1. Dokumen ini membahas tentang deret Fourier dan ekspansi fungsi periodik menjadi deret Fourier. 2. Deret Fourier dapat digunakan untuk mengaproksimasi fungsi periodik dengan mengekspresikannya sebagai jumlah deret trigonometri. 3. Terdapat dua cara untuk mengembangkan fungsi yang hanya terdefinisi pada setengah periode menjadi deret Fourier yaitu dengan memperluasnya menjadi fungsi genap atau ganjil.

1. DERET FOURIER
Simon Patabang, ST., MT.
Jurusan Teknik Elektro
Univ. Atmajaya Makassar

2. Fungsi Periodik
• Suatu fungsi dapat diekspansi ke dalam deret Fourier
maka fungsi tersebut harus periodik.
• Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi periodik dengan
periode T jika untuk setiap x berlaku :
f(x + T) = f(x)

3. • Contoh 1 :
Fungsi f(x) = sin(x) mempunyai periode T = 2π; 4π; 6π;
sebab :
sin(x) = sin(x + 2 ) = sin(x + 4 ) = sin(x + 6 ) = ….sin(x) = sin(x + 2 π) = sin(x + 4 π) = sin(x + 6 π) = ….
• Nilai T yang paling kecil yang dianggap sebagai periode
suatu fungsi. Dalam contoh ini, fungsi f(x) = sin(x)
mempunyai periode 2π.

4. Contoh.2.
Fungsi f(x) = sin nx, dimana n suatu bilangan bulat positip
merupakan fungsi periodik dengan periode 2π/n , sebab
Ilustrasi untuk n = 2 dapat dilihat pada gambar.

5. Grak fungsi f(x) = sin 2x dan periodanya

6. Periodisasi fungsi
Kita dapat membuat fungsi yang didenisikan pada suatu
interval menjadi fungsi periodik dengan cara copy-paste.
Artinya, fungsi y = f(x) dimana x ∈ [a, b] diperluas menjadi y
= b f(x) dimana x ∈ R yaitu

7. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi f(x), x ∈ R dikatakan :
i. Fungsi ganjil jika f( -x) = -f(x) untuk setiap x ∈R;
ii. Fungsi genap jika f(-x) = f(x) untuk setiap x ∈ R:
Contoh fungsi genap dan fungsi ganjil :
a. Fungsi f(x) = cos x merupakan fungsi genap, sebab cos(-x)
= cos x.
b. Fungsi f(x) = sin x merupakan fungsi ganjil, sebab sin(-x) =
-sinx.

8. c. Fungsi f(x) = x³ merupakan fungsi ganjil, sebab (-x)³ = -x³.
d. Fungsi f(x) = x² merupakan fungsi genap, sebab (-x)²= x².
e. Fungsi f(x) = eˣ bukan merupakan fungsi genap maupun
fungsi ganjil, sebab e-ˣ ≠ eˣ dan eˣ ≠ -eˣ.

9. Grafik fungsi f(x) = x² (genap) dan f(x) = x³ (ganjil)

10. Periodisasi fungsi f(x) = x², x ∈ [0, 1].

11. Deret Fourier fungsi periodik
Misalkan fungsi f(x) periodik dengan periode 2L. Jika fungsi
ini terdefinisi pada interval (c, c + 2L) dimana c suatu
konstanta maka fungsi ini dapat didefinisikan dalam bentuk
deret :
dimana :

12. Secara khusus, jika fungsi f didenisikan pada interval (-L,L)
yaitu bersesuaian dimana c = -L maka koefisien deret
Fourier di atas menjadi :

13. Misalkan f : [-L,L] → R.
Jika f genap maka :

14. Jika f ganjil maka :

15. • Buktikan kasus f ganjil.
Karena f ganjil maka f(-x) = -f(x).

16. dan

17. • Contoh : Carilah deret Fourier untuk fungsi
dan diluar interval ini [-5,5] dilakukan periodisasi
dengan periode = 10.dengan periode = 10.
Penyelesaian.
Diperhatikan bahwa fungsi ini adalah ganjil dimana 2L
= 10, lihat gambar.

