ángulo exterior a un triángulo.
Un ángulo interior a una circunferencia Podemos hallar un ángulo interior a una
es aquel ángulo formado por dos cuerdas circunferencia y a la vez, exterior a un
que se cortan, como se muestra en la triángulo inscrito.
figura. Su medida es igual
Y su medida se obtiene mediante la a la suma de los
fórmula: ángulos interiores
AB + CD del ∆, no contiguos
x= a el.
2
En la figura:
O bien,
x = β +δ
α +β
x=
2

10. Ángulo exterior a una circunferencia 11. Ángulo exterior a la circunferencia
formado por dos secantes. con al menos uno de sus lados como
La medida de un ángulo exterior x, tangente.
formado por dos secantes PA y PD , se La obtención del
obtiene mediante la fórmula: ángulo exterior no
difiere del caso
AB − CD α −β
x= O bien: x = anterior:
2 2 α −β
x=
2
Nota aparte:
La tangente es siempre
perpendicular al radio y
al diámetro de la ⊗.


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Listado Nº 2 de Ejercicios (Propuestos)
Cuadriláteros inscritos. Ángulos interiores y exteriores.

Nombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____

Ejercicios
En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es diámetro.
Mientras que AB es arco. Calcular las medidas que se piden y/o se indican tras un signo
igual.
1. α = ?; β =? 2. x = 3. x = ;β =

4. α, β, γ están en la razón de 5. α = 2x+3; β = 2x; γ = 3x - 3 6. DC ≡ CB; DCB =
5 : 4 : 7, respectivamente. Hallar δ.
Hallar δ.

7. α = 21º , γ = 63º . x = 8. x = 9. x =

10. APC = 11. α = 12. α =

Parinacota, Quilicura 2K09. 11

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13. AB diámetro; α = ; 14. AB diámetro; DA ≡ BC . 15. γ = ;x= ;δ =
β= Si DA = 50º ; CD = ;α =

16. α :β = 5 :8. Hallar α y β. 17. α y βcumplen con: 18. Si α = 138º y β = 50º.
α = 2 x − 3 y β = 3x + 1 . δ= ?
Hallar α y β.

19. α : β = 36 : 13. δ = 46. 20. PD ≡ DA. CA = 21. PA ≡ PC. BD = 53º
α= ;β =
δ= ; CA =

22. α = ;β = ;δ = 23. α = ;β = 24. TP tangente. α =

25. TA diámetro, TP 26. α = 27. PT ≡ PQ. Si QT = 242º ,
tangente. Calcule el QPT.
Hallar γ, α y δ.


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Solucionario Listado Nº 2: Ejercicios Propuestos
Cuadriláteros inscritos. Ángulos interiores y exteriores.
Ejercicios:
En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es diámetro.
Mientras que AB es arco. Calcular las medidas que se piden y/o se indican tras un signo igual.

1. α = ?; β =? 2. Halle los ángulos del 3. x = ?; β =?
cuadrilátero.

En todo cuadrilátero inscrito en Solución: Los ángulos opuestos suman
una ⊗, los ángulos opuestos son Como en cada pareja de ángulos 180º.
suplementarios (suman 180º). opuestos hay una sola incógnita, Así, en la figura de arriba, solo
basta tomar cualquier pareja. nos sirve en un principio los
Así, en la figura de arriba: 10 x + 8 x = 180º ángulos opuestos que presentan
18 x = 180º ⇒ x = 10º en la suma un solo valor
α + 95º = 180º ⇒ α = 85º Ahora reemplazamos este valor en desconocido, x.
β + 80º = 180º ⇒ β = 100º cada expresión algebraica de cada 25 x + 80º = 180º
vértice y los ángulos pedidos son: 25 x = 100º ⇒ x = 4º
100º, 120º, 80º y 60º.
Ahora reemplazamos el valor
hallado de x en la otra pareja de
ángulos opuestos.
21x + β = 180º
21•4 + β = 180º
84 + β = 180º ⇒ β = 96º .
4. α, β y γ están en la razón de 5. α = 2x+3; β = 2x; γ = 3x - 3 6. DC ≡ CB; DCB = ?
5 : 4 : 7. Hallar δ. Hallar δ.

Solución:
Solución: Solución: La figura se puede completar a
α y γ son ángulos opuestos, por lo De la figura, nos sirve:
tanto suman 180º. Además, están
α + γ = 180º
entre sí en la razón 5 : 7.
(2x+3) + (3x – 3) = 180º
α + γ = 180º
5x = 180º ⇒ x = 36º
5p + 7p = 180º (donde p es
cada parte)
Ahora que conocemos el valor de x,
180º
12p = 180º ⇒ p = = 15º. nos dirigimos a la pareja en donde
12 se halla el ángulo pedido.
Ahora vamos a ver la pareja de δ + β = 180º Pues a lados congruentes se
ángulos opuestos a δ. oponen ángulos de igual medida.
δ + 4x = 180º
δ + β = 180º Por lo tanto, el ángulo pedido es
δ + 4 • 36º = 180º suplementario con 64º. Así,
δ + 4p = 180º
δ + 144º = 180º DCB + 64º = 180º
δ + 4 • 15º = 180º ⇒ δ = 120º
δ = 180º − 144 = 36º ⇒ DCB = 116º


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7. α = 21º , γ = 63º . x = ? 8. x = ? 9. x = ?

