分かりやすさを重視し、深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用を解説します。

1. 深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用について
2020年7月29日
嘉村 しょう
深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用について
■ サマリー​​(7,404文字)
本稿では、グラフ探索の深さ優先探索、幅優先探索、2つのアルゴリズムを解説す
る。グラフ探索は、カーナビや鉄道路線の乗り換え等の経路探索に利用されてお
り、深さ・幅優先探索は、系統的探索手法に分類される。以下の木を例に、フ
ロー・チャート、ハンド・シュミレーション、Java構文を基にした疑似コードで
解説する。
■ 前提 グラフ
グラフとは、「点と線がつながった構造」[1]を指す。
グラフで用いる木(Tree)は、根(Root)、枝(Edge、辺とも呼ばれる)、節点
(Vertex/Node)、葉(Leaf)から成る。根はグラフの開始地点を指し、枝は、節点同士
を繋ぐ線を指す。葉は、木の末端にある節点で、通常、葉には枝がなく、終点にな
る。[2]
1

2. 深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用について
2020年7月29日
嘉村 しょう
身近な例は、カーナビゲーションシステム(以降カーナビ)である。カーナビには、
現在地から目的地までの最短距離・時間を計算するアルゴリズムが予め複数種類、
組み込まれており、状況に応じて、適切なアルゴリズムを選択する。[3]
● グラフ探索問題と2つの評価軸
グラフ探索の代表的な問題は、上記の最短ルートの探索である。アルゴリズム
は、時間計算量、空間計算量の2つの軸で評価される。通常、最悪の場合
(Worst Case)、つまり最も計算量が多かった場合を、評価対象とする。
✔ 時間計算量 ​(Time Complexity)
時間計算量は、最短経路の探索に掛かる時間(厳密には処理・操作回数)を
指す。Ｏ(項)と表記し、時間が短い程、優れたアルゴリズムになる。Ｏ(１)
ならば、一定回数の処理が必要になり、Ｏ(n2)なら処理・操作回数の2乗に
比例し、ステップ数が増える。[4]
✔ 空間計算量 ​(Space Complexity)
空間計算量は、最短距離を求める際、コンピューターが必要なメモリ(記憶
領域)量を指す。時間計算量同様、Ｏ(項)と表記し、メモリ量が小さい程、
優れたアルゴリズムになる。Ｏ(１)ならば、処理・操作回数に関わらず、
一定のメモリが必要であり、Ｏ(n2)ならば、処理・操作回数の2乗に比例
し、必要なメモリが増える。[5]
● 結論
整理すると、以下の表になる。
順位 時間計算量 空間計算量
1 短い 小さい
2 短い 大きい
3 長い 小さい
4 長い 大きい
実際は、時間計算量と空間計算量は、トレードオフの関係にある。つまり、メモ
リが大きければ、時間計算量は短くなり、逆に、メモリが小さければ、時間計算
量は長くなる。
■ 系統的探索
深さ・幅優先探索は、系統的探索に分類され、​3つの特徴がある。[6]
1. 問題に関する知識を用いず、シラミ潰しに探索
2. 汎用的
3. 原理的には、解(目標)の発見が保証される
深さ・幅優先探索ともに木の根 - 今回の例ではＡから、その子Ｂ、Ｃを探索する。
根から全ての節点を探索するので、木が有限であれば、原理的には、目標地点が発
見される。木が無限の場合、探索も無限に続く為、目標地点の発見は保証されな
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3. 深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用について
2020年7月29日
嘉村 しょう
い。
■ 深さ優先探索(Depth First Search)の特徴
深さ優先探索は、縦型探索とも呼ばれ、根から一番深い葉まで行き、戻ってくるア
ルゴリズムである。目標地点が深い場合、幅優先探索よりも効率的である。深さ優
先探索の特徴は、2点ある。[6]
1. 目標地点が近くにある場合、遠回りすることもある
2. 無限に深く伸びるグラフでは、目標地点に到達しないこともある
● 時間計算量
Ｏ(|Ｅ|)になる。目標地点が、現在地点から最も離れている場合、全経路を探索
する必要がある。|Ｅ|は、枝(辺)の数を指し、ＥはEdgeの頭文字を表す。最も
探索に時間が掛かるケース(Worst Case)では、全ての枝を探索する為、Ｏ(|Ｅ|)
となる。[7]
● 空間計算量
Ｏ(|Ｖ|)になる。目標地点が、現在地点から最も離れている場合、探索した節点
を全て記録する必要がある。|Ｖ|は、節点の数を指し、ＶはVertexを表す。最
も探索に時間が掛かるケース(Worst Case)では、全ての節点を記録する為、Ｏ
(|Ｖ|)となる。[7]
■ 深さ優先探索のアルゴリズム
深さ優先探索アルゴリズムは、1から6の順に実行される。[6]
1. 探索を開始する点をOpenListに入れる。
ClosedListは、空にする。
2. OpenListが空(解がないなら)探索は失敗して終了。