18. Gambar : Grafik fungsi f

19. • Karena itu, berdasarkan Teorema bahwa fungsi ganjil
nilai an = 0 dan

20. • Jadi deret Fourier untuk fungsi ini adalah
Untuk melihat bagaimana deret Fourier ini
mengaproksimasi fungsi f(x), kita ambil jumlah parsial
N sukunya seperti terlihat pada Gambar berikut.

21. Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier untuk n= 3, 8, dan 30

22. Diperhatikan bahwa semakin dekat dengan titik diskontinu
x = 0 maka aproksimasinya semakin jelek. Fakta ini sesuai
dengan sifat kekonvergenan deret Fourier, yaitu :
dimana f(x+) dan f(x-) menyatakan limit kanan dan limit
kiri. Kode MAT-LAB yang dapat digunakan untuk
mendenisikan N suku pertama deret Fourier diberikan
sebagai berikut

23. function y = fourier1(x,N)
%N suku pertama deret Fourier contoh 5.1.4
a0=0; y=a0/2;
for n=1:N
an=0; bn=-2/(n*pi)*(cos(n*pi)-1);an=0; bn=-2/(n*pi)*(cos(n*pi)-1);
y1= an*cos(n*pi*x/L)+bn*sin(n*pi*x/L);
y=y+y1;
end

24. Contoh :
Ekspansikanlah fungsi f(x) = x² pada interval (0,2π) dalam
deret Fourier jika fungsi tersebut diperiodisasi dengan
periode 2π.
Penyelesaian.Penyelesaian.
Dalam soal ini kita mempunyai L = π . Dengan mengambil
c = 0 maka dengan menggunakan teknik integral parsial
diperoleh

25. Catatan :
Rumus dari integral parsial :
Jika Integral berbentuk:
∫ f(x).g(x) dx = ....?
Misalkan : f(x) = U dan g(x) dx = dV
Maka bentuknya menjadi :
∫ U dV = UV − ∫ V dU

27. Karena f(x) = x² kontinu didalam interval (0,2π) maka untuk
setiap x ∈ (0, 2π) berlaku :

28. Deret Fourier jangkauan setengah
• Misalkan suatu fungsi f(x) didenisikan pada interval (0,L),
maka fungsi f(x) dapat diekspansikan kedalam deret
Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada interval
(-L,L).
• Jadi diperlukan pendenisian fungsi pada interval (-L, 0).
• Ada dua cara yang dapat dilakukan, yaitu fungsi f
dikembangkan menjadi fungsi ganjil atau menjadi fungsi
genap.
• Kedua cara ini dapat dilihat pada gambar berikut.

29. • Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil maka akan
didapat deret :
dimana :

30. Gambar. Pengembangan menjadi fungsi ganjil

31. • Sedangkan untuk pengembangan menjadi fungsi genap
maka akan didapat deret
dimana :dimana :

32. Contoh :
1. Ekspansikanlah fungsi f(x) = cos x, x ∈ [0,π ] dalam
bentuk deret sinus.
Penyelesaian.
Pertama-tama kita perluas fungsi f(x) = cos x yang semula
didenisikan pada [0,π] menjadi fungsi genap yang
didenisikan pada [-π,π ]
Karena L = π maka berdasarkan deret fungsi ganjil
diperoleh an = 0:

33. untuk n = 1, dengan melihat langkah kedua penjabaran
diatas, diperoleh b1 = 0. Jadi deret sinus untuk fungsi
cosinus adalah

34. 2. Ekspansikanlah fungsi berikut ke dalam
(a) deret sinus
(b) deret cosinus.(b) deret cosinus.

35. a. Ekspansi deret Sinus :
Penyelesaian
Untuk ekspansi kedalam deret sinus, fungsi f perlu
diperluas menjadi fungsi ganjil seperti terlihat pada
gambar berikut.
Gambar : Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier

36. Karena L = 8 maka diperoleh :
• Dengan menerapkan integral parsial, kemudian
memasukkan batas-batasnya maka akhirnya diperoleh

37. b. Ekspansi deret Cosinus
Dapat diselesaikan dengan prinsip yang sama dengan
(a). Buat sebagai latihan soal

38. Sekian