problemas resueltos de probabilidades

1. Problemas de Probabilidad
Soluciones
1. En una carrera participan los caballos A, B, C y D. Se estima que la probabilidad de que gane A es
el doble de la probabilidad de que gane cada uno de los otros tres. Hallar la probabilidad de que gane
B o C.
Soluci´n Llamamos A al suceso “ganar el caballo A” , etc. Sabemos que son sucesos incompatibles
o
y que adem´s
a
P (A) =


P (A)
P (A) − 2P (B)
= 2P (B)
=0






P (A)
P (A) − 2P (C)
P (B) =
= 2P (C)
=0
=⇒
=⇒
P (A)
P (A) − 2P (D)
= 2P (D)
=0




P (C) =


P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1
P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1
P (D) =
As´
ı,
P (B ∪ C) = P (B) + P (C) =
1 1
2
+ =
.
5 5
5
2. Se sabe que el 50 % de los alumnos estudia franc´s, el 40 % ingl´s y el 10 % franc´s e ingl´s. Se elige
e
e
e
e
un alumno al azar. Hallar la probabilidad de que no estudie ninguno de los dos idiomas.
Soluci´n
o
Llamamos
F ≡ “Estudiar franc´s”
e
I ≡ “Estudiar ingl´s”
e
Y as´ los datos son:
ı,
P (F ) = 0, 5
P (I) = 0, 4
P (F ∩ I) = 0, 1
Entonces
P (F ∩ I) = P (F ∪ I) = 1 − P (F ∪ I) = 1 − (P (F ) + P (I) − P (F ∩ I)) = 1 − (0, 5 + 0, 4 − 0, 1) = 0, 2 .
3. En una bolsa hay 3 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas. ¿Cu´l es la probabilidad de extraer una bola
a
blanca o negra?
Soluci´n
o
Llamamos B a sacar bola blanca, etc. As´
ı
P (B ∪ N ) = P (B) + P (N ) =
1
3 4
7
+ =
.
9 9
9
2
5
1
5
1
5
1
5

2. 4. De una baraja de cuarenta naipes se extraen sucesivamente tres cartas. Calcular la probabilidad de
obtener tres reyes
a) suponiendo que cada vez que se extrae una carta, ´ste se devuelve a la baraja (extracci´n con
e
o
reemplazamiento);
b) suponiendo que no se devuelvan las cartas a la baraja (extracci´n sin reemplazamiento).
o
Soluci´n Llamamos Ri a sacar rey en la i–´sima extracci´n.
o
e
o
a) Si hay reemplazamiento,
P (R1 ∩ R2 ∩ R3 ) =
4 4 4
=
40 40 40
4
40
3
=
1
.
1000
b) Si no hay reemplazamiento,
P (R1 ∩ R2 ∩ R3 ) =
4 3 2
3
=
.
40 39 38
9310
5. El 20 % de los hombres que fuman tiran las colillas al suelo. S´lo un 5 % de las mujeres que fuman
o
cometen esa incorrecci´n. En una reuni´n, en la que hay 5 fumadores y 10 fumadoras, aparece una
o
o
colilla en el suelo. ¿Cu´l es la probabilidad de que la haya tirado una mujer?
a
Soluci´n
o
Llamamos M a ser mujer y S a tirar las colillas al suelo, as´
ı
P (M | S) =
0, 05 · 10
P (S | M )P (M )
P (S | M )P (M )
15
=
=
P (S)
0, 05 · 10 + 0, 2 ·
P (S | M )P (M ) + P (S | M )P (M )
15
5
15
=
1
.
3
9
6. Se estima que despu´s de un d´ bueno hace bueno al d´ siguiente con probabilidad 10 y que despu´s
e
ıa
ıa
e
1
de un d´ malo, hace bueno con probabilidad 4 . Sabiendo que hoy jueves hace malo, ¿cu´l es la
ıa
a
probabilidad de que el pr´ximo s´bado haga bueno? Llamamos SB a que el s´bado haga bueno y VB
o
a
a
a que el s´bado haga bueno, tenemos
a
P (SB ) = P (SB | VB )P (VB ) + P (SB | VB )P (VB ) =
9 1 13
33
+
=
.
10 4 4 4
80
7. Una caja contiene tres monedas con una cara en cada lado, cuatro monedas con una cruz en cada
lado y dos monedas legales. Si se selecciona al azar una de estas nueve monedas y se lanza una vez,
¿cu´l es la probabilidad de obtener una cara? Si se ha obtenido cara, ¿cu´l es la probabilidad de que
a
a
la moneda sea legal?
Soluci´n
o
Nombramos los sucesos como sigue:
C ≡ “Sacar cara”
+ ≡ “Sacar cruz”
2C ≡ “Elegir una moneda de dos caras”
2+ ≡ “Elegir una moneda de dos cruces”
L ≡ “Elegir una moneda legal”
As´ la respuesta a la primera pregunta ser´
ı,
a
P (C) = P (C | 2C)P (2C) + P (C | 2+)P (2+) + P (C | L)P (L) = 1 ·
2
3
4 12
4
+0· +
=
.
9
9 29
9