Solo tenemos que x es ángulo
x es ángulo exterior del triángulo, Análogo al anterior:
interior entre las dos cuerdas, pero
por lo tanto, equivale a la suma de 81º +134º 225º
es suficiente. Su cálculo viene dado x = = = 112, 5º
los dos ángulos interiores no 2 2
por el promedio de los arcos que
adyacentes a el.
“subtiende” el y su opuesto por el
x = α + γ = 21º + 63º = 84º vértice.
161º +85º 246º
x= = = 123º
2 2
10. APC = ? 11. α = ? 12. α = ?

Solución:
Esta vez conocemos el ángulo
El ángulo pedido tiene vértice en P
interior. Su relación con las
–el punto medio de la notación
medidas de los arcos es que
del ángulo- y está entre A y C.
equivale a su promedio. Es decir,
α +130º
85º =
2
Ahora despejaremos α.
Con los arcos dados, en principio 85º•2 = α +130º
solo podemos calcular al ángulo x
y su opuesto por el vértice, que se
170º −130º = α
ha indicado en la figura. 40º = α
Su cálculo viene dado por el
promedio de los arcos que x = 60º +70º = 130º = 65º
“subtiende” el y su opuesto por el 2 2
vértice. Pero x y α son ángulos adyacentes
103º +85º 188º suplementarios, por lo que:
x= = = 94º x + α = 180º
2 2
65º +α = 180º ⇒ α = 180º −65º
= 115º


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13. AB diámetro; α = ? ; β = ? 14. AB diámetro; DA ≡ BC . 15. γ = ? ; x =? ;δ = ?
Si DA = 50º ; CD = ? ; α = ?

Solución:
Solución: Solución: γ = 90º por ser inscrito que
El diámetro AB divide a la ⊗ Teniendo presente que el subtiende un arco de media
en dos arcos congruentes de diámetro define dos arcos de circunferencia.
180º. circunferencia de 180º y que x es exterior del ∆BCP por lo
Aquí tenemos algunas medidas DA ≡ BC con DA = 50º tanto, es igual a la suma de los dos
de arcos, por lo que podemos s interiores no adyacentes a el.
⇒ BC = 50º Esto es, x = 40º + 90º = 130º.
completar las semi ⊗ a 180º La figura puede completarse a:
cada uno:
Nos falta δ, el cual es
suplementario con el ABC (por
ser opuestos dentro de un
cuadrilátero inscrito en una ⊗)
Tenemos:

Y por ser α ángulo interior: Y que α es ángulo interior –igual
40º +100º al promedio del arco que
α= = 70º . “subtiende” el y su opuesto por el
2
vértice-, entonces:
180º+80º Completando s interiores en el
α= = 130º . ∆ABC (para que su suma sea igual
2 a 180º) hallamos que:
ABC = 60º
⇒ δ = 180º − 60º = 120º.

También se podría lograr
completando los ángulos interiores
a 180º en el ∆ABP con lo que:
ABP = 20º.

y δ = 120º −(40+20)º
= 180º − 60º
= 120º.


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16. α :β = 5 :8. Hallar α y β. 17. α y βcumplen con: 18. Si α = 138º y β = 50º.
α = 2 x − 3 y β = 3x + 1 . δ= ?
Hallar α y β.

α se compone de 5 partes (5p) y β α +β δ es ángulo exterior a la
de 8 partes (8p). Además, 52º es el 49º = 2 circunferencia, por lo que se
ángulo interior de α y β. relaciona con α y β por la
2 x − 3+ 3 x +1 igualdad:
Por lo tanto, 49º =
5 p + 8 p 13 p 2 α −β 138º −50º
52º = = / •2 98º = 5 x − 2 δ= =
2 2 2 2
13 p 100º = 5 x 88º
=
104º = 13 p /:13 20º = x 2
8= p = 44º
Reemplazando el valor de x en α
Finalmente, y β obtenemos:
α = 5p = 40º y β = 8p = 64º. α = 2 x − 3 = 37º
β = 3x +1 = 61º
19. α : β = 36 : 13. δ = 46. 20. PD ≡ DA. CA = ? 21. PA ≡ PC. BD = 53º
α = ?; β =?
δ =? ; CA = ?

Solución:
El ∆APD es isósceles, con:
DAP = APD = 25º
α −β ⇒ ADP = 130º El ∆APC es isósceles, con:
δ=
2 ⇒ CDA = 180º −130º = 50º CAP = ACP = 71º
36 p − 13 p 23 p ⇒ CA = 100 º ⇒ δ = 180º −142º = 38º
46º = = •2
2 2
Además:
92º = 23 p Usamos:
- s basales CA − β
92 δ=
=p -Suma de s interiores en 2
23
∆ADP. CA − 53º
α = 36 p = 144º - s adyacentes suplementarios. 38º =
p=4⇒ 2
 β = 13 p = 52º También podíamos usar
exterior a un ∆: 76º = CA − 53º ⇒ CA = 76º +53º
DAP = APD = 25º = 129º
y CA = 2 CDA (No es el único camino, también
= 2 ( DAP + DPA ) se puede lograr completando
ángulos y arcos en la figura).
= 2 ( 25º +25º )
= 2•50º
= 100º


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22. α = ?; β = ?; δ =? 23. α = ?; β =? 24. TP tangente. α = ?