3. OpenListの先頭のn点を取り除き、ClosedListに入れる。
4. nが目標点であるなら探索は成功して終了
5. nの子のうち、OpenListやClosedListに含まれていない点は全てをOpenList
の先頭に入れて2.へ、
6. そのような点が無ければ、そのまま2.へ。
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4. 深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用について
2020年7月29日
嘉村 しょう
■ 深さ優先探索のフローチャート
先のアルゴリズムが、以下のフローチャートである。
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5. 深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用について
2020年7月29日
嘉村 しょう
■ ハンド・シュミレーション
1巡目
1. OpenList = [A], ClosedList = []
3. n = A, OpenList = [], ClosedList = [A]
5. OpenList = [B, C], ClosedList = [A]
2巡目
3. n = B, OpenList = [C], ClosedList = [A, B]
5. OpenList = [D, E, C], ClosedList = [A, B]
3巡目
3. n = D, OpenList = [E, C], ClosedList = [A, B, D]
5. OpenList = [F, G, E, C], ClosedList = [A, B, D]
4巡目
3. n = F, OpenList = [G, E, C], ClosedList = [A, B, D, F]
5巡目
3. n = G, OpenList = [E, C], ClosedList = [A, B, D, F, G]
5. OpenList = [H, I, E, C], ClosedList = [A, B, D, F, G]
6巡目
3. n = H, OpenList = [I, E, C], ClosedList = [A, B, D, F, G, H]
7巡目
3. n = I, OpenList = [E, C], ClosedList = [A, B, D, F, G, H, I]
8巡目
3. n = E, OpenList = [C], ClosedList = [A, B, D, F, G, H, I, E]
9巡目
3. n = C, OpenList = [], ClosedList = [A, B, D, F, G, H, I, E, C]
■ 疑似コード
// Javaのシンタックスを基に、疑似コードを作成した。
// はコメントを現す
import java.util.Arrays;
// Containsメソッドを利用する為、java.util.Arraysクラスをインポート
ArrayList<String> OpenList = new ArrayList<>(); // 文字列リストOpenListを定義する
ArrayList<String> ClosedList = new ArrayList<>(); // 文字列リストClosedListを定義する
Char n = A; // 文字変数として探索点nを定義・初期化する
For all node/s iterate{ // 全ての探索点に対し、以下を繰り返す
OpenList.add(n); // OpenListに探索点nを代入する
If OpenList.contains(null){ // OpenListが空(null)を含む場合
Stop search; // 探索を中止する
5

6. 深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用について
2020年7月29日
嘉村 しょう
}
Else // OpenListが空(null)を含まない場合
n = OpenList.get(0); // OpenListの先頭要素を、探索点nに代入する
ClosedList.add(n); // ClosedListに探索点nを追加する
OpenList.remove(0); // OpenListから先頭要素を取り除く
If n == Destination{ // nが目標点である場合
Stop search; // 探索を中止する
}
Else // nが目標点ではない場合
// 探索点nの子ノードにOpen、ClosedListに含まれていない点がある場合
If n's child node/s ! in OpenList || ClosedList{
// OpenListの先頭要素に全ての点を挿入する
OpenList.add(0, node/s);
}
Else // 含まれていない点がない場合
Return null; // 処理を行わず、先頭に戻る
}
■ 幅優先探索(Breadth First Search)の特徴
幅優先探索は、横型探索とも呼ばれ、木の根から、最寄りの子を順番に探索する。