3. Y la respuesta a la segunda,
P (L | C) =
P (C | L)P (L)
=
P (C)
12
29
4
9
=
1
.
4
8. Los porcentajes de votantes clasificados como liberales en tres distritos electorales disitntos se reparten
como sigue: En el primer distrito, 21 %; en el segundo distrito, 45 %, y en el tercero, 75 %. Si un distrito
se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cu´l es la probabilidad de
a
que sea liberal?
Soluci´n
o
Nombramos los sucesos
I ≡ “Pertenecer al primer distrito”
II ≡ “Pertenecer al segundo distrito”
III ≡ “Pertenecer al tercer distrito”
L ≡ “Ser liberal”
As´
ı,
P (L) = P (L | I)P (I) + P (L | II)P (II) + P (L | III)P (III) = 0, 21 ·
1
47
1
1
.
+ 0, 45 · + 0, 75 · =
3
3
3
100
9. Se ha descubierto una prueba para detectar un tipo particular de c´ncer. Si se aplica la prueba a
a
una persona que no padece este tipo de c´ncer, la probabilidad de que esa persona presente una
a
reacci´n positiva es de 0, 05. Sup´ngase que en la poblaci´n global, una persona de cada 100 000 tiene
o
o
o
este tipo de c´ncer. Si una persona seleccionada al azar presenta una reacci´n positiva a la prueba,
a
o
¿qu´ probabilidad hay de que padezca este tipo de c´ncer?
e
a
Soluci´n
o
Definimos los sucesos
C ≡ “Padecer el tipo de c´ncer”
a
P ≡ “Dar positivo en el test”
As´
ı
P (C | P ) =
P (P | C)P (C)
P (P | C)P (C)
=
=
P (P )
1·
P (P | C)P (C) + P (P | C)P (C)
1
1 · 100000
1
100000 + 0, 05 ·
99999
100000
=
20
.
100019
10. En una ciudad determinada, el 30 % de las personas son conservadores, el 50 % son liberales y el resto
son independientes. Los registros muestran que en unas elecciones concretas votaron el 65 % de los
conservadores, el 82 % de los liberales y el 50 % de los independientes. Si se selecciona al azar una
persona de la ciudad y se sabe que no vot´ en las elecciones pasadas, ¿cu´l es la probabilidad de que
o
a
sea liberal?
Soluci´n
o
Definimos los sucesos
C ≡ “Ser conservador”
L ≡ “Ser liberal”
I ≡ “Ser independiente”
V ≡ “Haber votado en las pasadas elecciones”
Tenemos entonces
P (L | V ) =
=
P (V | L)P (L)
P (V | L)P (L)
=
=
P (V )
P (V | L)P (L) + P (V | C)P (C) + P (V | I)P (I)
0, 18 · 0, 5
18
=
.
0, 18 · 0, 5 + 0, 35 · 0, 3 + 0, 5 · 0, 2
59
3

4. 11. En una f´brica de tornillos, las m´quinas A, B y C producen respectivamente el 30 %, 45 % y 25 % del
a
a
total. Analizada la producci´n, se sabe que el 1 %, 4 % y 3 % de los fabricados por las m´quinas A, B
o
a
y C respectivamente, son tornillos defectuosos. Se toma al azar un tornillo. ¿Cu´l es la probabilidad
a
de que sea defectuoso? Si ha resultado defectuoso, ¿cu´l es la probabilidad de que haya sido producido
a
por la m´quina C?
a
Soluci´n
o
Definimos los siguientes sucesos:
A ≡ “Ser un tornillo producido por la m´quina A”
a
B ≡ “Ser un tornillo producido por la m´quina B”
a
C ≡ “Ser un tornillo producido por la m´quina C”
a
D ≡ “Ser un tornillo defectuoso”
Entonces tenemos
P (C | D) =
=
P (D | C)P (C)
P (D | C)P (C)
=
=
P (D)
P (D | C)P (C) + P (D | A)P (A) + P (D | B)P (B)
0, 03 · 0, 25
5
=
.
0, 03 · 0, 25 + 0, 01 · 0, 3 + 0, 04 · 0, 45
19
12. En una universidad en la que s´lo se estudia Ciencias o Letras, hay 2000 estudiantes, de los cuales 500
o
son ingleses, 800 franceses, 400 alemanes y 300 espa˜oles. Sabiendo que los estudiantes de Letras son
n
100 ingleses, 500 franceses, 150 alemanes y 200 espa˜oles, si se elige un estudiante al azar, ¿cu´l es la
n
a
probabilidad de que
a) estudie Ciencias?
b) sea frances, suponiendo que estudia Ciencias?
Definimos los siguientes sucesos:
A ≡ “Ser alem´n”
a
I ≡ “Ser ingl´s”
e
F ≡ “Ser franc´s”
e
S ≡ “Ser espa˜ol”
n
L ≡ “Estudiar letras”
a) Como estudiar Ciencias es el suceso contrario de estudiar Letras, tenemos
P (L) = 1 − P (L) = 1 −
100 + 500 + 150 + 200
21
=
.
2000
40
b) Tenemos
P (F | L) =
P (L | F )P (F )
=
P (L)
300 800
800 2000
21
40
=
5
.
7
13. El proceso de fabricaci´n de cierto aparato consta de dos partes, A y B. La probabilidad de que surja
o
un defecto en la parte A es de 0,04 y la probabilidad de que surja un defecto el la parte B es de 0,01.
¿Cu´l es la probabilidad de que el aparato no sea defectuoso?
a
Soluci´n
o
Definimos los sucesos
A ≡ “Surgir un error en la parte A”
B ≡ “Surgir un error en la parte B”
4