Solución:
100º −50º 50º 130º −64º
δ= = = 25º α +β  α=
2
2 2 = 98º 
2  α + β = 196º 
100º +50º 150º ⇒   74º
α= = = 75º α −β  α − β = 72º 
=
2 2 = 36º 2
2 

β = 105º s ady. suplentarios 2α = 268º
⇒ α = 134º
= 37º
⇒ β = 62º
25. TA diámetro, TP tangente. 26. α = ? 27. PT ≡ PQ. Si QT = 242º ,
Hallar γ, α y δ. Calcule el QPT.

Solución:
Solución: La figura se puede completar a:
Solución: El ángulo exterior al triángulo es
La figura se puede completar a: igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes a el.
48º +55º = 103º (ver sgte. figura)
Y el arco subtendido siempre mide
el doble que el ángulo inscrito que
lo subtiende. Por lo tanto:
α = 206º De donde:
242º −118º 124º
Donde: QPT = =
2 2
α = 42º pues α + 48º = 90º = 62º
en ∆ABT.
No solo en relación a este ejercicio
γ = 2α = 84º por ser arco que en particular sino que en general,
subtiende tal las tangentes trazadas desde un
ángulo inscrito. mismo punto a una misma
circunferencia son SIEMPRE
δ = 48º pues δ + 42º = 90º congruentes.
en ∆BPT.


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Listado Nº 3: Ejercicios (Propuestos)
En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es a su vez diámetro.
Mientras que AB es arco. Calcular en cada caso, las medidas que se indican.
i) Dibujar sobre la ⊗: ii) α = ? iii) α = ?
Una cuerda AB que coincida
con un diámetro de la ⊗;
Una cuerda CD que toque otros
dos puntos de la ⊗;
Una recta tangente PT , formando
un ángulo de 90º con un radio
OT ;
Una recta secante L que corte a iv) AB = α = ? v) AB = 130º ⇒ γ = ?; δ = ?
la ⊗ en dos puntos.

vi) AB = α = ? vii) AB = α = ? viii) α = ?

ix) α = ?, β = ? x) El decágono regular (polígono xi) La estrella tiene todos sus lados
de 10 lados de igual medida) y ángulos inscritos de igual
esta inscrito en la ⊗. medida.
δ = ?; EHF = ?; α = ? γ = ?, δ = ?, α = ?

xii) α = ?; x = ?; xiii) x = ? xiv) x = ?
ABC = ?; CDA = ?


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En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es a su vez diámetro.
Mientras que AB es arco. Calcular en cada caso, las medidas que se indican.
i) Dibuja sobre la ⊗: ii) α = ? iii) α = ?
Una cuerda AB que coincida
con un diámetro de la ⊗;
Una cuerda CD que toque otros
dos puntos de la ⊗;
Una semirecta tangente PT ,
formando un ángulo de 90º con
un radio OT ; Solución: Solución:
Una recta secante L que corte a α es un ángulo inscrito, por lo α es un ángulo del centro, por lo
la ⊗ en dos puntos. tanto, mide la mitad que el ángulo tanto mide el doble que el ángulo
del centro que subtiende el mismo inscrito que subtiende el mismo
Solución: arco que el: arco que el:
144º α = 2 • 60 = 120º
α= = 72º
2

iv) AB = α = ? v) AB = 130º ⇒ γ = ?; δ = ?

En la figura, la recta L corta a la
⊗ en los puntos E y F.
Además, toda recta tangente a
una ⊗, forma un ángulo recto
(90º) con el radio. En la figura: Solución:
OT ⊥ PT . Todo arco de ⊗ SIEMPRE mide lo
mismo que el del centro que lo Solución:
subtiende. Por lo tanto: δ es un ángulo del centro que
subtiende al AB , por lo tanto,
AB = 160º O bien: α = 160º
mide lo mismo que el. Es decir:
δ = 130º.
Mientras que todo ángulo inscrito
mide la mitad que el arco que
subtiende, es decir:
130º
γ= = 65º
2
vi) AB = α = ? vii) AB = α = ? viii) α = ?

Solución: Solución: Completamos los Solución: AD y DB forman
El arco α mide lo mismo que el s adyacentes suplementarios (que media circunferencia, es decir 180º.
del centro que lo subtiende y este a sumados dan 180º) hallando la Así, AD = 180º −68º = 112º
su vez, el doble que el inscrito medida del inscrito de 65º. y α que subtiende al = 112º
que subtiende al arco α. Es decir, El respectivo del centro y α es inscrito. Por lo tanto mide su
α= del centro = 2•34º = 68º . miden su doble: α = 2•65º = 130º . mitad: α = 112º /2 = 56º .


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ix) α = ?, β = ? x) El decágono regular (polígono xi) La estrella tiene todos sus lados
de 10 lados iguales) esta y ángulos inscritos de igual
inscrito en la ⊗. medida.
δ = ?; EHF = ?; α = ? γ = ?, δ = ?, α = ?

