kumpulan soal dan pembahasan matematika kombinatorik, relasi biner, dan himpunan

1. MATEMATIKA KOMBINATORIK
1. Sebuah pesta dihadiri n pasang suami istri, setiap orang akan berjabat tangan
dengan semua orang yang hadir kecuali dengan pasangannya sendiri. Jika
terjadi 1012 kali jabat tangan, maka:
a) Tentukan banyaknya pasangan suami istri yang hadir ?
b) Jika 10 orang suami pulang lebih awal, dan setelah pesta selesai mereka
yang terakhir pulang saling berjabat tangan lagi kecuali dengan
pasangannya, berapa kali terjadi jabat tangan?
Penyelesaian:
a) 𝐶2
2𝑛
− 𝑛 = 1012
2𝑛(2𝑛 − 1)
1 × 2
− 𝑛 = 1012
(2𝑛2
− 𝑛) = 1022
2𝑛2
− 2𝑛 − 1012 = 0
𝑛2
− 𝑛 − 506 = 0
( 𝑛 − 23)( 𝑛 + 22) = 0
𝑛 = 23 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑛 = −22
Jadi, banyaknya pasangan suami istri ada 23 pasang.
b) Karena ada 23 pasangan suami istri dan 10 suami pulang berarti tinggal 36
orang dan terdapat 13 pasangan suami istri.
Banyak jabat tangan:
= 𝐶2
36
− 13
= 630 − 13
= 617 kali.
2. Seorang siswa diminta mengerjakan 6 dari 10 soal tersedia, berapa banyak cara
ia memilih soal jika:
a) Semua soal bebas dipilih.
b) Soal nomor 1 dan nomor 2 wajib dikerjakan.
c) Soal nomor 1 wajib dikerjakan, soal no 9 dan 10 hanya boleh dipilih 1
soal.

2. Penyelesaian:
a) Semua soal bebas dipilih sama artinya memilih 6 soal dari 10 soal berbeda
Banyak cara = 𝐶6
10
= 210 𝑐𝑎𝑟𝑎.
b) Banyak cara = 𝐶4
8
= 70 𝑐𝑎𝑟𝑎.
c) Berarti kita masih memilih 5 soal, 4 soal kita pilih dari nomor 2 sampai 8
(ada 7 pilihan) dan 1 soal kita pilih dari nomor 9 atau 10 (jadi ada 2
pilihan)
Banyak cara = 𝐶4
7
× 𝐶1
2
= 35 × 2
= 70 𝑐𝑎𝑟𝑎.
3. Terdapat 6 pasang suami istri yang berada dalam sebuah ruangan. Berapa
banyak cara memilih 4 orang jika:
a) Terdiri dari 2 laki-laki dan 2 perempuan.
b) Terdiri dari 2 laki-laki dan 2 perempuan dengan syarat tidak mendapat
pasangan suami istri.
c) Harus terdapat laki-laki.
Penyelesaian:
a) Banyak cara = 𝐶2
6
× 𝐶2
6
= 15 × 15
= 225 𝑐𝑎𝑟𝑎.
b) Banyak cara= 𝐶2
6
× 𝐶2
4
= 15 × 6
= 90 𝑐𝑎𝑟𝑎.
c) Harus terdapat laki-laki sama halnya dengan pilihan bebas dikurangi
semuanya perempuan.
Banyak cara = 𝐶4
12
− 𝐶4
6
= 495 × 15
= 480 𝑐𝑎𝑟𝑎.

3. 4. Terdapat 3 orang Amerika, 4 orang Belanda, dan 2 orang Chili. Mereka
berbaris berjajar. Tentukan banyaknya cara mereka berbaris jika:
a) Posisi bebas.
b) Orang Belanda berkelompok.
c) Yang sewarga negara berkelompok.
Penyelesaian:
a) Posisi bebas sama halnya dengan menyusun 9 orang berbeda.
Banyak cara = 9!
= 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 362880
b) Orang Belanda berkelompok:
Ada 6 kotak yang bisa dipermutasikan jadi ada 𝑃6
6
= 6!
Orang Belanda yang berada dalam 1 kotak juga bisa dipermutasikan, jadi
ada 4!
Banyak cara = 6! × 4!
= 17280 𝑐𝑎𝑟𝑎.
c) Yang sewarga negara berkelompok:
Ada 3 kotak yang bisa dipermutasikan, jadi ada 3!.
4 orang Belanda, 3 orang Amerika, dan 2 orang Chili masing-masing bisa
dipermutasikan.
Banyak cara = 6! × 4!
= 3! × (4! × 3! × 2!)
= 6 × 24 × 6 × 2
=1728 𝑐𝑎𝑟𝑎
5. Tentukan nilai n jika:
a) 315 𝐶3
𝑛
= 𝐶2
𝑛−1
× 𝐶2
2𝑛+1
b) 3 𝐶2
3𝑛
= 5 (𝐶𝑛
2𝑛
+ 𝐶3
𝑛
)