5. Notemos que estos dos sucesos son independientes, luego sus complementarios tambi´n lo son (vale la
e
pena comprobarlo), entonces
P (A ∩ B) = P (A)P (B) = 0, 96 · 0, 99 =
594
.
625
14. La probabilidad de que un alumno, elegido al azar de cierta clase, apruebe Matem´ticas y Lengua es
a
0,6. La probabilidad de que apruebe Lengua es 0,75 y la de que no apruebe Matem´ticas es 0,2.
a
a) ¿Son los sucesos “Aprobar Lengua” y “Aprobar Matem´ticas” independientes?
a
b) Calcula la probabilidad de que apruebe Matem´ticas suponiendo que aprob´ Lengua.
a
o
Soluci´n
o
Llamamos L al suceso aprobar Lengua y M al suceso aprobar Matem´ticas, entonces
a
a) P (L)P (M ) = 0, 75 · 0, 8 = 0, 6 = P (L ∩ M ) =⇒ S´ son independientes.
ı
b) Puesto que los sucesos son independientes,
P (M | L) = P (M ) = 0, 8 .
15. En un colectivo en el que hay el mismo n´mero de hombres que de mujeres, se sabe que el 5 % de
u
los hombres y 20 de cada 10 000 mujeres son dalt´nicos. Se elige una persona al azar y resulta ser
o
dalt´nica. Calcula la probabilidad de que dicha persona sea hombre.
o
Soluci´n
o
Definimos los sucesos M ser mujer y D ser dalt´nico, entonces
o
P (M | D) =
1
0, 05 · 2
25
P (D | M )P (M )
=
1
20 1 = 26 .
0, 05 · 2 + 10000 2
P (D | M )P (M ) + P (D | M )P (M )
16. Determina si son independientes o dependientes, y compatibles o incompatibles los sucesos A y B que
cumplen las condiciones siguientes:
a) P (A) = 2 , P (B) = 1 , P (A ∪ B) = 1 .
5
4
2
5
b) P (A) = 1 , P (B) = 3 , P (A ∩ B) = 24 .
6
4
Soluci´n
o
a) Independientes:


 P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 2 + 1 − 1 = 3 .





5 4 2
20 


Por otra parte,
=⇒ No son independientes.








 P (A)P (B) = 2 1 = 2 .

54
20
Y tampoco son incompatibles pues hemos visto que la probabilidad de la intersecci´n no es nula.
o
b) Independientes:


 P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 1 + 3 − 5 = 17 .





6 4 24
24 


Por otra parte,
=⇒ No son independientes.









 P (A)P (B) = 1 3 = 3 .
64
24
Y tampoco son incompatibles pues hemos visto que la probabilidad de la intersecci´n no es nula.
o
17. Supongamos que el 5 % de la poblaci´n padece la enfermedad de apendicitis (2 % en estado agudo A
o
y 3 % en estado cr´nico C) y el 95 % no la padece. Uno de los s´
o
ıntomas es el dolor de est´mago. Las
o
probabilidades de tener dolor de est´mago padeciendo el estado A, el estado C o no padeciendo la
o
enfermedad son del 90 %, 70 % y 10 % respectivamente. Hallar la probabilidad de que una persona con
dolor de est´mago sufra realmente el estado A de apendicitis.
o
5