目標地点が根から近い場合、深さ優先探索よりも効率的である。幅優先探索の特徴
は、2点ある。[6]
1. 根に近い浅い点から探索する為、目標地点が近い場合、遠回りせずに済む
2. 探索した点を、全て記録する必要が有り、空間計算量が大きい
● 時間計算量
Ｏ(|Ｅ|)になる。目標地点が、現在地点から最も離れている場合、全経路を探索
する必要がある。深さ優先探索同様、最も時間が掛かるケース(Worst Case)で
は、全ての枝を探索する。[8]
● 空間計算量
Ｏ(|Ｖ|)になる。目標地点が、現在地点から最も離れている場合、探索した節点
を全て記録する必要がある。深さ優先探索と同様、最もメモリ消費するケース
(Worst Case)では、全節点を記録する。[8]
■ 幅優先探索のアルゴリズム
深さ優先探索アルゴリズムとの違いは6.で、含まれていない点を、OpenListの
末尾に入れる箇所だけである。[6]
1. 探索を開始する点をOpenListに入れる。
2. ClosedListは、空にする。
3. OpenListが空(解がないなら)探索は失敗して終了。
4. OpenListの先頭のn点を取り除き、ClosedListに入れる。
5. nが目標点であるなら探索は成功して終了。
6. nの子のうち、OpenListやClosedListに含まれていない点は全てをOpenListの
6

7. 深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用について
2020年7月29日
嘉村 しょう
末尾​に入れて2.へ、そのような点が無ければ、そのまま2.へ。
■ 幅優先探索のフローチャート
深さ優先探索と、大きく変わらない。
7

8. 深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用について
2020年7月29日
嘉村 しょう
■ ハンド・シュミレーション
1巡目
1. OpenList = [A], ClosedList = []
3. n = A, OpenList = [], ClosedList = [A]
5. OpenList = [B, C], ClosedList = [A]
2巡目
3. n = B, OpenList = [C], ClosedList = [B, A]
5. OpenList = [C, D, E], ClosedList = [B, A]
3巡目
3. n = C, OpenList = [D, E], ClosedList = [C, B, A]
4巡目
3. n = D, OpenList = [E], ClosedList = [D, C, B, A]
5. OpenList = [E, F, G], ClosedList = [D, C, B, A]
5巡目
3. n = E, OpenList = [F, G], ClosedList = [E, D, C, B, A]
6巡目
3. n = F, OpenList = [G], ClosedList = [F, E, D, C, B, A]
7巡目
3. n = G, OpenList = [], ClosedList = [G, F, E, D, C, B, A]
5. OpenList = [H, I], ClosedList = [G, F, E, D, C, B, A]
8巡目
3. n = H, OpenList = [I], ClosedList = [H, G, F, E, D, C, B, A]
9巡目
3. n = I, OpenList = [], ClosedList = [I, H, G, F, E, D, C, B, A]
■ 疑似コード
// 深さ優先探索との相違点を青字・太字・下線でハイライトした
// はコメントを現す
import java.util.Arrays;
// Containsメソッドを利用する為、java.util.Arraysクラスをインポート
ArrayList<String> OpenList = new ArrayList<>(); // 文字列リストOpenListを定義する
ArrayList<String> ClosedList = new ArrayList<>(); // 文字列リストClosedListを定義する
Char n = A; // 文字変数として探索点nを定義、初期化する
For all node/s iterate{ // 全ての探索点に対し、以下を繰り返す
OpenList.add(n); // OpenListに探索点nを代入する
If OpenList.contains(null){ // OpenListが空(null)を含む場合
Stop search; // 探索を中止する
}
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9. 深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用について
2020年7月29日
嘉村 しょう
Else // OpenListが空(null)を含まない場合
n = OpenList.get(0); // OpenListの先頭要素を、探索点nに代入する
ClosedList.add(n); // ClosedListに探索点nを追加する