4. Penyelesaian:
a) 315 𝐶3
𝑛
= 𝐶2
𝑛−1
× 𝐶2
2𝑛+1
315{
𝑛( 𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
1 × 2 × 3
} =
( 𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
1 × 2
×
(2𝑛 + 1)(2𝑛)
1 × 2
105
2
𝑛( 𝑛 − 1)( 𝑛 − 2) =
2𝑛( 𝑛 − 1)( 𝑛 − 2)(2𝑛 + 1)
4
: 𝑛( 𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
105
2
=
2𝑛 + 1
2
105 = 2𝑛 + 1
𝑛 = 52
b) 3 𝐶2
3𝑛
= 5 (𝐶𝑛
2𝑛
+ 𝐶3
𝑛
)
3 {
3𝑛(3𝑛 − 1)
1 × 2
} = 5{
2𝑛(2𝑛 − 1)
1 × 2
+
𝑛( 𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
1 × 2 × 3
}
×
6
𝑛
27(3𝑛 − 1) = 5{6(2𝑛 − 1) + (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)}
27(3𝑛 − 1) = 5(12𝑛 − 6 + 𝑛2
− 3𝑛 + 2)
81𝑛 − 27 = 45𝑛 + 5𝑛2
− 20
5𝑛2
− 36𝑛 + 7 = 0
(𝑛 − 7)(5𝑛 − 1) = 0
𝑛 = 7 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑛 =
1
5
Karena n bilangan cacah, maka yang memenuhi 𝑛 = 7
Sumber:
http://www.aksiomaid.com/Matematika/ContohSoal/0114020000000000/Kombin
atorik

5. RELASI BINER
1. Diberikan himpunan P = {2, 4, 8, 9} dan Q = { 2, 3, 4, 12}. Apabila
didefinisikan relasi R dari himpunan P ke Q dengan (p,q) ∈ R dengan q habis
dibagi p. Tentukan himpunan R.
Penyelesaian: Semua elemen dari P x Q, dapat dinyatakan dalam bentuk tabel,
diagram atau grafik salah satunya sbb:
Maka relasi R yang memenuhi adalah R = {(2,2), (2,4), (4,4),(2,12),(4,12)}.
2. Misalkan R adalah relasi pada Q = {1, 2, 5, 6} yang didefinisikan oleh (x,y) ∈
R jika x adalah faktor prima dari y. Maka kartesian product dari himpunan Q
dengan Q adalah…
Penyelesaian:
Q x Q ={(1,1),(1,2), (1,5),(1,6),(2,5),(2,6)…(6,6)}
Untuk menyatakan semua pasangan terurut dari Q x Q dapat dilakukan sbb:
dan relasi R yang mempunyai sifat x adalah faktor prima dari y adalah R =
{(2,2), (1,5), (2,5), (5,1)}.
3. Misalkan A = {1, 2, 3, 4 }, dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan
A. Maka apakah R bersifat refleksif atau tidak? Jelaskan!