Solución:
Todos los s inscritos que Cada vértice del decágono regular
Cada vértice de la estrella divide
subtienden el mismo arco de ⊗ son divide los 360º de la circunferencia
iguales. Es decir, β = 21º. los 360º de la ⊗ en 5 arcos y
en diez arcos y ángulos del centro
Y todo del centro que subtienda ángulos del centro congruentes.
congruentes.
el mismo arco de ⊗ que un 360º
360º Es decir, γ = = 72º .
inscrito, medirá el doble que este. Es decir, δ = = 36º. 5
10
Es decir, α = 2 • 21º = 42º. Entonces, el ángulo inscrito:
Todo ángulo del centro tiene igual
medida que el arco que subtiende,
δ 36º por lo tanto:
EHG = = = 18º.
2 2 δ = γ = 72º
Y se puede observar que α equivale
δ 72º
a seis medidas de 18º. Es decir: Mientras, α = = = 36º .
α = 6•18º = 108º . 2 2
xii) α = ?; x = ?; xiii) x = ? xiv) x = ?
ABC = ?; CDA = ?

Solución: Solución: x es interior y su Solución: x es exterior a la ⊗ y su
s opuestos en una ⊗ son medida queda determinada por: medida queda determinada por:
suplementarios (sumados dan 180º) AB + CD 82º+ 66º 148º AB − CD 105º − 27º 78º
Así pues, α + 100º = 180º ⇒ α= 80º x= = = x= = =
2 2 2 2 2 2
A su vez, 6 x + 4 x = 180º = 39º
= 74º
10 x = 180º ⇒ x = 18º
⇒ ABC = 6 • 18º = 108º.
⇒ CDA = 4 • 18º = 72º.


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Listado Nº 4: Ejercicios Propuestos


Ejercicios:
Calcular las medidas de α y β según corresponda.
1. α = ?; β =? 2. φ = ?; δ =? 3. β = ?; γ =?

4. α = ?; β =? 5. α = ?; β =? 6. α = ?; β =?

7. α = ? 8. α = ? 9. AT = 54°; con OT radio.
y PT ⊥ OT. Entonces, α = ?

10. α = ?; β =? 11. α = ? 12. α = ?; β =?


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13. AC es tangente a la ⊗ 14. α = ?; β =? 15. α = ?; β =?
α = ?; β= ?

16. α = ?; β =? 17. Si α = 130º , entonces β = ? 18. α = ?; β =?

19. α = ?; β =? 20. α = ?; β =? 21. α = ?; β =?

22. α = ? 23. α = ?; β =? 24. α = ?; β =?

25. α = ? 26. PB es tangente. α =? 27. ABCDE es polígono regular.
α =?


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Segmentos Proporcionales en la Circunferencia
Definición:
1. Se define llama “Potencia de un punto P ” respecto a la circunferencia, al número
Pot(P), que se define como: Pot ( P) = PA • PB .
Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala)
i) Si PA = 3 y AB = 12. ii) Si PA = 4 y PB = 25 iii) P coincide con A.
Pot (P ) = PA•PB AB = 17

Pot(P) = PA•PB
= 3•( PA + AB ) = 4•25 Si P coincide con A:
PA = 0 y PB = AB =
= 3•( 3+12 ) = 100
17.
= 3 • 15 Entonces:
= 45 Pot ( P) = PA • PB
= 0•17
=0
iv) Sea P un punto exterior a v) Si P es punto interior a una ⊗ vi) Aún cuando los puntos
una ⊗ de radio r. de radio r y a una distancia d de la cuerda no
Y d la distancia que hay del centro de ella : coincidan con el
diámetro, pero se
de P al centro de la ⊗.
mantiene el radio r de
la ⊗ y la distancia d del
punto P al centro, la
potencia no varía.

La potencia de P es: Pot ( P) = PA • PB
Pot ( P) = PA • PB = ( r − d )( d + r )
= ( d − r )( d + r ) = − ( d − r )( d + r )
= d 2 − r2 = r2 − d 2 El teorema a
continuación garantiza
que: PC•PD = PA•PB

2. Teorema de las Cuerdas
Dada la siguiente figura de la derecha, se tiene que:
ϕ = φ por ser s opuestos por el vértice.
α = β por ser s inscr. que subtienden un mismo arco.
Por criterio de semejanza ángulo- ángulo (A.A.)
Se concluye que el ∆APC ∼ ∆BDP.
Esto implica que podemos escribir la proporción:
PA PC
=
PD PB
Esto significa o nos dice que “Los segmentos de dos cuerdas que se intersectan al interior
de un circulo, son inversamente proporcionales”.
Haciendo el producto cruzado, se obtiene: PA • PB = PC • PD .
Lo que significa que “la potencia de un punto a través de una cuerda, es igual a la
potencia del mismo punto, a través de la otra cuerda”. Tal propiedad se denomina
“Teorema relativo a la potencia de un punto interior a la circunferencia”.


