en estas diapositivas se explicara de una manera detalladamente la ecuación canónica de la parábola con vértices en (h,k).

1. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA
PARÁBOLA CON VERTICES EN
(H,K)

2. *
Sea (h,k) un punto distinto del origen del plano
cartesiano.
Para deducir la ecuación de una parábola con
vértices en (h,k), se consideran dos casos:
La parábola con eje de simetría paralela al eje X
y la parábola con eje de simetría paralelo al eje
Y.

3. *
Para determinar la ecuación de la
parábola con vértice (h,k), se realiza
una traslación de ejes de la siguiente
manera:

4. En el sistema de coordenadas x’
y’, la ecuación de la parábola es
:y^2=4px’.
Como x=x’+p y y=y’+k se
tiene que x’=x’-p’ y y’=y-k, por
tanto la ecuación de la parábola
es: (y-k)2 =4p(x-h). De donde :
foco es f (h+p,k)
La ecuación canoníca de la
parábola con vértice en (h,k) y
eje de simetría
Paralelo al eje x es:
(y-k)2 =4p(x-h) . Donde p es la
distancia del vértice al foco .
• si p >0, la parábola abre hacia a
la derecha.
•Si p<0,la parábola se abre hacia
la izquierda.

5. *
Sea p la distancia del vértice al foco de una
parábola con vértices en (h,k) y eje del paralelo al
eje y, entonces, el foco es el punto F(h+p,k).
Como la distancia del vértice al foco es igual a la
distancia del vértice a la directriz, entonces , la
ecuación de la directriz es y=k-p. Además, la
ecuación del eje de simetría es x=h.

6. La ecuación canónica se
deduce así:
La ecuación canoníca de la
parábola con eje focal paralelo
al eje y vértices en (h,k) es:
(x-h)2=4p(y-k) donde pes la
distancia del vértice al foco y
LR=(4p).
la ecuación(x-h)2=4p(y-k)
representa una parábola que:
Se abre hacia arriba, si p>0
Se abra hacia abajo, si p<0.

7. *
Encontrar la ecuación canónica de la parábola que
cumple las condiciones dadas.
 Vértices en (-3 ,4) y foco en (-5, 4)
Solución:
 La parábola con vértices en (-3,4) y foco en (-5,4) es
una parábola cuyo eje focal o eje de simetría es
paralelo al eje x, y su grafica se abre hacia la
izquierda, pues el foco es un punto ubicado a la
izquierda del vértice.

8. La distancia p del vértice al foco esta dada por la
diferencia de la abscisas de estos puntos:
P = - 5 - (- 3)= - 2 y como el vértice es v (h,k), = (-
3,4), al reemplazar la ecuación canónica se tiene
que:
( y – 4 )2 = 4 (- 2 ) ( x - ( - 3 ) ), entonces, ( y –
4)2 = -8 ( x + 3 )
4 * - 2 = 8
x –( - 3 ) = x + 3

9. B) vértices en (2,-3) y pasa por el punto Q (5,
−3
2
).
Solución:
La parábola que tiene vértice en (2, -3) y pasa por el punto
Q, tiene eje paralelo al eje y. por la posición de los puntos
dados se deduce que la grafica de la parábola e abre hacia
arriba, por lo tanto, su ecuación es de la forma: (x –h)2 = 4 p
(y – k) dado que al vértice es V (h-k)= (2 ,-3) entonces h es
= 2 y k = - 3 .
Además el punto (5,
−3
2
)pertenece a la parábola de modo
que satisface su ecuación. Luego, al remplazar en la
ecuación canónica, se tiene que:
(5 – 2)2 = 4 p (
−3
2
+ 3). De donde p = −3
2
Así la ecuación buscada es (x -2)2 = 4 (
3
2
)(y+3)

10. (x-2)2=6(y+3)
*Además. La directriz de la parábola es y=k-p=-3-
−3
2,
,entonces,y=
−9
2
el eje de simetría es de la
forma x= h, es decir=2 y el foco de la parábola es
f(h ,k +p)=(2,
−3
2
).

11. EJERCICIOS
Determinar la ecuación de la parábola de vértice
V y foco F.
1)V (3,6), y F (4,6)
Parábola al eje focal al eje X
Distancia= 4-3=1
V (h, k) V(3,6)
Ecuación canónica= (y-k)^2 -4p (x-h)
(y-6)^2= 4(1) (x-3)
(y-6)^2= 4(x-3)