6. Penyelesaian:
a) R = { (1, 1) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4)}
bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu
(1, 1), (2, 2) , (3, 3) , (4, 4).
b) R = { (1, 1) , (2, 2) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena
(3 ,3) ∈ R tetapi (3,3) tidak termuat dalam R.
4. Misalkan R merupakan relasi pada sebuah Z, yang dinyatakan oleh : a R b jika
dan hanya jika a = b atau a = – b. Periksa, apakah relasi tersebut merupakan
relasi ekivalen?
Penyelesaian:
 Jelas bahwa a = a, dengan kata lain jika a R a untuk setiap a ∈ Z . Jadi R
merupakan relasi refleksif.
 Jika a = ±b dan b = ± c, ini mengakibatkan a = ± c. Dengan kata lain jika a
R b maka b R c maka a R c. Dengan demikian R merupakan relasi transitif.
 Jika a = b atau a = – b maka b = a atau b = – a, dengan kata lain jika a R b
maka b R a. Jadi R merupakan relasi simetri.
5. Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan
oleh : a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z.
Periksa, apakah relasi tersebut merupakan relasi ekivalen !
Penyelesaian:
 Untuk setiap a ∈ Rill maka a – a = 0 ∈ bilangan bulat, oleh karena itu R
bersifat refleksif.
 Misalkan a R b maka (a – b) ∈ Z, jelas bahwa (b – a) ∈ Z. Dengan
demikian R bersifat simetri.
Jika a R b dan b R c artinya (a – b), (b – c) ∈ Z maka (a – c) = (a – b) + (b – c)
juga merupakan bilangan bulat. Oleh karena itu a R c. Jadi R bersifat transitif.
Dengan demikian R merupakan relasi ekivalen.
6. Misalkan P = {Jojon, Timbul, Basuki} adalah himpunan nama mahasiswa, dan
Q = {SB221, SB251, SB342} adalah himpunan kode matakuliah di Jurusan
sosial budaya. Urutan terakhir pada kode matakuliah bernomer ganjil

7. menyatakan semester ganjil dan kode matakuliah urutan terakhir nomer genap
menyatakan semester genap.
Penyelesaian :
Maka perkalian kartesian antara himpunan P dan Q menghasilkan himpunan
pasangan terurut yang jumlah anggotanya adalah
𝑃 = { 𝐽𝑜𝑗𝑜𝑛, 𝑇𝑖𝑚𝑏𝑢𝑙, 𝐵𝑎𝑠𝑢𝑘𝑖}
𝑄 = { 𝑆𝐵221, 𝑆𝐵251, 𝑆𝐵342}
|P|.|Q| = 3 . 3 = 9 buah.
Perkalian tersebut adalah sebagai berikut :
𝑃 × 𝑄 = { 𝐽𝑜𝑗𝑜𝑛, 𝑇𝑖𝑚𝑏𝑢𝑙, 𝐵𝑎𝑠𝑢𝑘𝑖} × { 𝑆𝐵221, 𝑆𝐵251, 𝑆𝐵342}
𝑃 × 𝑄 = {(Jojon, SB221), (Jojon, SB 251), (Jojon, SB342), (Timbul, SB221),
(Timbul, SB251), (Timbul, SB342), (Basuki,SB221), (Basuki,SB 251), (Basuki
, SB342)}.
7. Misalkan R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari
himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t),
(8, u)} adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}. Maka
komposisi relasi R dan S adalah…
Penyelesaian: S  R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}
8. Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}.
Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}. Tentukan:
a) R1  R2
b) R1  R2
c) R1  R2
d) R2  R1
e) R1  R2
Penyelesaian:
a) R1  R2 = {(a, a)}
b) R1  R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
c) R1  R2 = {(b, b), (c, c)}
d) R2  R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}

8. e) R1  R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
9. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika didefinisikan relasi R
dari P ke Q dengan (p, q)  R jika p habis membagi q maka carilah nilai R
dan R–1 !
Penyelesaian:
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan (q, p)  R–1
jika q adalah kelipatan dari p maka diperoleh:
R–1={(2, 2), (4,2), (4, 4), (8,2), (8,4), 9,3), (15,3)}
10. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R
dari P ke Q dengan (p, q)  R jika p habis membagi q maka diperoleh…
Penyelesaian:
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}
 Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus
 Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A  A.
 Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A  A.
Sumber:
http://darmini.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50467/bab-3-relasidan-
fungsi.pdf
https://www.slideshare.net/KuliahKita/matematika-diskrit-06-relasi-dan-fungsi-05