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Más conocido como “Teorema de las cuerdas”: “Si dos cuerdas de una ⊗ se intersectan
en un punto P, el producto de las medidas de los segmentos definidos en una cuerda, es
igual al producto de las medidas de los segmentos definidos en la otra cuerda”.

i) PA = 16; PB = 2; ii) Hallar PD si: iii) Hallar x = PC si:
PC = 8; PD = 4. PA = 5; PB = 12; PC = 3. AP = 3; PB = 8; PD = 4.

El teo. de las cuerdas nos
muestra que: Por teo. de las cuerdas: Por teo. de las cuerdas:
PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD
16 •2 = 8•4 5•12 = 3•PD 3•8 = PC•4
60 24
32 = 32 = PD ⇒ PD = 20 = PC ⇒ PC = 6
3 4

3. Es importante tener presente también, que “toda cuerda que pase por el centro de la
circunferencia divide en dos partes iguales a todo segmento rectilíneo perpendicular
a ella. Además, la intercepción con tal trazo rectilíneo biseca al ángulo del centro”.
Lo que se quiere indicar es, que dada una figura como la siguiente:
Tenemos:
AD = DB ; µ =ϕ ; AE = EB ;
Además de lo más obvio, ∆OAB es isósceles, pues:
OA y OB son congruentes (radios de la ⊗) .
⇒ OAB = OBA ( s basales del ∆).

i) Hallar x si: PA = 3; ii) Hallar x y CD si: iii) Hallar x y AB si:
PB = PO + OB = (12 +15 ) = 27 OC = 10; PD = 4; PA = PB = x
y PC = PD = x

Primero identifiquemos los
segmentos: Por teo. de las cuerdas:
El diámetro AB es El radio mide 13. PA•PB = PC•PD
perpendicular a la cuerda CD , PA = r + OP
x • x = ( PO + OC )•4
por lo tanto, dimidia a esta = 13+ ( r − 8 ) ; r radio
ultima. Es decir, CP = PD y x 2 = (10 − 4 ) +10 •4
por el teo. de las cuerdas:
( )
= 13+ 13 − 8 = 26 − 8 = 18  
PA•PB = PC•PD PB = 8, PC = PD = x . x 2 = [16 ]•4
3•27 = x• x Y por teo. de las cuerdas: = 64
PA•PB = PC•PD
81 = x2 / ⇒ x=8
18•8 = x• x
9= x ⇒ AB = 2 x = 16
144 = x2 /
12 = x ⇒ CD = 2x = 24


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Los ejercicios anteriores se pueden resolver también, combinando el teorema de las cuerdas
con la potencia de un punto P interior a una ⊗. Veamos:
La expresión hallada para la Pot(P) en el interior de una ⊗ fue:
Pot ( P) = r 2 − d 2

Veámoslo:
(Las siguientes figuras no están a escala)
i) Hallar x si: PA = 3; ii) Hallar x y CD si: iii) Hallar x y AB si:
PB = PO + OB = (12 +15 ) = 27 OC = 10; PD = 4; PA = PB = x
y PC = PD = x

Primero identificamos:
− El radio: r =13. Primero identificamos:
− El radio es r = 15. − De B a P tenemos 8, por lo − El radio: r =10.
− La distancia de P al centro tanto faltan 5 para alcanzar
− De D a P tenemos 4, por lo
es d = 12. la medida del radio igual a tanto faltan 6 para alcanzar
− Luego, por potencia de un 13.
la medida del radio igual a
pto. interior a una ⊗: ⇒ La distancia del punto P 10.
Pot ( P) = r 2 − d 2 al centro de la ⊗ es: ⇒ La distancia del punto P
d = PO = 5. al centro de la ⊗ es:
= (15 ) − (12 )
2 2
− Luego, por potencia de un d = PO = 6.
= 225 − 144 pto. interior a una ⊗: − Luego, por potencia de un
= 81 Pot ( P) = r 2 − d 2 pto. interior a una ⊗:
Y por teo. de las cuerdas: Pot ( P) = r 2 − d 2
= (13) − ( 5 )
2 2
PC•PD =81
= (10 ) − ( 6 )
= 169 − 25 2 2
x 2 = 81 ⇒ x = 9
= 144 = 100 − 36
− Y por teo. de las cuerdas: = 64
PC•PD =144 − Y por teo. de las cuerdas:
x• x = 144
PA•PB =64
x 2 = 144 ⇒ x = 12 x• x = 64
⇒ CD = 2 x = 24 x 2 = 64 ⇒ x = 8
⇒ AB = 2 x = 16


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Relaciones métricas en la Circunferencia
Listado nº1: Ejercicios Propuestos
Relativo a teoremas de:
Potencia de un punto;
las cuerdas;
diámetro y radio dimidiando perpendicularmente una cuerda;

Nombre: __________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____
Ejercicios
Halle en cada ejercicio el valor faltante indicado por su respectivo enunciado.
1. Si PA = 3 y PB = 11 2. P punto medio de AB . 3. PA = 6 y AB = 24 ;
Halle la Pot(P) = PA • PB Si PA = PB = 7. La Pot(P) = ? La Pot(P) = PA • PB = ?

4. u = ? 5. v = ? 6. x = ?

7. x = ? 8. y = ? 9. z = ?