6. Soluci´n Llamamos A a padecer la enfermedad en estado agudo, C cr´nico y D a padecer dolor de
o
o
est´mago y S a estar sano, entonces
o
P (A | D) =
=
P (D | A)P (A)
P (D | A)P (A)
=
=
P (D)
P (D | A)P (A) + P (D | C)P (C) + P (D | S)P (S)
9
0, 9 · 0, 02
=
.
0, 9 · 0, 02 + 0, 7 · 0, 03 + 0, 1 · 0, 95
67
18. La cuarta parte de una poblaci´n ha sido vacunada contra una enfermedad. Se comprueba, no obstante,
o
que, de cada diez enfermos, dos est´n vacunados. Se sabe adem´s que, de cada doce vacunados, uno
a
a
cae enfermo.
a) ¿Qu´ probabilidad tiene un individuo de contraer la enfermedad?
e
b) ¿Qu´ probabilidad tiene un individuo no vacunado de contraer la enfermedad?
e
Soluci´n
o
Llamamos C a contraer la enfermedad y V a estar vacunado, entonces
a)
P (C | V ) =
P (V | C)P (C)
P (C | V )P (V )
=⇒ P (C) =
=
P (V )
P (V | C)
1 1
12 4
2
10
=
5
.
24
b)
P (C | V ) =
2
1 − 10
P (V | C)P (C)
(1 − P (V | C))P (C)
=
=
1 − P (V )
1− 1
P (V )
4
5
24
=
2
.
9
19. En una tienda de electrodom´sticos se venden dos marcas A y B. Se ha comprobado que un tercio
e
de los clientes elige un electrodom´stico de la marca A y el resto, uno de la marca B. Adem´s, la
e
a
probabilidad de que un electrodom´stico de la marca A sea defectuoso es 0,05 y la de que uno de la
e
marca B no lo sea es 0,9. Calcular razonadamente:
a) La probabilidad de que un cliente compre un electrodom´stico en dicha tienda y le salga defece
tuoso.
b) La probabilidad de que el electrodom´stico comprado sea de la marca B sabiendo que no es
e
defectuoso.
Soluci´n: Llamamos A y B al suceso comprar la marca A y B respectivamente, y D a que el
o
electrodom´stico sea defectuoso. Entonces
e
a)
1
2
1
P (D) = P (D | A)P (A) + P (D | B)P (B) = 0, 05 + 0, 1 =
.
3
3
12
b)
0, 9 ·
P (D | B)P (B)
P (B | D) =
= 11
P (D)
12
2
3
=
36
.
55
20. El a˜o pasado, el 60 % de los veraneantes de una cierta localidad eran menores de 30 a˜os. Un 25 %
n
n
de los menores de 30 a˜os y un 35 % de los mayores de 30 a˜os eran nativos de esa localidad. Se pide:
n
n
a) La probabilidad de que un veraneante elegido al azar sea nativo de esa localidad.
b) Se elige un veraneante al azar y se observa que es nativo de la localidad, ¿cu´l es la probabilidad
a
de que tenga m´s de 30 a˜os?
a
n
6

7. Soluci´n:
o
Llamamos J a ser menor de 30 a˜os y N a ser nativo de la localidad, entonces
n
a)
P (N ) = P (N | J)P (J) + P (N | J)P (J) = 0, 25 · 0, 6 + 0, 35 · 0, 4 =
29
.
100
b)
P (J | N ) =
P (N | J)P (J)
14
0, 35 · 0, 4
=
.
=
29
P (N )
29
100
21. En una m´quina de escribir hay 35 teclas, cada una de las cuales representa una letra, un signo de
a
puntuaci´n o un acento. Hay tambi´n una tecla para los espacios y otra para las may´sculas. En total,
o
e
u
pues, 37 teclas. Si se pulsa una vez la tecla de las may´sculas, a partir de aquel momento todo queda
u
escrito en may´sculas. Para volver a escribir en min´sculas hay que puslar de nuevo la mencionada
u
u
tecla. Un ni˜o pulsa consecutivamente 29 teclas al azar. Hallar la probabilidad de que escriba la frase:
n
En un lugar de la Mancha.
Soluci´n: Llamamos Ci a pulsar correctamente en la i–´sima pulsaci´n, i = 1, . . . 29. Como el ni˜o
o
e
o
n
no sabe escribir, pulsa aleatoriamente las teclas y de manera independiente y, adem´s, ha de pulsarlas
a
en el orden correcto, entonces
P (C1 ∩ C2 ∩ . . . ∩ C29 ) = P (C1 )P (C2 ) · · · P (C29 ) =
1
37
29 veces
···
1
1
=
.
37
3729
22. Hallar la probabilidad de un suceso sabiendo que la suma del cuadrado de su probabilidad y del
cuadrado de la probabilidad del suceso contrario es igual a 5 .
9
Soluci´n:
o
Llamamos p a la probabilidad buscada, entonces
p2 + (1 − p)2 =
5
4
1
2
⇐⇒ 2p2 − 2p + = 0 ⇐⇒ p = o bien p = .
9
9
3
3
Como ambas probabilidades son positivas (y una es complementaria de la otra), ambas soluciones son
correctas.
7