Operasi Aljabar pada Fungsi dan Fungsi Komposisi

1. FUNGSI
1. Operasi Aljabar pada Fungsi
Definisi:
Jika 𝑓 suatu fungsi dengan daerah asal 𝐷𝑓 dan g suatu fungsi dengan daerah
asal 𝐷 𝑔, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian dinyatakan sebagai berikut:
a) Penjumlahan
Penjumlahan 𝑓 dan g ditulis 𝑓 + 𝑔 didefinisikan sebagai ( 𝑓 + 𝑔)( 𝑥) =
𝑓( 𝑥) + 𝑔(𝑥) dengan daerah asal 𝐷𝑓+𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷 𝑔.
Contoh:
Diketahui 𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 2 dan 𝑔( 𝑥) = 𝑥2
− 4. Tentukan ( 𝑓 + 𝑔)( 𝑥).
Penyelesaian:
( 𝑓 + 𝑔)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥)+ 𝑔(𝑥)
( 𝑓 + 𝑔)( 𝑥) = ( 𝑥 + 2) + (𝑥2
− 4)
( 𝑓 + 𝑔)( 𝑥) = 𝑥 + 2 + 𝑥2
− 4
( 𝑓 + 𝑔)( 𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 − 2
b) Pengurangan
Selisih 𝑓 dan g ditulis 𝑓 − 𝑔 didefinisikan sebagai ( 𝑓 − 𝑔)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥)−
𝑔(𝑥) dengan daerah asal 𝐷𝑓−𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷 𝑔.
Contoh:
Diketahui 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
− 3𝑥 dan 𝑔( 𝑥) = 2𝑥 + 1Tentukan ( 𝑓 − 𝑔)( 𝑥).
Penyelesaian:
( 𝑓 − 𝑔)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥)− 𝑔(𝑥)
( 𝑓 − 𝑔)( 𝑥) = ( 𝑥2
− 3𝑥) − (2𝑥 + 1)
( 𝑓 − 𝑔)( 𝑥) = 𝑥2
− 3𝑥 − 2𝑥 − 1
( 𝑓 − 𝑔)( 𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 − 1

2. c) Perkalian
Perkalian 𝑓 dan g ditulis 𝑓 × 𝑔 didefinisikan sebagai ( 𝑓 × 𝑔)( 𝑥) =
𝑓( 𝑥) × 𝑔(𝑥) dengan daerah asal 𝐷𝑓×𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷 𝑔.
Contoh:
Diketahui 𝑓( 𝑥) = 𝑥 − 5 dan 𝑔( 𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥. Tentukan ( 𝑓 × 𝑔)( 𝑥).
Penyelesaian:
( 𝑓 × 𝑔)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) × 𝑔(𝑥)
( 𝑓 × 𝑔)( 𝑥) = ( 𝑥 − 5) × (𝑥2
+ 𝑥)
( 𝑓 × 𝑔)( 𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
− 5𝑥2
− 5𝑥
( 𝑓 × 𝑔)( 𝑥) = 𝑥3
− 4𝑥2
− 5𝑥
d) Pembagian
Pembagian 𝑓 dan g ditulis
𝑓
𝑔
didefinisikan sebagai (
𝑓
𝑔
)( 𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
[ 𝑔( 𝑥) ≠ 0] dengan daerah asal 𝐷 𝑓
𝑔
= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷 𝑔 − { 𝑥| 𝑔( 𝑥) = 0}.
Contoh:
Diketahui 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
− 4 dan 𝑔( 𝑥) = 𝑥 + 2. Tentukan (
𝑓
𝑔
)( 𝑥).
Penyelesaian:
(
𝑓
𝑔
)( 𝑥) =
𝑓( 𝑥)
𝑔( 𝑥)
(
𝑓
𝑔
)( 𝑥) =
𝑥2
− 4
𝑥 + 2
(
𝑓
𝑔
)( 𝑥) =
( 𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 + 2
(
𝑓
𝑔
)( 𝑥) = ( 𝑥 − 2)

3. 2. Fungsi Komposisi
Komposisi fungsi merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara
berurutan yang akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Komposisi dua fungsi
f(x) dan g(x) dinotasikan dengan simbol (f∘g)(x) atau (g∘f)(x).
Fungsi komposisi dapat ditulis sebagai berikut:
 ( 𝑓𝑜𝑔)( 𝑥) = 𝑓(𝑔( 𝑥)) → komposisi g (fungsi f bundaran g atau fungsi
komposisi dengan g dikerjakan lebih dahulu daripada f).
 ( 𝑔𝑜𝑓)( 𝑥) = 𝑔(𝑓( 𝑥)) → komposisi f (fungsi g bundaran f atau fungsi
komposisi dengan f dikerjakan lebih dahulu daripada g).
Sifat Fungsi Komposisi
a. Tidak berlaku sifat komutatif, ( 𝑓𝑜𝑔)( 𝑥) ≠ ( 𝑔𝑜𝑓)( 𝑥).
b. Berlaku sifat asosiatif, ( 𝑓𝑜(𝑔𝑜ℎ))( 𝑥) = ( 𝑓𝑜𝑔) 𝑜ℎ)( 𝑥).
c. Terdapat unsur identitas ( 𝐼)( 𝑥),( 𝑓𝑜𝐼)( 𝑥) = ( 𝐼𝑜𝑓)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥).
Contoh:
Diketahui 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔( 𝑥) = 𝑥2
+ 2. Tentukanlah!
a) ( 𝑔𝑜𝑓)( 𝑥)
b) ( 𝑓𝑜𝑔)( 𝑥)
c) Apakah berlaku sifat komutatif : ( 𝑔𝑜𝑓)( 𝑥) = ( 𝑓𝑜𝑔)( 𝑥)?

4. Penyelesaian:
a) ( 𝑔𝑜𝑓)( 𝑥) = 𝑔(𝑓( 𝑥))
= 𝑔(2𝑥 − 1)
= (2𝑥 − 1)2
+ 2
= 4𝑥2
− 4𝑥 + 1 + 2
= 4𝑥2
− 4𝑥 + 3
b) ( 𝑓𝑜𝑔)( 𝑥) = 𝑓(𝑔( 𝑥))
= 𝑓( 𝑥2
+ 2)
= 2( 𝑥2
+ 2) − 1
= 2𝑥2
+ 4 − 1
= 2𝑥2
+ 3
c) Tidak berlaku sifat komutatif, karena ( 𝑔𝑜𝑓)( 𝑥) ≠ ( 𝑓𝑜𝑔)( 𝑥).