10. x = ?; CD = ? 11. y = ?; AB = ? 12. z = ?, CD = ?


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13. x = ? 14. y = ? 15. z = ?

16. x = ? 17. x = ? 18. z = ?

19. x = ? 20. y = ? 21. z = ?

22. AB diámetro. Si PA = 9; 23. AB diámetro. 24. AB diámetro.
PB = 4 y PD = 6. s = ? PA = 3 y PB = 27. u = ? PA = 2 y PB = 8. v = ?

25. OA radio de la ⊗ . 26. OA radio de la ⊗ . 27. OB radio de la ⊗ .
OP = 5 y PA = 8. s = ? OP = 6; PA = 4. CD = ? PB = 9; OP = 8. CD = ?


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Relaciones Métricas en la Circunferencia
Relativos a teoremas o propiedades de:
Potencia de un punto;
las cuerdas;
el diámetro y radio dimidiando perpendicularmente una cuerda;
Ejercicios: Halle en cada ejercicio el valor faltante indicado por su respectivo enunciado.
1. Si PA = 3 y PB = 11 2. P punto medio de AB . 3. PA = 6 y AB = 24 ;
Halle la Pot(P) = PA • PB Si PA = PB = 7. La Pot(P) = ? La Pot(P) = PA • PB = ?

Solución:
Solución:
Pot(P) = PA • PB = 7 • 7 = 49 Solución:
Pot(P) = PA • PB = 3 • 11 = 33 Pot(P) = PA • PB
= 6 • (6+24)= 6 •30 = 180
4. u = ? 5. v = ? 6. x = ?

Solución: Solución: PA•PB = PC•PD
PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD
4• x = 8•6  48
8•4 = 2•u  32 6•7 = 4•v  42 ⇒ x= = 12
⇒u = = 16 ⇒u = = 10, 5 4 x = 48  4
32 = 2u  2 42 = 4v  4
7. x = ? 8. y = ? 9. z = ?

x•10 = 5•11 55 8 y = 6•9  54 27 3 z = 5•4  20
⇒ x= = 5, 5 ⇒ x= = ⇒ z =
10 x = 55  10 8 y = 54  8 4 3 z = 20  3

10. x = ?; CD = ? 11. y = ?; AB = ? 12. z = ?, CD = ?

2 3
6•14 9 • 2 = 3y ⇒ y =
9 •2
=6 5 z = 3•15 ⇒ z = 9
6•14 = 7 x ⇒ x = = 12
17 13


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13. x = ? 14. y = ? 15. z = ?

x•3 x = 25•12 3 y2 = 12•16 4 z2 = 27•12
4 4 12 •16 3
25•12 2 27•12
⇒ x2 = = 100 / y2 = = 64 / z = = 81 /
13 13 14
x = 10 y =8 z =9
16. x = ? 17. x = ? 18. z = ?

x ( x + 4 ) = ( x + 2 )( x +1) ( y + 2 )( y + 2 ) = ( y + 5) y ( z + 3)( z + 4 ) = ( z + 9 ) z
x 2 + x 4 x = x 2 + ( 2 +1) x +2 y 2 +0x 4 y + 4 = y 2 + 5y z 2 +0x 7 y +12 = z 2 + 9 z 2z
1y
3x 0x 4= y 12 = 2 z
x=2 6= z
19. x = ? 20. y = ? 21. z = ?

(2 x + 3)( x + 4 ) = ( x + 6 )(2 x +1) (2 y +1)( y + 6 ) = ( y + 5)(2 y + 2 ) ( 3z − 2 )( z +1) = ( z − 1)( 3z + 5)
2 x 2 +11x +12 = 2 x 2 +13 x + 6 2 y 2 +13 y + 6 = 2 y 2 +12 y +10 3z 2 + z − 2 = 3z 2 + 2 z − 5
6 = 2x y=4 3= z
3= x
22. AB diámetro. Si PC = 7; 23. AB diámetro. 24. AB diámetro.
s=? PA = 3 y PB = 27. u = ? PA = 6 y OB = r = 15. CD = ?

La perpendicular que viene PA•PB = PC•PD En esta ocasión usaremos:
desde el centro siempre divide
una cuerda por la mitad. 3•27 = u2 PC•PD = r 2 − d 2
Por lo tanto, s = 7. 81 = u 2 s2 = (15 ) − ( 9 ) = 225 − 81 = 144
2 2

9=u ⇒ s = 12 ⇒ CD = 2 s = 24


gcorbach@uc.cl

25. AB diámetro. PO = 5; 26. AB diámetro. 27. AB diámetro.
PA = 8 s = ?; CD = ? PO = 10; PA = 6. CD = ? PB = 9; OP = 8; CD = ?