OpenList.remove(0); // OpenListから先頭要素を取り除く
If n == Destination{ // nが目標点である場合
Stop search; // 探索を中止する
}
Else // nが目標点ではない場合
// 探索点nの子ノードにOpen、ClosedListに含まれていない点がある場合
If n's child node/s ! in OpenList || ClosedList{
OpenList.add(​node/s​); // OpenListの末尾に全ての点を挿入する
}
Else // 含まれていない点がない場合
Return null; // 処理を行わず、先頭に戻る
}
■ 応用
最後に応用例を2つ紹介する。深さ・幅優先探索を含むグラフ探索は、道路や
交通機関の経路探索に実装されている。
● カーナビでの経路探索
カーナビの経路探索は、代表的な応用例である。カーナビメーカー、自動車
メーカーが中心に、関連技術の特許出願をしている。[9] ナビタイムジャパン
は、グラフ理論を基に、経路を、枝単位でコスト計算し、どの経路が最適かを
決めている。コストは、ポリシーを基に時間、金銭、煩雑さといった係数に、
ベクトル内積で、それぞれの実績を掛け合わせ、算出する。目標地点までの到
達時間を優先する場合は、時間に、距離を優先する場合は、距離に重み付けを
行い、特定の変数を重視した探索も出来る。[10]
● 地方線から主要線の経路探索
18年、谷口らは、普通列車を利用し、出発駅から乗り継ぎながら、1日の運行
時間内で移動できる最長距離を求める研究を行った。同論文の中で、出発駅が
地方線の場合、幅優先探索を利用することで、いち早く主要線の駅に辿りつけ
ると提案した。[11]
経路探索の実際は、深さ・幅優先探索を含む複数のアルゴリズムを用意し、目標地
点までの距離、金銭、煩雑さ等のコストに、天気、道路状況、イベント等の外部要
因も加味し、最適な経路を探索している。外部要員は変化し続ける為、カーナビ等
から得られる位置データを、モニタリング、分析しながら、探索精度の改良を図っ
ている。
9

10. 深さ・幅優先探索の仕組み・特徴・応用について
2020年7月29日
嘉村 しょう
■ 参考文献
[1] 保坂和弘(2011). グラフ探索アルゴリズムとその応用, 2011-5-4,
閲覧日 2020-7-23
http://hos.ac/slides/20110504_graph.pdf
[2] ウィキペディア, 「木(数学) - Wikipedia」, 閲覧日 2020-7-24
https://ja.wikipedia.org/wiki/木_(数学)
[3] 浅井政太郎(2016), Qiita, グラフ探索ことはじめ - 幅・深さ優先探索 -,
2016-11-24, 閲覧日 2020-7-23
https://qiita.com/guicho271828/items/adba26e0772d7063b4c8
[4] 時間計算量【time complexity】, IT用語辞典 e-Words, 2018-12-24,
閲覧日 2020-7-24
http://e-words.jp/w/時間計算量.html
[5] 空間計算量【space complexity】, IT用語辞典 e-Words, 2018-12-24,
閲覧日 2020-7-24
http://e-words.jp/w/空間計算量.html
[6] 大西仁(2018), 放送大学大学院, 知能システム論 第2回 探索に基づく問題解決(1),
pp21-45
[7] ウィキペディア, 「深さ先探索 - Wikipedia」, 閲覧日 2020-7-24
https://ja.wikipedia.org/wiki/深さ優先探索
[8] ウィキペディア, 「幅優先探索 - Wikipedia」, 閲覧日 2020-7-24
https://ja.wikipedia.org/wiki/幅優先探索
[9] 独立行政法人 工業所有権情報・研修館(2005), 平成16年度 特許流通支援チャー
ト カーナビ経路探索技術, 2005, pⅱ, 閲覧日 2020-7-24
https://www.inpit.go.jp/blob/katsuyo/pdf/chart/fdenki22.pdf
[10] 福士達央(2018), SlideShare, NAVITIMEの経路はこうして作られる ～4100万人
の移動を導く経路探索の流儀～, 2018-2-28, 閲覧日 2020-7-24
https://www.slideshare.net/NavitimeJapan/navitime-89761183
[11] 谷口雄大, 猪股俊光, 杉野栄二, 成田国輝, 今井信太郎, 新井義和, 岩手県立大学
ソフトウェア情報学部ソフトウェア情報学科(2018), 普通列車を対象にした制約付
き最長距離経路探索の考案, 情報処理学会第80回全国大会, 3K-06, pp, 323-324
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_action_common_download&item_id=
187689&item_no=1&attribute_id=1&file_no=1
以上
10