9. HIMPUNAN
1. Diberikan Q = {x|x >= 5, x anggota bilangan asli} dan P = {4,5,6,8}, maka P
irisan Q = ...
Penyelesaian:
Irisan P dan Q akan menghasilkan anggota himpunan baru di yang
anggotanya adalah anggota yang ada di himpunan Q dan P.
Anggota himpunan Q = 5,6,7,8,9,10...
Anggota himpunan P = 4,5,6,8
Anggota yang sama diantara kedua himpunan itu adalah 5,6,8.
2. Diketahui 𝐾 = { 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 2 𝑑𝑎𝑛 12} dan 𝐿 =
{4 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑛 3 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎}.Carilah 𝐾 ∩ 𝐿?
Penyelesaian :
𝐾 = { 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 2 𝑑𝑎𝑛 12} Maka 𝐾 = {3,5,7,11}
𝐿 = {4 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑛 3 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎} Maka 𝐿 = {3,6,9,12}
Sehingga,
𝐾 ∩ 𝐿 = {3,5,7,11} ∩ {3,6,9,12}
𝐾 ∩ 𝐿 = {3}
3. Diberikan 𝑃 = {1,2,3,9,12,13}. Himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P
adalah .....
Penyelesaian :
Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda (objek) yang telah
terdefinisi dengan jelas. Dari soal diatas himpunan kelipatan 3 yang terdapat di
P adalah {3,9,12}.
4. Dalam sebuah kelas terdapat 17 siswa gemar matematika, 15 siswa gemar
fisika, 8 siswa gemar keduanya. Banyak siswa didalam kelas adalah ....

10. Penyelesaian :
𝑛( 𝑀) = 17 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
𝑛( 𝐹) = 15 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
𝑛( 𝑀 ∩ 𝐹) = 8 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔
Sehingga :
𝑛( 𝑀 ∩ 𝐹) = 𝑛( 𝑀) + 𝑛( 𝐹)− 𝑛( 𝑀 ∩ 𝐹)
= 17 + 15 − 8
= 32 − 8
= 24 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔
5. Diketahui S adalah himpunan semesta. P dan Q merupakan himpunan bagian
dari S. S = { e, u, r, a, s, i, h, o, m} . P = {r, a, o}, Q = { s, e, r, m, a}.
tentukanlah (P ∪ Q)’ !
Penyelesaian:
P ∪ Q = {r, a, o} ∪{ s,e,r, m,a}.
P ∪ Q = {a, e, m, o,r, s}
(P ∪ Q)’ = { u, i, h,}
Jadi, (P ∪ Q)’ = { u, i, h,}
6. Diketahui: P= faktor dari 8, Q = bilangan cacah kurang dari 8. Tentukanlah
nilai dari P ∩ Q !
Penyelesaian:
P = {1,2,4,8}
Q ={0,1,2,3,4,5,6,7,8}
P ∩ Q = {1,2,4,8} ∩ {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
P ∩ Q = {1,2,4,8}
Jadi , P ∩ Q = {1,2,4,8}
7. Diberikan P = {1,2,3,9,12,13}. Himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P
adalah...
Penyelesaian:

11. Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda (objek) yang telah
terdefinisi dengan jelas. Dari soal di atas, himpunan kelipatan 3 yang terdapat
di P adalah {3,9,12}.
8. Jika A = {0,1} maka n(A) =...
Penyelesaian:
n(A) adalah simbol dari kardinalitas atau banyaknya anggota suatu himpunan.
Jadi banyaknya anggota suatu himpunan dari himpunan A adalah 2, yaitu 0 dan
1.
9. Jika K = {a,b,c} dan R = {1,2,3,4} maka n(R) - n(K) + 2 =...
Penyelesaian:
Kardinalitas atau banyaknya anggota himpunan dari :
K = 3
R = 4
Jadi n(R) - n(K) + 2 menjadi 4 - 3 + 2 hasilnya adalah 3.
10. Perhatikan diagram venn berikut :
Jika 𝑃 ∩ 𝑄 adalah .......
Penyelesaian :
Dari diagram venn diatas dilihat bahwa :
𝑃 = {1,3,4,5}
𝑄 = {1,2,5,6}
Maka : 𝑃 ∩ 𝑄 = {1,3,4,5} ∩ {1,2,5,6}
𝑃 ∩ 𝑄 = {1,5}
Sumber:
https://www.slideshare.net/Dermawan12/kumpulan-soaldanpembahasanhimpunan