Primero identificamos: Primero identificamos:
− El radio: r = AO = 8 + 5 = 13. − El radio: r = AO = 2 + 8 = 10. Primero identificamos:
− La distancia d de P al centro − La distancia d de P al centro − El radio: r = AO = 8 + 9 = 17.
de la ⊗ es 5 ⇒ PO = d = 5. de la ⊗ es 6 ⇒ PO = d = 8. − La distancia d de P al centro de
− Luego, por potencia de un pto. − Luego, por potencia de un la ⊗ es 8 ⇒ PO = d = 8.
interior a una ⊗: pto. interior a una ⊗: − Y por potencia de un pto.
Pot ( P) = r 2 − d 2 interior a una ⊗:
Pot ( P) = r 2 − d 2
Pot ( P) = r 2 − d 2
= (10 ) − ( 8 )
2 2
= (13) − ( 5 )
2 2
= (17) − ( 8 )
2 2
= 169 − 25 = 100 − 64
= 36 = 289 − 64
= 144
− Y por teo. de las cuerdas: − Y por teo. de las cuerdas: = 225
PC•PD =144 PC•PD =36 − Finalmente, por teo. de las
s•s = 144 u •u = 36; u = PC = PD cuerdas:
u 2 = 36 ⇒ u = 6 Sea x la medida de CP = PD
s 2 = 144 ⇒ s = 12
⇒ PC•PD = 125
⇒ CD = 2 s = 24 ⇒ CD = 2u = 12 x• x = 125
x 2 = 125 ⇒ x = 15
⇒ CD = 2 x = 30

Volviendo con puntos de contenidos,…

4. Teorema de las Secantes
Dada la siguiente figura de la derecha, se puede probar que:
PA • PB = PC • PD .
Que es la misma expresión que teníamos para la igualdad
de potencias de un punto en dos cuerdas, pero esta vez,
como muestra la figura, será en dos secantes.
Veamos:
En la figura, tenemos el ∆PAD y el ∆PCB.
En ellos:
β = δ por ser s inscritos que subtienden el mismo arco de ⊗.
Además comparten el φ , por estar este ángulo en ambos ∆s.
Luego, por criterio de semejanza: ángulo – ángulo (A.A) se concluye que:
El ∆APC ∼ ∆BDP.

Esto implica que podemos formar la proporción:
el lado exterior a la ⊗ del ∆PAD el lado exterior a la ⊗ del ∆PCB
=
el lado secante del ∆PAD el lado secante del ∆PCB
PA PC
=
PD PB


Prof.: Guillermo Corbacho C.

Y efectuando el producto cruzado, obtenemos:
PA • PB = PC • PD
Así como esta expresión en dos cuerdas se conoce como teorema de las cuerdas, nos resulta
obvio entonces, la denominación de esta expresión en dos secantes. “Teorema de las
secantes” y que se puede enunciar así:
“Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la
medida de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por
su respectivo segmento exterior”

De aquí surgen una serie de ejercicios, de los cuales ilustraremos en principio, algunos a
modo de ejemplos:

i) Si PA = 4; AB = 5; ii) PC = 3; CD = 27; PB = 15 iii) PA = 6; PC = 8; CD = 10
y PD = 12; PC = x = ? PA = x = ? AB = y = ?

Por teo. de las SECANTES: Por teo. de las SECANTES:
Por teo. de las SECANTES: PA•PB = PC•PD
PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD
x •15 = 3•( 3+ 27) / :12 6 ( y + 6 ) = 8 ( 8 +10 ) / :12
4 •( 4 + 5 ) = x•12 / :12
30 •18
4•9
=x 15 x = 90 / :15 6 y + 36 = 144
12
36 90 6 x = 144 − 36 = 108 / : 6
=x x=
12 15 108
x= = 18
3= x x=6 6

Parinacota, Quilicura 2k09


5. Teorema de la secante con la tangente.
Si los dos puntos con que una secante corta a la circunferencia tuviesen libertad de
moverse, uno hacia al otro y en la misma circunferencia, tendríamos una situación
como la siguiente:

Las situaciones inicial e intermedia se conocen, como hemos visto, por teorema de las
secantes.
La situación final nos queda con una sola secante y un segmento tangente debido a que
C y D ocupan el mismo espacio. Es decir, son el mismo punto geométrico.

Debido a esto, es que podemos reemplazar en el teorema de las secantes, a D por C (o
viceversa) quedándonos la expresión matemática:
PA • PB = PC 2
Conocida como “Teorema de la secante con la tangente”.
Es frecuente que este teorema se presente gráfica y algebraicamente como:

PA • PB = PT 2

6. Teorema de la tangente con la 7. Dos cuerdas congruentes tienen igual
tangente distancia al centro de la circunferencia.
“Si desde un punto exterior a una
circunferencia se trazan dos
tangentes a ellas, entonces los
segmentos de las tangentes son
congruentes”

AB ≅ CD ⇒ MO = ON

PT1 ≅ PT2
Además, OP biseca los s del
centro y del vértice.



8. Cuadrilátero Circunscrito 9. Teorema de Ptolomeo
Un cuadrilátero cuyos lados son Recordemos que, un cuadrilátero se dice que
todos tangentes a una circunferencia está inscrito a una circunferencia si todos sus
se dice que está circunscrito o es vértices se hallan sobre la misma.
circunscriptible a ella. Siendo así, Ptolomeo de Alejandría presentó en
su libro “Almagesto” 150 D.C. que:
Ahora bien, en todo cuadrilátero
circunscrito a una circunferencia, la “En todo cuadrilátero inscrito en la
suma de dos lados opuestos es igual circunferencia, el
a la suma de los otros dos lados producto de las
opuestos. diagonales es igual
a la suma de los
productos de los
lados opuesto”
En la figura: a, b, c
y d son segmentos
de los lados del
cuadrilátero, d1 y d2 sus diagonales.
d1•d 2 = ac + bd

Ejemplo:
AB + CD = BC + DA
En el trapecio
( a + b ) + ( c + d ) = ( b + c ) + ( d + a ) isósceles ABCD las
En la figura: a, b, c y d son diagonales d1 y d2
segmentos de los lados del son iguales ¿Cuánto
cuadrilátero. mide cada una?

