1. 2011
Algoritmo Bresenham
Antonio Acosta
Instituto Tecnológico de Culiacán
07/07/2011

2. Algoritmo Bresenham 7 de julio de 2011
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Contenido
Algoritmo de bresenham para líneas.................................................................................................................. 2
Código bresenham para líneas en C++........................................................................................................ 3
Algoritmo de bresenham para círculos ............................................................................................................... 4
Código bresenham para círculos en C++ ..................................................................................................... 5
Ejemplo de la Línea de Bresenham...................................................................................................................... 6
Un ejemplo sencillo del algoritmo de la línea de Bresenham.................................................................... 6
Ejemplo del Círculo de Bresenham....................................................................................................................... 6
Esta es una implementación del algoritmo de círculo. ................................................................................. 6
Bibliografía............................................................................................................................................................... 7
Conocimientos puede tenerlos cualquiera, pero el arte de pensar es el regalo más escaso de la
naturaleza. Federico II

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Algoritmo Bresenham
Algoritmo de bresenham para líneas
El algoritmo de Bresenham es un
algoritmo que determina los puntos
en un mapa de bits de n-dimensiones
que deben ser trazados con el fin de
formar una aproximación a una línea
recta entre dos puntos dados. Es
comúnmente usado para dibujar líneas
en una pantalla de ordenador, ya que
utiliza sólo adición de enteros, la resta
y desplazamiento de bits, que son
operaciones muy barato en las
arquitecturas de ordenador estándar.
Es uno de los primeros algoritmos
Resultados del algoritmo de Bresenham.
desarrollados en el campo de gráficos por ordenador. Una extensión menor a la del algoritmo
original también se ocupa de dibujar círculos.
Partimos de que las coordenadas de los pixels en una imagen son coordenadas enteras y que
conocemos los extremos del segmento que forma la línea siendo sus coordenadas (x0,y0) y (x1,y1).
El algoritmo de Bresenham selecciona el entero 'y' correspondiente al pixel central que está más
cercano del que sería calculado con fracciones y lo mismo para la coordenada 'x'. En las sucesivas
columnas la coordenada 'y' puede permanecer con el mismo valor o incrementarse en cada paso a
una unidad.
La ecuación general de la línea que pasa por los extremos conocidos es:
Puesto que conocemos la columna, 'x', la fila 'y' del pixel se calcula redondeando esta cantidad al
entero más cercano según la siguiente fórmula.
( )
La pendiente (y1 - y0) / (x1 - x0) depende sólo de las coordenadas de los extremos y puede ser
previamente calculada, y el valor ideal de 'y' para los sucesivos valores enteros de 'x' se puede
calcular a partir de y0 e ir añadiendo en varias ocasiones la pendiente.

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Código bresenham para líneas en C++
void brenenham(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
int slope;
int dx, dy, incE, incNE, d, x, y;
// Reverse lines where x1 > x2
if (x1 > x2)
{
brenenham(x2, y2, x1, y1);
return;
}
dx = x2 - x1;
dy = y2 - y1;
// Adjust y-increment for negatively sloped lines
if (dy < 0)
{
slope = -1;
dy = -dy;
}
else
{
slope = 1;
}
// Bresenham constants
incE = 2 * dy;
incNE = 2 * dy - 2 * dx;
d = 2 * dy - dx;
y = y1;
// Blit
for (x = x1; x <= x2; x++)
{
putpixel(x, y, 15);
if (d <= 0)
{
d += incE;
}
else
{
d += incNE;
y += slope;
}
}
}

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Algoritmo de bresenham para círculos
En graficación, el algoritmo de “midpoint circle” es
un algoritmo utilizado para determinar los puntos
necesarios para dibujar un círculo. El algoritmo es una
variante del algoritmo de la línea Bresenham, por lo
que es a veces conocido como algoritmo de círculo
Bresenham, aunque en realidad no inventada por
Bresenham.
El algoritmo comienza en consecuencia con el círculo
de la ecuación x 2 + y 2 = r 2. Así, el centro del círculo
se encuentra en (0,0). Consideramos que sólo la
primera el octante primera y trazar una curva que
comienza en el punto (r, 0) y hacia arriba los ingresos
ya la izquierda, llegando al ángulo de 45 °.
La dirección “rápida” aquí es la dirección vertical. El
algoritmo hace siempre un paso en la dirección positiva
Circle by the Bresenham algorithm
(hacia arriba), y de vez en cuando también tiene que hacer un paso en la "lenta" la dirección, la
dirección x negativa.
De la ecuación de un círculo se obtiene la ecuación transformada x 2 + y 2 - r 2 = 0, donde r 2 se
calcula sólo una sola vez durante la inicialización:
( )
Y por lo tanto para la coordenada x. Además tenemos que añadir las coordenadas del punto
medio al establecer un píxel. Estas adiciones frecuentes entero no limitan el rendimiento de mucho,
ya que puede prescindir de los cuadrados (root) los cálculos en el lazo interno, a su vez. Una vez
más el cero en la ecuación del círculo transformado se sustituye por el término de error.
La inicialización del término de error se deriva de un desplazamiento de pixel y medio en la salida.
Hasta la intersección con la línea perpendicular, esto conduce a un valor acumulado de r en el
término de error, de modo que este valor se utiliza para la inicialización.
Una posible implementación del algoritmo de Bresenham de un círculo completo en C. Aquí otra
variable para el cálculo recursivo de los términos de segundo grado se utiliza, lo que corresponde
con el término de2 n + 1. Sólo tiene que incrementar en un 2 a partir de una etapa a la siguiente:

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Código bresenham para círculos en C++
void rasterCircle(int x0, int y0, int radius)
{
int f = 1 - radius;
int ddF_x = 1;
int ddF_y = -2 * radius;
int x = 0;
int y = radius;
setPixel(x0, y0 + radius);
setPixel(x0, y0 - radius);
setPixel(x0 + radius, y0);
setPixel(x0 - radius, y0);
while(x < y)
{
// ddF_x == 2 * x + 1;
// ddF_y == -2 * y;
// f == x*x + y*y - radius*radius + 2*x - y + 1;
if(f >= 0)
{
y--;
ddF_y += 2;
f += ddF_y;
}
x++;
ddF_x += 2;
f += ddF_x;
setPixel(x0 + x, y0 + y);
setPixel(x0 - x, y0 + y);
setPixel(x0 + x, y0 - y);
setPixel(x0 - x, y0 - y);
setPixel(x0 + y, y0 + x);
setPixel(x0 - y, y0 + x);
setPixel(x0 + y, y0 - x);
setPixel(x0 - y, y0 - x);
}
}

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Ejemplo de la Línea de Bresenham
Un ejemplo sencillo del algoritmo de la línea de Bresenham
void plotLine(int x0, int y0, int x1, int y1)
{
int dx = abs(x1-x0), sx = x0<x1 ? 1 : -1;
int dy = -abs(y1-y0), sy = y0<y1 ? 1 : -1;
int err = dx+dy, e2; /* error value e_xy */
for(;;){ /* loop */
setPixel(x0,y0);
if (x0==x1 && y0==y1) break;
e2 = 2*err;
if (e2 >= dy) { err += dy; x0 += sx; } /* e_xy+e_x > 0 */
if (e2 <= dx) { err += dx; y0 += sy; } /* e_xy+e_y < 0 */
}
}
Ejemplo del Círculo de Bresenham
Esta es una implementación del algoritmo de círculo.
void plotCircle(int xm, int ym, int r)
{
int x = -r, y = 0, err = 2-2*r; /* II. Quadrant */
do {
setPixel(xm-x, ym+y); /* I. Quadrant */
setPixel(xm-y, ym-x); /* II. Quadrant */
setPixel(xm+x, ym-y); /* III. Quadrant */
setPixel(xm+y, ym+x); /* IV. Quadrant */
r = err;
if (r > x) err += ++x*2+1; /* e_xy+e_x > 0 */
if (r <= y) err += ++y*2+1; /* e_xy+e_y < 0
*/
} while (x < 0);
}

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Bibliografía
1. JACK E. BRESENHAM, "ALGORITHM FOR COMPUTER CONTROL OF A DIGITAL PLOTTER", IBM SYSTEMS
JOURNAL, VOL. 4, NO.1, JANUARY 1965, PP. 25–30
2. "THE BRESENHAM LINE-DRAWING ALGORITHM", BY COLIN FLANAGAN
3. MICHAEL ABRASH'S GRAPHICS PROGRAMMING BLACK BOOK A VERY OPTIMIZED VERSION OF THE
ALGORITHM IN C AND ASSEMBLY FOR USE IN VIDEO GAMES WITH COMPLETE DETAILS OF ITS INNER
WORKINGS, WRITTEN BY MICHAEL ABRASH, PAGES 654-678 - ISBN 978-1-57610-174-2
4. HTTP://WWW.CS.TORONTO.EDU/~SMALIK/418/TUTORIAL2_BRESENHAM.PDF
5. HTTP://DIGITUM.UM.ES/XMLUI/BITSTREAM/10201/22175/1/MYPFC.PDF
6. HTTP://FREE.PAGES.AT/EASYFILTER/BRESENHAM.HTML