Ejemplo: Solución:
d1•d 2 = ac + bd con d1 = d 2
5
( d1 )2 = 2•2 + 3•
= 4 + 5 = 9  d1 = d 2 = 3
→
3
Cada diagonal mide 3.

El teorema de Ptolomeo se reduce a lo más, a
una curiosidad en la actualidad.
AB + CD = BC + DA
30 + 24 = 22 + 32
54 = 54
10. Teorema Particular de Pitágoras
“En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa.”

La figura ilustra además, como el teorema de
Pitágoras se presenta y visualiza en torno a una
circunferencia.



Ejercicios de Aplicación del teorema particular de Pitágoras

(Las siguientes figuras no están a escala)
i) r = ? ii) r = ? iii) r = ?
Hint. : Usar teo. de Pitágoras
y secante con tagente.

Aplicando Pitágoras en ∆PTB, Por Pitágoras en ∆PTB: Por Pitágoras en ∆PTB:
rectángulo en T. Tenemos:
PB2 = PT2 + TB2 PB2 = PT2 + TB2
2 2 2
PB = PT + TB
Y por teo. secante con tangente:: Y por teo. secante con tangente::
Y aplicando teo. secante con
PB2 = PA•PB + TB2 PB2 = PA•PB + TB2
tangente en esta igualdad,
obtenemos:
Reemplazando los valores: Reemplazando los valores:
PB2 = PA•PB + TB2 2 2
       
10 + 8  = 10  10 + 8  + BT2  75 + 25  = 75  75 + 25  + BT2
Reemplazando valores:        
 18   18   100   100 
2
    324 = 180 + BT 2
12 + 4  = 12 12 + 4  + BT2 10.000 = 7.500 + BT 2
   
 16   16  ⇒ BT 2 = 324 − 180 ⇒ BT 2 = 10.000 − 7.500
256 = 192 + BT 2 = 144 / = 2.500 /
⇒ BT 2 = 256 − 192 ⇒ BT = 12 ⇒ BT = 50
= 64 BT 12 BT 50
⇒r= = =6 ⇒r= = = 25
⇒ BT = 8 2 2 2 2
BT 8
⇒r= = =4
2 2



Listado nº 2: Ejercicios Propuestos
Ejercicios: (Las siguientes figuras no están a escala)
1. Si PA = 4; AB = 5; PD = 20 2. PA = 6; AB = 8; PD = 12 3. PA = 10; CD = 38; PC = 12
PC = x = ? PC = y = ? CD = z = ?

4. PA = 5; AB = 19; PC = 6 5. PA = 4; AB = 21; PT = x = ? 6. PA = 4; AB = 5; PT = y = ?
CD = u = ?; PC = ?

7. PD = ? y QT = ? 8. PA = ? y QT = ? 9. x = ?; PA = ?; PB = ?; PC = ?

10. x = ?; Pot(P) = ? 11. ¿Cuánto mide la tangente PT ? 12. PT1 y PT2 son tangentes.
PT2 = x = ?

13. AB = 29; BC = 23; CD = 20 14. x = ? 15. PA = 6; AB = 2; r = ?
AD = ? Hint.: Usar teo. de Pitágoras y
secante con tangente.



Solucionario Listado nº 2: Ejercicios Propuestos

Ejercicios: (Las siguientes figuras no están a escala)
i) Si PA = 4; AB = 5; PD = 20 ii) PA = 6; AB = 8; PD = 12 iii) PA = 10; CD = 38; PC = 12
PC = x = ? PC = y = ? CD = z = ?

PA • PB = PC • PD PA • PB = PC • PD PA • PB = PC • PD
4 ( 4 + 21) = 20 x 6 ( 6 + 8 ) = 12 y 10 (10 + 38 ) = 12 ( z +12 ) / :12
25 14 48
100 = 20 x ⇒ x = 100/20 = 5 84 = 12 y ⇒ y = 84/12 = 7 4
10• 48
= z +12 ⇒ z = 40 − 12 = 28
1 12
40

iv) PA = 5; AB = 19; PC = 6 v) PA = 4; AB = 21; PT = x = ? vi) PA = 4; AB = 5; PT = y = ?
CD = u = ?; PC = ?

PA • PB = PT PA • PB = PT
Solución:
PA • PB = PC • PD 4 ( 4 + 21) = x 2 4 ( 4 + 5) = y 2
5 ( 5 +19 ) = 6 ( 6 + u ) / :6 25 9
24 100 = x 2 / 36 = x 2 /
4 10 = x 6=x
5• 24
= 6 + u ⇒ u = 20 − 6 = 14
16
20


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